Измерение тесноты связи

Содержание 

Введение…………………………………………………………………………...3

1. Основные понятия  корреляционного и регрессионного  анализа………..….4

2. Корреляционно-регрессионный метод анализа………………...………….....7

3. Непараметрические показатели связи……………………………………….13

Заключение…………………………………………………………………….…20Список использованной литературы…………………………………………...22 
 
 

Введение 

     Анализ  взаимосвязей, присущих изучаемым процессам  и явлениям, является важнейшей задачей  статистических исследований. В тех  случаях, когда речь идет о явлениях и процессах, обладающих сложной структурой и многообразием свойственных им связей, такой анализ представляет собой сложную задачу. Прежде всего, необходимо установить наличие взаимосвязей и их характер. Вслед за этим возникает вопрос о тесноте взаимосвязей и степени воздействия различных факторов (причин) на интересующий исследователя результат. Если черты и свойства изучаемых объектов могут быть измерены и выражены количественно, то анализ взаимосвязей может вестись на основе применения математических методов. Использование этих методов позволяет проверить гипотезу о наличии или отсутствии взаимосвязей между теми или иными признаками, выдвигаемую на основе содержательного анализа. Далее, лишь посредством математических методов можно установить тесноту и характер взаимосвязей или выявить силу (степень) воздействия различных факторов на результат.

     Наиболее  разработанными в математической статистике методами анализа взаимосвязей являются корреляционный и регрессионный анализ.

     Анализ  статистической, или корреляционной, связи предполагает выявление формы связи, а также оценку тесноты связи. Первая задача решается методами регрессионного анализа, вторая — методами корреляционного анализа. Регрессионный анализ сводится к описанию статистической связи с помощью подходящей функциональной зависимости. Корреляционный анализ позволяет оценивать тесноту связи посредством специальных показателей, причем выбор их зависит от вида функциональной зависимости, пригодной для адекватного описания рассматриваемой статистической взаимосвязи.

     Целью данной работы является изучение тесноты  связи. Для этого перед нами стоит  ряд задач: для начала необходимо рассмотреть основные понятия анализа взаимосвязей, их цели и задачи. После чего остановимся на каждом конкретном методе измерения связи и выявим их основные направления и способы вычисления. 

Основные  понятия корреляционного  и регрессионного анализа 

     Формы проявления взаимосвязей весьма разнообразны. В качестве двух самых общих их видов выделяют функциональную (полную) и корреляционную (неполную) связи. В первом случае величине факторного признака строго соответствует одно или несколько значений функции. Достаточно часто функциональная связь проявляется в физике, химии. В экономике примером может служить прямо пропорциональная зависимость между производительностью труда и увеличением производства продукции.

     Корреляционная  связь (которую также называют неполной, или статистической) проявляется  в среднем, для массовых наблюдений, когда заданным значениям зависимой  переменной соответствует некоторый ряд вероятных значений независимой переменной. Объяснение тому – сложность взаимосвязей между анализируемыми факторами, на взаимодействие которых влияют неучтенные случайные величины. Поэтому связь между признаками проявляется лишь в среднем, в массе случаев. При корреляционной связи каждому значению аргумента соответствуют случайно распределенные в некотором интервале значения функции.

     Например, некоторое увеличение аргумента  повлечет за собой лишь среднее увеличение или уменьшение (в зависимости  от направленности) функции, тогда как конкретные значения у отдельных единиц наблюдения будут отличаться от среднего. Такие зависимости встречаются повсеместно. Например, в сельском хозяйстве это может быть связь между урожайностью и количеством внесенных удобрений. Очевидно, что последние участвуют в формировании урожая. Но для каждого конкретного поля, участка одно и то же количество внесенных удобрений вызовет разный прирост урожайности, так как во взаимодействии находится еще целый ряд факторов (погода, состояние почвы и др.), которые и формируют конечный результат. Однако в среднем такая связь наблюдается – увеличение массы внесенных удобрений ведет к росту урожайности.

     По  направлению связи бывают прямыми, когда зависимая переменная растет с увеличением факторного признака, и обратными, при которых рост последнего сопровождается уменьшением функции. Такие связи также можно назвать соответственно  положительными и отрицательными.

     Относительно  своей аналитической формы связи  бывают линейными и нелинейными. В первом случае между признаками в среднем проявляются линейные соотношения. Нелинейная взаимосвязь выражается нелинейной функцией, а переменные связаны между собой в среднем нелинейно.

     Существует  еще одна достаточно важная характеристика связей с точки зрения взаимодействующих факторов. Если характеризуется связь двух признаков, то ее принято называть парной. Если изучаются более чем две переменные – множественной.

     Указанные выше классификационные признаки наиболее часто встречаются в статистическом анализе. Но кроме перечисленных различают также непосредственные, косвенные и ложные связи. Собственно, суть каждой из них очевидна из названия. В первом случае факторы взаимодействуют между собой непосредственно. Для косвенной связи характерно участие какой-то третьей переменной, которая опосредует связь между изучаемыми признаками. Ложная связь – это связь, установленная формально и, как правило, подтвержденная только количественными оценками. Она не имеет под собой качественной основы или же бессмысленна.

     По  силе различаются слабые и сильные связи. Эта формальная характеристика выражается конкретными величинами и интерпретируется в соответствии с общепринятыми критериями силы связи для конкретных показателей.

     В наиболее общем виде задача статистики в области изучения взаимосвязей состоит в количественной оценке их наличия и направления, а также характеристике силы и формы влияния одних факторов на другие. Для ее решения применяются две группы методов, одна из которых включает в себя методы корреляционного анализа, а другая – регрессионный анализ. В то же время ряд исследователей объединяет эти методы в корреляционно-регрессионный анализ, что имеет под собой некоторые основания: наличие целого ряда общих вычислительных процедур, взаимодополнения при интерпретации результатов и др.

     Поэтому в данном контексте можно говорить о корреляционном анализе в широком  смысле – когда всесторонне характеризуется  взаимосвязь. В то же время выделяют корреляционный анализ в узком смысле – когда исследуется сила связи, и регрессионный анализ, в ходе которого оцениваются ее форма и воздействие одних факторов на другие.

     Задачи  собственно корреляционного  анализа сводятся к измерению тесноты связи между варьирующими признаками, определению неизвестных причинных связей и оценке факторов, оказывающих наибольшее влияние на результативный признак.

     Задачи  регрессионного анализа лежат в сфере установления формы зависимости, определения функции регрессии, использования уравнения для оценки неизвестных значении зависимой переменной.

     Решение названных задач опирается на соответствующие приемы, алгоритмы, показатели, применение которых дает основание говорить о статистическом изучении взаимосвязей.

     Следует заметить, что традиционные методы корреляции и регрессии широко представлены в разного рода статистических пакетах программ для ЭВМ. Исследователю остается только правильно подготовить информацию, выбрать удовлетворяющий требованиям анализа пакет программ и быть готовым к интерпретации полученных результатов. Алгоритмов вычисления параметров связи существует множество, и в настоящее время вряд ли целесообразно проводить такой сложный вид анализа вручную. Вычислительные процедуры представляют самостоятельный интерес, но знание принципов изучения взаимосвязей, возможностей и ограничений тех или иных методов интерпретации результатов является обязательным условием исследования.

     Методы  оценки тесноты связи подразделяются на корреляционные (параметрические) и непараметрические. Параметрические методы основаны на использовании, как правило, оценок нормального распределения и применяются в случаях, когда изучаемая совокупность состоит из величин, которые подчиняются закону нормального распределения. На практике это положение чаще всего принимается априори. Собственно, эти методы – параметрические – и принято называть корреляционными.

     Непараметрические методы не накладывают ограничений  на закон распределения изучаемых  величин. Их преимуществом является и простота вычислений.

Корреляционно-регрессионный  метод анализа 

     Наиболее  простым вариантом корреляционной зависимости является парная корреляция, т.е. зависимость между двумя признаками (результативным и факторным или между двумя факторными). Математически эту зависимость можно выразить как зависимость результативного показателя у от факторного показателя х.

     Важнейшей задачей является определение формы  связи с последующим расчетом параметров уравнения, или, иначе, нахождение уравнения связи (уравнения регрессии).

     Могут иметь место различные формы  связи:

  прямолинейная

  криволинейная в виде:

• параболы второго порядка (или высших порядков)

• гиперболы

• показательной функции

 и т.д.

     Параметры для всех этих уравнений связи, как  правило, определяют из системы нормальных уравнений, которые должны отвечать требованию метода наименьших квадратов (МНК):

     Если  связь выражена параболой второго порядка ( ), то систему нормальных уравнений для отыскания параметров a₀ , a₁ , a₂ (такую связь называют множественной, поскольку она предполагает зависимость более чем двух факторов) можно представить в виде

     Для определения степени тесноты парной линейной зависимости служит линейный коэффициент корреляции r.

     Линейный  коэффициент корреляции характеризует  тесноту и направление связи  между двумя коррелируемыми признаками в случае наличия между ними линейной зависимости.

     В теории разработаны и на практике применяются различные модификации формулы расчета данного коэффициента:

     Производя расчет по итоговым значениям исходных переменных, линейный коэффициент корреляции можно вычислить по формуле:

     Между линейным коэффициентом корреляции и коэффициентом регрессии существует определенная зависимость, выражаемая формулой:

     ,

где:

a_i - коэффициент регрессии в уравнении связи; 

• - среднее квадратическое отклонение соответствующего факторного признака.

     Линейный  коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до 1: [-1 < r < 1]. Знаки коэффициентов регрессии и корреляции совпадают. При этом интерпретацию выходных значений коэффициента корреляции можно осуществлять следующим образом:

Оценка  линейного коэффициента корреляции 

Пример.

     На  основе выборочных данных о деятельности 6 предприятий одной из отраслей промышленности оценить тесноту  связи между трудоемкостью продукции  предприятия (X, чел.-час.) и объемом ее производства (Y, млн. руб.).

Расчетная таблица для определения  коэффициента корреляции

     Используя формулу получаем:

     По  формуле  значение коэффициента корреляции составило:

     Таким образом, результат по всем формулам одинаков и свидетельствует о  сильной обратной зависимости между  изучаемыми признаками.

     В случае наличия линейной и нелинейной зависимости между двумя признаками для измерения тесноты связи применяют так называемое корреляционное отношение. Различают эмпирическое и теоретическое корреляционное отношение.

     Эмпирическая (т.е. выборочная) оценка этой характеристики вычисляется по следующим формулам:

     Здесь черта сверху означает операцию среднего арифметического:

, а величина

называется  ковариацией и обозначается как cov (x,y).

     Величину  выборочного коэффициента корреляции следует считать достаточной для статистического обоснованного вывода о наличии корреляционной связи между исследуемыми переменными, если будет выполнено условие:

, где - табличное значение квантили распределения Стьюдента с (n - 2)- мя степенями свободы и уровнем значимости, равным a/2.

     В альтернативном случае неравенства  принимается гипотеза об отсутствии корреляционной связи.

     Доверительный интервал для теоретического (т.е. истинного) коэффициента корреляции r заключен в  пределах: th z1 < r< th z2 ,

Где ,

  - квантиль нормального распределения с уровнем значимости a/2, причем величина находится при заданном по таблицам z-преобразования Фишера (или прямым вычислением).

Пример.

     По  данным n = 39 предприятий получен  коэффициент корреляции =-0,654, характеризующий тесноту связи между себестоимостью продукции (y) и производительностью труда (x). Найти доверительную оценку для r, задавшись 95% - й доверительной вероятностью (или 5% - м уровнем значимости).

     Из  таблиц z-преобразования Фишера (или  прямым вычислением) для  =-0,654 находим z = - 0,7823.

     Тогда получим

,

.

     Далее, по таблицам z-преобразования Фишера, но уже по значениям: функции и находим аргументы и :

=- 0,756, = - 0,420 .

     Таким образом, можно утверждать, что с  доверительной вероятностью P = 95% истинное значение коэффициента корреляции r между  себестоимостью продукции (y) и производительностью труда x будет лежать в интервале от – 0,756 до – 0, 420. 

Непараметрические показатели связи 

     В статистической практике могут встречаться  такие случаи, когда качества факторных  и результативных признаков не могут  быть выражены численно. Поэтому для измерения тесноты зависимости необходимо использовать другие показатели. Для этих целей используются так называемые непараметрические методы.

     Наибольшее  распространение имеют ранговые коэффициенты корреляции, в основу которых положен принцип нумерации значений статистического ряда. При использовании коэффициентов корреляции рангов коррелируются не сами значения показателей х и у, а только номера их мест, которые они занимают в каждом ряду значений. В этом случае номер каждой отдельной единицы будет ее рангом.

     В качестве грубой количественной оценки корреляции используются коэффициенты корреляции рангов Спирмена и Кендалла, меняющиеся от –1 до +1, и чем ближе они по модулю к 1, тем теснее зависимость.

     Ранг  – это порядковый номер единицы совокупности в ранжированном ряду. Ранжировать оба признака необходимо в одном и том же направлении: либо от меньших значений к большим, либо наоборот.

     Идея  использования ранговых коэффициентов  состоит в следующем: если проранжировать совокупность по двум признакам, то полное совпадение рангов означает максимально тесную прямую связь, а полная противоположность рангов - максимально тесную обратную связь.

     Ранговый  коэффициент Спирмена рассчитывается согласно формуле:

,

где - сумма квадратов разностей рангов,

- разность рангов каждой пары  значений x и y,

n - общее число вариант, имеющих оба признака (число наблюдений).

     Ранговый  коэффициент корреляции Кендалла использует несколько другую методику вычислений и определяется согласно формуле:

Здесь – сумма положительных и отрицательных баллов (фактическая сумма рангов), где P – общая сумма числа рангов для каждого значения более высокого порядка (эти баллы учитываются со знаком «плюс»); Q - общая сумма числа рангов следующих для каждого значения , меньших по значению (эти баллы учитываются со знаком «минус»).

     Рассмотрим  методику вычислений обоих ранговых коэффициентов на примере измерения  тесноты связи между объёмом  выпуска продукции (y, млн руб.) и  стоимостью основных производственных фондов (x, млн руб.) по данным 10 предприятий.

     Расчет  необходимых показателей (графы 3 – 8) на основе исходных данных (графы 1 и 2) дается в следующей таблице:

     Коэффициент корреляции рангов Спирмена получается равным

. 

     Для расчета коэффициента корреляции рангов Кендэлла находим общую сумму баллов (эти баллы даны в графах 7 и 8): S = P + Q = 35 + (-10) = 25. Тогда ранговый коэффициент Кендалла равен

.

     Следует заметить, что коэффициент Кендалла всегда меньше, чем коэффициента Спирмена, так как .

     Также к непараметрическим методам исследования можно отнести коэффициент ассоциации Кас и коэффициент контингенции Ккон, которые используются, если, например, необходимо исследовать тесноту зависимости между качественными признаками, каждый из которых представлен в виде альтернативных признаков.

     Для определения этих коэффициентов  создается расчетная таблица (таблица  «четырех полей»), где статистическое сказуемое схематически представлено в следующем виде:

     Здесь а, b, c, d - частоты взаимного сочетания (комбинации) двух альтернативных признаков ; n - общая сумма частот.

     Коэффициент ассоциации можно расcчитать по формуле

          Коэффициент контингенции рассчитывается по формуле

     Нужно иметь в виду, что для одних  и тех же данных коэффициент контингенции (изменяется от -1 до +1) всегда меньше коэффициента ассоциации.           

     Если  необходимо оценить тесноту связи  между альтернативными признаками, которые могут принимать любое число вариантов значений, применяется коэффициент взаимной сопряженности Пирсона (КП).

     Для исследования такого рода связи первичную  статистическую информацию располагают  в форме таблицы:

     Здесь m_ij - частоты взаимного сочетания двух атрибутивных признаков; П - число пар наблюдений.

     Коэффициент взаимной сопряженности Пирсона  определяется по формуле

где φ²  - показатель средней квадратической сопряженности:

     Коэффициент взаимной сопряженности изменяется от 0 до 1.

     Наконец, следует упомянуть коэффициент Фехнера, характеризующий элементарную степень тесноты связи, который целесообразно использовать для установления факта наличия связи, когда существует небольшой объем исходной информации. Данный коэффициент определяется по формуле

где n_a - количество совпадений знаков отклонений индивидуальных величин от их средней арифметической; n_b - соответственно количество несовпадений.

          Коэффициент Фехнера может изменяться в пределах -1,0   Кф   +1,0.

     Пример.

     По  данным о прибыли и объеме кредитных  вложений 10 коммерческих банков одного из регионов определить с помощью  коэффициента Спирмена зависимость  между этими признаками.

Расчет  коэффициента Спирмена