Кездейсоқ оқиғалар. 2

 

 

 

 

Жоспар

 

І Кіріспе

Ықтималдық теориясы. Кездейсоқтық оқиғалар мен   шамалар.

ІІ Негізгі бөлім

1. Ықтималдықтың анықтамасы

1.1 Кездейсоқ  оқиғалардың қасиеттері

1.2 Комбинаторика  және ықтималдықты есептеу

2. Кездейсоқ шама.

2.1  Кездейсоқ  шаманың қасиеттері

2.2 Математикалық  күтім.

 

 

ІІІ Қорытынды

 

 

Қолданылған әдебиеттер

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кіріспе

Ықтималдық теориясы дегеніміз- жаппай  кездейсоқ құбылыстардың  математикалық моделі. Ықтималдық теориясының негізгі мақсаты – біртекті кездейсоқ оқиғалардың жалпы ықтималдық заңдылықтарын зерттеу болып табылады. Ықтималдық теориясының алғашқы ұғымдарын дүниеге келтірілген есептер сақтандыру істерін дамытуға байланысты пайда болған. Лоторея ойындары мен сақтандыру компанияларының өмірге келуі ықтималдық теориясының дамуына ықпал жасады. Күнделікті тұрмысымызда көптеген құбылыстар мен олардың өзгерістері кездеседі, солар оқиғаның тууына себепші болады. Мысалы, металл теңгені жоғары қарай лақтырсақ, ол жоғары көтеріліп барып, жерге түседі. Осы жасаған әрекетіміз сынақ немесе тәжірибе деп аталады. Жердегі металл теңгенің «елтаңба» немесе «цифр» жағының жоғары жатуы- оқиға болады. Оқиғалар: ақиқатты, мүмкін емес және кездейсоқ болып бөлінеді.Сақамен тізілген асықтарды атқанымыз - сынақ болады. Сақаның тізілген асықтарға тиюі немесе мүлт кетуі оқиға болады. Бұл мысалдан оқиға сынақтың нәтижесі екенін, ал оқиға туғызу үшін сынақ жүргізу керек екенін аңғарамыз. Оқиғаларды латын алфавиті бас әріптерін пайдаланып белгілейміз: А,В,С,... .Егер А оқиғасы әр сынақта сөзсіз пайда болса, онда ол ақиқат оқиға деп аталады. Сынақ кезінде пайда болмайтын оқиға мүмкін емес деп аталады. Сынақ кезінде пайда болуы да, пайда болмауы да мүмкін оқиға кездейсоқ оқиға деп аталады. Кездейсоқ оқиғалар дегеніміз кейбір жағдайларға байланысты сынау кезінде оқиғалардың пайда болуы не болмау мүмкін оқиғаларды айтамыз. Кездейсоқ оқиғалар: үйлесімсіз, бір ғана мүмкіндікті, тең-мүмкіндікті болып бөлінеді. Оқиғалар үйлесімсіз деп аталады, егер бір сонау кезінде оқиғаның пайда болуы оқиғалар бір-бірін шығару орын алатын болса.  Бір ғана мүмкіндікті оқиғалар – егер оқиғалардың пайда болуы сынаудың нәтижесінде тек қана бір оқиғаның пайда болуы ақиқаты оқиға болып саналуын айтамыз.  Мүмкіндіктегі бірдей оқиғалар – оқиғалардың пайда болуы басқа оқиғалардың пайда болу мүмкіндігінен аспайтын оқиғаларды айтады. 

Мақсаты: Заман талабына сай қазіргі техниканың- сенімділік, жаппай қызмет көрсетуі, автоматикалық басқару, өнім сапасын статистикалық бақылау теорияларды да ықтималдық теориясы көмегімен ықтималдық заңдылықтардың математикалық моделін құру арқылы іске асырылады.

Өзектілігі: Қазіргі кездегі ғылым мен техниканың ғарыштап өсу дәуірінде ықтималдықтар теориясының әдістері практиканың сан алуан салаларында кеңінен қолданып, физика, химия, биология құбылыстары, техника мен экономика процесстерінің заңдылықтарын жан-жақты және терең түсінуге орасан зор ықпалын тигізеді.

Болжам: ХХ ғасырдағы тибиғаттану ғылымының келбеті есептелетін кибернетиканың өзі ықтималдық теориясына негізделеді. Сондықтан кездейсоқ оқиғаның математикалық моделін жасаудың алғы-шарты үлкен сериялы сынақтарда кездейсоқ оқиға жиілігінің тұрақты болуына әкеледі. Олай болса, тәжірбиеден алынған нәтиже зауыттың технологиялық процестеріне байланысты заңдылықтарды көрсетеді, ол тек кездейсоқ құбылыстарға тән.

Нәтиже: Математикалық анализ әдістері бізді қоршаған реалды процестерді ықтималдық теориясынсыз толық суреттей алмайды. Сосын көпшілік жағдайда субъективтік ықтималдықтың дәлірек мәнін анықтау қосымша эксперименттің көмегімен шығарылады. Субъективтік ықтималдық туралы арнайы теориялар бар. Сондықтан субъективтік ықтималдықтың тоерияларын дәрігерлер, психологтар қолданылады.

«Жерді Жер серігі айналып жүр» дегеннен басқа ақпарат  болмаса, оның аспан сферасының берілген нүктесінде уақыттың белгілі мезетінде  болуы – кездейсоқ оқиға.

Адам өмірінің практикалық  қажеттілігі ықтималдық негізі бар  жағдайларда шешім қабылдау мен  кездейсоқ факторлардың әсер етуіне талдау жасаумен байланысты. Өмір кездейсоқтыққа толы. Кез келген кездейсоқтыққа дайын  болу үшін кез келген адамда мәліметтерді талдаудың негізгі әдістері, ықтималдық заңдылықтары және олардың ғылым мен техникадағы, сол сияқты өнеркәсіп құрудағы рөлі туралы түсінік болуы қажет. Қазіргі нарықтық экономика жағдайында әрбір адам жас кезінен статистика мәліметтерін меңгергені дұрыс.

1 Ықтималдықтың анықтамасы

Ықтималдық теориясы және матматикалық статистика ұғымдарын  математика курсында кеңейтіп, жалпылау қажет.

Күнделікті өмірде қандай да бір оқиғаны бағалау нәтижесінде, дәл, нақты мағынасына мән берместен, «ықтималдық» ұғымын қолданып жүрміз. Мысалы, «50 пайыз ықтималдыпен», « ықтималдыпен» немесе «100-дің 50 жағдайы», «50-де 50», «екіден бір мүмкіндік» деген сөз тіркестерін толық түсініп, жайбарақат қабылдаймыз. Тиынды лақтырмай-ақ, елтаңба жағы мен цифрдың түссу мүмкіндігі бірдей, ал оқиға нәтижесі  санына тең екеніне келісеміз. Мысалы, егер тиынды лақтыра отырып, әрбір лақтырудан кейін, айталық 800 рет лақтарылғаннан кейінгі нәтижені тіркеген кезде, елтаңба жағы 402 рет түскен болса, онда түсудің салыстырмалы жиілігін аламыз. Әрине, ол дәл емес, бірақ оған өте жақын. Егер әрі қарай лақтыру (сынақ) санын көбейтсек, онда 402 санына жақынырақ санды алуға болар еді. Мұндай санның ықтимал болуы мүмкін.

Сонымен, ықтималдық дегеніміз ─ белгілі бір анықталған жағдайда қандай да бір кездейсоқ оқиғаның пайда болу дәрежесінің сандық сипаттамасы.

Күнделікті өмірде бұл  ұғымды жиі қолданамыз. Мысалы, бүгін  мүмкін, кешігермін; ол мүмкін, бос емес шығар; жиналыстың болмауы мүмкін секілді.

Ықтималдық  теориясы дегеніміз ─ кездейсоқ жағдайлардың пайда болу заңдылығын зерттейтін математикалық бөлігі.

Оқиғаның ықтималдығы дегеніміз ─ оқиғаның пайда болу мүмкіндігін білдіретін сан.

Нәтиже дегеніміз - кездейсоқ тәжірибені аяқтайтын және бір-бірін өзара жоққа шығаратын нұсқалардың бірі

Кездейсоқ оқиғаның бір  жолғы тәжірибеде пайда болатынын, не пайда болмайтынын алдын ала  білуге мүкін болмағанымен, қайта-қайта  жасалған тәжірибелер барысында, оның пайда болуының белгілі бір заңдылығы байқалады. Мысалы: Жұмыртқаны пісіргенде пайда болатын оқиғаларды қарастырайық:

А= жұмыртқаның пісуі ;

В= жұмыртқаның піспеуі ;

С= піскен жұмырқадан балапанның шығуы 

А, В оқиғалары –  кездейсоқ оқиғалар, яғни айқын оқиғалар, С оқиғасы – жалған оқиға.

1.2 Ықтималдықтың қасиеттері

Анықтама: Егер А және В оқиғалары бір кездейсоқ тәжірибе нәтижесінде қатар орындалса, онда олар үйлесімді оқиғалар деп аталады. 
Анықтама: Егер А және В оқиғалары бір кездейсоқ тәжірибе нәтижесінде қатар орындала алмаса, онда олар үйлесімсіз оқиғалар деп аталады.

Мысал: «Далада жаңбыр жауып тұр», «аспанда бір де бұлт жоқ» - үйлесімсіз оқиғалар.

Мысал: Айдын мен Марат шахмат ойнады. А- «Айдын жеңді», В – «Марат жеңілді» - үйлесімді оқиғалар.

Белгілі жағдайда  қайта-қайта  n рет тәжірибе жасағанда А оқиғасы m рет пайда болса, онда қатынасы А оқиғасы пайда болуының салыстырмалы жиілігі деп аталады. Жоғарыдағы 5 бидай дәнін 5 тәжірибе, яғни m=4 деп ұғамыз. Сонда оқиғаның пайда болу жиілігі   немесе 80% болады.

Сол тұрақты  саны А оқиғасының ықтималдығы деп аталады да Р(А) деп белгіленеді.

А және В оқиғаларының қосындысы деп А немесе В оқиғаларының кем дегенде біреуінің орындалатынын білдіретін  оқиғаны айтады және оны А+В арқылы белгілейді.

Осыдан А+В-ның құрамына А-ға не В-ға тиісті элементтар оқиғалар енеді. Мысалы, ойын сүйегін тастағанда «жұп ұпай түсуі» мен «үштен кем ұпай түсуін» білдіретін оқиғаларды қосу қажет болсын. Онда және В={А₁,А₂} оқиғаларын қосамыз: А+В={ А₂, А₄, А₆}.

А және В оқиғаларының көбейтіндісі деп А және В оқиғаларының қатар орындалуын білдіретін оқиғаны айтады және оны А*В арқылы белгілейді.  Сонымен, А*В-ның құрамына А-ға және В-ға да тиісті элементар оқиғалар енеді. Мысалы, және В={А₁,А₂} оқиғалары үшін А*В={ А₂} болады.

А және В оқиғаларының айырмасы деп тек А ғана орындалып, В-ның орындалмайтынын білдіретін оқиғаны айтады және оны А-В арқылы белгілейді. Осыдан А-В  құрамына тек А-ға ғана енетін және В-ға тиісті емес элементар оқиғалар енеді. Мысалы,  және  В={А₁,А₂} оқиғалары үшін А-В={ А₂, А₄, А₆} теңдіктері орындалады.

Егер А₁, А₂,...А_п элементар оқиғалары үшін А₁+А₂+...+А_п=U және A_i*A_j =Ø (i≠j) шарттары орындалса, онда бұл оқиғаларды элементар оқиғалардың толық тобы (группасы) деп аталады. Мысалы, ойын сүйегін тастағанда А₁,А₂, А₃, А₄, А₅, А₆  элементар оқиғалары толық топ құрайды. Шынында да, ойын сүйегін тастағанда алты ұпайдың бірі түсері ақиқат, яғни А₁+А₂+ А₃+ А₄+ А₅+ А₆=U қосындысы- ақиқат оқиға. Сонымен қатар, бір тастағанда екі түрлі ұпай түсуі мүмкін емес, яғни A_i*A_j =Ø (i≠j)- жалған оқиға.

Егер В оқиғасы орындалған сайын А оқиғасы да орындалып отырса, онда А-ны В оқиғасының салдары деп атайды және оны былай белгілейді: В А. Мысалы, және С={ А₂, А₄} болса, онда А оқиғасы- С-ның салдары. Өзара кері А және оқиғалары үшін Ø және U теңдіктері орындалады.

Анықтама (жиындар  үшін): А және В жиындарының элементтерінің түгел жиынтығынан тұратын С жиыны осы екі жиынның бірігуі (кейде қосындысы) деп аталады.

Анықтама (оқиғалар үшін): А және В оқиғаларының ең болмағанда біреуі орындалғанда орындалатын С оқиғасы олардың бірігуі деп аталады.

Кездейсоқ оқиғаларды жиындарға  қолданылады:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 ─ Сурет Эйлер-Венн диаграммаларымен бейнелеген қолайлы.

 

 

 

Сонымен бірге, әрбір А және В оқиғалары үшін:

1) ;

2) теңдіктері орындалады. 

Дәлелдеу. 1)  Айталық, болсын.

Онда . Осыдан және оқиғалары бірдей элементар оқиғалардан құралғанын көреміз, яғни .

2) Осы сияқты дәлелденеді:

1-мысалы: Үш атқыштың біріншісінің нысанаға тигізуін А оқиғасы, екіншісінің тигізуін В оқиғасы және үшіншісінің тигізуін С оқиғасы деп алып: 1)А+В; 2)АВС; 3)АВ+АС+ВС өрнектерімен анықталатын оқиғалардың мағынасын ашып көрсетейік.

Шешуі:1) Нысанаға бірінші немесе екінші атқыш тигізді; 2) Нысанға бірінші және екінші атқыштар тигізіп, үшінші мүлт кетті; 3) Кем дегенде екі атқыш нысанаға тигізді.

2-мысал: Алдыңғы мысал шартында нысанаға: 1) тек бірінші атқыш тигізді; 2) тек екі атқыш қана тигізді; 3) атқыштардың ешқайсысы тигізе алмады деген оқиғаларды А,В және С арқылы өрнектеу керек.

Шешуі: 1) Нысанаға тек бірінші атқыш тигізіп, қалған екеуі мүлт кеткен. Онда А, В және С оқиғалары орындалды. Сондықтан оқиғаларды көбейту ережесі бойынша бұл оқиға   арқылы өрнектеледі.

2) Бұл жағдайда нысанға 2 атқыш  тигізіп, үшінші міндетті түрде  тигізбеуі қажет, яғни  немесе немесе оқиғаларының біреуі орындалуы керек. Сондықтан бізге қажет оқиға қосындысымен өрнектеледі.

3) Атқыштардың біреуі де нысанаға  тигізе алмаса, онда  оқиғалары қатар орындалады, яғни оқиғасы орындалады.

1.3 Комбинаторика және ықтималдықты есептеу

Іс жүзінде адамға заттардың өзара орналасуының барлық мүмкін жағдайларын есептеуге немесе қандай да бір іс-әрекеттің барлық мүмкін нәтижелерін және оны орындауға қажетті барлық мүмкін тәсілдер санын есептеуге тура келеді. Мысалы, әр түрлі 5 кітапты екі оқушыға неше түрлі тәсілмен үлестіріп беруге болады? Сондықтан мұндай есептерді комбинаторикалық есептер деп атайды. Ал комбинаторикалық есептерді шешуді үйрететін математика саласын комбинаторика деп атайды. Комбинаторика сөзі латынның “combino” – біріктіремін дегенді білдіреді. Шыныменде кез келген комбинацияны әртүрлі әлементтерді бір-бірімен біріктіру арқылы аламыз. Комбинаторикада әр комбинацияға өз атын береді. Комбинаторика есептерін шешуде қолданатын өзіндік заңдылықтар мен формулалар бар.

Комбинаторикалық формулаларды қолдану кездейсоқ оқиғалардың  ықтималдықтарын есептеуді біршама  жеңілдетеді. Мысалдар қарастырайық.

1-мысал: 9 қабатты мекеменің 5-қабатынан лифтке 3 қызметкер мініп, жоғары  көтерілді. Бұлардың әрқайсысы лифттен әртүрлі қабаттарда шығуы ықтималдылығы қандай?

Шешуі: Мұнда -ке  тең, себебі жолаушылардың түсуі мүмкін 4 қабатты (4 элементтен тұратын жиынды) үш адамға тағайындап беру қажет (яғни 4-тен 3 бойынша қайталанбалы орналастырулар). Ал -ке тең, себебі 4 элементті (қабатты) 3 орынға (қызметкерлерге) қайталанбайтындай етіп орналастыру қажет. Сонымен,

2-мысал: Бес карточкаға бір-бірден а,й,қ,с,ы әріптері жазылып, келесі бетімен аударылып, мұқият араластырылды. Кездейсоқ бір-бір карточкадан алып, бір қатарға тізіп шыққанда «қайыс» сөзінің шығуы ықтималдығы қандай?

Шешуі: Барлық мүмкін нәтижелер саны 5 элементтен тұратын жиынның алмастырулары санына тең:

Ал бізге қолайлы  нәтижелер саны біреу ғана m=1. Сонда 

3-мысалы: Сынаптарға ағылшын тілін оқитын бір топта 12 оқушы бар. Олардың туған күндері әр түрлі айларға түсуі ықтималдығын табу керек.

Шешуі: Барлық мүмкін жағдайлар саны 12-ден 12 бойынша алынған қайталанбалы орналастырулар санына тең; . Ал қолайлы жағдайлар саны 12 элементтен алынған барлық орналастырулар санына тең:

4-мысал: Қорапта қолғаптардың 10 түрлі парлары бар. Қораптан кездейсоқ 4 қолғап алынды. Алынған қолғаптар арасында өзара пар құрайтын қолғаптардың болмауы ықтималдығы қандай?

Шешуі: 20 қолғаптың ішінен төртеуін түрлі тәсілмен алуға болады, яғни . Ал бізге қолайлы жағдайлар саны -ке тең. Себебі қолғаптардың 10 парынан 4 сыңарын түрлі тәсілмен аламыз, ал әр пардан бір сыңарын 2 түрлі тәсілмен ала аламыз, яғни 4 сыңарды 2*2*2*2=2⁴ түрлі тәсілмен аламыз. Сонымен

5-мысал: Конверттегі 100 фотосуреттің ішінен бізге қажеттісі біреу ғана. Конверттен кездейсоқ 10 фотосурет алынды. Алынған суретер ішінде бізге қажетті суреттің бар болу ықтималдығын анықтайық.

Шешуі: 100 суреттің ішінен 10 суретті түрлі тәсілмен алуға болады, яғни . Ал егер алынған 10¹⁰⁰ суреттің ішінде бізге қажеттісі бар болса, онда бұлардың қалған 9-ы бізге қажетсіз. Онда осы қажетсіз 9 суретті 99 қажетсіз суреттер арасынан . Онда

 

2. Кездейсоқ шама.

Ықтималдықтар теориясындағы маңызды ұғымдардың бірі –

кездейсоқ шама. Сынаудың нәтижесінде, алдын ала белгісіз немесе алдын ала болжауға келмейтін кездейсоқ жағдайларға байланысты бірақ мәнге сәйкес келетін шаманы – кездейсоқ шама деп атаймыз.

Ендеше келесі мысалға  көңіл бөлейік:

1) Қалалық көлік қозғалысын  бақылауда бір сағат ішінде  кездейсоқ қиылыстан өтетін машиналар  саны – кездейсоқ мән қабылдайды.

2) Хаттар санағында  кездейсоқ пошта бөліміне әр  кун сайын түсетін хаттар саны - әр түрлі кездейсоқ мән қабылдайды. 
Бұл мысалдар мазмұны бойынша әр түрлі, бірақ олардың ортақ мағынасы бар: 
1) Әр мысалда кездейсоқ оқиғаны бейнелейтін шама туралы айтылады. 
2) Бұр әрбір шама кездейсоқ тәжірибе нәтижесіндегі сәйкес мән қабылдайды. 
Анықтама: Алдын ала белгісіз, тек тәжірибе нәтижесінде анықталатын бір мәнді шаманы кездейсоқ шама деп атайды.

Кездейсоқ шама кездейсоқ  оқиғамен тығыз байланысты. Егер кездейсоқ  оқиға тәжірибенің сапалық сипаттамасы  болса, ал кездейсоқ шама оның сандық сипаттамасы береді. Мына мысалдарға назар аударайық:

1. Оқты 4 рет атқандағы дәл тигізу саны;
2. Ұялы телефонға бір күнде түскен хаттар саны;
3. Қаңтар айындағы қалаға жауған қардың мөлшері.

Бұл арада кездейсоқ  шамалар алдын-ала көрсетілген  жеке тиянақты мәндерді қабылдайды. 

Анықтама: Мәндері жеке дара тиянақты сандар болатын кездейсоқ шаманы дискретті кездейсоқ шама деп атайды.

Басқа типті кездейсоқ  шамалар да бар. Мысалы:

1. нысанаға атқанда тигізген нүктенің абсциссасы;
2. белгілі биіктікке көтерілгенде ұшатын аппараттың жылдамдығы;
3. денені аналитикалық таразымен өлшегенде кететін қателіқ;
4. кездейсоқ алынған дәннің салмағы.

Берілген кездейсоқ  шаманың мүмкін болатын мәндері  бір-бірінен алшақ емес. Олар үзіліссіз  шеткі нүктелері бар, ал кейде  анықталмаған қандай да бір сандық аралықты толтырады.

2.1 Кездейсоқ шаманың қасиеттері

Анықтама: Мәндері үзіліссіз белгілі бір [а; b] кесіндісінде (мұндагы а < b, а және b тиянақты нақты сандар) орналасқан кездейсоқ шаманы үзіліссіз кездейсоқ шама деп атайды. х1, х2,..., хn мәндері болатын X дискретті шамасын қарастырайық. Әрбір мәннің болуы мүмкін, бірақ ақиқат емес. X кездейсоқ шамасы х1, х2,..., хn мәндері қандай да бір р1, р2, ...,рп ықтималдықтарын қабылдайды.

Анықтама: Дискретті кездейсоқ шаманың мүмкін болатын мәндері және олардың ықтималдықтарының арасындағы сәйкестік берілген кездейсоқ шаманың таралу заңдылығы деп аталады. 
Дискретті X кездейсок шамасының таралу заңдылығын кестемен берген ыңғайлы: 
Х х1 х2 ... хn

р p1 p2 … pn

Кестенің бірінші жолында  кездейсоқ шаманың барлык мүмкін болатын мәндері, ал екінші жолында  олардың ыктималдықтары көрсетілген. 
Практикада кездейсоқ шаманы сипаттау үшін кейбір сандық параметрлерді, мысалы, кездейсок шаманың мүмкін болатын мәндер жиынында шоғырланатын қандай да бір орта мән және орта мәнге байланысты олардың орналасуын сипаттайтын қандай да бір санды анықтаса жеткілікті. Мысалы:

1) 1,2,3,...100 жаңа туған  бұзаулардың ішінде ауру бұзаудың  болуы; 

2) сабаққа қатысып  отырған студенттердің саны; 

3) адамның өмір сүруінің  мерзімін ұзақтығы; 

4) малдың (қойдың, сиырдың)  температурасын өлшеген кезде жіберетін қателер т.с. с. 

Кездейсоқ шамаларды X, Y, Z деп белгілейміз, ал мәндерді – x, y, z деп белгілейміз. Кездейсоқ шамалар дискретті (үзілісті) және үзіліссіз шамалар болып бөлінеді.

Дискретті деп белгілі бір мәнге ие болатын және берілген ықтималдығымен анықталатын шаманы айтады. Сан мүмкіндігі шекті және шексіз болуы мүмкін. Мысалы, кітаптің бір бетіндегі әріптің сандары, атомдағы электрондардың энергиясы, бидайдың масағындағы дәндердің саны, т.с.с.  Үздіксіз кездейсоқ шама деп белгілі бір шекті және шексіз сан мәндері бар шамалардың мәндеріне сәйкес келетін шамаларды айтамыз. Кездейсоқ үздіксіз шаманың саны шексіз болуы мүмкін. Мысалы, бидайдың масағындағы дәндердің массасы, мал қораларындағы температураның белгілі бір уақыт аралығындағы мәні, т.с.с.  
Егер дискретті кездейсоқ шаманың орналасуы берілген болса Х және Р.  
х х1 х2 х3 … хп 

р р1 р2 р3 … рп 

Яғни Р=Р1+ Р2+...=. 

Ықтималдың ең үлкен  сан мәні 1-ге тең болады, немесе нормалдаудың келісімдік шарты болып сапалады. Дискретті кездейсоқ шамалардың орналасуын график жүзінде яғни көпжақтар арқылы сипаттауға болады.  
Кейде кездейсоқ шаманың орналасу заңдылығы белгісіз болғанда кездейсоқ шаманы сан мәндері арқылы сипаттауға болады, яғни ондай сандарды кездейсоқ шаманың сандық сипаттамасы деп атаймыз.  
Мысалы: математикалық күту , дисперсия , орта квадраттық ауытқу . 

2.2 Математикалық  күтім.

Осындай ұғымның бірі — математикалық күтім. Кездейсоқ шаманың мәнін сол мәннің ықтималдығына көбейтіндісінің  
Алгебралық қосындысын кездейсоқ шаманың математикалық күтуі деп атаймыз. 

Математикалық күтудің  қасиеттері.

1) М(С)=С. Тұрақты санның математикалық күтуі тұрақты санға тең болады. 

2) М(Сх)=С•М(х). Тұрақты сан М.К. алдына шығарып жазуға болады. 

3) М(ху)=М(х)•М(у), М(х1•х2• …•хп)=М(х1)•М(х2)•…•М(хп). 

4) М(х+у)=М(х)+М(у),М(х1+х2+…+хп)=М(х1)+М(х2)+…+М(хп). 

Мысал 1: 100 лотерея билеті шығарылған. Оның 40 билеті иесіне 50 теңгеден, 10 билеті 250 теңгеден, 5 билеті 500 теңгеден ұтыс әкеледі, ал калған билеттер ұтыссыз. Бір билетке қандай орташа ұтыс сәйкес келеді? 
Шешуі. X кездейсоқ шамасының мәндері0; 50; 250;500теңге 
десек, олардың ұтыс ыктималдықтары сәйкесінше —болады.  
Мына кестеде оқиғаның таралу заңдылығы берілген:

X 0 50 250 500

р 0,45 0,4 0,1 0,05

Мысалы, қандай да бір  ойыншы барлық 100 билетті сатып алса, онда ол 7000 теңге ұтар еді. Ал бір билеттің орташа ұтысы 70 теңге болады (өйткені 7000 : 100 = 70).

Сонда (0 • 45 + 50 • 40 + 250 • 10 + 500 • 5) : 100 = 0 • 0,45 + + 50 • 0,4 + 250• 0,1 + 500 • 0,05.

Жауабы: 70 теңге.

1-мысалдағы соңғы теңдіктің  оң жағында тұрған өрнек кездейсоқ шама мәндерінің сәйкес ықтималдықтарына көбейтінділерінің қосындысын береді. 
Анықтама: X кездейсоқ шамасы мәндерінің сәйкес ықтималдық мәндеріне көбейтінділерінің қосындысын X кездейсоқ шамасының математикалық күтімі деп атайды.

Математикалық күтімнің белгіленуі: М(Х).

Анықтама бойынша математикалық  күтім есептеу формуласы:

М(Х) = хІ + х2р2 + ... + хп-1 рn-1 + хпрп. (1)

Мысал 2: Машина жасауда керекті тетікті дайындау үшін 1, 2, 3, 4, 5 үлгі қолданылады. Ол үлгілердің ықтималдығы мына кестеде берілген:

X 1 2 3 4 5

р 0,2 0,4 0,7 0,5 0,1

10 машина жасауда қолданылатын  үлгілер сандарының орташа мәні  қандай болады?

Шешуі. Алдымен бір машинаға қажетті орта мәнді анықтаймыз. Содан кейін қорытындыны 10-ға көбейтеміз.

М(Х) = 1 • 0,2 + 0,4 + 3 • 0,7 + 4 • 0,5 + 5 • 0,1 = 5,6.

Сонда 5,5 • 10 = 56. Жауабы: 56.

Математикалық күтімнің қасиеттері:

1)егер С — тұрақты  болса, онда М(С) = С, М(СХ) = СМ(Х);

2) егер Х, Y,Z кездейсоқ  шамалар болса, онда М(Х+ Ү  + 2) = М(Х) + М(Ү) + М(2)

Кездейсоқ шама мәнінің математикалық күтімге қатысты қандай мөлшерде шашырай орналасуының сандық сипаттамасын беретін ұғымдардың бірі — дисперсия. Бұл ұғымның анықтамасын берместен бұрын ауытқудың анықтамасын берейік.

Анықтама: X кездейсоқ шамасымен М(Х) математикалық күтімнің айырымы, яғни Х-М(Х) ауытқу деп аталады,  X- М(Х) ауытқуы мен оның квадраты (X - М(Х))2 кездейсоқ шамалар болып табылады. Енді X кездейсоқ окиғасы дисперсиясының анықтамасын берейік. 
Анықтама: Ауытқудың екінші дәрежесінің математикалық күтімі X

кездейсоқ шамасының дисперсиясы деп аталады.

Дисперсияның белгіленуі В(Х).

Анықтама бойынша дисперсияның формуласы:

D(X)= M[X-M(X)]2 

Дисперсияның қасиеттері:

1) егер С тұракты  болса, онда

D(Х) = 0;

D(СХ) = С2D(Х);

2) D(X) = М(Х2) – М2(Х); 

3) X және Ү кездейсоқ шамалар болса, онда

D(Х+Ү) =D)(Х) + D(Ү).

Математикалық күтімнің қасиеттерін қолданып, (2) және (3)

формулаларының мәндес екенін дәлелдеуге болады.

Мысал 3. Дискретті кездейсоқ шама мына таралу заңдылығымен берілген: 
X 0 1 2 3 4

р 0,2 0,4 0,3 0,08 0,02

Кездейсоқ шаманың дисперсиясын табыңдар. 

Шешуі. Алдымен математикалық күтімді М(Х), содан кейін М(Х2) есептейміз: 
М(Х) = 0 • 0,2 + 1 • 0,4 + 2 • 0,3 + 3 • 0,08 + 4 • 0,02 = 1,32, МСХ2) = 0 • 0,2 + 1 • 0,4 + 4 • 0,3 + 9 • 0,08 + 16 • 0,02 = 2,64. (3) формула бойынша: D(Х) = 2,64 - 1,7424 = 0,8976.

Жауабы: 0,8976.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Қорытынды

Қорыта айтқанда: Әлемдегі кездейсоқ құбылыстар ерте заманнан

бері  зерттеліп келеді. Ол туралы Реньидің де жақсы пікірлері бар. Кездейсоқ құбылыстарға математикалық тұрғыдан қарау Паскаль мен Фермаға дейін болған. Демографиялық құбылыстар және адамдарды азық-түлікпен қамтамасыз жиілігінің біркелкілік фактілері Ежелгі Қытай мен Римде белгілі болған. Кездейсоқ құбылыстарды нақты әдістердің көмегімен анықтау мүмкіндігін Кордано мен Галилей де қарастырған.

Паскаль, Ферма және Гюйгенстен басап, кездейсоқ оқиға және оның ықтималдығы туралы математикалық  ғылым- ықтималдық теориясының алғашқы  ұғымдары қалыптаса бастады.

ХХ ғасырдың екінші жартысынан бастап құбылыстардың сандық өлшемдері  әр түрлі процестердің, атап айтсақ, өндірісті математикалық модельдеу  мен ғылыми шығармашылықтың алғашқы  шарты болды, яғни ықтималдық ерекше маңызға ие болды. «Оқиға туралы ғылым» көптеген мамандық иелерінің: инженерлер, экономистер, дәрігерлер және әр түрлі шаруашылық саласындағы мамндардың ортасына енді. Бүкіл әлемде осы ғылымға қызығушылықтың артқаны соншалық, тіпті ықтималдық теориясы жиі қолданылатын болды деп айтсақ қателеспейміз.

Ықтималдық теориясының негізгі мағынасын ашып ықтималдықтың жиілік теориясының негізін салған белгілі неміс математигі- Р.Мизес (1883-1953).

Ол ықтималдық теориясын  математика пәні емес, математикалық  әдістерде кең қолданылатын ғылым  қатарына қосты. Р.Мизес «Әр ықтималдыққа берілген есеп кейбір шынайы процестермен байланысқан»,- деп айтқан. Қазіргі ықтималдық теориясының дамуы, әсіресе А.Н.Колмогоровтың еңбегінде, ықтималдық теория жоғары математикалық тарауларымен: жиын теориясы, функция теориясы, функционалдық талдау және т.б. нақты математикалық ықтималдықпен тығыз байланысқан.

Қазіргі ықтималдық теориясының  әдістері қолданылмайтын сала жоқ. Ықтималдық статистика әдістерін қолдану көптеген ғылым салаларында дәстүрлі бағыт  болуда. Оларға: физика, геодезия, өлшеу теориясы және т.с.с. жаады. Кейінгі кезде ықтималдық теориясын мединицина және биология, әскери ғылым мен космонавтика, лингвистика, психология теориясы мен оқыту теориясы, т.б. ғылымда да қолдана бастады. Одан басқа ықтималдық әдістерінің негізінде ықтималдық теориясынан шыққан жаңа ғылымдар қатары пайда болуда. Бұлар- ақпарат теориясы, сенімділік теориясы, сапаны статистикалық бақылау, тәжірибені жоспарлау.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Қолданылған әдебиеттер тізімі

 

1.А.Әбілқасымова, Н.Р.Майкотов, Қ.И.Қаңлыбаев, Ә.С.Кенеш «Алгебра: Жалпы білім беретін мектептің 9-сыныбына арналған оқулық»-Алматы: «Мекеп» баспасы 2005-208бет. (121-137 беттер)

2.А.Әбілқасымова, И.Бекбоев,  А.Абдиев, З.Жұмағұлова «Алгебра: Жалпы  білім беретін мектептің 9-сыныбына  арналған оқулық»-Алматы: «Мекеп» баспасы 2006-184 бет. (139-152  беттер)

3.А.Әбілқасымова, И.Бекбоев,  А.Абдиев, З.Жұмағұлова «Алгебра: Жалпы  білім беретін мектептің 11-сыныбына  арналған оқулық»-Алматы: «Мекеп»  баспасы 2007-208 бет. (179-194  беттер)

4.Ә.Н.Шыныбеков «Алгебра және анализ бастамалары 9-сыныбына арналған оқулық»- Алматы: Атамұра, 2005-288 бет. (197-215 беттер)