Функция Лагранжа

ЛАГРАНЖА ФУНКЦИЯ

Перевод

ЛАГРАНЖА ФУНКЦИЯ

функция, используемая при  решении задач на условный экстремум  функций многих переменных и функционалов. С помощью Л. ф. записываются необходимые  условия оптимальности в задачах  на условный экстремум. При этом не требуется выражать одни переменные через другие или учитывать, что  не все переменные являются независимыми. Получаемые с помощью Л. ф. необходимые  условия представляют замкнутую  систему соотношений, среди решений  к-рой содержится искомое оптимальное  решение задачи на условный экстремум. Л. ф. используется как при рассмотрении теоретич. вопросов линейного и нелинейного  программирования, так и при построении нек-рых вычислительных методов. Пусть, напр., поставлена задача на условный экстремум  функции многих переменных: найти  максимум или минимум функции 

при условиях 

Функция F(x,l), определенная выражением 

наз. функцией Лагранжа, а  числа   - Лагранжа множителями. Имеет место следующее утверждение, называемое правилом множителей: если   - решение задачи на условный экстремум (1), (2), то существует хотя бы одна ненулевая система множителей Лагранжа   такая, что точка   является точкой стационарности Л. ф. по переменным   рассматриваемым как независимые переменные. Необходимые условия стационарности Л. ф. приводят к системе т+пуравнений 

Соотношения (5) полученной системы  представляют условия связи (2). Точка   доставляет обычный (безусловный) экстремум Л. ф.   по х.

Для большинства практич. задач значение   в (3), (4) можно принять равным единице. Однако имеются примеры (см. [1]), в к-рых правило множителей при   не выполняется, а выполняется при   Для определения условий, позволяющих отличить случаи   рассматриваются (см. [2]) матрицы G и G_f.

Пусть r(G) - ранг матрицы G, рассматриваемой в оптимальной точке х*. Тогда если   если же  то для выполнения правила множителей необходимо положить   Кроме того, если   (наиболее распространенный случай в практич. задачах), то   определены однозначно, а если   определяются не единственным образом. В зависимости от рассмотренных случаев   полагается равным 0 или 1. Тогда система (4), (5) превращается в систему m+n уравнений с m+n неизвестными   Множителям Лагранжа   можно дать интерпретацию, имеющую определенный физич. смысл (см. Лагранжа множители).

В случае, когда оптимизируемая функция f(x).является квадратичной а  условия связи (2) линейны, система  необходимых условий (4), (5) оказывается  линейной, и ее решение не вызывает затруднений. В общем случае система  необходимых условий (4), (5) в задаче на условный экстремум, получаемая с  помощью Л. ф., оказывается нелинейной, и ее решение возможно лишь с применением  итерационных методов, напр. Ньютона метода. Основной трудностью при этом, помимо вычислительных трудностей решения системы нелинейных уравнений, оказывается проблема получения всех решений, удовлетворяющих необходимым условиям. Не существует вычислительного процесса, обеспечивающего получение всех решений системы (4), (5), и это является одним из обстоятельств, ограничивающих применение метода множителей Лагранжа.

Л. ф. применяется в задачах  нелинейного программирования, отличающихся от классич. задач на условный экстремум  наличием, помимо условий типа равенства, ограничений типа неравенства: найти  минимум или максимум 

при условиях 

Для вывода необходимых условий  оптимальности в задаче (6) - (8) вводится Л. ф.

Для определенности рассматривается  случай максимума f(x). Пусть   доставляет максимум f(x).при ограничениях (7), (8) и пусть в точке х* выполнено требование регулярности ограничений (см. [2]); пусть J - множество индексов jиз j=1, ..., п, для к-рых   - множество индексов j, для к-рых   и I - множество индексов i из i=1,. . ., m₂, для к-рых ограничения (7) в точке х*выполняются как строгие неравенства. Тогда существует такой вектор 

Сформулированные необходимые  условия обобщают условия (4), (5). Эти  условия можно интерпретировать, используя понятие седловой точки  функции F(x,l). В седловой точке (x*,l*) функция F(x,l) удовлетворяет неравенствам 

Точка   в к-рой выполняются условия (10) - (12), удовлетворяет необходимым условиям существования седловой точки Л. ф.F(x,l) на множестве   и l, удовлетворяющем ограничениям (10). В том случае, когда f(х) - вогнутая при   функция, a g_i(x) - выпуклая, если   и вогнутая, если   сформулированные необходимые условия оказываются и достаточными, т. е. найденная из необходимых условий точка (x*,l*) является седловой точкой Л. ф. F(x,l) при   и l, удовлетворяющем ограничениям (10), и f(x*).является абсолютным максимумом f(x).при ограничениях (7), (8).

Наряду с Л. ф., записываемой в виде (9), используется и другая форма записи Л. ф., отличающаяся знаком множителей Лагранжа. При этом изменяется и форма записи необходимых условий. Пусть поставлена задача нелинейного  программирования: найти максимум  

при ограничениях 

Ограничения (7) при i=1, ..., т ₂ сводятся к (14) простым переобозначением. Условия типа равенства   заменяются неравенствами   и также приводятся к виду (14). Пусть Л. ф. записана в виде 

и пусть I - множество индексов tиз I=1, ..., т, для к-рых ограничения (14) выполняются как строгие неравенства. Тогда если   - оптимальное решение задачи (13) - (15), то при выполнении требования регулярности   ограничений существует такой вектор 

что 

(см. [2], [3]). Условия (17) - (19) с  учетом положительных  и нулевых значений   иногда записывают следующим образом:

Если  ограничения (7) или (14) линейны, то упоминаемое  выше условие регулярности ограничений всегда выполнено. Поэтому  для линейных ограничений  единственным предположением при выводе необходимых  условий является дифференцируемость функции f(x).

Если  в задаче (13) - (15) функции f(x). и g_i(x), i=1,. . ., т, вогнутые, то точка (x*, l*) удовлетворяющая необходимым условиям (17) - (19), является седловой точкой Л. ф. (16) и х* доставляет абсолютный максимум. То что Л. ф. имеет в этом случае седловую точку, может быть доказано и без предположений о дифференцируемоеЩ функций f(x). и g_i(x).

Аналог  Л. ф. применяется  и в-вариационном исчислении при рассмотрении задач на условный экстремум функционалов. Здесь также необходимые  условия оптимальности  в задаче на условный экстремум оказывается  удобным записывать как необходимые  условия для нек-рого составного функционала (аналога  Л. ф.), построенного с помощью множителей Лагранжа. Пусть, напр., поставлена Болъца задача:найти минимум функционала 

при наличии  дифференциальных ограничений  типа равенств 

и граничных  условий 

Необходимые условия в этой условноэкстремальной задаче получаются как  необходимые условия  безусловного экстремума функционала (см. [4])

составленного с помощью множителей Лагранжа 

Эти необходимые  условия, представляющие собой замкнутую  систему соотношений  для определения  оптимального решения x*(t) и соответствующих  множителей Лагранжа   в конкретных постановках записываются в виде Эйлера уравнения, Вейерштрасса условия и трансверсальности условия.

Лит.:[1] Смирнов В. И., Курс высшей математики, 23 изд., т. 1, М., 1974; [2] X е д л и Д ж., Нелинейное и динамическое программирование, пер. с англ., М., 1967; [3] К u h n H. W., Т u с k e r A. W., в кн.: Proceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, Berk.- Los Ang., 1951, p. 481-92; [4] Б л и с с Г. А., Лекции цо вариационному исчислению, пер. с англ., М., 1950. И. Б. Вапнярский.

 

Математическая  энциклопедия. —  М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.

222222222222222222222222222222

Лагранжиа́н, функция Лагранжа   динамической системы, названа в честь Жозефа Лагранжа, является функцией динамических переменных   и описывает уравнения движения системы.Уравнения движения в этом подходе получаются из принципа наименьшего действия, записываемого как

где действие — функционал 

 обозначает множество параметров системы.

Уравнения движения, полученные посредством функциональной производной, идентичны обычнымуравнениям Эйлера-Лагранжа. Динамические системы, чьи уравнения движения могут быть получены посредством принципа наименьшего действия для удобно выбранной функции Лагранжа, известны каклагранжевые динамические системы. Примеров лагранжевых динамических систем много, начиная с классической версии Стандартной Модели в физике элементарных частиц и заканчивая уравнениями Ньютона в классической механике. Также к ним относятся чисто математические проблемы, такие какуравнения геодезических и проблема Плато.

333333333333333333333333333

Функция Лагранжа

Перевод

Функция Лагранжа

Метод множителей Лагранжа, метод нахождения условного экстремума функции f(x), где  , относительно m ограничений  , i меняется от единицы до m.

Содержание 1 Описание метода 2 Обоснование 2.1 Двумерный случай 3 Применение 4 См. также 5 Ссылки

Описание метода

• Составим функцию Лагранжа в виде линейной комбинации функции f и функций  , взятыми с коэффициентами, называемымимножителями Лагранжа — λ_i:

где  .

• Составим систему из n + m уравнений, приравняв к нулю частные производные функции Лагранжа   по x_j и λ_i.
• Если полученная система имеет решение относительно параметров x'_j и λ'_i, тогда точка x' может быть условным экстремумом, то есть решением исходной задачи. Заметим, что это условие носит необходимый, но не достаточный характер.

Обоснование

Нижеприведенное обоснование  метода множителей Лагранжа не является его строгим доказательством. Оно  содержит эвристические рассуждения, помогающие понять геометрический смысл  метода.

Двумерный случай

Линии уровня   и кривая  .

Пусть требуется найти  экстремум некоторой функции  двух переменных   при условии, задаваемом уравнением  . Мы будем считать, что все функции непрерывно дифференцируемы, и данное уравнение задает гладкую кривую S на плоскости  . Тогда задача сводится к нахождению экстремума функции f на кривой S. Будем также считать, что S не проходит через точки, в которыхградиент f обращается в 0.

Нарисуем на плоскости   линии уровня функции f (то есть кривые  ). Из геометрических соображений видно, что экстремумом функции f на кривой S могут быть только точки, в которых касательные к S и соответствующей линии уровня совпадают. Действительно, если кривая S пересекает линию уровня f в точке   трансверсально (то есть под некоторым ненулевым углом), то двигаясь по кривой S из точки   мы можем попасть как на линии уровня, соответствующие большему значению f, так и меньшему. Следовательно, такая точка не может быть точкой экстремума.

Тем самым, необходимым условием экстремума в нашем случае будет  совпадение касательных. Чтобы записать его в аналитической форме, заметим, что оно эквивалентно параллельности градиентов функций f и ψ в данной точке, поскольку вектор градиента перпендикулярен касательной к линии уровня. Это условие выражается в следующей форме:

где λ — некоторое число, отличное от нуля, и являющееся множителем Лагранжа.

Рассмотрим теперь функцию Лагранжа , зависящую от   и λ:

Необходимым условием ее экстремума является равенство нулю градиента  . В соответствии с правилами дифференцирования, оно записывается в виде

Мы получили систему, первые два уравнения которой эквивалентны необходимому условию локального экстремума (1), а третье — уравнению  . Из нее можно найти  . При этом  , поскольку в противном случае градиент функции fобращается в нуль в точке  , что противоречит нашим предположениям. Следует заметить, что найденные таким образом точки   могут и не являться искомыми точками условного экстремума — рассмотренное условие носит необходимый, но не достаточный характер. Нахождение условного экстремума с помощью вспомогательной функции L и составляет основу метода множителей Лагранжа, примененного здесь для простейшего случая двух переменных. Оказывается, вышеприведенные рассуждения обобщаются на случай произвольного числа переменных и уравнений, задающих условия.

На основе метода множителей Лагранжа можно доказать и некоторые  достаточные условия для условного  экстремума, требующие анализа вторых производных функции Лагранжа.

Применение

• Метод множителей Лагранжа применяется при решении задач нелинейного программирования, возникающих во многих областях (например, в экономике).
• Основной метод решения задачи об оптимизации качества кодирования аудио и видео данных при заданном среднем битрейте(оптимизация искажений — англ. Rate-Distortion optimization).

См. также

• Линейное программирование
• Условия Каруша — Куна — Таккера

Ссылки

• Зорич В. А. Математический анализ. Часть 1. — изд. 2-е, испр. и доп. — М.: ФАЗИС, 1997.

9999999999999999999999999999999

 

Содержание

Введение

1. Построение модели

2. Задача Лагранжа. Безусловный и условный экстремумы

3. Задача Лагранжа  с одним ограничением

4. Смысл множителей  Лагранжа

4.1. Теорема Лагранжа

4. 2. Метод множителей Лагранжа

4.3. Метод неопределенных  множителей Лагранжа

4.4. Двумерный случай

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Метод Лагранжа базируется на нескольких ключевых идеях. Одна из них состоит в том, как искать минимум функции, если на функцию  заданы некоторые ограничения. Этот приём теперь носит название «правило множителей Лагранжа»

Данная тема актуальна  в современности потому, что метод  множителей Лагранжа применяется при  решении задач нелинейного программирования, возникающих во многих областях (например, в экономике).

Важное место в математиком  аппарате экономики занимают оптимальные  задачи - задачи, которых ищется наилучшее  в определенном смысле решение. В  экономической практике требуется  использовать имеющиеся ресурс наиболее выгодным образом. В экономической  теории одним из отправных пунктов  является постулат о том, что каждый экономический субъект, имея определенную свободу выбора своего поведения, отыскивает наилучший со своей точки зрения вариант. И оптимизационные задачи служат средством описания поведения  экономических субъектов, инструментом исследования закономерностей этого  поведения.

1. Построение модели

Для постановки задачи необходима анализ системы, исследование её особенностей и возможных методов управления системой. Схема, построения в результате такого анализа, является либо изобразительной, либо аналоговой моделью. Таким образом, первый этап построения модели выполняется  в процессе постановки задачи. После  такого анализа системы уточняется перечень различных вариантов в  решения, которые надо оценить. Затем  определяются меры общей эффективности  этих вариантов. Следовательно, следующий  этап заключается в построении такой  модели, в которой эффективность  системы можно выразить в функции  переменных, определяющих систему. Некоторые  из этих переменных в реальной системе  можно менять, другие переменные менять нельзя. Те переменные, которые можно  изменить, назовем “управляемыми”. Различные варианты решения задачи необходимо выразить с помощью управляемых  переменных.

Построение математической (символической) модели системы можно  начать с перечисления всех элементов  системы, которые влияют на эффективность  работы системы. Если в качестве меры общей эффективности используется “общие ожидаемые издержки”, то можно  начать с исследования изобразительной  или аналоговой модели, полученной на стадии постановки задачи. Можно  выделить операции и материалы, которым  сопоставляется некоторые затраты. При этом получим, например, следующий  исходный список:

Производственные затраты:

а) закупочная цена сырья;

б) издержки перевозки сырья;

в) стоимость приемки сырья;

г) стоимость хранения сырья;

д) стоимость планирования производства;

е) стоимость наладочных работ в цехе;

ж) стоимость процесса обработки;

з) стоимость хранения запасов  в процессе производства;

и) стоимость завершения производства и передачи готовых  изделий на склад;

к) стоимость анализа результатов  работы группой планирования;

л) стоимость хранения готовых  изделий.

Затраты на сбыт.

Накладные расходы.

2. Задача Лагранжа. Безусловный и условный экстремумы

Многие задачи оптимизации  формулируются следующим образом. Решение, которое должен принять  субъект, описывается набором чисел  х₁ ,х₂ ,…,х_n (или точкой Х=(х₁ ,х₂ ,…,х_n) n-мерного пространства). Достоинства того или иного решения определяются значениями функция f(X) = f(х₁, х₂ ,…,х_n) -- целевой функции. Наилучшее решение -- это такая точка Х, в которой функция f(Х) принимает наибольшее значение. Задача нахождения такой точки описывается следующим образом:

f(X) max.

Если функция f(X) характеризует отрицательные стороны  решения (ущерб, убытки и т. п.), то ищется точка Х, в которой значение f(X) минимально:

f(X) min.

Минимум и максимум объединяются понятием экстремума. Для  определенности мы будем говорить только о задачах максимизации. Поиск  минимума не требует специального рассмотрения, поскольку заменой целевой функции f(X) на -f(Х) всегда можно “превратить  недостатки в достоинства” и свести минимизацию к максимизации.

Из каких вариантов  должен быть выбран наилучший? Иными  словами, среди каких точек пространства нужно искать оптимум. Ответ на этот вопрос связан с таким элементом  оптимизационной задачи, как множество допустимых решений. В некоторых задачах допустимыми являются любые комбинации чисел х₁, х₂,…,х_n то есть множество допустимых решений - это все рассматриваемое пространство.

В других задачах следует  принимать во внимание различные  ограничения, означающие, что не все  точки пространства доступны при  выборе. В содержательных постановках  задач это может быть связано, например, с ограниченностью располагаемого количества ресурсов.

Ограничения могут быть представлены в форме равенств вида

g(X) = О

или неравенства

g(X) О.

Если условия имеют  несколько другую форму, скажем, g₁(Х) = g₂(X) или g(X) A, то их можно привести к стандартному виду, перенеся в функции и константы в одну из частей равенства или неравенства.

Экстремум, отыскиваемый во всем пространстве, без каких-либо ограничивающих условий, носит название безусловного. Если целевая функция непрерывно дифференцируема, то, необходимое условие  безусловного экстремума функции состоит  в равенстве нулю всех ее частных  производных:

Если же заданы ограничения, то экстремум ищется лишь среди точек, которые удовлетворяют всем ограничениям задачи, так как только такие точки  являются допустимыми. В этом случае экстремум носит название условного.

Рассмотрим задачу поиска условного экстремума:

f(X) max

при условиях (2)

g₁(Х) = 0; g₂(Х) = 0, …, g_n(Х) = 0,

все ограничения которой  представляют собой равенства.

Если при этом целевая  функция и все ограничивающие функции непрерывно дифференцируемы, то такую задачу мы будем называть задачей Лагранжа.

3. Задача Лагранжа  с одним ограничением

Рассмотрим задачу, имеющую следующую структуру:

f(X) max

при условии (3)

g(X) = 0.

Рассмотрим пример. По склону горы идет дорога, требуется найти  на ней самую высокую точку. На рис. 1 представлена карта местности  с нанесенными на нее линиями

Рис. 1

равных высот; толстая  линия - это дорога. Точка М, в которой  дорога касается одной линий уровня, - это и есть наивысшая точка  дороги.

Если Х = (х₁, х₂) - точка плотности, х₁ и х₂ - её координаты, то задаче можно придать следующую форму. Пусть f(Х) -- высота точки Х над уровнем моря, а уравнение g(X) = 0 описывает дорогу. Тогда наивысшая точка дороги - решение задачи (3).

Если бы дорога проходила  через вершину горы, то ее высшая точка была бы самой высокой точкой местности, и ограничение можно  было бы не принимать во внимание.

Если же дорога не проходит через вершину, то, немного отклонившись от дороги, можно было бы подняться  выше, чем двигаясь строго по дороге. Отклонение от дороги соответствует  попаданию в такие точки, где g(X) 0; при малых отклонениях достижимую при этом высоту можно приближенно  считать пропорциональной отклонению.

Идею решения задачи Лагранжа можно представить следующим  образом: можно попытаться “исправить”  рельеф местности так, чтобы отклонение от дороги не давало преимуществ в  достижении высоты. Для этого нужно  заменить высоту f(Х) функцией.

L(X) = f(X) - g(Х),

где множитель подбирается  таким образом, чтобы участок  склона в окрестности точки М  стал горизонтальным (слишком малое  не устранит преимуществ отклонений от дороги, а слишком большое - придаст  преимущество отклонениям в противоположную  сторону).

Теперь, поскольку рельеф L(X) делает площадку в окрестности  точки оптимума горизонтальной, эта  точка удовлетворяет равенствам

а так как точка лежит  на дороге, то - и ограничению g(X) = 0.

рис.2

Пример с горой и  дорогой -- лишь иллюстрация идеи; точно  так же двумерный случай использован  исключительно для наглядности. Подобным образом можно было бы рассуждать и в общем, n-мерном случае.

Справедливо следующее утверждение:

Если f(х₁,…,х_n) и g(х₁,…,х_n) - непрерывно дифференцируемые функции всех своих аргументов, то решение задачи

f(х₁,…,х_n) max

при условии

g(х₁,…,х_n) = 0

удовлетворяет равенствам

где

L(х₁,…,х_n;) = f(х₁,…,х_n) -- g(х₁,…,х_n).

Функция L(X; ) получила название функции Лагранжа (или лагранжиана) задачи (3), а коэффициент -- множителя Лагранжа.

Заметим, что равенство (5) -- это представленное в другой форме  ограничение g(Х) = 0.

Приведенные выше рассуждения, разумеется, не являются доказательством  сформулированного здесь утверждения; они лишь помогают понять существо метода: составляющая g(Х) в составе  функции Лагранжа должна уравновешивать возможное увеличение максимального  значения функции g(Х) от нуля. Это обстоятельство в дальнейшем будет весьма полезно  при обсуждении смысла множителя  Лагранжа.

Рассмотрим чрезвычайно  простой пример. Веревкой длины А  требуется огородить на берегу моря прямоугольный участок наибольшей площади (берег считается прямолинейным).

Рис.3 К задаче Дидона

Обозначим стороны прямоугольника х₁ и х₂ (см. рис. 3). Решим сначала задачу без использования метода Лагранжа.

Очевидно, х₂ = А - 2 х₁ и площадь прямоугольника равна S = х₁х₂ = x₁(А - 2х₁). Рассматривая ее как функцию одного аргумента х1, нетрудно найти его значение, при котором площадь максимальна: х₁ = А/4. Отсюда х₂ = А/2. Максимальная площадь равна S* = А²/8.

Теперь рассмотрим эту  же задачу в форме задачи Лагранжа:

х₁х₂ max

при условии

2 х₁ + х₂ - А = 0

Лагранжиан этой задачи равен

L(х₁,х₂; ) = х₁х₂ - (2х₁ + х₂ - А),

и условия экстремума имеют  вид

так что

х₂ = 2

х₁ =

2 х₁ + х₂ = А

Подставляя значения х₁ и х₂ из первого и второго равенств в третье, находим, что 4 = А, откуда

= А/4; х₁ = А/4; х₂ =А/2,

как и при решении первым способом.

Этот пример показывает распространенный способ решения задачи Лагранжа. Соотношения (4) и (5) образуют систему уравнений  относительно х₁,…,х_n и ,. Система состоит из n + 1 уравнения - n уравнений вида (4) и одно уравнение вида (5). Число уравнений равно числу неизвестных. Из уравнений вида (4) можно попытаться выразить каждую из неизвестных х₁,…,х₂ через , то есть решить ее как систему из n уравнений, рассматривая как параметр. Подставляя получившиеся выражения в уравнение (5) - нам известно, что оно совпадает с ограничением, - получаем уравнение относительно . Решая его, находят , после чего определяются исходные неизвестные х₁,…,х_n.

4. Смысл множителей  Лагранжа

При решении задачи Лагранжа мы интересовались значениями х₁,…,х_n; кроме того, нас могло интересовать экстремальное значение целевой функции f(X). Но в процессе решения попутно было определено значение еще одной величины - множителя Лагранжа.

Оказывается, множитель Лагранжа -- весьма существенная характеристика решаемой задачи. Чтобы смысл ее стал яснее, несколько изменим формулировку ограничения, ничего не изменяя по существу.

Типичная экономическая  ситуация характеризуется тем, что  приходится искать наиболее выгодное решение при ограниченном количестве некоторого ресурса. Если r - заданное количество ресурса, а функция h(X) характеризует  потребное его количество для  достижения точки Х, то ограничению  естественно придать форму

h(X) r.

По характеру задачи часто  бывает ясно, что для достижения оптимума ресурс нужно использовать полностью, так что ограничение  может быть записано в виде равенства

h(X) = r. (6)

Это условие можно представить  в форме g(X) = h(Х) - r = 0. Но значительный интерес представляет максимально  достижимый уровень функции f(x) в  зависимости от имеющегося количества ресурса r. Обозначим

F(r) = max f(X) h(X) = r.

В правой части - принятое обозначение  условного экстремума: после вертикальной черты выписывается условие.

Вспомним, что при обсуждении структуры лагранжиана мы интерпретировали g(Х) как составляющую, уравновешивающую возможный прирост максимума f(X) при отклонении g(X) от нуля. Но отклонение g(X) от нуля есть отклонение h(Х) от r. Если располагаемое количество ресурса  получает приращение r, то мы должны ожидать  приращение максимума функции f(X) на r.

В действительности это соотношение  носит приближенный характер. Точный результат мы получили бы в пределе  при r 0:

Таким образом, множитель  Лагранжа характеризует скорость изменения  максимума целевой функции при  изменении ограничивающей константы r в ограничении вида (6).

В рассмотренном в предыдущем пункте варианте задачи Дидоны ограниченным ресурсом была длина веревки А. Максимальная площадь оказалось равной S(A) = A²/8. Отсюда dS(А)/dА = А/4, что в точности соответствует найденному при решении значению .

рис. 4

Приведем еще одно рассуждение. Для всевозможных точек Х найдем значения f(X) и h(Х) и отложим эти  значения в виде точек в декартовых координатах (рис. 4). Если при каждом значении h(Х) существует максимум функции f(Х), то все точки расположатся ниже некоторой кривой, показанной на рисунке жирной линией.

Нас интересуют точки, соответствующие  условию h(X) = r. Максимум f(X) помечен точкой М*; обозначим наклон кривой в этой точке. Если в качестве ординаты брать  не f(X), а L(X; ) =f(X) - [h(X) -- r], то новая верхняя  граница имела бы в точке М* горизонтальную касательную. Это значит, что в исходном n-мерном пространстве соответствующая точка М -- стационарная точка функции L (X; ) с данным значением  параметра . Таким образом, - множитель  Лагранжа.