Формирование теории хаоса

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВПО «Камчатский  государственный УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ  ВИТУСА БЕРИНГА»

Становление теории динамического  хаоса

 (реферат для сдачи экзамена кандидатского минимума

по истории и философии науки)

Петропавловск-Камчатский 2012

Содержание

Введение

Данная работа рассматривает историческое развитие науки изучающей динамику поведения сложных нелинейных систем. В данной работе были рассмотрены  исторические причины необходимости  нелинейного подхода, показаны основные пути которые вели пионеров этой науки к фундаментальным открытиям в данной области.

Основная часть работы разбита  на 4 раздела. Каждый из них посвящен фундаментальному понятию теории динамического  хаоса, описаны исторические предпосылки  натолкнувшие исследователей на эти  понятия, кратко описаны исследования, которые привели ученых к полученным результатам. В конце каждого раздела даётся краткая характеристика этих понятий, и список работ с которыми следует ознакомиться для получения более полных знаний по ним.

Данный подход к развитию данной темы был выбран мной по ряду причин. Во-первых, данная дисциплина достаточно молодая, ей чуть более 50 лет, и проблемы, которые привели к её созданию, не потеряли своей актуальности и сейчас, и ознакомиться с выводами сделанными пионерами данной науки будет крайне интересно, особенно с учетом того, что сейчас технологии развиты намного сильнее чем 50 лет назад, и повторить все опыты ученых в домашних условиях не представляет труда. Во-вторых,  несмотря на то что основные понятия теории хаоса достаточно просты для понимания, математический аппарат используемый для решения систем нелинейных дифференциальных уравнений крайне сложен, поэтому было принято решения рассмотреть только лишь зарождение фундаментальных понятий теории хаоса, не вдаваясь в конкретные исследования.

1. Общие проблемы теории динамического хаоса

Понятие «хаос» дало название стремительно развивающейся дисциплине, которая перевернула всю современную науку. Хаос дал толчок к развитию новых компьютерных технологий, специальной графической технике, способной воспроизводить структуры невероятной сложности, порождаемые теми или иными видами беспорядка. Новая наука познакомила мир с такими понятиями как: фрактал, бифуркация, прерывистость, периодичность, аттрактор, сечение фазового пространства. Все они являются элементами движения, подобно элементарным частицами материи в традиционной физике. Теория хаоса это наука о движении, о переходных процессах. [1]

Как утверждают современные теории, динамический хаос присутствует везде. Он обнаруживает себя как в погодных явлениях, так и в траектории движения летательного аппарата, в поведении автомобилей в дорожной пробке, и в движении жидкостей по трубопроводам. Независимо от особенностей конкретной системы, ее поведение подчиняется одним и тем же закономерностям.

Теория хаоса родилась на стыке областей знания. Поскольку это наука о глобальной природе систем, она объединила в себе ученых работающих в совершенно различных сферах.  Хаос поднимает вопросы, которые практически не решаются традиционными методами, однако позволяют сделать общие заключения о поведении сложных систем. Все первые теоретики хаоса имели нечто общее: они выявляли определенные закономерности, которые проявляются в разном масштабе в одно и то же время. Они выработали особое чутье, которое позволило им оценивать случайность и сложность, предвидеть внезапные скачки мысли. Они чувствовали, что поворачивают вспять развитие науки, следовавшей по пути редукционизма – анализа систем как совокупностей составляющих их элементарных объектов: кварков, хромосом, нейронов. Они верят, что ищут пути к анализу систем как целого.

В 1980-м году космолог Стивен Хокинг, декан физического факультета Кембриджского  университета, в обзорной лекции, посвященной  развитию теоретической физики и  названной «Не наступает ли конец физической теории?»: «Мы уже знаем физические законы, описывающие абсолютно все, с чем приходится сталкиваться в обычной жизни… И можно считать своеобразным комплиментом успехам теоретической физики тот факт, что нам приходится создавать сложнейшие приборы и тратить огромные деньги и усилия для того, чтобы поставить эксперимент, результаты которого мы не можем предсказать». [1]

 Тем не менее Хокинг признал, что несмотря на успехи физики в понимании законов природы в терминах физики элементарных частиц, современные законы всё ещё невозможно применять к любым системам отличным от самых простейших. Ситуации, когда две частицы, разогнанные ускорителем сталкиваются в пузырьковой камере, и когда те же частицы сталкиваются не в лабораторных условиях принципиально разные.

Физику Хокингу, направленную на поиск  единой Теории Всего Сущего, часто называют революционной. Физики проследили развитие энергии и материи во Вселенной всюду и везде, лишь кроме момента ее зарождения. Но была ли она столь революционной, или же просто продолжала идеи Эйнштейна, Бора и других создателей квантовой механики и теории относительности? Достижения физики действительно изменили реальность 20-ого века. И, тем не менее, круг вопросов, которыми занималась физика частиц, стал существенно более узким. Не одно поколение физиков сменилось, прежде чем появилась идея, изменившая взгляд на мир рядового обычного человека. [1]

Физика Хокинга не могла ответить на некоторые фундаментальные вопросы природы: как зародилась жизнь, что такое турбулентность, как во Вселенной, подчиняющейся закону повышения энтропии и неумолимо движущейся ко все большему и большему беспорядку, может существовать порядок? Кроме того, многие объекты повседневной жизни, например, жидкости и системы, подчиняющиеся законам классической механики, являются уже слишком хорошо изученными, чтобы физики ожидали от них каких-либо сюрпризов.

 Вместе с развитием эволюции хаоса, виднейшие ученые всё чаще возвращаются к явлениям «человеческого масштаба». Они рассматривают не галактики, а облака. Компьютерные расчеты, приносящие прибыль, выполняются на «макинтошах». Ведущие научные журналы рядом со статьями по квантовой физике размещают исследования, посвященные движению мяча прыгающего по столу. Многие простейшие системы подчинены исключительно сложным и непредсказуемым хаотическим законам. И все же в подобных системах иногда самопроизвольно возникает некоторая упорядоченность, то есть в них сосуществуют порядок и хаос. Для преодоления разрыва между знаниями о том, как действует единичный объект – одна молекула воды, одна клеточка сердечной ткани, один нейрон – и как ведет себя миллион таких объектов, нужна новая научная дисциплина и ей стала теория динамического хаоса.[1]

2. «Эффект бабочки»

Первым исследования в области  нелинейной динамики начал французский математик Анри Пуанкаре. В 1903 году он сказал: «Если бы мы точно знали законы природы и положение Вселенной в начальный момент, мы могли бы точно предсказать положение той же Вселенной в последующий момент. Но даже если бы законы природы открыли нам все свои тайны, мы и тогда могли бы знать начальное положение только приближенно. Если бы это позволило нам предсказать последующее положение с тем же приближением, это было бы все, что нам требуется, и мы могли бы сказать, что явление было предсказано, что оно управляется законами. Но это не всегда так; может случиться, что малые различия в начальных условиях вызовут очень большие различия в конечном явлении. Малая ошибка в первых породит огромную ошибку в последнем. Предсказание становится невозможным, и мы имеем дело с явлением, которое развивается по воле случая». [16]

В этих словах Пуанкаре можно увидеть постулат теории хаоса о зависимости от начальных условий. Подлинное развитие этих исследований было проведено только половине 20-ого века вместе с работами Эдварда Лоренца.

Закончив в 1938-м году колледж в Дартмуте, Эдвард Лоренц решил посвятить себя математике. Однако в связи с началом Второй Мировой войны этим планам не суждено было сбыться. Лоренц стал метеорологом ВВС США. По окончанию войны он продолжил заниматься метеорологией, изучив ее теоретические основы, а кроме того расширив и углубив свои математические познания. Ему принесла известность среди метеорологов работа, посвященная общему круговороту атмосферы. Одной из сфер интересов Лоренца было прогнозирование атмосферных событий.[4]

В среде серьезных и опытных  метеорологов прогнозы погоды не считались  наукой, скорее заурядным ремеслом для набивших руки и не лишенных интуиции людей. В крупных научных центрах, вроде Массачусетского технологического института, метеорологи более склонны были решать проблемы, имеющим строгое решение. Лоренц, как и любой другой специалист, вполне сознавал прагматическое значение прогнозов, составляемых в помощь военной авиации, но долгое время прятал свой теоретический интерес к прогнозированию как математик.

В 60-е годы большинство уважающих себя ученых с недоверием относилось к компьютерному моделированию. Вот уже два столетия наука об атмосфере ждала появления вычислительных мощностей, способных снова и снова производить тысячи вычислений. Лишь таким путем можно было доказать, что мир идет по пути детерминизма, что погода подчиняется законам, столь же строгим, что и принципы движения планет, наступления солнечных и лунных затмений, морских приливов и отливов. Теоретически компьютер позволял метеорологам выполнить то, что астрономы проделывали с помощью карандаша и логарифмической линейки: рассчитать будущее Вселенной исходя из ее начального состояния и известных физических закономерностей. Уравнения, описывающие циркуляцию воздуха и воды, были также хорошо известны, как и те, которым подчинялся ход планет.[1]

Будучи исследователем-метеорологом, Лоренц на основании 12 основных уравнений, описывающих связь между температурой и атмосферным давлением, а также между давлением и скоростью ветра, создал компьютерную модель погоды. Исследуя её, он обнаружил некоторые интересные для метеоролога закономерности. Ученый выяснил, что, когда кривая плавно идет вниз, не образуя явно выраженного максимума, на графике вскоре обозначатся две резких выпуклости. Лоренц утверждал, что эта закономерность вполне может быть применена в метеорологии. Однако в рамках общей модели всякий раз обнаруживались отклонения – своего рода упорядоченный беспорядок.

Для наглядности своих исследований, Лоренц использовал несложную символьную графику. Ученый рисовал динамику изменения хода одной переменной, к примеру, направления воздушного потока, и отслеживал, как она изменяется со временем, согласно используемым  им законам. В этих линиях снова и снова проявлялись узнаваемые циклы, но каждый раз в несколько ином обличье.

Переломный момент в исследованиях  произошёл зимой 1961-го года, когда намериваясь изучить определенную последовательность событий, он приступил к построению не с начальной точки, а с середины, таким образом, несколько сократив исследование. В качестве исходных данных он использовал данные из предыдущей распечатки. Когда он получил результат, то увидел нечто неожиданное, то что в последствии дало начало новой науке. Новый отрезок согласно детерминистским законам должен был полностью повторить предыдущий, поскольку использовались старые данные, и программа оставалась неизменной. Тем не менее, график существенно расходился с ранее полученным.

Разгадка таилась в том, что компьютер, который использовал Лоренц мог хранить данные с точностью до 6-ого знака после запятой. На распечатку же выносились только данные с точностью до 3-его знака. Можно было допустить, что при незначительном отличии начальной точки от введенной ранее модель будет чуть-чуть расходиться с предыдущим вариантом. Однако, в системе Лоренца малые погрешности оказались катастрофическими.  Данные погрешности в своих масштабах, были сравнимы с ветром поднимавшимся от крыла бабочки и ураганом, так этот феномен и получил своё название – «эффект бабочки». Если сформулировать его формально, то он гласит что в нелинейных системах самые малые отклонения от начальных условий, подобные округлениям компьютеров, или погрешностям в датчиках. Это ставит крест на попытках точных долгосрочных прогнозов погоды, поскольку ни один параметр невозможно измерить абсолютно точно.[3]

3. Аттрактор

Лоренц, отложив на время занятия  погодой, стал искать более простые  способы воспроизведения сложного поведения объектов. Один из них  был найден в виде системы из трех нелинейных, то есть выражающих не прямую пропорциональную зависимость, уравнений. Линейные соотношения изображаются прямой линией в фазовой плоскости, и они достаточно просты. Линейные уравнения всегда разрешимы, что делает их подходящими для учебников. Линейные системы обладают неоспоримым достоинством: можно рассматривать отдельные уравнения как порознь, так и вместе.

Нелинейные системы в общем  виде не могут быть решены. Рассматривая жидкостные и механические системы, специалисты обычно стараются исключить нелинейные элементы. Если пренебречь, например, трением можно получить простую линейную зависимость между ускорением шайбы и силой, придающей ей это ускорение. Приняв же его в расчет, мы усложним формулу, поскольку сила будем меняться в зависимости от скорости движения шайбы. Из-за этой сложной изменчивости рассчитать нелинейность весьма непросто. Вместе с тем, все реально существующие системы нелинейны.

Лоренц использовал упрощенный нелинейные уравнения, описывающие кругообразное перемещение нагретой жидкости при конвенции. Подобными уравнениями описывается, например динамо машина, в которой ток течет через диск, вращающийся в магнитном поле. Другой системой, вполне точно описываемой данными уравнениями, является водяное колесо определенного типа, механический аналог вращающихся конвенционных кругов. Вода постоянно льется с вершины колеса в емкости, закрепленные на его ободе, а из каждой емкости она вытекает через небольшое отверстие. В том случае, когда поток воды мал, верхние емкости заполняются недостаточно быстро для преодоления трения. Если же скорость водяной струи велика, колесо начинает поворачиваться под воздействием веса жидкости и вращение становится непрерывным. Однако, коль скоро струя сильна, черпаки, полные воды, некоторое время колеблются внизу, а затем начинают стремиться в другую сторону, таким образом, замедляя движение, а затем останавливая колесо; и в дальнейшем оно меняет направление движения на противоположное, поворачиваясь сначала по часовой стрелке, а потом – против нее. [3]

Лоренц считал, что за длительный период времени при неизменном потоке воды система обретет устойчивое состояние. Колесо будет либо равномерно вращаться, либо постоянно колебаться в двух противоположных направлениях. Но Лоренц обнаружил еще одно обстоятельство.

Три уравнения с тремя переменными  полностью описывали движение данной системы. Чтобы наглядно изобразить полученные результаты, Лоренц использовал каждый набор из трех чисел в качестве координаты точки в трехмерном пространстве. Таким образом, последовательность чисел воспроизводила последовательность точек, линия, фиксировавшая поведение системы. Эта линия должна была по предположению Лоренца, начиная с определенной точки, расположиться параллельно осям координат, это означало бы достижение системой устойчивости при стабилизации скорости и температуры. Кроме того был возможен второй вариант – формирование петли, повторяющейся вновь и вновь, который бы говорил о переходе системы в периодически повторяющееся состояние.

На практике не обнаружилось ни того, ни другого. Вместо ожидаемого эффекта появилось нечто бесконечно запутанное, всегда расположенное в определенных границах, но никогда и не повторяющееся. Изгибы линии приобретали странные, весьма характерные очертания, что-то похожее на два крыла бабочки или на двойную спираль в трехмерном пространстве. И эта форма свидетельствовала о полной неупорядоченности, поскольку ни одна из точек или их комбинаций не повторялась. Данная кривая получила название «аттрактор Лоренца». Она воплощает в себе сложность и запутанность, все многообразие хаоса, и является первым найденным странным аттрактором.[3]

Понимание понятия аттрактора неотделимо от понимания понятия фазового пространства. Итак, фазовое пространство – это некоторое абстрактное пространство, координатами которого являются степени свободы системы. К примеру, у маятника две степени свободы. Его движение полностью определено начальной скоростью и положением. Если движению маятника не оказывается сопротивления, то фазовым пространством будет замкнутая кривая.[7]

В реальности на Земле на движение маятника влияет сила трения. В этом случае фазовым пространством будет спираль. Однако если в систему ввести внешний, фактор, как если бы маятник раскачивали внешние толчки, как детские качели, всего крошечная доля нелинейности  и кривая теряет всю свою простоту. Уравнения, передающие движение качелей, устанавливают связь между углом колебаний маятника, скоростью, преодолеваемым трением и движущей силой. Однако любой исследующий данную систему обнаруживает, что он не в состоянии ответить на простейшие вопросы о будущих состояниях системы в силу того, что в уравнениях присутствует крошечная доля нелинейности. С помощью компьютера можно смоделировать эти состояния, бегло просчитав каждый цикл. Однако моделирование имеет свои минусы, порожденные «эффектом бабочки»: малые отклонения делают его практически бесполезным, поскольку системе свойственна «сильная зависимость от начальных условий». [5]

Тем не менее, вместе с непредсказуемостью, Лоренц открыл некоторую регулярность. Другим исследователям также удавалось обнаружить намек на структурирование в беспорядочном, на первый взгляд, поведении изучаемых систем. Тем, кто не отмахнулся от исследования маятника как объекта, чересчур простого для изысканий, удалось разглядеть весьма интригующие детали. Ученые осознали, что, хотя основное в механизме колебаний маятника уже постигнуто физикой, это знание невозможно применить для прогнозирования долговременного поведения системы. Мелкие детали были уже ясны, а поведение маятника в крупных временных масштабах все еще представлялось загадкой. Рушился традиционный, локальный подход к исследованию систем, подразумевающий рассмотрение каждого их элемента в отдельности, а затем соединение последних. В отношении маятников и жидкостей, электронных схем и лазеров метод познания, основанный на составлении уравнений, уже не оправдывал себя. Он не отвечал требованиям времени.

Итак, аттрактор - это то, к чему стремится прийти система, к чему она притягивается. Самым простым типом аттрактора является точка. Такой аттрактор характерен для маятника при наличии трения. Независимо от начальной скорости и положения, такой маятник всегда придет в состояние покоя, т.е. в точку. Следующим типом аттрактора является предельный цикл, который имеет вид замкнутой кривой линии. Примером такого аттрактора является маятник, на который не влияет сила трения. Еще одним примером предельного цикла является биение сердца. Частота биения может снижаться и возрастать, однако она всегда стремится к своему аттрактору, своей замкнутой кривой. Третий тип аттрактора – тор. Однако для реально существующих нелинейных объектов характерен особый вид аттракторов, получивших название «странных».

Несмотря на сложность поведения  хаотических аттракторов, иногда называемых странными аттракторами, знание фазового пространства позволяет представить поведение системы в геометрической форме и соответственно предсказывать его. И хотя нахождение системы в конкретный момент времени в конкретной точке фазового пространства практически невозможно, область нахождения объекта и его стремление к аттрактору предсказуемы.

Даже микроскопическое отклонение двух систем в самом начале в процессе эволюции приводило к экспоненциальному  накоплению ошибок и соответственно их расхождению. Вместе с тем, любой аттрактор имеет граничные размеры, поэтому экспоненциальная расходимость двух траекторий разных систем не может продолжаться бесконечно. [5]

Рано или поздно орбиты вновь  сойдутся и пройдут рядом друг с другом или даже совпадут, хотя последнее очень маловероятно. Кстати, совпадение траекторий является правилом поведения простых предсказуемых аттракторов. Сходимость-расходимость (говорят также, складывание и вытягивание соответственно) хаотического аттрактора систематически устраняет начальную информацию и заменяет ее новой.

При схождении  траектории сближаются и начинает проявляться  эффект близорукости - возрастает неопределенность крупномасштабной информации. При расхождении  траекторий наоборот, они расходятся и проявляется эффект дальнозоркости, когда возрастает неопределенность мелкомасштабной информации.

В результате постоянной сходимости-расходимости хаотичного аттрактора неопределенность стремительно нарастает, что с каждым моментом времени лишает нас возможности  делать точные прогнозы. То, чем так гордится наука - способностью устанавливать связи между причинами и следствиями - в хаотических системах невозможно.

Причинно-следственной связи между прошлым и будущем  в хаосе нет. Здесь же необходимо отметить, что скорость схождения-расхождения является мерой хаоса, т.е. численным выражением того, насколько система хаотична. Другой статистической мерой хаоса служит размерность аттрактора.

Таким образом, можно отметить, что основным свойством  хаотических аттракторов является Сходимость-расходимость траекторий разных систем, которые случайным образом постепенно и бесконечно перемешиваются. Здесь проявляется пересечение фрактальной геометрии и теории хаоса. И, хотя одним из инструментов теории хаоса является фрактальная геометрия, фрактал - это противоположность хаоса.

Главное различие между хаосом и фракталом заключается  в том, что первый является динамическим явлением, а фрактал статическим. Под динамическим свойством хаоса  понимается непостоянное и непериодическое  изменение траекторий.

4. Фрактал

Появление фракталов в математической литературе более 100 лет назад, было встречено  с прискорбной неприязнью, как  это бывало и в истории развития других математических идей. Общее  мнение признало их патологией, имеющей  интерес только для исследователей, злоупотребляющих математическими причудами, но не для реальных ученых.

Однако многие природные системы  настолько сложны и нерегулярны, что использование только знакомых объектов классической геометрии для  их моделирования представляется безнадежным. Как, к примеру, построить модель горного хребта или кроны дерева в терминах геометрии? Как описать то многообразие биологических конфигураций, которое мы наблюдаем в мире растений и животных? Представьте себе всю сложность системы кровообращения, состоящей из множества капилляров и сосудов и доставляющей кровь к каждой клеточке человеческого тела. Представьте, как хитроумно устроены легкие и почки, напоминающие по структуре деревья с ветвистой кроной.[10]

Первым к этому понятию подступился  сотрудник исследовательского отдела корпорации Ай-Би-Эм, Бенуа Мандельброт. В числе прочего Мандельброт занимался экономикой – изучал распределение крупных и малых доходов в финансовой сфере. Хаутхаккер, профессор экономики в Гарварде, пригласил его на беседу. Прибыв в Латтауэровский центр, величественное знание факультета экономики, молодой математик обнаружил плоды своих изысканий на грифельной доске. Диаграмма не имела ничего общего с распределением доходов – она отражала изменение цен на хлопок за последние восемь лет.

Экономисты всегда считали, что  цены на хлопок варьируются как предсказуемым, так и совершенно случайным образом. Долгое время уровень их определялся  реальными событиями в экономике: подъемами и спадами в легкой промышленности Новой Англии, освоением  новых зарубежных рынков. Краткосрочные колебания носили в той или иной степени случайный характер. Данные Хаутхаккера противоречили его ожиданиям: наблюдалось слишком много больших скачков. Конечно, в большинстве своем ценовые изменения были незначительными, однако соотношение между большими и малыми скачками оказалось не столь высоким, как ожидал профессор. Вероятность подобных событий падала не слишком быстро, и функция, описывающая ее, имела длинный «хвост».

Стандартной моделью указанных  вариаций всегда являлась колоколообразная кривая: вблизи ее максимума значения измеряемой величины стремятся к некоторому среднему, а слева и справа от вершины плавно спадают. Эта кривая, называемая функцией Гаусса или функцией нормального распределения отклонений, в среде статистиков столь же ходовой инструмент, как стетоскоп – у врачей. Она проясняет природу случайности. Дело в том, что при изменении параметров любых объектов, изучаемых науками о природе и обществе, измеряемые значения с большой вероятностью стремятся к некоторой средней величине, удаление от которой происходит медленно и плавно. Как говорилось выше, функция Гаусса – весьма полезный инструмент, но даже она не всегда помогает проложить дорогу в дебрях экономики. Как выразился лауреат Нобелевской премии Василий Леонтьев, «ни в одной из эмпирических сфер исследования столь эффективный статистический аппарат не использовался со столь неопределенными результатами».

Построенный Хаутхаккером график никак  не желал принимать форму функции  нормального распределения. Вместо этого кривая ценовых изменений приобретала очертания, которые Мандельброт начал распознавать в графиках удивительно далеких, несопоставимых друг с другом явлений. В отличие от других математиков, при столкновении с требующими ответа вопросами он прислушивался к свой интуиции, доверял своему нюху на модели и формы. Не полагаясь на анализ, он верил образам, что зрели в сознании. В нем крепло убеждение, что течение случайных, стохастических процессов подчиняется особым законам. Вернувшись в огромный исследовательский центр корпорации IBM, Мандельброт внес информацию Хаутхаккера о ценах на хлопок в компьютерную базу данных, а позже обратился в Министерство сельского хозяйства с просьбой выслать дополнительные сведения, восходящие к 1900-му году.

Так получилось, что в картине мира по Мандельброту не нашлось места дихотомии. Вместо того чтобы отделить небольшие изменения от ощутимых, воображение свело их воедино. Ученый не отдавал предпочтения ни мелкому, ни крупному масштабу, ни дням, ни десятилетиям – его интересовала целостная картина. Он весьма отдаленно представлял, как передать на бумаге то, что рисовалось ему в мыслях, однако верил, что во всем происходящем должна присутствовать некоторая симметрия – даже не правого и левого, верхнего и нижнего, а скорее симметрия крупных и мелких масштабов.

И действительно, когда Мандельброт  на компьютере проанализировал информацию об изменении цен на хлопок, ожидаемые  им потрясающие результаты не заставили  себя ждать. Точки, которые не желали ложиться а кривую нормального распределения, обнаруживали странную симметрию, иначе говоря, каждый отдельно взятый скачок цены был случайным и непредсказуемым, однако последовательность таких изменений не зависела от масштаба. Кривые, изображавшие дневные скачки, и те, что воспроизводили месячную динамику, прекрасно соответствовали друг другу.

Мандельброт сохранил решимость изучать феномен масштабирования. После работы на Ай-Ви-Эм Мандельброт пробовал себя во множестве областей, но нигде не задерживался. Его всегда считали аутсайдером. Он выбрал для своих изысканий забытый всеми раздел математики и ошарашил коллег экстравагантностью подхода. Он вторгался в те сферы, где его редко привечали. Он скрывал самые грандиозные свои идеи, лишь бы добиться публикации статей. Он сохранял за собой мсто только благодаря снисходительности работодателей. Он совершал набеги на пограничные дисциплины и быстро ретировался, оставляя после себя обманчивые надежды и почти никогда – законченные работы.

В теории хаоса Мандельброт проложил себе особый путь, ибо несмотря ни на что формировавшийся в его мозгу образ реальности превратился в начале 60-х годов из причудливой картинки в полноценное геометрическое построение. Для физиков, развивавших идеи ученых вроде Лоренца, математик был досадной помехой, но предложенные им методы и язык исследований составили неотъемлемую часть зарождавшейся науки.[1]

Мандельброт в числе прочего  изучал такие явления как шум  в сигналах связи, а так же уровень  реки Нил в Египетской истории. Он обнаружил что в природных  явлениях имеют место два казалось феномена.  Скачок – когда количественная величина может изменяться сколь угодно быстро, и непрерывность, когда в данных наблюдается некоторая периодичность.

Два явления – скачок и непрерывность  – стремятся к противоположным  результатам, но сводятся к одному: тенденции в природе вполне реальны, однако способны затухать так же быстро, как и проявляться.

Отсутствие последовательности, внезапные  «вспышки» помех, множества Кантора  – подобным явлениям не нашлось  места в геометрии двух прошедших тысячелетий. Формами классической геометрии считаются прямые и плоскости, окружности и сферы, треугольники и конусы. Они воплощают могущественную абстракцию действительности, они вызвали к жизни непревзойденную философию гармонии Платона. Евклид построил на их основе геометрию, известную уже две тысячи лет, и по сей день большинство людей знакомо только с ней.