Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Группировка статических материалов. Средние величины

Группировка статических материалов. Средние величины.

Группировкой называется расчленение множества единиц изучаемой совокупности на группы по определенным существенным для них признакам.

Признак – показатель, характеризующий некоторое свойство объекта совокупности.

В качестве основания группировки следует использовать существенные признаки. В основании группировки м.б. положены как качественные, так и количественные признаки.

Количественные признаки имеют числовые выражения (возраст человека, доход семьи и т.д.), а качественные – отражают состояние единицы совокупности (пол человека, форма собственности предприятия и т.д.).

Статистические группировки по задачам, решаемым с их помощью, делятся на типологические, структурные и аналитические.

Типологическая группировка – это разделение исследуемой качественно-разнородной совокупности на однородные группы единиц. В основании такой группировки лежит качественный признак.

Структурной группировкой называется группировка, в которой происходит разделение однородной совокупности на группы, характеризующие ее структуру по какому-либо варьирующему признаку Такая группировка делается по количественному признаку.

Группировка, выявляющая взаимосвязи между изучаемыми явлениями и их признаками, называется аналитической группировкой.

После определения признака, положенного в основание группировки определяют количество групп, на которые разбивают исследуемую совокупность.

Число групп зависит от задач исследования, типа группировки, вида признака, положенного в основание группировки, численности совокупности, степени вариации признака.

При построении группировки по качественному признаку групп, будет столько, сколько имеется градаций, видов, состояний и т.д. у этого признака.

Если группировка проводится по количественному признаку, то оптимальное число групп определяют по формуле Стерд жесса

n = 1+3,322·lg N, (1.1)

где n- число групп в совокупности,

N- число единиц совокупности.

Существует следующее соотношение между числом единиц совокупности и количеством групп (см. Табл.1).

Таблица 1- Соотношение между числом единиц совокупности и количеством групп

N	8-14	15-24	25-44	45-89	90-179	180-359	360-719
n	4	5	6	7	8	9	10

После определения числа групп определяют интервал группировки.

Интервал- это значение варьирующего признака, лежащего в определенных границах.

Величина равного интервала определяется по формуле

, (1.2)

где R- размах вариации, и определяется по формуле

R=Xmax – Xmin, (1.3)

где Xmax- максимальное значение признака в совокупности,

Xmin- минимальное значение признака в совокупности.

Полученную по формуле (1.2) величину округляют и строят группировку.

Далее определяют количество единиц входящих в тот или иной интервал

Упорядоченное распределение единиц составляются на группы по определенному варьирующему признаку называется статическим рядом распределения.

Различают атрибутивные и вариационные ряды распределения.

Атрибутивными называются ряды распределения, построенные по качественным признакам.

Вариационными называют ряды распределения, построенные по количественному признаку. Любой вариационный ряд состоит из двух элементов: вариантов и частот.

Варианты – отдельные значения признака, которые он принимает в вариационном ряду, т.е. конкретное значение признака (обозначается “x ”).

Частота - это количество единиц совокупности или в каждой отдельной группе , которое имеют данное значение признака (обозначается “f ”).

Суммой всех частот определяют численность всей совокупности, её объем.

В зависимости от характера вариации признака различают дискретные и интервальные вариационные ряды.

В случае дискретной вариации величина количественного признака принимает только целые значения.

В случае интервальной вариации величина количественного признака задается в виде интервала («от и до»).

Пример 1

Требуется произвести группировку с равными интервалами предприятий по величине Уставного капитала, при этом максимальное значение признака млн р., минимальное X млн р. Совокупность включает 20 единиц.

Решение:

1) Определение числа групп. В основании группировки заложен количественный признак, поэтому определяем по формуле 1. или таблице 1

n = 1 + 3,322lg20 = 5

2) Расчет величины интервала

h =

млн р.

Таблица 2 – Структурная группировка по величине Уставного капитала

Номер групп	1 вариант (закрытые интервалы)	2 вариант (открытые интервалы)	Число предприятий	% к итогу
I	От 290 до 640	До 640	4	20
II	От 640 до 990	640-990	6	30
III	От 990 до 1340	990 - 1340	3	15
IV	От 1340 до 1690	1340 -1690	5	25
V	От 1690 до 2040	1690 - 2040	2	10
Итого			20	100

Средние величины

Средней величиной в статистике называется обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень явления в конкретных условиях места и времени, отражающий величину выросшего признака в расчете на единицу качественно однородной совокупности.

Средний показатель отражает то общее, что характерно (типично) для всех единиц изучаемой совокупности, в то же время он игнорирует различия отдельных единиц.

Выбор вида средней определяется экономическим содержанием определенного показателя и исходных данных. В каждом конкретном случае применяется одна из средних величин: арифметическая, гармоническая, геометрическая и т.д.

Наиболее распространенным видом средних величин является средняя арифметическая. Она применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности является суммой значений признаков отдельных ее единиц.

Чтобы рассчитать среднюю арифметическую, нужно сумму всех значений признаков разделить на их число.

Средняя арифметическая величина применяется в форме простой средней и взвешенной средней.

Средняя арифметическая простая равна простой сумме отдельных значений осредняемого признака, делимой на общее число этих значений (она применяется в тех случаях, когда имеются не сгруппированные индивидуальные значения признака).

, (1.4)

где Х₁,X₂,Х_n – индивидуальные значения варьирующего признака (варианты);

n - число единиц совокупности.

Для расчета средних сгруппированных индивидуальных значений признака совокупности применяется расчет средней арифметической взвешенной.

Средняя величина из вариантов, которые повторяют различное число раз, или, имеют различный вес, называются взвешенной. В качестве весов выступают численности единиц в разных группах совокупности.

Средняя арифметическая взвешенная – средняя сгруппированных величин выполняется по формуле

, (1.5)

где X_1, X_2, X_п- отдельные значение признака;

f₁ f₂ f₃ - веса/частоты повторения одинаковых признаков,

Σ xf - сумма произведений величин признаков на их частоты;

Σf - общая численность единиц совокупности.

Вычисление средней арифметической взвешенной из групповых средних Хгр осуществляется по формуле

, (1.6)

где f- число единиц каждой группе.

Если значения определяемого признака заданы в виде интервалов («от – до»), т.е. интервальных видов распределения, то при росте средней арифметической величины в качестве значений признаков в группах принимают середины этих интервалов. После того как найдены середины интервалов, вычисления делают так же при расчете средней взвешенной.

Пример 2

Имеются данные о распределении работников предприятия по возрасту (табл.3). Требуется определить средний возраст работников.

Данная группировка выполнена с открытыми интервалами. При определении середины интервалов границы открытых интервалов условно приравниваются к величинам интервалов, примыкающих к ним (второго и предпоследнего).

Таблица 3 -Распределение работников предприятий по возрасту

Возраст, лет

Середина интервала

Число работников, чел.

До 25

25-30

30-40

40-50

50-60

60 и более

22,5

27,5

Итого:

–

121

Решение:

Полученные средние значения интервала используются для расчета средней по совокупности

2. Показатели вариации

Вариация- это различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени.

Средняя величина дает обобщающую характеристику признака изучаемой совокупности, но она не раскрывает строения совокупности. Средняя не показывает, как располагаются около нее варианты осредняемого признака, сосредоточены ли они вблизи средней величины или значительно отклоняются от нее.

Потому возникает необходимость измерять вариацию признака в совокупностях. Для этой цели в статистике применяют ряд обобщающих показателей.

К показателям вариации относятся: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Размах вариации (R)- разность между максимальным и минимальным значением признака в совокупности (см. формулу 1.3).

Среднее линейное отклонение () представляет собой среднюю арифметическую абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической (при этом виде предполагают, что среднюю вычисляют из варианта.

Среднее линейное отклонение рассчитывают по формуле:

а) для несгруппированных данных

, (2.1)

где х– отдельные значения признака (вариант);

- средняя величина по совокупности;

n – число членов ряда.

б) для сгруппированных данных

, (2.2)

где - сумма частот вариационного ряда.

Дисперсия () – это средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины.

а) Простая дисперсия для несгруппированных данных

, (2.3)

б) взвешенная дисперсия для вариационного ряда

. (2.4)

Среднее квадратическое отклонение () равно корню квадратному из дисперсии

а) для негруппированных данных

, (2.5)

б) для вариационного ряда

. (2.6)

Среднее квадратическое отклонение показывает, на сколько в среднем откланяются конкретные варианты от их среднего значения.

Коэффициент вариации (γ) – выражен в % отношении среднего квадратического отклонения к средней арифметической

. (2.7)

Совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 %.

Правило сложения дисперсий

Общая дисперсия () измеряет вариацию признака по всей совокупности под влиянием факторов, обусловивших эту вариацию.

Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака х от общей средней и может быть вычислена как простая по (формуле 2.3) или взвешенная дисперсия (по формуле 2.4).

Межгрупповая дисперсия (δ²)характеризует систематическую вариацию результативного порядка, обусловленную влиянием факторного признака, положенного в основание группировки.

Определение по формуле

δ²

, (2.8)

где x_i– средняя по каждой группе;

x_об – средняя по совокупности

Внутригрупповая дисперсия () отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, обусловленную влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки

а) внутригрупповая дисперсия для негруппированных данных может быть исчислена по формуле

, (2.9)

б) для сгруппированных данных

. (2.10)

На основании внутригрупповой дисперсии можно определить общую среднюю из внутригрупповых дисперсий

Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповых дисперсий

Пример 3

Вычислить показатели вариации (s² ,s, d, R, ) по следующим исходным данным (табл.4).

Таблица 4- Распределение рабочих-сдельщиков n-го цеха по фактической выработке деталей

Дневная выработка деталей, шт.

Число рабочих-сдельщиков, чел.

232

297

790

517

144

-1,9

-0,9

0,1

1,1

2,1

55,1

29,7

7,9

51,7

25,2

104,69

26,73

0,79

56,87

52,92

Итого:

200

1980

–

169,6

242,0

1)Находим среднюю по совокупности

2) Размах вариации R = X_max – X_min , R = 12 – 8 = 4 шт.

3) Среднее линейное отклонение d = = = 0,848 шт.

Сравниваем отклонение с величиной Среднее отклонение вариантов признака от их средней величины несущественное, следовательно, совокупность в отношении признака однородна, а средняя типична для данной совокупности.

3) ; 4)

Среднее квадратическое отклонение невелико по сравнению с Вывод тот же, что и при определении среднего линейного отклонения.

5) Коэффициент вариации ,

следовательно, совокупность однородна.

Пример 4

Имеется производительность труда двух групп рабочих n-го цеха (табл.5).

Таблица 5 -Производительность труда 2-х групп рабочих n-го цеха

Показатель

Рабочие, прошедшие техническое обучение

Рабочие, не прошедшие

техническое обучение

Выработка, дет./см.

101

102

105

Число рабочих, чел.

Рассчитать три вида дисперсии, проверить правило сложения дисперсий.

Решение

Производительность труда – результативный признак. Численность – это частота.

Определим средние значения производительности труда

1) групповые средние

дет.

2) общая средняя дет.

Определим внутригрупповые дисперсии (всего две группы, следовательно, дисперсий будет тоже две)

Межгрупповая дисперсия (

Средняя из внутригрупповых

Общая дисперсия, рассчитанная с использованием правила сложения дисперсий, имеет следующее значение

Общая дисперсия, рассчитанная по базовой формуле, дает тот же результат

Эмпирическое корреляционное соотношение

Вывод: Фактор технического обучения объясняет 66,1% вариации производительности труда.

3. Статистическое исследование связей между явлениями

Корреляция - это статическая зависимость между случайными величинами, не имеющая строго функционального характера, при котором изменение одной из случайных величин приводит к изменению математического ожидания другой.

Корреляционная связь- это связь, при которой изменение среднего значения результативного признака обусловлено изменением факторных признаков.

Факторный признак- это признак, обуславливающий изменение других, связанных с ними признаков, а признаки, изменяющиеся под действием факторных признаков, являются результативными.

По степени тесноты связи различают количественные критерии оценки тесноты связи (табл.6)

Величина коэффициента корреляции	Характер связи
До ± 0.3	Практически отсутствует
± 0.3 - ± 0.5	слабая
± 0.5 - ± 0.7	умеренная
± 0.7 - ± 1.0	сильная

Для изучения корреляционной связи применяют метод аналитической группировки. Чтобы выявить зависимость с помощью этого метода, нужно провести группировку единиц совокупности по факторному признаку, и для каждой группы вычислить среднее значение результативного признака.

По аналитическому выражению выделяют прямолинейные (линейные) и нелинейные. Если статистическая связь между явлениями может быть приближенно выражена уравнением прямой линии, то ее называют линейной связью; если же она выражается уравнением кривой линии, то такую связь называют криволинейной.

Помимо метода аналитических группировок для оценки тесноты связи применяется такой показатель как линейный коэффициент корреляции.

Коэффициент корреляции рассчитывается по формуле

, (3.1)

где x- отдельные значения факторного признака, положенного в основание группировки;

- среднее значение факторного признака;

y - отдельные значения результативного признака;

- среднее значение результативного признака;

n - число наблюдений.

Для практических вычислений при малом числе наблюдений линейный коэффициент корреляции исчисляют по формуле

. (3.2)

Коэффициент корреляции принимает значения в интервале -1£ r ³ 1.

Отрицательное значение указывает на обратную связь, положительное - на прямую. При r = 0 – линейная связь отсутствует. Чем ближе коэффициент корреляции по абсолютной величине = 1, тем теснее связь между признаками. При r =± 1 связь - функциональная.

Пример 5

По пяти однотипным предприятиям (табл.7) имеются следующие данные о выпуске продукции (х) в тыс. ед. и о расходе условного топлива (y) в тоннах.

Таблица 7- Данные о выпуске продукции и расходе топлива

х.	5	6	8	8	10
y	4	4	6	5	7

С помощью линейного коэффициента корреляции определить наличие связи между расходом топлива и выпуском продукции.

Решение:

Построим макет таблицы

х	y			хy
5	4	25	16	20
6	4	36	16	24
8	6	64	36	48
8	5	64	25	40
10	7	100	49	70
37	26	289	146	202

r == = 0.77

Вывод: Связь между выпуском продукции и расходом топлива – сильная.

4. Ряды динамики.

Ряды динамики – это ряды с изменяющимися во времени значениями статистических показателей, расположенных в хронологическом порядке.

Составными элементами ряда динамики являются показатели уровней ряда и периоды времени (года, кварталы, месяцы, сутки) или моменты (даты) времени.

Уровни ряда обычно обозначаются через “у”, моменты или периоды времени, к которым относятся уровни, - через “t ”.

Анализ интенсивности изменения во времени осуществляется с помощью показателей, получаемых в результате сравнения уровней. К таким показателям относятся:

- абсолютный прирост;

- темп роста;

- темп прироста.

Показатели анализа динамики могут вычисляться на постоянной и переменной базах сравнения. При этом принято называть сравниваемый уровень отчетным, а уровень, с которым производится сравнение - базисным.

Для расчета показателей анализа динамики на постоянной базе каждый уровень ряда сравнивается с одним и тем же базисным уровнем. В качестве базисного выбирается либо первоначальный уровень, в ряду динамики, либо какой-то новый этап развития явления. Такие показатели называются базисными.

Для расчета показателей анализа динамики на переменной базе каждый последующий уровень ряда сравнивается с предыдущим. Вычисленные таким образом показатели анализа называются цепными.

Абсолютный прирост (сокращение) характеризует увеличение или уменьшение уровня ряда за определенный промежуток времени.

Для характеристики интенсивности, т.е. относительного уменьшения, уровня динамического ряда за к.л. период времени, исчисляют темпы роста (снижение). Интенсивность изменения уровня оценивается отношением отчетного уровня к базисному.

Показатель интенсивности изменения уровня ряда выраженный в долях единицы, называется коэффициентом роста, а в процентах – темпом роста. Эти показатели изменения отличаются только единицами измерения.

Коэффициент роста (снижения) показывает, во сколько раз сравниваемый уровень больше уровня, с которым производится сравнение.

Темп роста всегда представляет собой положительное число.

Относительную оценку скорости измерения уровня ряда динамики в единицу времени дают показатели темпа прироста (сокращения).

Темп прироста (сокращения) показывает, на сколько процентов сравниваемый уровень больше или меньше уровня, принятого за базу сравнения, и вычисляется как отношение абсолютного прироста к абсолютному уровню, принятому за базу сравнения.

Темп прироста может быть положительным, отрицательным или равным нулю, и выражается в процентах или долях единицы (коэффициент прироста).

Показатели изменения уровней ряда динамики могут быть исчислены по формулам

Абсолютный прирост

Группировка статических материалов. Средние величины 📙 Реферат → 🆔 72942

х	y			хy
5	4	25	16	20
6	4	36	16	24
8	6	64	36	48
8	5	64	25	40
10	7	100	49	70
37	26	289	146	202

х	y			хy
5	4	25	16	20
6	4	36	16	24
8	6	64	36	48
8	5	64	25	40
10	7	100	49	70
37	26	289	146	202

х	y			хy
5	4	25	16	20
6	4	36	16	24
8	6	64	36	48
8	5	64	25	40
10	7	100	49	70
37	26	289	146	202