Функциональные математические модели

    Вариант№6.

    1. Функциональные математические модели. Область применения.

    Математическая  модель - это совокупность математических объектов и соотношений между ними, адекватно отображающая свойства и поведение исследуемого объекта.

    Математическое  моделирование - метод качественного и (или) количественного описания процесса  с помощью, так называемой математической модели, при построении которой реальный процесс  или явление описывается с помощью того или иного адекватного математического аппарата. Математическое моделирование является неотъемлемой частью современного исследования.

   Функциональные  математические модели предназначены для отображения информационных, физических, временных процессов, протекающих в работающем оборудовании, в ходе выполнения технологических процессов и т.д.

   Функциональные  модели описывают процессы функционирования технических объектов и имеют форму систем уравнений. Они учитывают структурные и функциональные свойства объекта и позволяют решать задачи как параметрического, так и структурного синтеза. Их широко используют на всех уровнях  проектирования. На метауровне функциональные задачи позволяют решать задачи прогнозирования, на макроуровне - выбора структуры и оптимизации внутренних параметров технического объекта, на микроуровне - оптимизации параметров базовых элементов. По способам получения функциональные математические модели делятся на теоретические и экспериментальные.

Теоретические модели получают на основе описания физических процессов функционирования объекта, а экспериментальные - на основе поведения объекта во внешней среде, рассматривая его как “черный ящик”. Эксперименты при этом могут быть физические (на техническом объекте или его физической модели) или вычислительные (на теоретической математической модели). При построении теоретических моделей используется физический и формальный подходы.

   Физический  подход сводится к непосредственному  применению физических законов для описания объектов, например, законов Ньютона, Гука, Кирхгофа и т.д.

   Формальный  подход использует общие математические принципы и применяется при построении как теоретических, так и экспериментальных моделей. Экспериментальные модели - формальные. Они не учитывают всего комплекса физических свойств элементов исследуемой технической системы, а лишь устанавливают обнаруживаемую в процессе эксперимента связь между отдельными параметрами системы, которые удается варьировать и (или) осуществлять их измерение. Такие модели дают адекватное описание исследуемых процессов лишь в ограниченной области  пространства параметров, в которой осуществлялось варьирование параметров в эксперименте. Поэтому экспериментальные математические модели носят частный характер, в то время как физические законы отражают общие закономерности явлений и процессов, протекающих как во всей технической системе, так и в каждом ее элементе в отдельности. Следовательно, экспериментальные математические модели не могут быть приняты в качестве физических законов. Вместе с тем методы, применяемые для построения этих моделей широко используются при проверке научных гипотез.

   Функциональные  математические модели могут быть линейные и нелинейные. Линейные модели содержат только линейные функции величин, характеризующих состояние объекта при его функционировании, и их производных. Характеристики многих элементов реальных объектов нелинейные. Математические модели таких объектов включают нелинейные функции этих величин и их производных и относятся к нелинейным.

   Если  при моделировании учитываются  инерционные свойства объекта и (или) изменение во времени объекта или внешней Среды, то модель называют динамической. В противном случае модель - статическая. Математическое представление динамической модели в общем случае может быть выражено системой дифференциальных уравнений, а статической - системой алгебраических уравнений.

   Если  воздействие внешней Среды на объект носит случайный характер и описывается случайными функциями. В этом случае требуется построение вероятностной математической модели. Однако такая модель весьма сложная и ее использование при проектировании технических объектов требует больших затрат машинного времени. Поэтому ее применяют на заключительном этапе проектирования.

   Большинство проектных процедур выполняется  на детерминированных моделях. Детерминированная  математическая модель характеризуется взаимно однозначным соответствием между внешним воздействием на динамическую систему и ее реакцией на это воздействие. В вычислительном эксперименте при проектировании обычно задают некоторые стандартные типовые воздействия на объект: ступенчатые, импульсные, гармонические, кусочно-линейные, экспоненциальные и др. Их называют тестовыми воздействиями.

     2. Математическая модель изделия и производственной системы.

    Математические  модели производства изделия в общем случае включают:

    - формализованное описание изделия – математическую модель изделия;

    - формализованное описание производственной  системы – математическую модель  производственной системы;

    Математические  модели изделия отражают математическое (формализованное) описание структуры  и конструкторско-технологических свойств и параметров изделия.

    Математические  модели производственной системы отражают математическое описание производства, цехов, участков, поточных линий, рабочих  мест, технологических процессов  и средств технологического оснащения. В них дается формализованное описание состава и взаимосвязей элементов производственной системы, а также состава и последовательности элементов технологических процессов, выполняемых в моделируемой производственной системе.

    Отображение в математической модели конструктивно-технологических свойств изделия или свойств производственной системы называют контуром, а элементов производственного процесса – оператором. Используя эти термины, можно дать следующее пояснение термина математическая модель производственной системы. Это такое формализованное описание производственной системы, которое состоит из матрицы состава контуров операторов, графов взаимосвязи контуров операторов, наборов описаний логических связей  между контурами и операторами, и наборов описаний количественных соотношений между элементами контуров.

    Основной  состав типовых математических моделей, применяемый при автоматизированном проектировании технологических процессов:

    математическая  модель изделия;

    математическая  модель технологического процесса;

    математическая  модель средств технологического оснащения;

    математическая  модель производственной системы;

    математическая  модель расчета технико-экономических  показателей технологического процесса.

    Математическая  модель технологического процесса представляет собой формализованное описание структуры и организации технологического процесса, его элементов и технико-экономических показателей.

    Математическая  модель средств технологического оснащения – это формализованное описание состава средств технологического оснащения, их конструктивно-технологических свойств и параметров, характеризующих возможность применения для изготовления изделия.

    Математическая  модель производственной системы – формализованное описание производственной системы, состоящее из матрицы состава контуров операторов, графов взаимосвязи контуров операторов, графов взаимосвязи операторов, наборов описании логических связей между контурами и операторами, и наборов описании количественных отношении между значениями контуров.

    Математические  модели изделия и производственной системы в зависимости от связей между элементами моделируемого объекта подразделяют на упорядочивающие и сочетательные. Первые, в свою очередь, могут быть табличными, сетевыми или перестановочными.

    Сочетательная модель производственной системы - математическая модель производственной системы с матрицей состава контуров, строки которой не упорядочены, логические связи между контурами и операторами регламентированы Граф взаимосвязи операторов сочетательной модели представляет собой безреберный граф. На рис.1 приведен пример сочетательной модели средств технологического оснащения.

    Табличная модель производственной системы –  математическая модель производственной системы с матрицей состава контуров операторов, строки которой полностью  упорядочены. Логические связи между контурами и операторами табличной модели регламентированы. Граф взаимосвязи операторов табличной модели при проектировании не используют (рис.2).

     Математическая модель изделия

     - состав свойств изделия

    Математическая  модель средств технологического оснащения 

     - состав средств технологического оснащения

    Варианты  средств технологического оснащения, применяемые для реализации свойств  изделия

    Обозначение: ● – элемент Π участвует  в реализации свойства F_j

    Рис.1 Сочетательные математические модели средств технологического оснащения. 

    Математическая  модель изделия

     - состав свойств изделия

    Математическая  модель технологического процесса

- состав и последовательность технологических операторов 

     - технологический процесс реализации  свойства изделия (А) 

    Рис.2 Табличные математические модели технологических процессов.

     Сетевая модель производственной системы – математическая модель производственной системы с матрицей состава контуров операторов, строки которой частично упорядочены, логические связи между контурами и операторами регламентированы. Граф взаимосвязи операторов сетевой модели представляет собой ориентированный граф без циклов (рис.3)

    Перестановочная модель производственной системы –  математическая модель производственной системы с матрицей состава контуров операторов, строки которой не упорядочены, логические связи между контурами  и операторами регламентированы. Граф взаимосвязи операторов перестановочной модели представляет собой ориентированный граф с циклами. Вместо графов взаимосвязи операторов в перестановочную модель может входить описание условий, определяющих взаимосвязь операторов. Аналогично определяется перестановочная модель технологического процесса, пример которого приведен на рис.4.

     Математическая модель изделия

     - состав свойств изделия

    Математическая  модель производственной системы

- состав технологических операторов и средств технологического оснащения.

     - взаимосвязь операторов и  средств оснащения.

    Варианты  технологического процесса, реализующие свойства изделия

    Рис.3 Сетевые математические модели производственной системы.

    Математическая  модель изделия

     - состав свойств изделия

    Математическая  модель технологического процесса

где - состав элементов технологического процесса

              -.условие упорядочения, В(Т_i) – условие предшествования,

                        W(Т_i) – условие следования.

    Варианты  технологических процессов

    Рис.4 Перестановочные математические модели технологического процесса.

    Список  используемой литературы:

    1. Королев А.В., Болкунов В.В. Моделирование  в технологии машиностроения/Учебное пособие Саратов: СГТУ, 1990. 64с.

    2. Королев А.В., Болкунов В.В. Оптимизация технологических процессов механической обработки деталей машин/ Учебное пособие Саратов: СГТУ, 1990. 80с.

    3. Зарубин В.С. Математическое моделирование  в технике/ Учебное издание  Москва: МГТУ, 2003. 495с.

    4. Веткасов Н.И., Богданов В.В. Математическое моделирование производственных и технологических процессов./Методические указания. Ульяновск: УлПИ, 1994. 56с.