Философия математики, её возникновение и этапы эволюции

Введение

У философии и  математики немало сопряженных точек. Их определенно больше, чем во взаимных отношениях философии с другими  науками.

Благодаря отвлеченности  математического объекта от любых  природных, вещественных свойств, образуются абстракции высоких порядков, несущие  глубокие обобщения о реальности. Ибо математика, по признанию многих ее творцов, есть искусство давать одно и то же имя разным вещам. И чем  дальше отстоят вещи, тем эффективнее  математическое обобщение. Так оно  достигает предельных значений, оказываясь объектом столь же математической, столько философской компетенции: количественные и пространственные структуры, бесконечность, вероятность.

Философия ставит вопрос, что  есть метод, при этом, как заметили достаточно давно, ставя этот вопрос, или удивляясь, философ удивляется специфическим, философским образом. Его специфика в том, что философ  удивляется не специфическим редким предметам, способность философа в  том, что он удивляется привычным  вещам, которые мы постоянно знаем, к которым привыкли. Есть некий  набор мыслей. Мы немного по-другому  воспринимаем. Мы не приобрели опыт, но начали воспринимать иначе.

Теперь о математике. Философия  смотрит на мир вокруг и задаёт наивные вещи, вопросы о вещах, которыми мы умеем пользоваться. Математика вызывала удивление, причём начала это  делать почти сразу, как появилась. Стоит отметить, что математика появилась  одновременно c философией, во времена Греции.

Математика Древней  Греции характеризуется прежде всего  тесной связью с философией, причем эта связь разностороння и  простирается на все виды культуры. В этот период математика как наука  закладывала основные части своего фундамента: аксиоматику геометрии, дедуктивный вывод, понятие числа  и т.д. На развитие математики, конечно, в первую очередь влияли авторитет  и мировоззрение основателя школы. Однако в этих школах все же больше было идей, нежели предрассудков. Кроме  того, не существовало никакой другой более существенной формы развития науки кроме философских школ.

В эпоху средневековья  в математике не произошло существенных переворотов. Философия математики не вышла за рамки пифагореизма. Лишь в XIV-XV веках математика стала  рассматриваться как вторичное  знание, зависящее от внешних реальностей. В философии важными результатами естественнонаучного направления  были методы экспериментально-математического  исследования природы. В этот период отрицательное воздействие на прогресс математики и философии оказывают  как пренебрежение философским  анализом математического познания, так и отождествление философских  проблем математики с основоположениями  философской системы. Переход математики на новый этап исторического развития требовал переосмысления ее мировоззренческой  и методологической основ, разработки нового комплекса философских проблем  математики.

В эпоху просвещения  главным направлением математической деятельности в первые десятилетия XVIII века было овладение приемами дифференциального  и интегрального исчислений и  широкое использование их для  решения геометрических, механических, астрономических и оптических задач. Со стороны математиков наблюдается  падение интереса к философии. Изменилось отношение и философов к математике. Ничего существенно нового в разработку философских проблем математики внесено не было. Утрачивается единодушие в высокой оценке значимости математики в познании.

В период бурного  развития политической мысли, в эпоху  политических и философских революций  в математике происходила бурная борьба между материалистическим и  идеалистическим направлениями. Эта  борьба принесла свои плоды: возникновение  дифференциального и интегрального  исчислений, открытие неевклидовой геометрии, разрушение догматических воззрений  на природу математики. Такая эволюция математики стимулировала развитие техники, убеждая, кстати, в востребованности самой математики.

Во второй половине XIX столетия математика все настоятельнее  требовала таких ученых, которые  сочетали бы в себе теоретика, практика и организатора. Философскую основу продуктивной деятельности великих  математиков XIX века составляли материалистические принципы, которые не редко сочетались с элементами диалектики. Роль материализма состояла не в слепой победе над  идеализмом, а в очищении познания от догматических принципов, что  является непосредственным двигателем прогресса.

Возникновение философии  математики

Вопрос о взаимосвязи математики и философии впервые был задан  довольно давно. Аристотель, Бэкон, Леонардо да Винчи - многие великие умы человечества занимались этим вопросом и достигали выдающихся результатов. Это не удивительно: ведь основу взаимодействия философии с какой-либо из наук составляет потребность использования аппарата философии для проведения исследований в данной области; математика же, несомненно, более всего среди точных наук поддается философскому анализу (в силу своей абстрактности). Наряду с этим прогрессирующая математизация науки оказывает активное воздействие на философское мышление.

Совместный путь математики и философии  начался в Древней Греции около VI века до н. э. Не стесненное рамками  деспотизма, греческое общество той  поры было подобно питательному раствору, на котором выросло многое, что  дошло до нас в сильно измененном временем виде, однако сохранив основную, заложенную греками идею: театр, поэзия, драматургия, математика, философия. В  этой работе я попытался проследить за процессом формирования, развития и взаимного влияния математики и философии Древней Греции, а  также привести различные точки  зрения на движущие силы и результаты этого процесса. Известно, что греческая  цивилизация на начальном этапе  своего развития отталкивалось от цивилизации  древнего Востока. Каково же было математическое наследство, полученное греками?

Из дошедших до нас математических документов можно заключить, что  в Древнем Египте были сильно отрасли  математики, связанные с решением экономических задач. Папирус Райнда (ок. 2000 г. до н. э.) начинался с обещания научить «совершенному и основательному исследованию всех вещей, пониманию  их сущностей, познанию всех тайн». Фактически излагается искусство вычисления с  целыми числами и дробями, в которое  посвящались государственные чиновники  для того, чтобы уметь решать широкий  круг практических задач, таких, как  распределение заработной платы  между известным числом рабочих, вычисление количества зерна для  приготовления такого-то количества хлеба, вычисление поверхностей и объемов  и т.д. Дальше уравнений первой степени  и простейших квадратных уравнений  египтяне, по-видимому, не пошли. Все  содержание известной нам египетской математики убедительно свидетельствует, что математические знания египтян  предназначались для удовлетворения конкретных потребностей материального  производства и не могли сколько-нибудь серьезно быть связанными с философией.

Математика Вавилона, как и египетская, была вызвана к жизни потребностями  производственной деятельности, поскольку  решались задачи, связанные с нуждами  орошения, строительства, хозяйственного учета, отношениями собственности, исчислением времени. Сохранившиеся  документы показывают, что, основываясь  на 60-ричной системе счисления, вавилоняне могли выполнять четыре арифметических действия, имелись таблицы квадратных корней, кубов и кубических корней, сумм квадратов и кубов, степеней данного числа, были известны правила  суммирования прогрессий. Замечательные  результаты были получены в области  числовой алгебры. Хотя вавилоняне и  не знали алгебраической символики, но решение задач проводилось  по плану, задачи сводились к единому  «нормальному» виду и затем решались по общим правилам, причем истолкование преобразований «уравнения» не связывалось  с конкретной природой исходных данных. Встречались задачи, сводящиеся к  решению уравнений третьей степени  и особых видов уравнений четвертой, пятой и шестой степени.

Если же сравнивать математические науки Египта и Вавилона по способу  мышления, то нетрудно будет установить их общность по таким характеристикам, как авторитарность, некритичность, следование за традицией, крайне медленная  эволюция знаний. Эти же черты обнаруживаются и в философии, мифологии, религии  Востока. Как писал по этому поводу Э. Кольман, «в этом месте, где воля деспота  считалась законом, не было места  для мышления, доискивающегося до причин и обоснований явлений, ни тем более для свободного обсуждения».

Философия математики на различных этапах исторического развития

Греческая математика и её философия

Философия впервые  в истории человечества возникла в странах Древнего Востока - Египте, Вавилоне, Индии, Китае. Здесь же впервые  зарождаются и системы математических знаний. Последние носили преимущественно  характер эмпирических сведений, полученных в процессе производственной деятельности и были направлены на решение конкретных практических задач. Исходные направления  философской мысли в ряде случаев  соприкасались с элементами математического  познания, но эта связь не выступала  в такой отчётливой форме, не оказывала  заметного стимулирующего воздействия  на последующее развитие как философии  так и математики по сравнению  с тем, что мы имеем в науке  Древней Греции. Это может служить  некоторым оправданием тому, чтобы, опуская длительную историю формирования философских и математических знаний в странах Востока, непосредственно  приступить к исследованию поставленной проблемы в древнегреческой науке.

Совместный путь математики и философии начался  в Древней Греции около VI века до н.э. Не стеснённое рамками деспотизма, греческое общество той поры было подобно питательному раствору, на котором выросло многое, что дошло  до нас в сильно измененном временем виде, однако сохранив основную, заложенную греками идею: театр, поэзия, драматургия, математика, философия.

Анализ древнегреческой  математики и философии следует  начать с милетской школы, заложившей основы математики как доказательной  науки.

Милетская школа - одна из первых древнегреческих математических школ, оказавшая существенное влияние  на развитие философских представлений  того времени. Она существовала в  Ионии в конце V - IV вв. до н.э. Основными  деятелями её являлись Фалес (около 624-547 гг. до н. э), Анаксимандр (около 610-546 гг. до н. э) и Анаксимен (около 585-525 гг. до н. э).

Наиболее полные сведения имеются о математической деятельности Фалеса, об Анаксимандре известно только то, что он занимался  геометрией (составил первый "очерк  геометрии"), конкретных указаний о  математической деятельности Анаксимена не сохранилось.

Громадный сдвиг, осуществлённый в греческой математике, заключается  в идее доказательства или дедуктивного вывода. Доказательство первых геометрических теорем приписывается выдающемуся  греческому философу Фалесу. Согласно Проклу, Фалес впервые доказал, что  вертикальные углы равны, что углы при  основании равнобедренного треугольника равны и что диаметр делит  круг пополам. Если верно, что дедуктивный  метод в математику был внесён Фалесом, то надо констатировать, что  математика в Греции, начиная с  этого момента, развивалась чрезвычайно  быстрыми темпами, и прежде всего  в плане логической систематизации.

Появление потребности  доказательства в греческой математике получает удовлетворительное объяснение, если учесть взаимодействия мировоззрения  на развитие математики. В этом отношении  греки существенно отличаются от своих предшественников. В их философских  и математических исследованиях  проявляются вера в силу человеческого  разума, критического отношения к  достижениям предшественников, динамизм мышления, у греков влияние мировоззрения  превратилось из сдерживающего фактора математического познания в стимулирующий, в действенную силу прогресса математики.

В том, что обоснование  приняло именно форму доказательства, а не остановилось на эмпирической проверке, решающим является появление  новой, мировоззренческой функции  науки. Фалес и его последователи  воспринимают математические достижения предшественников, прежде всего для  удовлетворения технических потребностей, но наука для них - нечто большее, чем аппарат для решения производственных задач. Отдельные, наиболее абстрактные  элементы математики вплетаются в натурфилософскую систему, и здесь выполняют роль антипода мифологическим и религиозным  верованиям. Эмпирическая подтверждаемость для элементов философской системы  была недостаточной в силу общности их характера и скудности подтверждающих их факторов. Математические знания же к тому времени достигли такого уровня развития, что между отдельными положениями  можно было установить логические связи. Такая форма обоснований оказалась  объективно приемлемой для математических положений.

Появление математики как систематической науки оказало  в свою очередь громадное влияние  на философское мышление, которое  оказалось в некотором смысле подчиненным математике. "Математика появилась как знание совершенно особой природы, достоверность которого не вызывает сомнения, исходные посылки  которого ясны, а выводы совершенно непреложны ", - пишет Е.А. Беляев.

На примере милетской  школы можно лишь убедиться в  активном влиянии мировоззрения  на процесс математического познания только при радикальном изменении  социально-экономических условий  жизни общества. Однако остаются открытыми  вопросы о том влияет ли изменение  философской основы жизни общества на развитие математики, зависит ли математическое познание от изменения  идеологической направленности мировоззрения, имеет ли место обратное воздействие  математических знаний на философские  идеи. Можно попытаться ответить на поставленные вопросы, обратившись  к деятельности пифагорейской школы.

Пифагореизм как  направление духовной жизни существовал  на протяжении всей истории Древней  Греции, начиная с VI века до н.э. и  прошёл в своём развитии ряд этапов. Основоположником школы был Пифагор  Самосский (около 580 - 500 до н. э).

В пифагореизме выделяют две составляющие: практическую ("пифагорейский  образ жизни ") и теоретическую (определённая совокупность учений). В  религиозном учении пифагорейцев наиболее важной считалось обрядовая сторона, затем имелось в виду создать  определённое душевное состояние и  лишь, потом по значимости шли верования, в трактовке которых допускались  разные варианты. По сравнению с  другими религиозными течениями  у пифагорейцев было специфическое  представления о природе и  судьбе души. Душа - существо божественное, она заключена в тело в наказание  за прегрешения. Высшая цель жизни - освободить душу из телесной темницы, не допустить  в другое тело, которое якобы совершается  после смерти. Путем для достижения этой цели является выполнение определенного  морального кодекса, "пифагорейский  образ жизни". В многочисленной системе предписаний, регламентировавших почти каждый шаг жизни, видное место  отводилось занятиям музыкой и полученными  исследованиями.

Теоретическая сторона  пифагореизма тесно связана с  практической. В теоретических изысканиях пифагорейцы видели лучшее средство высвобождения души из круга рождений, а их результаты стремились использовать для рационального обоснования  предполагаемой доктрины. Вероятно, в  деятельности Пифагора и его ближайших  учеников научные положения были перемешены с мистикой, религиозными и мифологическими представлениями. Вся эта "мудрость" излагалась в качестве изречений оракула, которым  придавался скрытый смысл божественного  откровения.

Пифагор рассматривал число, количественную определённость, как сущность вещей. Основной тезис  пифагореизма состоит в том, что "всё есть число".

Согласно Аристотелю, Пифагор пришёл к понятию числа  как универсальной основы всех вещей  через изучение музыки. Он случайно обнаружил, что любое различие в  звучании определяется числовым соотношением. Велико было восхищение, вызванное  этим открытием. Однако вскоре философия  превратилась у пифагорейцев в мистику  чисел и геометрических фигур. Убежденье  в истинности того или иного убеждения  о мире достигалось сведением  его к числовой гармонии. Пифагорейцы  искали различные аналоги, числовые и геометрические соответствия в  окружающем мире, надеясь найти в  них разгадку самой природы вещей. Мысли о случайности таких  совпадений ещё не возникало.

Если сравнивать математические исследования ранней пифагорейской  и милетской школы, то можно выявить  ряд существенных различий. Так, математические объекты рассматривались пифагорейцами  как первосущность мира, то есть радикально изменилась само понимание  природы математических объектов, кроме  того, математика превращена пифагорейцами  в составляющую религии, в средство очищения души, достижения бессмертия. И, наконец, пифагорейцы ограничивают область математических объектов наиболее абстрактными типами элементов и  сознательно игнорируют положение  математики для решения производственных задач. Пифагор, скорее всего, пользовался  достижениями милетской школы, так  как у него, как и у Фалеса, обнаруживаются основные признаки умственной деятельности, отличающиеся от догреческой  эпохи; однако математическая деятельность этих школ носила различный характер.

Что касается природы  самой математической закономерности, истоков её обусловленной истинности, то ранние пифагорейцы, скорее всего  не задумывались над этим вопросом. У Платона, однако, мы находим уже  некоторую теорию на этот счёт.

Сочинение Платона (427-347 гг. до н. э) - уникальное явление  в отношении выделения философских  концепций. Это высоко художественное, выхватывающее описание самого процесса становления, концепций, с сомнениями и не уверенностью, подчас с безрезультатными попытками решения поставленного  вопроса, с возвратом к исходному  пункту, многочисленными повторениями и т.п. Выделить в творчестве Платона  какой-либо аспект и систематически изложить его довольно сложно, так  как приходится реконструировать мысли  Платона из отдельных высказываний, которые настолько динамичны, что  в процессе эволюции мысли порой  превращаются в свою противоположность.

Математические  истины для Платона врожденны, они  представляют собой впечатление  об истине самой по себе, которые  душа получила пребывая в более совершённом  мире, в мире идей. Математическое познание есть по этому просто воспоминание, оно требует ни опыта, ни наблюдения природы, а лишь ведения разума.

Математик, согласно Платону, изучает особые идеальные  сущности, в отличие от сущностей, данных в опыте, эмпирических. "Когда  геометры - говорит Платон, - пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена не на чертёж, а  на те фигуры, подобием которых он служит. Выводы свои они делают для четырёхугольника самого по себе и его диагонали, а  не для той диагонали, которую  они начертили". Геометрические фигуры сами по себе (в отличие от чертежей) можно видеть только "мысленным  взором".

В этих рассуждениях Платоном впервые был поставлен  вопрос о специфике объектов изучаемых  математикой, который является одним  из основных и в современной философии  математики.

Наряду с пифагорейской  философией существовала, хотя и в  недостаточно выраженной форме, другая, более реалистическая философия  математики, идущая от атомизма Левкиппа и Демокрита. Известно, что Демокрит отрицал возможность геометрических построений в пустоте: геометрические фигуры были для него не умозрительными сущностями, а прежде всего материальными телами, состоящими из атомов. Демокрит не допускал бесконечной делимости отрезка: по его мнению, отрезок состоит из большого числа далее неделимых частей. Данная позиция отчасти диктовалась общей установкой атомизма, но главное было в том, что допущение бесконечной делимости приводило к многочисленным парадоксам. Однако и допущение, что отрезки состоят из неделимых частей, приводило к противоречиям. В частности отсюда следовало, что неизмеримых величин не существует.

Математически атомизм  появился скорее как частная эвристическая  идея в геометрии, чем как особый взгляд на природу математики в целом. Однако, он неявно содержал в себе определённую антитезу пифагореизму. Если для пифагорейцев математические объекты (числа) составляли основу мира в антологическом смысле и основу его понимания, то в атомистической эвристике математические закономерности выступают уже как вторичные  по отношению к атомам как первосущностям. Физическое здесь логически предшествует математическому и определяет свойства математических объектов. Пифагорейцы  были правы, возражая против превращения  математики в физику, настаивал на частоте математического метода, а так же и на идеализации бесконечной  делимости геометрических величин. Система евклидовой математики не могла  быть построена без такой идеализации. Но математический атомизм, тем не менее, содержал в зародыше будущую, более  эмпирическую философию математики, которая неизбежно должна была выйти  на сцену в связи с ростом влияния  естественных наук.

Первый наиболее сильный удар по философии пифагореизма был нанесен открытием несоизмеримых  отрезков. Это подрывало не только гармонию между геометрией и арифметикой, которая была для пифагорейцев сама собой разумеющейся, но и их идеологию  в целом. В связи с кризисом пифагорейской философии математики необходимо так же упомянуть об апориях  Зенона - нескольких рассуждениях, которые  будучи (по крайней мере, по видимости) строгими, вместе с тем ставят под  сомнения некоторые очевидные факторы, в частности время и движения. Главная ошибка в этих рассуждениях в неправильном использовании понятий.

Широкая критика  пифагореизма была дана Аристотелем  в "метафизике". Хотя Аристотель - непосредственный ученик Платона, его  мировосприятие отличается от платоновского  радикальным образом.

Аристотеля можно  назвать (384 - 322 гг. до н. э)"величайшим философом древности". Основные вопросы  философии, логики, психологии, естествознания, техники, политики, этики и эстетики, поставленные в науке Древней  Греции, получили у Аристотеля полное и всестороннее освещение. В математике он, по-видимому, не проводил конкретных исследований, однако важнейшие стороны  математического познания были подвергнуты  им глубокому философскому анализу, послужившему методологической основой  деятельности многих поколений математиков. Хотя вопросы методологии математического  познания не были изложены Аристотелем  в какой-то отдельной работе, но по содержанию в совокупности они образуют полную систему.

В основе философии  математики Аристотеля лежит понимание  математических знаний как отражение  объективного мира. Эта установка  сыграла важную роль в борьбе Аристотеля с Платоновым идеализмом, ведь "если в явлениях чувственного мира не находится  все математическое, то каким образом  возможно, что к ним прилагаются  его свойства?" - писал он. Разумеется, материализм Аристотеля был непоследовательным, в целом его воззрения в  большей степени соответствовали  потребностям математического познания, чем взгляды Платона. В свою очередь  математика была для Аристотеля одним  из источников формирования ряда разделов его философской системы.

Аристотель, скорее исследователь природы, чем умозрительный  философ. Он ценит факты и логику больше, чем любые умозрительные  представления. Наука для Аристотеля - не конструирование гармонии, но отыскание  причин явлений. Из философии Аристотель удаляет всякую примесь поэзии; его  стиль лаконичен, сух и подчинен только мысли. Основной грех пифагорейцев состоит, по Аристотелю, в том, что  они мыслят о природе, не считаясь с фактами, и искусственно приводят факты в соответствии с числами, придумывая для этого фиктивные  сущности. Математика по Аристотелю - это  не знания об идеальных сущностях, существующих независимо от вещей, но знания, отвлеченные  от вещей.

Если подвести итог тем результатам, которые предположительно были получены пифагорейцами в V веке н.э., то они выглядят довольно внушительно: создано учение о четном и нечетном, построена теория делимости и  пропорциональности чисел, закладываются  основы планиметрии, геометрические исследования распространяются на пространственные объекты; поставлена проблема иррациональности; вцелом математические зависимости  рассматриваются как относительно самостоятельный объект исследования, а не как рецепты для выполнения тех или иных прикладных вычислений; математика превращается в теоретическую  науку со своим предметом, специфическими приемами исследования и обоснования. Но при этом следует иметь в  виду, что большинство исторических источников проникнуто "тенденцией приписывать пифагорейцам многие открытия, сделанные просто в их время". Не исключено, что многое из того, что  считается пифагорейским получено их идеальными противниками. Параллельно  с пифагорейцами протекала деятельность и целого ряда других школ: эфейсской, наиболее видный представитель которой  Гераклит (около 530-470 гг. до н. э); математическая деятельность милетской школы; Элейской школы в лице Парменида и Зенона (около 450 гг. до н. э); школа греческих  материалистов-атомистов, возглавлявшаяся  Демокритом (около 460-370 гг. до н. э).

Оценивая математическую деятельность пифагорейцев, следует  иметь ввиду так же то, что наиболее значительные результаты были получены не столько путём последовательного  проведения религиозно-идеалистических  установок их мировоззрения, сколько  преодолением их. Ведь если следовать  за учителем, рассматривать его изучение как источник знаний о числах, тогда  не имело никакого смысла вести самостоятельную  исследовательскую работу; авторитарность и преклонение перед пророчествами  главы секты пересекают поиск  истины при помощи собственного мышления, откровения становятся выше разума.

Таким образом, уже  в исходном пункте своего развития теоретическая математика находится  под активным воздействием острой борьбы двух основных типов мировоззрения - материалистического по своей основе мировоззрения милетской школы  и религиозно-идеалистического мировоззрения  Пифагора и его ближайших последователей. В разных мировоззренческих системах существенно иными оказываются: понимание природы математического  знания, выбор объектов исследований, отношение к прикладным задачам, то есть личные важнейшие стороны  математической деятельности. В пределах пифагорейской школы происходит дальнейшее развитие математики, но внутренние законы математического познания здесь  вступают в противоречия с рядом  методологических установок (необходимость  научного общения - с обетом молчания, объективный поиск истины - с авторитарностью, преклонением перед изречениями  главы секты). Эволюция пифагореизма убеждает в том, что как бы искусно  не увязывались математические знания с религиозно-мистическими воззрениями, они чужды последним; прогресс математики приводит к разрыву с ними. Если же в силу конкретных исторических условий методологические положения  идеалистического характера последовательно  выдерживаются, то математическая деятельность получает одностороннюю ориентацию, что в конечном итоге отрицательно сказывается на его прогресс. Имеет место не только активное и глубокое влияние мировоззрения на развитие математического познания, но и обратное воздействие; о его силе можно судить по тем последствиям, которые оказало открытие иррациональности на всю мировоззренческую систему пифагорейцев.

Однако упадок пифагореизма в греческой философии не привёл к полному исчезновению пифагорейских  тенденций. Не признавая пифагореизма как учения о математических началах  мира, можно признавать его как  определённый метод аргументации. В  этом плане он оказал громадное влияние  на последующее развитие философской  и научной мысли вплоть до XIX века. Пифагореизм в современной науке  сохраняется как антологизация  различного вида числовых совпадений. Подавляющее большинство учёных скептически относится к числовым сопоставлениям, однако именно числовое совпадение помогло Максвеллу открыть  электромагнитную природу света. Как  можно отделить здесь зёрна от плевел и возможно ли сделать это  вообще. Древнее философское учение оказывается, таким образом, тесно  связанным с тонкими проблемами методологии современной науки.