Имитационное моделирование. 10

     Введение

     Наилучшие работы в области исследования операций основаны на совместном применении аналитических  и статистических моделей. Аналитическая  модель дает возможность в общих  чертах разобраться в явлении, наметить как бы контур основных закономерностей. Любые уточнения могут быть получены с помощью статистических моделей.

             Имитационное моделирование применяется  к процессам, в ход которых  может время от времени вмешиваться  человеческая воля. Человек,  руководящий  операцией, может в зависимости  от сложившейся обстановки, принимать те или другие решения, подобно тому, как шахматист, глядя на доску, выбирает свой очередной ход. Затем приводится в действие математическая модель, которая показывает, какое ожидается изменение обстановки в ответ на это решение и к каким последствиям оно приведет спустя некоторое время. Следующее «текущее решение» принимается уже с учетом реальной новой обстановки и т.д. В результате многократного повторения такой процедуры руководитель как бы «набирает опыт», учится на своих и чужих ошибках и постепенно выучивается принимать правильные решения – если не оптимальные, то почти оптимальные. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Глава 1. Суть имитационного  моделирования

     Имитация  – это процесс "выполнения" модели, проводящий её через (дискретные или непрерывные) изменения состояния во времени. Цель имитационного моделирования состоит в воспроизведении поведения исследуемой системы на основе результатов анализа наиболее существенных взаимосвязей между ее элементами или другими словами – разработке симулятора исследуемой предметной области для проведения различных экспериментов

     Имитационное  моделирование — метод, позволяющий  строить модели, описывающие процессы так, как они проходили бы в  действительности. Такую модель можно  «проиграть» во времени как для  одного испытания, так и заданного их множества. При этом результаты будут определяться случайным характером процессов. По этим данным можно получить достаточно устойчивую статистику.

     Имитационное  моделирование — это метод  исследования, при котором изучаемая  система заменяется моделью с достаточной точностью описывающей реальную систему и с ней проводятся эксперименты с целью получения информации об этой системе. Экспериментирование с моделью называют имитацией (имитация — это постижение сути явления, не прибегая к экспериментам на реальном объекте).

     Имитационное  моделирование — это частный  случай математического моделирования. Существует класс объектов, для которых  по различным причинам не разработаны  аналитические модели, либо не разработаны  методы решения полученной модели. В этом случае математическая модель заменяется имитатором или имитационной моделью.

     Имитационная  модель — логико-математическое описание объекта, которое может быть использовано для экспериментирования на компьютере в целях проектирования, анализа и оценки функционирования объекта.

     Основой всякой имитационной модели (ИМ) является:

• разработка модели исследуемой системы на основе частных имитационных моделей (модулей) подсистем, объединенных своими взаимодействиями в единое целое;
• выбор информативных (интегративных) характеристик объекта, способов их получения и анализа;
• построение модели воздействия внешней среды на систему в виде совокупности имитационных моделей внешних воздействующих факторов;
• выбор способа исследования имитационной модели в соответствии с методами планирования имитационных экспериментов.

     Виды имитационного моделирования:

     Агентное моделирование — относительно новое (1990е-2000е гг.) направление в имитационном моделировании, которое используется для исследования децентрализованных систем, динамика функционирования которых определяется не глобальными правилами и законами (как в других парадигмах моделирования), а наоборот. Когда эти глобальные правила и законы являются результатом индивидуальной активности членов группы. Цель агентных моделей — получить представление об этих глобальных правилах, общем поведении системы, исходя из предположений об индивидуальном, частном поведении ее отдельных активных объектов и взаимодействии этих объектов в системе. Агент — некая сущность, обладающая активностью, автономным поведением, может принимать решения в соответствии с некоторым набором правил, взаимодействовать с окружением, а также самостоятельно изменяться.

     Дискретно-событийное моделирование — подход к моделированию, предлагающий абстрагироваться от непрерывной природы событий и рассматривать только основные события моделируемой системы, такие как: «ожидание», «обработка заказа», «движение с грузом», «разгрузка» и другие. Дискретно-событийное моделирование наиболее развито и имеет огромную сферу приложений — от логистики и систем массового обслуживания до транспортных и производственных систем. Этот вид моделирования наиболее подходит для моделирования производственных процессов. Основан Джеффри Гордоном в 1960х годах.

     Системная динамика — парадигма моделирования, где для исследуемой системы строятся графические диаграммы причинных связей и глобальных влияний одних параметров на другие во времени, а затем созданная на основе этих диаграмм модель имитируется на компьютере. По сути, такой вид моделирования более всех других парадигм помогает понять суть происходящего выявления причинно-следственных связей между объектами и явлениями. С помощью системной динамики строят модели бизнес-процессов, развития города, модели производства, динамики популяции, экологии и развития эпидемии. Метод основан Джеем Форрестером в 1950 годах.

     К имитационному моделированию прибегают, когда:

• дорого или невозможно экспериментировать на реальном объекте;
• невозможно построить аналитическую модель: в системе есть время, причинные связи, последствие, нелинейности, стохастические (случайные) переменные;
• необходимо сымитировать поведение системы во времени.

Области применения имитационного моделирования:

- бизнес  процессы;

- боевые  действия;

- динамика  населения;

- дорожное движение;

- математическое  моделирование исторических процессов;

- логистика;

- пешеходная  динамика;

- производство;

- рынок  и конкуренция;

- сервисные  центры;

- цепочки  поставок;

- уличное  движение;

- управление  проектами;

- экономика  здравоохранения;

- экосистемы

     Цель  имитационного моделирования состоит  в воспроизведении поведения  исследуемой системы на основе результатов  анализа наиболее существенных взаимосвязей между ее элементами или другими  словами — разработке симулятора (англ. simulation modeling) исследуемой предметной области для проведения различных экспериментов.

     Имитационное  моделирование позволяет имитировать  поведение системы во времени. Причём плюсом является то, что временем в  модели можно управлять: замедлять  в случае с быстропротекающими процессами и ускорять для моделирования систем с медленной изменчивостью. Можно имитировать поведение тех объектов, реальные эксперименты с которыми дороги, невозможны или опасны.

     Применение  имитационных моделей дает множество  преимуществ по сравнению с выполнением экспериментов над реальной системой и использованием других методов.

     Стоимость. Допустим, компания уволила часть  сотрудников, что в дальнейшем привело  к снижению качества обслуживания и  потери части клиентов. Принять обоснованное решение помогла бы имитационная модель, затраты на применение которой состоят лишь из цены программного обеспечения и стоимости консалтинговых услуг.

     Время. В реальности оценить эффективность, например, новой сети распространения  продукции или измененной структуры  склада можно лишь через месяцы или даже годы. Имитационная модель позволяет определить оптимальность таких изменений за считанные минуты, необходимые для проведения эксперимента.

     Повторяемость. Современная жизнь требует от организаций быстрой реакции  на изменение ситуации на рынке. Например, прогноз объемов спроса продукции должен быть составлен в срок, и его изменения критичны. С помощью имитационной модели можно провести неограниченное количество экспериментов с разными параметрами, чтобы определить наилучший вариант.

     Точность. Традиционные расчетные математические методы требуют применения высокой  степени абстракции и не учитывают  важные детали. Имитационное моделирование  позволяет описать структуру  системы и её процессы в естественном виде, не прибегая к использованию формул и строгих математических зависимостей.

     Наглядность. Имитационная модель обладает возможностями  визуализации процесса работы системы  во времени, схематичного задания её структуры и выдачи результатов  в графическом виде. Это позволяет  наглядно представить полученное решение и донести заложенные в него идеи до клиента и коллег.

     Универсальность. Имитационное моделирование позволяет  решать задачи из любых областей: производства, логистики, финансов, здравоохранения  и многих других. В каждом случае модель имитирует, воспроизводит, реальную жизнь и позволяет проводить широкий набор экспериментов без влияния на реальные объекты.

     Однако  имитационное моделирование наряду с достоинствами имеет и недостатки:

     - разработка хорошей имитационной  модели часто обходится дороже создания аналитической модели и требует больших временных затрат;

     - может оказаться, что имитационная  модель неточна (что бывает  часто), и мы не в состоянии  измерить степень этой неточности;

     - зачастую исследователи обращаются  к имитационному моделированию, не представляя тех трудностей , с которыми они встретятся и совершают при этом ряд ошибок методологического характера.

     И, тем не менее, имитационное моделирование  является одним из наиболее широко используемых методов при решении  задач синтеза и анализа сложных процессов и систем.

     Можно выделить две разновидности имитации:

1. Метод Монте-Карло (метод статистических испытаний);
2. Метод имитационного моделирования (статистическое моделирование).

     Идея  метода чрезвычайно проста и состоит  она в следующем. Вместо того, чтобы описывать процесс с помощью аналитического аппарата (дифференциальных или алгебраических уравнений), производится «розыгрыш» случайного явления с помощью специально организованной процедуры, включающей в себя случайность и дающей случайный результат. В действительности конкретное осуществление случайного процесса складывается каждый раз по-иному; так же и в результате статистического моделирования мы получаем каждый раз новую, отличную от других реализацию исследуемого процесса. Что она может нам дать? Сама по себе ничего, так же как, скажем, один случай излечения больного с помощью какого-либо лекарства. Другое дело, если таких реализаций получено много. Это множество реализаций можно использовать как некий искусственно полученный статистический материал, который может быть обработан обычными методами математической статистики. После такой обработки могут быть получены любые интересующие нас характеристики: вероятности событий, математические ожидания и дисперсии случайных величин и т. д. При моделировании случайных явлений методом Монте-Карло мы пользуемся самой случайностью как аппаратом исследования, заставляем ее «работать на нас».

     Нередко такой прием оказывается проще, чем попытки построить аналитическую  модель. Для сложных операций, в  которых участвует большое число  элементов (машин, людей, организаций, подсобных средств), в которых случайные факторы сложно переплетены, где процесс -- явно немарковскпй, метод статистического моделирования, как правило, оказывается проще аналитического (а нередко бывает и единственно возможным).

     В сущности, методом Монте-Карло может  быть решена любая вероятностная задача, но оправданным он становится только тогда, когда процедура розыгрыша проще, а не сложнее аналитического расчета. Приведем пример, когда метод Монте-Карло возможен, но крайне неразумен. Пусть, например, по какой-то цели производится три независимых выстрела, из которых каждый попадает в цель с вероятностью 1/2. Требуется найти вероятность хотя бы одного попадания. Элементарный расчет дает нам вероятность хотя бы одного попадания равной 1 -- (1/2)3 = 7/8. Ту же задачу можно решить и «розыгрышем», статистическим моделированием. Вместо «трех выстрелов» будем бросать «три монеты», считая, скажем, герб--за попадание, решку -- за «промах». Опыт считается «удачным», если хотя бы на одной из монет выпадет герб. Произведем очень-очень много опытов, подсчитаем общее количество «удач» и разделим на число N произведенных опытов. Таким образом, мы получим частоту события, а она при большом числе опытов близка к вероятности. Ну, что же? Применить такой прием мог бы разве человек, вовсе не знающий теории вероятностей, тем не менее, в принципе, он возможен.

     Метод Монте-Карло- это численный метод  решения математических задач при  помощи моделирования случайных  величин.

     Две особенности метода Монте-Карло.

     Первая  особенность метода - простая структура вычислительного алгоритма.

     Вторая  особенность метода - погрешность  вычислений, как правило, пропорциональна D/N2, где D - некоторая постоянная, N - число  испытаний. Отсюда видно, что для  того, чтобы уменьшить погрешность  в 10 раз (иначе говоря, чтобы получить в ответе еще один верный десятичный знак), нужно увеличить N (т. е. объем работы) в 100 раз.

     Ясно, что добиться высокой точности таким  путем невозможно. Поэтому обычно говорят, что метод Монте-Карло  особенно эффективен при решении  тех задач, в которых результат нужен с небольшой точностью (5-10%). Способ применения метода Монте-Карло по идее довольно прост. Чтобы получить искусственную случайную выборку из совокупности величин, описываемой некоторой функцией распределения вероятностей, следует:

     1. Построить график или таблицу интегральной функции распределения на основе ряда чисел, отражающего исследуемый процесс (а не на основе ряда случайных чисел), причем значения случайной переменной процесса откладываются по оси абсцисс (х), а значения вероятности (от 0 до 1) - по оси ординат (у).

     2.С  помощью генератора случайных  чисел выбрать случайное десятичное  число в пределах от 0 до 1 (с  требуемым числом разрядов).

     3. Провести горизонтальную прямую  от точки на оси ординат  соответствующей выбранному случайному числу, до пересечения с кривой распределения вероятностей.

     4. Опустить из этой точки пересечения  перпендикуляр на ось абсцисс.

     5. Записать полученное значение  х. Далее оно принимается как  выборочное значение.

     б. Повторить шаги 2-5 для всех требуемых  случайных переменных, следуя тому порядку, в котором они были записаны.

     В задачах исследования операций метод  Монте-Карло применяется в трех основных ролях:

     1) при моделировании сложных, комплексных  операций, где присутствует много  взаимодействующих случайных факторов;

     2) при проверке применимости более  простых, аналитических методов  и выяснении условий их применимости;

     3) в целях выработки поправок  к аналитическим формулам типа  «эмпирических формул» в технике.

     Основные  методы имитационного моделирования.

     Основными методами имитационного моделирования являются: аналитический метод, метод статического моделирования и комбинированный метод (аналитико-статистический) метод.

     Аналитический метод применяется для имитации процессов в основном для малых  и простых систем, где отсутствует фактор случайности. Например, когда процесс их функционирования описан дифференциальными или интегродифференциальными уравнениями. Метод назван условно, так как он объединяет возможности имитации процесса, модель которого получена в виде аналитически замкнутого решения, или решения полученного методами вычислительной математики.

     Метод статистического моделирования  первоначально развивался как метод  статистических испытаний (Монте-Карло). Это – численный метод, состоящий  в получении оценок вероятностных характеристик, совпадающих с решением аналитических задач (например, с решением уравнений и вычислением определенного интеграла). В последствии этот метод стал применяться для имитации процессов, происходящих в системах, внутри которых есть источник случайности или которые подвержены случайным воздействиям. Он получил название метода статистического моделирования.

     Комбинированный метод (аналитико-статистический) позволяет  объединить достоинства аналитического и статистического методов моделирования. Он применяется в случае разработки модели, состоящей из различных модулей, представляющих набор как статистических так и аналитических моделей, которые взаимодействуют как единое целое. Причем в набор модулей могут входить не только модули соответствующие динамическим моделям, но и модули соответствующие статическим математическим моделям. 

     Глава 2. Пример имитационной модели

     Применение  метода имитационного моделирования  можно продемонстрировать на примере  работы отделения банка по обслуживанию физических лиц. Допустим, что необходимо определить минимальное количество обслуживающего персонала, которое обеспечивает требуемое качество сервиса.

     Критерий  качества сервиса зададим правилом: средний размер очереди клиентов не должен превышать N человек. Очевидно, что для решения поставленной задачи необходимо иметь достаточные знания о системе: какие клиенты посещают банк, какое количество клиентов приходит в течение рабочего дня, а также сколько времени занимает обслуживание одного клиента.

     Хотя  данная задача и может показаться специализированной, схожие проблемы возникают во многих областях, где задействованы людские и технические ресурсы. Оплата времени работы квалифицированного работника и времени использования сложной техники составляет немалую долю расходов компаний. Определение оптимального графика использования ресурсов, позволяющего системе эффективно выполнять поставленные задачи, позволяет снизить расходы, а значит увеличить прибыльность.

     На  первом этапе решения задачи создается  модель, которая соответствует структуре и бизнес-процессам отделения банка. В ходе разработки модели учитываются только те детали, которые оказывают существенное влияние на изучаемые аспекты работы системы. Например, наличие отделения обслуживания юридических лиц или кредитного отдела не влияет на обслуживание физических лиц, поскольку они физически и функционально отделены от последнего. Схематично такую модель можно представить в виде последовательности следующих действий (рис.1).

     Рис.1

     На  втором этапе на вход модели подаются исходные данные: интенсивность прихода  клиентов, среднее время обслуживания клиентов, количество доступного персонала. На основании этих данных модель имитирует, или воспроизводит, работу банка в течение заданного промежутка времени, например, рабочего дня (рис.2).

     Рис.2

     Следующий этап заключается в анализе статистики, собранной и представленной моделью. Если средний размер очереди клиентов превышает выбранный предел в N человек, то количество доступного персонала следует увеличить и выполнить новый эксперимент (рис.3).

     Рис. 3

     В результате проведения серии экспериментов  над моделью пользователь может  определить оптимальное количество персонала. Процесс подбора параметров может быть осуществлен также и с помощью встроенного оптимизатора, который в автоматическом режиме проверяет различные сочетания и находит лучшее решение. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Заключение

     Основным  недостатком аналитических моделей является то, что они неизбежно требуют каких-то допущений, в частности, о «марковости» процесса. Приемлемость этих допущений далеко не всегда может быть оценена без контрольных расчетов, а производятся они методом Монте-Карло. Статистические модели не требуют серьезных допущений и упрощений. В принципе, в статистическую модель «лезет» что угодно — любые законы распределения, любая сложность системы, множественность ее состояний. Главный же недостаток статистических моделей — их громоздкость и трудоемкость. Огромное число реализации, необходимое для нахождения искомых параметров с приемлемой точностью, требует большого расхода машинного времени. Кроме того, результаты статистического моделирования гораздо труднее осмыслить, чем расчеты по аналитическим моделям, и соответственно труднее оптимизировать решение (его приходится «нащупывать» вслепую). Правильное сочетание аналитических и статистических методов в исследовании операций — дело искусства, чутья и опыта исследователя. Нередко аналитическими методами удается описать какие-то «под­системы», выделяемые в большой системе, а затем из таких моделей, как из «кирпичиков», строить здание большой, сложной модели.