Инвариантные свойства ортогонального проецирования

Инвариантные  свойства ортогонального проецирования.

1. Проекция  точки есть точка

Это очевидно из самого определения проекции как  точка пересечения проецирующей прямой с плоскостью.

2. Проекция  прямой есть прямая (рис. 1.6)

3. Если  точка К принадлежит прямой а, то и проекция этой точки принадлежит проекции прямой (рис. 1.6).

4. Если  точка К делит отрезок АD  в отношении m: n то и проекция  этой точки делит в таком  же отношении проекцию этого  отрезка (рис. 1.6):

5. Проекция  точки пересечения прямых есть  точка пересечения проекций этих прямых (рис. 1.7)

6. Проекции  параллельных прямых параллельны  (рис. 1.8)

7. Плоский  многоугольник в общем случае  проецируется в многоугольник  с тем же числом вершин.

Исключение  составляет многоугольник (плоская  ломаная или кривая линия) расположенный в проецирующей (лучевой) плоскости. Такой многоугольник проецируется в прямую линию (рис. 1. 9).

8. Прямая, параллельная направлению проецирования,  проецируется в точку (рис. 1.9)

9. Проекция  плоской фигуры, параллельной плоскости  проекций, конгруэнтна этой фигуре

Проекции  центральные и  параллельные. Метод  Монжа. Точка в  системе плоскостей проекций.

ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ!

Представление о центральной проекции можно  получить, если изучить изображение, которое дает человеческий глаз.

Для построения центральной проекции объекта нужно между глазом и изучаемым предметом поместить прозрачный экран и отметить на нем точки пересечения лучей, которые идут от глаза человека к отдельным точкам предмета. При соединении всех точек на экране получаем изображение (проекцию) фигуры (рис. 2). Эта проекция называется центральной.

 Центральная  проекция – это проекция, которая  образуется с помощью проецирующихся  лучей, проходящих через одну  точку.

Изображение предметов при помощи центральной  проекции встречается очень часто, особенно для предметов, обладающих большими размерами.

ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ  ПРОЕЦИРОВАНИЕ!

Параллельная  проекция – это такой вид проекции, при построении которого используются параллельные проецирующиеся лучи.

При построении параллельных проекций нужно задать направление проецирующих лучей (рис. 3). На данном примере в качестве направляющего луча выбран луч l. При построении изображений через все точки проводятся прямые, параллельные установленному направлению проецирования, до точки пересечения с плоскостью проекции. Соединяя полученные точки, получаем параллельную проекцию предмета.

 Параллельные  проекции могут быть ортогональными  или косоугольными в зависимости  от направления проецирующих  лучей.

Проекция  называется ортогональной, если проецирующий луч перпендикулярен плоскости.

Проекция  называется косоугольной, если угол наклона  проецирующих лучей направлен относительно плоскости под углом, отличным от прямого.

Изображение, полученное при помощи параллельной проекции, намного меньше искажено, чем изображение, полученное с помощью центральной проекции.

 МЕТОД  МОНЖА!

В соответствии с методом предложенным Г. Монжем рассмотрим в пространстве две взаимно  перпендикулярные плоскости проекций. Одну из плоскостей проекций П1   располагают горизонтально, а вторую П2 - вертикально. П1 - горизонтальная плоскость проекций, П2- фронтальная. Плоскости бесконечны и непрозрачны.

Плоскости проекций делят  пространство на четыре двугранных угла – четверти. Рассматривая ортогональные проекции, предполагают, что наблюдатель находится в первой четверти на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций.

Комплексный чертеж точки. Положение  точки относительно плоскостей проекций.

Полученный  плоский чертеж называется комплексным  чертежом. Он представляет собой изображение предмета на нескольких совмещенных плоскостях. Комплексный чертеж, состоящий из двух ортогональных проекций, связанных между собой, называется двухпроекционным. На этом чертеже горизонтальная и фронтальная проекции точки всегда лежат на одной вертикальной линии связи.

Прямые  частного положения. Особенности чертежей  прямых частного положения.

К прямым частного положения относятся прямые, параллельные одной или двум плоскостям проекций.

Любую линию (прямую или кривую), параллельную плоскости проекций, называют линией уровня. В инженерной графике различают три основные линии уровня: горизонталь, фронталь и профильную линии.

Горизонталью  называют любую линию, параллельную горизонтальной плоскости проекций. Фронтальная проекция горизонтали  всегда перпендикулярна линиям связи. Любой отрезок горизонтали на горизонтальную плоскость проекций проецируется в истинную величину. В истинную величину проецируется на эту плоскость и угол наклона горизонтали (прямой) к фронтальной плоскости проекций.

   Фронталью называют линию, параллельную фронтальной плоскости проекций (рис.2.3-б). Горизонтальная проекция фронтали всегда перпендикулярна линиям связи. Любой отрезок фронтали на фронтальную плоскость проекций проецируется в истинную величину. В истинную величину проецируется на эту плоскость и угол наклона фронтали (прямой) к горизонтальной плоскости

   Профильной линией называют линию,  параллельную профильной плоскости  проекций. Горизонтальная и фронтальная  проекции профильной линии параллельны  линиям связи этих проекций. Любой отрезок профильной линии (прямой) проецируется на профильную плоскость в истинную величину. На эту же плоскость проецируются в истинную величину и углы наклона профильной прямой к плоскостям проекций П1 и П2. При задании профильной прямой на комплексном чертеже нужно обязательно указать две точки этой прямой.

Прямые  уровня, параллельные двум плоскостям проекций, будут перпендикулярны  третьей плоскости проекций. Такие  прямые называют проецирующими. Различают  три основные проецирующие прямые: горизонтально, фронтально и профильно проецирующие прямые.

Прямые  общего положения. Определение  длины отрезка  прямой общего положения.

   Прямой общего положения (рис.2.2) называют прямую, не параллельную  ни одной из данных плоскостей  проекций. Любой отрезок такой прямой проецируется в данной системе плоскостей проекций искаженно. Искаженно проецируются и углы наклона этой прямой к плоскостям проекций.

Проекции  прямого угла.

Решение многих метрических задач требует  применения перпендикулярных прямых и  плоскостей и основывается на свойства прямоугольного проецирования прямого угла.

Прямой  угол проецируется без искажения, если обе стороны параллельны плоскости  проекций. Если стороны угла не параллельны  плоскости проекции, то угол проецируется с искажением на а эту плоскость проекции.Теорему о проецировании прямого угла мы рассматривали при изучении свойств ортогонального проецирования. Напомним эту теорему.

Теорема:

Если  хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то угол на эту плоскость проецируется в натуральную величину.

 Следствие:  если прямоугольная проекция  угла, одна сторона которого параллельна  плоскости проекций, - прямой угол, то проецируемый угол также  прямой.

Свойства  проекций прямого угла имеют важное значение при решении метрических задач на чертеже, таких, как построение взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей определения расстояния между геометрическими фигурами и т.д.

Особенности чертежей плоскостей частного положения. По расположению относительно плоскостей проекций плоскости делят на плоскости общего и частного положения. К плоскостям общего положения относятся плоскости, непараллельные и неперпендикулярные ни одной из плоскостей проекций. На комплексном чертеже (см. рис. 88) проекции элементов, которыми задана плоскость, как правило, занимают общее положение. К плоскостям частного положения относятся плоскости, параллельные или перпендикулярные одной из плоскостей проекций. В свою очередь, плоскости частного положения делятся на проецирующие плоскости и плоскости уровня. К проецирующим плоскостям относятся плоскости, перпендикулярные одной из плоскостей проекций. Проецирующая плоскость отличается тем, что проекция ее на плоскость проекций, ей перпендикулярную, всегда изображается в виде прямой линии и фигур, лежащих в проецирующей плоскости. Проекция плоскости, выраженной в прямой, вполне определяет положение плоскости относительно плоскостей проекций. К плоскостям уровня относятся плоскости, параллельные одной из плоскостей проекций. Их можно считать дважды проецирующими плоскостями, так как у них на комплексном чертеже две проекции имеют вид прямой, расположенной под прямым углом к линии связи, а третья проекция дает изображение всех элементов, лежащих в этой плоскости, в натуральную величину. Плоскости уровня обычно обозначаются: Г— горизонтальная плоскость уровня; Ф — фронтальная плоскость уровня; U — профильная плоскость уровня. Плоскости уровня отличаются тем, что на плоскости проекций, им перпендикулярную, они проецируются в прямую линию, на которой располагаются точки, прямые и фигуры, расположенные в плоскости уровня. Эти прямые являются вырожденными проекциями заданной плоскости. На плоскость проекций, параллельную заданной плоскости, все изображения этой плоскости проецируются без искажений, т. е. в натуральную величину. Две плоскости в пространстве могут быть параллельными или пересекаться. Параллельными будут плоскости, если одна из них задана пересекающимися прямыми, параллельными пересекающимся, задающим вторую плоскость; Если плоскости пересекаются, то линия их пересечения — прямая. Плоскости, перпендикулярные между собой, представляют случай их пересечения, когда угол между плоскостями составляет 90°.

Проекционные  свойства плоских  кривых линий. Кривые второго порядка

1. Секущая  m к кривой l проецируется в секущую m1 к проекции l1.

2. Касательная  t к кривой l проецируется в касательную  t1 к проекции l1.

3. Бесконечно  удаленные точки кривой проецируются  в бесконечно удаленные проекции  ее точек.

4. Число  точек пересечения кривых равно  числу точек пересечения их проекций.

На основании  перечисленных свойств можно  сделать выводы:

1) порядок  плоской алгебраической кривой  при проецировании не изменяется;

2) эллипс  может спроецироваться в эллипс  или окружность, окружность - в окружность  или эллипс, парабола - в параболу, гипербола - в гиперболу.

Вышеперечисленные проекционные свойства плоских кривых линий вытекают из инвариантов параллельного  проецирования (гл. 1). Кривая второго  порядка имеет уравнение второй степени в декартовой системе  координат. С прямой линией пересекается в двух точках (действительных, совпавших или мнимых).

Эллипс - геометрическое место точек, сумма  расстояний которых до двух заданных точек (фокусов) - величина постоянная, равная | 2а | (длине большой оси  эллипса). Эллипc не имеет несобственных точек.

Парабола - геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки F (фокуса) и данной прямой d (директрисы). Парабола имеет одну несобственную точку.

Гипербола - геометрическое место точек, разность расстояний которых до двух заданных точек (фокусов) - величина постоянная, равная | 2а | (расстоянию между вершинами гиперболы). Гипербола имеет две несобственные точки, по одной на каждой асимптоте.

Кривые  второго порядка - эллипс, окружность, парабола и гипербола - могут быть получены при пересечении конуса плоскостью и поэтому называются коническими сечениями.

Инженерный  дискриминант. Обводы. Способы построения обводов. Решение практических задач по формированию сложных технических контуров наталкивается на такую проблему, как невозможность представления всего контура единственной кривой. Это и породило необходимость конструирования составных кривых.

В технике  такие кривые получили название обводов, в математике они более известны как сплайны (spline). Основной характеристикой обвода является гладкость. Под гладкостью понимают число совпавших производных в точках стыка.

Пространственные  кривые. Образование  и построение винтовой линии.

В отличие  о плоских кривых, пространственные кривые (линии двоякой кривизны) не лежат всеми своими точками на одной плоскости.

Общие свойства пространственной кривой, ее проекции связаны со свойствами проецирования  и справедливы для проекций плоских  кривых:

 а)  несобственная точка кривой проецируется  в несобственную точку ее проекции;

 б)  касательная кривой проецируется в касательную к ее проекции;

 в)  порядок проекции алгебраической  кривой равен порядку самой  кривой.

В частных  случаях проекция может распадаться  и иметь меньший, чем у кривой, порядок. Например, кривая второго порядка, лежащая в проецирующей плоскости, проецируется в «двойную» прямую.

Цилиндрическая  винтовая линия представляет собой  траекторию точки, совершающей равномерное  движение вдоль некоторой прямой, которая в свою очередь равномерно вращается вокруг параллельной ее оси. Образование винтовой линии. Рассмотрим рисунок 113а на нем точка М двигается равномерно по некоторой окружности, которая представляет собой сечение круглого цилиндра плоскостью Р. Здесь эта плоскость перпендикулярна его оси.   

Допустим, что и сама окружность движется равномерно вверх или вниз по поверхности цилиндра. При этом плоскость Р, которая содержит окружность, будет оставаться всё время параллельной самой себе. Пять различных положений плоскости, которая содержит движущуюся точку, показаны на рисунке 113 б.   

Вследствие  этих двух равномерных движений данная точка М пройдет некоторую пространственную кривую М1М2М3М4М5. На рисунке 113в показана эта линия, которая располагается на поверхности цилиндра и носит название цилиндрической винтовой линии. Она не может быть совмещена с плоскостью. На рисунке 113 г показано наглядное представление о винтовой линии, которое дает пружина.

Способы задания поверхностей. Способы образования.

Поверхность может быть задана аналитически, графически. Графических

способов  задания поверхности три: очерк, каркас, определитель

Познакомимся  с графическими способами задания  поверхности.

Очерк поверхности при ортогональном проецировании – это границы

проекций  поверхности или следы проецирующей поверхности, огибающей

заданную  поверхность, на плоскостях проекций. Каркас поверхности – это множество точек или линий формирующих поверхность. Точечный каркас поверхности – множество точек принадлежащих поверхности. Линейчатый каркас поверхности – множество линий, заполняющих поверхность так, что через каждую точку поверхности проходит одна линия

каркаса. Определитель поверхности – это совокупность геометрических

элементов определяющих поверхность и закономерность описывающая их

движение  в пространстве. Здесь в качестве образующей взята прямая 1. Закон перемещения образующей задан направляющей а и прямой b. При этом имеется в виду, что образующая 1 скользит по направляющей а, все время оставаясь параллельной прямой b. Такой способ образования поверхностей называют кинематическим. С его помощью можно образовывать и задавать на чертеже различные поверхности. В частности, на рис.3.1 изображен самый общий случай цилиндрической поверхности. Другим способом образования поверхности и ее изображения на чертеже является задание поверхности множеством принадлежащих ей точек или линий. При этом точки и линии выбирают так, чтобы они давали возможность с достаточной степенью точности определять форму поверхности и решать на ней различные задачи. Множество точек или линий, определяющих поверхность, называют ее каркасом. В зависимости от того, чем задается каркас поверхности, точками или линиями, каркасы подразделяют на точечные и линейные.

Образование цилиндрических поверхностей. Сечение цилиндра плоскостью.

В общем  случае цилиндрическая поверхность  формируется при

перемещении прямолинейной образующей L по криволинейной  направляющей

m. Определитель  цилиндрической поверхности Ф  (L, к)(A).

На рисунке 73 представлена цилиндрическая поверхность  вращения.

Определитель  этой поверхности Ф (L, к)(A) или Ф (L, i)(Вращение). При сечении цилиндра плоскостью можно получить различные фигуры сечения: 
Прямоугольник, если секущая плоскость параллельна оси вращения; Круг, если секущая плоскость перпендикулярна оси вращения. Такое сечение называется нормальным сечением; Эллипс, если секущая плоскость наклонена к оси вращения.

Образование конической поверхности. Конические сечения. В общем случае коническая поверхность формируется при перемещении прямолинейной образующей L по криволинейной направляющей m и проходит в каждом положении через одну точку S, которую называют вершиной. На рисунке 75 представлена коническая поверхность вращения. Коническое сече́ние или коника есть пересечение плоскости с круговым конусом. Существует три главных типа конических сечений: эллипс, парабола и гипербола, кроме того существуют вырожденные сечения: точка, прямая и пара прямых. Окружность можно рассматривать как частный случай эллипса. Конические сечения могут быть получены как пересечение плоскости с двусторонним конусом. Если плоскость проходит через начало координат, то получается вырожденное сечение. В невырожденном случае, если секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости, получаем эллипс, если секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса, получаем параболу, если секущая плоскость пересекает обе полости конуса, получаем гиперболу.

    Образование и изображение  поверхностей вращения. Параллели. Меридианы. Сечения их плоскостью. Поверхности вращения – это поверхности созданные при вращении образующей m вокруг оси i. Геометрическая часть определителя состоит из двух линий: образующей m и оси i. Алгоритмическая часть включает две операции:На образующей m выделяют ряд точек A, B, C, …F;Каждую точку вращают вокруг оси i. Так создается каркас поверхности, состоящей из множества окружностей (рис.8.5), плоскости которых расположены перпендикулярно оси  i. Эти окружности называются параллелями; наименьшая параллель называется горлом, наибольшая – экватором.

Из закона образования поверхности вращения вытекают два основных свойства: Плоскость  перпендикулярная оси вращения, пересекает поверхность по окружности – параллели. Плоскость, проходящая через ось вращения, пересекает поверхность по двум симметричным относительно оси линиям – меридианам. Сечение – например конус.

Образование и изображение  винтовой поверхности. Прямой и наклонный геликоид.

интовые поверхности образуются винтовым движением некоторой лининии образующей.Под винтовым движением понимается совокупность двух движений:поступательного параллельно некоторой оси, и вращательного, вокруг той же оси. При этом поступательное и угловое перемещение находятся в определенной зависимости ∆h=k∆v, где ∆h – линейное перемещение за время ∆t, ∆v – угловое перемещение за то же время, k – коэффициент пропорциональности. Если  k=Const, то шаг поверхности постоянный. Геометрическая часть определителя винтовой поверхности ничем не отличается от поверхности вращения и состоит из двух линий: образующей m и оси i. Алгоритмическая часть:1. На образующей m выделяют ряд точек А, В, С, …2. Строят винтовые линии заданного шага и направления, по которым перемещаются заданные точки. Винтовые поверхности являются частным случаем поверхности коноида. Криволинейной направляющей к является винтовая линия, прямолинейной направляющей n является ось вращения винтовой линии. Плоскостью

параллелизма a является одна из плоскостей проекций.

Винтовые  поверхности называют – прямой геликоид и наклонный

геликоид. Прямой геликоид Поверхность прямого геликоида формируется при движении

прямолинейной образующей L по цилиндрической винтовой линии к

(криволинейная  направляющая) и прямолинейной направляющей n (ось

цилиндрической  винтовой линии). В каждом своем положении  образующая L

пересекает  ось винтовой линии под прямым углом. Плоскостью параллелизма

прямого геликоида представленного на рис. 80 является горизонтальная

плоскость проекций П1. Наклонный геликоид. Поверхность наклонного геликоида формируется при движении прямолинейной образующей L по конической винтовой линии к (криволинейная направляющей) и прямолинейной направляющей n (ось

конической  винтовой линии). Образующая в каждом своем положении

пересекает  ось i под постоянным углом w, то есть образующая наклонного геликоида L параллельна образующим направляющего конуса с углом при

вершине 2w.

Образование и изображение  линейчатой поверхности. Основные определения. Линейчатая поверхность в общем случае однозначно определяется тремя направляющими линиями. Пусть даны три пространственные кривые а, b, с. Возьмем на кривой а произвольную точку М, примем ее за вершину конической поверхности a, а за направляющую этой поверхности примем дугу кривой c. Если N – точка пересечения дуги кривой b с поверхностью a, то прямая МN пересечет дугу кривой с в точке L. Прямая МN и кривая с принадлежат одной конической поверхности, поэтому МN с = L, МNL – образующая поверхности q, заданной тремя кривыми. Описанным способом можно построить любое число прямолинейных образующих, которые выделят в пространстве одну единственную линейчатую поверхность. Движение прямой – образующей по трем направляющим, не единственный способ образования линейчатой поверхности. При образовании линейчатой поверхности может быть задана одна или две направляющие. Дополнительные условия движения образующей прямой должны быть даны в законе движения образующей. Линейчатая поверхность в дифференциальной геометрии - поверхность, образованная движением прямой линии. Прямые, принадлежащие этой поверхности, называются прямолинейными образующими, а каждая кривая, пересекающая все прямолинейные образующие,- направляющей кривой.

Образование изображение торовых  поверхностей. Сечение  их плоскостью.При вращении окружности вокруг прямой, лежащей в плоскости образующей окружности, образуются торовые поверхности. Произвольная прямая пересекает тор в четырех точках, следовательно, это поверхность четвертого порядка.

Образование линейчатых поверхностей с плоскостью параллелизма. Цилиндр, коноид, косая  плоскость.

    Поверхность с плоскостью параллелизма представляет собой множество прямых линий  l (образующих), параллельных некоторой плоскости α (плоскости параллелизма) и пересекающих две данные направляющие m, n (рис. 8.13).

Поверхность цилиндроида (рис. 77) формируется при  движении

прямолинейной образующей L по двум криволинейным  направляющим К и m.

Образующая L в каждом своем положении параллельна горизонтально-

проецирующей  плоскости параллелизма a. Поверхность  коноида (рис. 78) формируется при  движении прямолинейной образующей L по двум направляющим, одна из которых  прямая линия m, другая кривая линия  К. Образующая L в каждом своем положении параллельна горизонтально-проецирующей плоскости параллелизма a.