История цифр. Числа и счисление

Армавирский государственный  педагогический университет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р Е Ф Е Р А  Т

 

Тема: « История цифр. Числа и счисление»

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила

Ярчевская Е.В.,

ОЗО, 1 курс, 151 группа,

педагогика и методика дошкольного образования

 

 

 

руководитель:

Радионова О.Н.

 

 

 

Армавир 2010

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

 

Введение………………………………………………………………3

 

Глава 1 История цифр………………………………………………..4

 

1. Этап появления цифр…………………………………………….4

 

2. Старинные способы нумерации…………………………………6

 

Глава 2 Счисления……………………………………………………9

 

2.1 Системы счисления………………………………………………9

 

2.2 Умножение и деление без приборов ……………………………12

 

2.3 Умножение и деление на счетах…………………………………17

 

Глава 3 Устный счёт ………………………………………………….20

 

Заключение……………………………………………………………22

 

Список литературы……………………………………………………23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

С небольшими числами  иметь дело очень просто: наборы из трех-четырех предметов легко  узнать «в лицо», так что считать  их нет необходимости. Но как, к примеру, выяснить, не потерялась ли овца из большого стада? Здесь уже не обойтись без подсчета. Чтобы пересчитать стадо, проще всего использовать камешки: один камешек – один объект, в данном случае овца.

Считать при помощи камешков удобно и просто, если объектов немного. С большими числами уже сложнее: и нужного количества камешков можно не набрать, и поднять такой мешок не каждому под силу. В некоторых сообществах для счета использовались пальцы рук и ног, но все равно оставалась проблема с числами больше 20…

Значение цифр и чисел  в нашей жизни трудно переоценить. Биологи утверждают, что в составе человеческого мозга есть структуры (кора левого полушария у правшей), отвечающие за формирование устной и письменной речи. Таких структур нет ни у одного другого животного. Благодаря им, человек может писать, читать, говорить, произносить самые разнообразные звуки. Именно из-за такого сложного строения головного мозга человек смог в первый раз произнести слово, написать букву. Теперь мы не можем себе представить жизни без алфавита и слов.

В математике таким алфавитом  являются цифры, а словами – числа. Есть много общего: своеобразными языками в математике являются системы счисления. В таких алфавитах буквы – цифры. Чаще всего математический язык легче языка лингвистического, прежде всего объемом информации, которую несет один символ.

 

Глава 1.   История цифр

 

1.1Этап появления цифр

 

Давно, очень давно  это было. Человек сидел у водопоя, спрятавшись в кустах, и ждал зверя. К воде подошел олень с большими ветвистыми рогами. Охотник загнул на руке палец. Затем к водопою вышел безрогий олень. Охотник загнул еще один палец. Всю ночь просидел в засаде охотник, но больше ни одного зверя не увидел. Утром он рассказывал старшему соплеменнику о своих наблюдениях:

— Сижу, смотрю, вышел  к водопою рогатый олень (охотник для подтверждения положил на ладонь угловатый камешек), а затем вышел безрогий олень (положил рядом с первым овальный камешек). Больше зверей не было до утра.

— Так к водопою  сначала подошел один олень, а затем еще один? — переспросил родич и поднял два пальца.

— Да, — ответил охотник.

К следующей ночи старший  собрал большую группу мужчин с копьями. Он тщательно продумал, куда посадить одного охотника, куда — двух, а куда и трех. Все были размещены у водопоя так, чтобы подошедший олень попал в окружение. Охота была удачной.

Этот случай показывает, что уже на заре развития человеческого общества люди замечали, что различные группы предметов — звери, охотники, камни — могут иметь одно и то же число: два пальца, два зверя, два камня и т. д. В наши дни об этом знает любой первоклассник. Если разложить напротив друг друга, например, кружки и палочки, нетрудно убедиться, что кружков окажется столько же, сколько палочек. Этим мы устанавливаем взаимно-однозначное соответствие. Так и первобытные люди, сопоставляя одну группу (множество) предметов с другой (другим множеством), видели сходство и различие обеих групп (множеств).

В то далекое время  понимание того, что одна группа (множество) может быть похожа на другую (множество), стало для человека громадным  продвижением в его развитии. Это было величайшим открытием. Оно помогло людям научиться видеть взаимно-однозначное соответствие предметов двух множеств, а затем и считать эти предметы.

Постепенное совершенствование жизненного уклада первобытных людей способствовало возникновению у них потребности считать, но прошли десятки столетий, прежде чем люди приобрели это умение.

Вначале человек научился выделять единичные предметы. Например, из стаи волков, стада оленей он выделял одного вожака, из выводка птенцов — одного птенца и т.д. Научившись выделять один предмет из множества других, говорили: «один», а если их было больше — «много». Даже для названия числа «один» часто пользовались словом, которым обозначался единичный предмет, например: «луна», «солнце». Такое совпадение названия предмета и числа сохранилось в языке некоторых народов до наших дней.

Частые наблюдения множеств, состоящих из пары предметов (глаза, уши, крылья, руки), привели человека к представлению о числе два. До сих пор слово «два» на некоторых языках звучит так же, как «глаза» или «крылья».

В некоторых племенах Австралии долгое время пользовались только числами «один» и «два», а все другие называли, повторяя эти числа или говоря «много».

В одном из австралийских  племен считали иначе. Один называли «мал», два — «булан», три — «гулиба», т. е. названия имели только три первых числа, а другие числа, например 4, называли «булан-булан» и т. д. Эти исторические факты показывают, как люди учились считать. Так как в далекие времена общение между разными народами было затруднено, то способы счета и названия чисел в разных местах одной страны были неодинаковы.

С появлением городов  и каменных сооружений все больше людей стали заниматься письменностью  и началами математики. Самые сведущие придумали специальные знаки для записи чисел. Эти знаки, выполняющие роль цифр, были удобны для чтения, но для их записи требовалось довольно много времени.

 

1.2  Старинные способы нумерации

 

Более сложный способ обозначения чисел был придуман римлянами. Они записывали числа черточками, и времени для этого требовалось меньше. Ученые предполагают, что римская пятерка – это упрощенное изображение руки с пятью растопыренными пальцами, а десять – это две сложенные вместе пятерни.

В старину на Руси цифры  обозначались буквами. Для указания того, что знак является не буквой, а цифрой, сверху над ним ставился специальный знак « ~ », называемый «титло». Тысячи обозначались теми же буквами с «титлами», что и первые девять цифр, но у них слева внизу ставился специальный знак. Десятки тысяч назывались «тьмы», и их обозначали, обводя знаки единиц кружками. Отсюда произошло выражение «Тьма народу», т.е. очень много народу. Сотни тысяч назывались «легионами», их обозначали, обводя знаки единиц кружками из точек. Миллионы назывались «леодрами». Их обозначали, обводя знаки единиц кружками из лучей или запятых. Десятки миллионов назывались «воронами» или «вранами», и их обозначали, обводя знаки единиц, кружками их крестиков или ставя по обе стороны буквы, букву К. Сотни миллионов назывались «колодами». «Колода» имела специальное обозначение: над буквой и под ней ставили квадратные скобки. Остальные числа записывались буквами слева направо. При записи больших чисел, чем тысячи, в практической деятельности часто вместо кружков знак, обозначающий тысячу, ставили перед буквами, обозначавшими десятки и сотни. В приведенной системе обозначения чисел не шли дальше тысяч миллионов. Такой счет назывался «малый счет». В некоторых рукописях авторами рассматривался и «великий счет», доходивший до числа 10⁵⁰. Далее говорилось: «И более сего несть человеческому уму разумети».

         Тьмой называли 106, легеоном – 10¹², леодром – 10²⁴, вороном – 10⁴⁸, а колодой, самым большим числом великого счета, - 10⁴⁹. В том, что дальше 10⁵⁰ счет не велся, оба источника согласны.

Сходная нумерация существовала у греков. Для нумерации чисел греческие математики придумали алфавитную нумерацию. Первая буква их алфавита – альфа обозначала 1, вторая – бета – 2 и т. д.

В дореволюционное время  на вещах, купленных у офеней или  в частных магазинах, особенно провинциальных, можно было зачастую заметить непонятные буквенные обозначения вроде: а ве в уо.

Это не что иное, как  цена вещи без запроса, которую торговец обозначал на товаре, но так, однако, чтобы ее не мог разгадать покупатель. Бросив взгляд на эти буквы, торговец сразу проникал в их скрытый смысл и, сделав надбавку, называл покупателю цену с запросом.

Система обозначений была весьма проста. Торговец выбирал какое-нибудь слово, составленное из 10 различных букв; чаще всего останавливали выбор на словах: трудолюбие, правосудие, ярославецъ, миролюбецъ, Миралюбовъ. Первая буква слова обозначала—1, вторая — 2, третья — 3 и т д; десятою буквою обозначался ноль. С помощью этих условных букв-цифр торговец обозначал на товарах их цену, храня в строгом секрете «ключ» к своей системе прибылей.

Если  например, выбрано было слово:          правосудие

                                                                            1234567890

то цена 4 р   75 к. обозначалась так:   в уо.

Иногда цена на товаре писалась в виде дроби, например: 

      ое

            тро

Это значит при ключе «трудолюбие», что надо запросить 1 р. 25 к., для себя же книга стоила 50 коп.

«Нумерация» в то время давно уже была в широком употреблении и понятна была каждому, даже неграмотному крестьянину. Восходит она, без сомнения, к глубокой древности и употребительна была не только у нас. Такая нумерация называется «народной».

Любопытно, что эта  народная нумерация была некогда у нас даже узаконена: по такой именно системе, только более развитой, должны были вестись сборщиками податей записи в податной тетради. «Сборщик, — читаем мы в старом «Своде законов», — принимая от кого-либо из домохозяев вносимые к нему деньги, должен сам, или через писаря, записать в податной тетради против имени того домохозяина, которого числа сколько получено денег, выставляя количество принятой суммы цифрами и знаками. Знаки сии для сведения всех и каждого ввести повсеместно одинаковые, а именно:

В другом месте того же тома «Свода законов» находим еще раз упоминание об обязательном употреблении народных числовых обозначений. Приводятся особые знаки для тысячи рублей — в виде шестиконечной звезды с крестом в ней, и для ста рублей — в виде колеса с 8 спицами. Но обозначения для рубля и десяти копеек здесь устанавливаются иные, чем в предыдущем законе. Вот текст закона об этих так называемых «ясачных знаках»:

«Чтобы на каждой квитанции, выдаваемой Родовитому Старосте, от которого внесен будет ясак, кроме изложения словами, было показываемо особыми знаками число внесенных рублей и копеек так, чтобы сдающие простым счетом сего числа могли быть уверены в справедливости показания *. Употребляемые в квитанции знаки означают: (звезда) тысяча рублей, (колесо) сто рублей, (квадрат) десять рублей, X один рубль, ||||| |||| десять коп., | копейку.

«Дабы не можно было сделать  здесь никаких прибавлений, все таковые знаки очерчивать кругом прямыми линиями».

Как видите, употребляемые  нами арабские и римские цифры  — не единственный способ обозначения чисел. В старину применялись у нас, и теперь кое-где по деревням применяются другие системы письменного счисления, отдаленно сходные с римскими, и совсем не сходные с арабскими цифрами.

 

Глава 2.  Счисления

 

2.1 Системы счисления

 

Как уже было сказано, в некоторых сообществах для счета использовались пальцы рук, однако этот способ годился только в пределах 10. Кое-где прогресс пошел дальше: к счету приобщали и пальцы ног, но все равно оставалась проблема с числами больше 20.

Выход нашелся: считать на пальцах до 10, а затем начинать сначала, отдельно подсчитывая количество десятков. Система счисления на основе десяти возникла как естественное развитие пальцевого счета. Существовало, однако, несколько отклонений от этой системы. Например, 4000 лет назад жители Древнего Вавилона использовали систему счета до 60. Следы шестидесятеричной системы в наше время сохранились в делении часа и углового градуса на 60 минут, а минуты - на 60 секунд.

По мере развития речи люди начали использовать слова для обозначения чисел. Отпала необходимость показывать кому-то пальцы, камешки или реальные предметы, чтобы назвать их количество. Для изображения чисел стали применяться рисунки, чертежи или символы. Например, для ответа на вопрос «Сколько овец в стаде?» достаточно нарисовать или начертить группу животных. Но считать можно гораздо быстрее, применяя для обозначения чисел какие-либо символы. Египтяне для чисел до 9 использовали последовательности простых штрихов и специальный символ - для 10. Вавилоняне имели аналогичную систему, а римляне ввели новый символ при достижении 5. Существовали и системы с отдельными символами для каждой цифры до 9 включительно, как в арабской системе счисления, которую мы сейчас используем, а у греков имелся специальный символ и для 10.

Появилась десятичная система, вероятно, в Индии. Выбор графических  изображений для цифр, разумеется, не принципиален. Современные изображения  цифр – простая стилизация древних  арабских цифр.      Марокканский историк Абделькари Боужибар считает, что арабским цифрам в их первоначальном варианте было придано значение в строгом соответствии с числом углов, которые образуют фигуры.

В десятичной системе  каждая цифра несет двойную информацию: свое собственное значение и место, которое она занимает в записи числа (разряд). Такие системы счисления называются позиционными. Римскую систему счисления можно скорее назвать аддитивной, поскольку число образуется при сложении и вычитании значений специальных значков. В аддитивных системах счисления выполнять арифметические действия безнадежно – неудивительно, что такие системы не прижились.

 Вот запись из дневника одного математика:

«Я окончил курс университета 44 лет от роду. Спустя год, 100-летним молодым человеком, я женился  на 34-летней девушке. Незначительная разница в возрасте – всего 11 лет – способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет у меня была уже и маленькая семья из 10 детей. Жалования я получал в месяц всего 200 рублей, из которых 1/10 мне приходилось отдавать сестре, так что мы с детьми жили на 130 руб. в месяц» и т. д.

На первый взгляд странная биография, но только на первый. Разберемся в чем тут дело.

А все дело в том, что  отрывок написан с использованием недесятичной системы счисления, такой привычной для большинства людей. Можно легко догадаться, какую именно систему использовал автор. Секрет выдается фразой: «Спустя год (после 44 лет), 100-летним молодым человеком…» Если от прибавления одной единицы число 44 преображается в 100, значит цифра 4 – наибольшая в этой системе счисления, т. е. основанием системы является 5. Немного сложнее перевести остальные числа в «родную» десятичную. Например, несложно догадаться, что одна единица третьего разряда равна 5 во второй степени, т. е. 25 (так же в десятичной системе одна единица третьего разряда равна 100, т. е. 10²). А единица второго разряда равна 5¹, третьего – 5⁰. Теперь несложно восстановить реальную биографию чудака-автора.

При желании можно  создать собственную биографию  в таком же роде. Скажем, вам 17 лет. Воспользуемся для записи возраста четвертичной системой счисления. Разделим 17 на 4:

17 : 4 = 4, остаток 1

Остаток – это и  есть число единиц первого разряда. Результат целочисленного деления  снова поделим на 4:

4 : 4 = 1, остаток 0

Теперь остаток –  число единиц второго разряда. Ну а последнее частное – единицы третьего разряда. Теперь составим из наших ответов число. Получили 101, т. е. 17₁₀=101₄.

Помеха может возникнуть вследствие того, что в некоторых  случаях не будет доставать обозначений  цифр. При изображении чисел в системах с основаниями больше 10 может явиться надобность в цифрах «десять», «одиннадцать» и т. д.

Обычно для обозначения  их применяют латинский алфавит: «десять» обозначают буквой «А», «одиннадцать» - буквой «В». Когда буквы заканчиваются, ничего не поделаешь – придется обозначать двумя, тремя буквами сразу, да еще и обводить, скажем, кружочком, чтобы было видно, что это цифра, а не двузначное число.

Нетрудно производить  арифметические действия в разных системах счисления. Только надо помнить, что переходить через разряд надо, когда цифра превышает максимально допустимую в данной системе. Легко догадаться, что для любой системы такая цифра на единицу меньше основания. Заметим, что в самой «маленькой» из систем – двоичной – выполнять разнообразные арифметические действия с точки зрения умственной нагрузки легче всего, хотя для этого понадобится много времени и бумаги (если считать столбиком). Ну а в целом это дело привычки.

 

2.2 Умножение и деление без приборов

 

Длительное время счет чисел выполняли только устно с помощью каких-либо предметов – пальцев, камешков, ракушек и др., а позже на специальных приборах – абаке, счетах. Только после того, как была изобретена позиционная система счисления и числа стали записывать цифрами индийские мудрецы нашли способ сложения чисел в письменном виде. При вычислениях они записывали числа палочкой на песке, насыпанном на специально приготовленную доску. Цифры, изображенные на песке, легко было стирать, а на их месте записывать другие. Вероятно, этим можно объяснить некоторые особенности индийского приема сложения чисел.

В Древней Индии было принято  записывать слагаемые в столбик — одно под другим; сумму же записывали над слагаемыми, сложение начинали с наивысшего разряда, т. е. слева направо. Если записанная в сумме цифра при сложении последующего низшего разряда изменялась, то ранее записанную цифру стирали, а на ее место вписывали новую.

С XV века способ письменного сложения чисел принял современный вид. Привожу краткую справку о том, когда впервые появились общеупотребительные теперь знаки арифметических действий и другие математические операторы:

+  и -   в рукописях Леонардо да Винчи (1452-1519). В начале XV века действие сложения стали обозначать начальной буквой слова «плюс» (по латыни Р), что означало «сложить». До этого долгое время слагаемые просто записывали друг против друга без всякого знака. Древние египтяне обозначали сложение особым знаком – рисунком шагающих ног. Название «слагаемое» впервые встречается в работах математиков XIII в., а понятие «сумма» до XV века означало результат любого из четырех арифметических действий. Для обозначения вычитания в III в. до н. э. В Греции использовали перевернутую букву пси (Ш). Итальянские математики пользовались для обозначения вычитания буквой М, начальной в слове «минус». Торговцы XVI в., отливая для продажи вино из бочек, черточкой мелом обозначали число мер проданного вина (вероятно, так произошел знак -). Чтобы отличить знак минус от тире, Л.Ф.Магницкий обозначал вычитание знаком ч.

(Х) - в сочинении Утреда (1631). Для обозначения действия умножения в XVI в. В Европе употребляли букву М, которая была начальной в латинском слове, обозначавшем увеличение – «мультипликация». В конце XVIII в. большинство математиков стали употреблять для обозначения умножения точку, но допускали и употребление косого креста.

(.) и (:) - в сочинении Лейбница (1646-1716). На протяжении тысячелетий действие деления не обозначали каким-либо знаком, его просто называли и записывали словом. Индийские математики первыми стали обозначать деление первой буквой этого слова. До знака (:) у некоторых математиков встречался знак (ч) для обозначения деления.

( ) в сочинении Фибоначчи (1202). Арабы ввели для обозначения деления черту. От арабов этот знак перенял итальянский математик Фибоначчи.

(а^{n )}   в сочинении Шюке (1484)

(=)    в сочинении Р. Рекорда (Риккорда) (1557). Сам Риккорд объяснял этот знак так: «Никакие два предмета не могут в большей степени быть равны между собой, как две параллельные линии». Знак (=) стал общепризнанным благодаря авторитету знаменитого немецкого математика Готфрида Вильгельма Лейбница.

( ) и [ ] в сочинении Жерара.

Предки наши пользовались гораздо более громоздкими и медленными приемами счисления. И если бы школьник XX века мог перенестись за четыре, за три века назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих арифметических выкладок. Молва о нем облетела бы окрестные школы и монастыри, затмив славу искуснейших счетчиков той эпохи, и со всех сторон приезжали бы учиться у нового великого мастера счетного дела.

Принято думать, что арифметические знаки до известной степени интернациональны, что они одинаковы у всех народов европейской культуры. Это верно лишь по отношению к большинству знаков, но не ко всем. Знаки (+) и (-), знаки (х) и (:) употребляются в одинаковом смысле  и немцами, и французами, и   англичанами.   Но точка, как знак умножения, применяется не вполне тождественно разными народами.  Одни пишут 7 . 8, другие — 7 • 8, поднимая точку на середину высоты цифры. То же приходится сказать о знаке дробности, т. е. о знаке, отделяющем десятичную дробь от целого числа.   Одни пишут как мы,   4,5, другие 4.5,   третьи 4^·5, помещая точку выше  середины.   Англичане  и   американцы  совсем   опускают ноль  перед десятичной дробью,  чего  на  континенте  Европы  никто  не  делает.  В  американской  книге вы встречаете такие  обозначения, как .725 или  •725, или даже ,725 — вместо нашего 0,725.

Расчленение числа на классы обозначается также не однообразно.    В одних странах разделяют классы точками (15.000.000), в других — запятыми     (15,000,000). У  нас привился  разумный  обычай не  помещать   между классами    никакого   знака,   а   оставлять    лишь   пробел (15000000).

Поучительно проследить за тем, как меняется способ наименования одного и того же числа с переходом  от одного языка к другому.   Число 18, например, мы называем   «восемнадцать»,   т.   е.   произносим   сначала   единицы (8), потом десятки (10).  В такой же последовательности читает это число немец: achtzehn, т. е. 8-10.    Но француз   произносит   иначе:    10-8   (dix-huit).   Насколько разнообразны у разных народов способы наименования того же числа 18, показывает следующее извлечение из таблицы, составленной одним исследователем:     по-русски ....….. 8-10     по-новозеландски 11+7

                       по-немецки ..... 8-10        по-валлийски …..3+5-10

                       по-французски…10-8      по-айносски …….10 — 2 сверх 10 

                       по-армянски ...…10+8     по-коряцки …….. 3-5 сверх 10

                       по-гречески ...…. 8+10     по-литовски ...…..8 сверх 10

                       по-латыни ....….. без 2 20

Курьезно наименование для того же числа 18 у одного гренландского племени: «с другой ноги 3». При всей своей необычности это название, естественно, объясняется способом счета по пальцам рук и ног. Сходным образом объясняется карибское наименование числа 18: «все мои руки, 3, моя рука».

Особенно сложны и трудны были в старину действия умножения и деления — особенно последнее, «Умноженье — мое мученье, а с делением — беда», — говорили в старину. Тогда не существовало еще, как теперь, одного выработанного практикой приема для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина различных способов умножения и деления — приемы один другого запутаннее, твердо запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия.

В книге В. Беллюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей  арифметики» (1914) изложено 27 способов умножения. Причем автор замечает: «весьма возможно, что есть и еще (способы), скрытые в тайниках книгохранилищ, разбросанные в многочисленных, главным образом, рукописных сборниках». Наш современный способ умножения описан там под названием «шахматного». Был также и очень интересный, точный, легкий, но громоздкий способ «галерой» или «лодкой», названный так в силу того, что при делении чисел этим способом получается фигура, похожая на лодку или галеру. У нас такой способ употреблялся до середины XVIII века. На протяжении своей книги в 640 страниц Леонтий Магницкий («Арифметика» - старинный русский учебник математики, которую Ломоносов называл «вратами своей учености») пользуется исключительно способом «галеры», не употребляя, впрочем, этого названия.

Упоминаются такие способы, как «загибанием», «решеткой», «задом наперед», «ромбом», «треугольником» и многие - многие другие. Многие такие приемы для умножения чисел долгие и требуют обязательной проверки.

Любимым приемом проверки был так называемый «способ девятки». Этот изящный прием нередко описывается и в современных арифметических учебниках, особенно иностранных.

Проверка девяткой основана на «правиле остатков», гласящем: остаток  от деления суммы на какое-либо число  равен сумме остатков от деления  каждого слагаемого на то же число. Точно так же остаток произведения равен произведению остатков множителей. С другой стороны, известно также, что при делении числа на 9 получается тот же остаток, что и при делении на 9 суммы цифр этого числа; например, 758 при делении на 9 дает остаток 2, то же получается в остатке от деления (7 + 5 + 8) на 9. Сопоставив оба указанных свойства, мы и приходим к приему проверки девяткой, т. е. делением на 9.

Интересно, что и наш  способ умножения не является совершенным; можно придумать еще более  быстрые и еще более надежные. Одно из таких усовершенствований увеличивает надежность выполнения умножения. Оно состоит в том, что при многозначном множителе начинают с умножения не на последнюю, а на первую цифру множителя. Последнюю цифру каждого частного произведения подписывают под той же цифрой множителя, на которую умножают.

Преимущество подобного  расположения в том, что цифры  частных произведений, от которых  зависят первые, наиболее ответственные  цифры результата, получаются в начале действия, когда внимание еще не утомлено и, следовательно, вероятность сделать ошибку – меньшая.

Самым, на мой взгляд, «родным» и легким способом умножения  является способ, который был употребителен  у русских крестьян. Этот прием  вообще не требует знания таблицы  умножения дальше числа 2. Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа. Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат. В случае нечетного числа надо откинуть единицу и делить остаток пополам; но зато к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечетных чисел левого столбца: сумма и будет искомым произведением.

 

2.3 Умножение и деление на счетах

 

Есть много полезных вещей, которые мы не ценим только потому, что, находясь постоянно у  нас под руками, они превратились в слишком обыденный предмет домашнего обихода. К числу таких недостаточно ценимых вещей принадлежат и наши конторские счеты — русская народная счетная машина, представляющая собою видоизменение знаменитого «абака» или «счетной доски» наших отдаленных предков.