Классификация математических моделей (ТО - технический объект)

С середины XX в. в самых различных областях человеческой деятельности стали широко применять математические методы и ЭВМ. Возникли такие новые дисциплины, как «математическая экономика», «математическая химия», «математическая лингвистика» и т. д., изучающие математические модели соответствующих объектов и явлений, а также методы исследования этих моделей.

Математическая модель — это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального  мира на языке математики. Основная цель моделирования — исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений. Однако моделирование — это еще и метод познания окружающего мира, дающий возможность управлять им.

Математическое моделирование  и связанный с ним компьютерный эксперимент незаменимы в тех случаях, когда натурный эксперимент невозможен или затруднен по тем или иным причинам. Например, нельзя поставить натурный эксперимент в истории, чтобы проверить, «что было бы, если бы...» Невозможно проверить правильность той или иной космологической теории. В принципе возможно, но вряд ли разумно, поставить эксперимент по распространению какой-либо болезни, например чумы, или осуществить ядерный взрыв, чтобы изучить его последствия. Однако все это вполне можно сделать на компьютере, построив предварительно математические модели изучаемых явлений…

Математика в самом  общем смысле слова имеет дело с определением и использованием символических моделей. Математическая модель охватывает класс неопределяемых (абстрактных, символических) математических объектов таких, как числа или векторы, и отношения между этими объектами.

Математическое отношение  – это гипотетическое правило, связывающее  два или более символических  объекта. Многие отношения могут  быть описаны при помощи  математических операций, связывающих один или несколько объектов с другим объектом или множеством объектов (результатом операции). Абстрактная модель с ее объектами произвольной природы, отношениями и операциями определяется непротиворечивым набором правил, вводящих операции, которыми можно  пользоваться, и устанавливающих общие отношения между их результатами. Конструктивное определение вводит новую математическую модель, пользуясь уже известными математическими понятиями (например, определение сложения и умножения матриц в терминах сложения и умножения чисел).

Математическая модель будет воспроизводить подходящим образом  выбранные стороны физической ситуации, если можно установить правило соответствия, связывающее специфические физические объекты и отношения с определенными математическими объектами и отношениями. Поучительным и/или интересным может также быть и построение математических моделей, для которых в физическом мире аналогов не существует. Наиболее общеизвестными математическими моделями являются системы целых и действительных чисел и евклидова геометрия;

определяющие свойства этих моделей представляют собой  более или менее непосредственные абстракции физических процессов (счет, упорядочение, сравнение, измерение).

Объекты и операции более общих математических моделей  часто ассоциируются с множествами  действительных чисел, которые могут быть соотнесены с результатами физических измерений.    Математическое моделирование - метод качественного и (или) количественного описания процесса  с помощью, так называемой математической модели, при построении которой реальный процесс  или явление описывается с помощью того или иного адекватного математического аппарата. Математическое моделирование является неотъемлемой частью современного исследования.

Математическое моделирование  является типичной дисциплиной, находящейся, как сейчас часто говорят, на “стыке” нескольких наук. Адекватная математическая модель не может быть построена без глубокого знания того объекта, который “обслуживается” математической моделью. Иногда высказывается иллюзорная надежда, что математическая модель может быть создана совместно математиком, не знающим объекта моделирования, и специалистом по “объекту”, не знающим математики. Для успешной деятельности в области математического моделирования необходимо знать как математические методы, так и объект моделирования. С этим связано, например, наличие такой специальности как физик теоретик, основной деятельностью которого является математическое моделирование в физике. Разделение специалистов на теоретиков и экспериментаторов, утвердившееся в физике, несомненно, произойдет и в других науках, как фундаментальных, так и прикладных.

Основные  этапы математического моделирования

1) Построение модели. На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект — явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т. д. При этом, как правило, четкое описание ситуации затруднено. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, то есть строится математическая модель. Это самая трудная стадия моделирования.

2) Решение математической  задачи, к которой приводит модель. На этом этапе большое внимание  уделяется разработке алгоритмов  и численных методов решения  задачи на ЭВМ, при помощи  которых результат может быть  найден с необходимой точностью  и за допустимое время.

3) Интерпретация  полученных следствий из математической  модели. Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области.

4) Проверка адекватности  модели. На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты эксперимента  с теоретическими следствиями  из модели в пределах определенной  точности.

5) Модификация модели. На этом этапе происходит либо  усложнение модели, чтобы она  была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения  практически приемлемого решения.

Классификация математических моделей.

Ввиду разнообразия применяемых математических моделей, их общая классификация затруднена. В литературе обычно приводят классификации, в основу которых положены различные  подходы. Один из таких подходов связан с характером моделируемого процесса, когда выделяют детерминированные и вероятностные модели. Наряду с такой широко распространенной классификацией математических моделей существуют и другие.

Классификация математических моделей на основе особенностей применяемого математического аппарата. В ней можно выделить следующие их разновидности.

Математические  модели с сосредоточенными параметрами.

Обычно с помощью  таких моделей описывают динамику систем, состоящих из дискретных элементов. С математической стороны - это системы обыкновенных линейных или нелинейных дифференциальных уравнений.

Математические модели с сосредоточенными параметрами  широко применяются для описания систем, состоящих из дискретных объектов или совокупностей идентичных объектов. Например, широко используется динамическая модель полупроводникового лазера. В этой модели фигурируют две динамические переменные -  концентрации неосновных носителей заряда и фотонов в активной зоне лазера.

В случае сложных  систем число динамических переменных и, следовательно, дифференциальных уравнений может быть велико (до 102... 103). В этих случаях полезны различные методы редукции системы, основанные на временной

Метод последовательного  расширения модели может привести к  созданию адекватной модели сложной  системы.

Математические  модели с распределенными параметрами.

Моделями этого  типа описываются процессы диффузии, теплопроводности, распространения волн различной природы и т. п. Эти процессы могут быть не только физической природы. Математические модели с распределенными параметрами широко распространены в биологии, физиологии и других науках. Чаще всего в качестве основы математической модели применяют уравнения математической физики, в том числе и нелинейные.

Математические  модели, основанные на экстремальных  принципах.

Общеизвестна основополагающая роль принципа наибольшего действия в физике.

Например, все известные  системы уравнений, описывающие  физические процессы, могут быть выведены из экстремальных принципов. Однако и в других науках экстремальные  принципы играют существенную роль.

Экстремальный принцип  используется при аппроксимации  эмпирических зависимостей аналитическим  выражением. Графическое изображение  такой зависимости и конкретный вид аналитического выражения, описывающего эту зависимость, определяют с помощью

экстремального принципа, получившего название метода наименьших квадратов (метод Гаусса), суть которого заключается в следующем.

Пусть проводится опыт, целью которого является исследование зависимости некоторой физической величины Y от физической величины X. Предполагается, что величины х и у связаны функциональной зависимостью

                                                                y=j(х).                              

Вид этой зависимости

Основной принцип  классификации математических моделей  и требуется определить из опыта. Предположим, что в результате опыта получили ряд экспериментальных точек и построили график зависимости у от х. Обычно экспериментальные точки на таком графике располагаются не совсем правильно, дают некоторый разброс, т. е. обнаруживают случайные отклонения от видимой общей закономерности. Эти отклонения связаны с неизбежными при всяком опыте ошибками измерения. Тогда возникает типичная для практики задача сглаживания экспериментальной зависимости.

Для решения этой задачи обычно применяется расчетный  метод, известный под названием метода наименьших квадратов (или метод Гаусса).

Разумеется, перечисленные  разновидности математических моделей  не исчерпывают весь математический аппарат, применяемый в математическом моделировании. Особенно разнообразен математический аппарат теоретической физики и, в частности, ее важнейшего раздела - физики элементарных частиц.

В качестве основного  принципа классификации математических моделей часто используют области их применения. При таком подходе выделяются следующие области применения:

            физические процессы;

            технические приложения, в том  числе управляемые системы, искусственный  интеллект;

            жизненные процессы (биология, физиология, медицина);

            большие системы, связанные с взаимодействием людей (социальные,  

экономические, экологические);

            гуманитарные науки (языкознание,  искусство).

(Области применения  указаны в порядке, соответствующем  убыванию уровня адекватности моделей).

Виды математических моделей: детерминированные и вероятностные, теоретические и экспериментальные  факторные. Линейные и нелинейные, динамические и статические. непрерывные и дискретные, функциональные и структурные.

По форме представления  математических моделей различают  инвариантную, алгоритмическую, аналитическую и графическую модели объекта проектирования.

Примеры математических моделей

Задачи о  движении снаряда.

задача механики.

Снаряд пущен с  Земли с начальной скоростью v0 = 30 м/с под углом a = 45° к ее поверхности; требуется найти траекторию его движения и расстояние S между начальной и конечной точкой этой траектории.

Пренебрегая размерами  снаряда, будем считать его материальной точкой. Введем систему координат xOy, совместив ее начало O с исходной точкой, из которой пущен снаряд, ось x направим горизонтально, а ось y — вертикально

Тогда, как это  известно из школьного курса физики, движение снаряда описывается формулами где t — время, g = 10 м/с2 — ускорение свободного падения. Эти формулы и дают математическую модель поставленной задачи. Выражая t через x из первого уравнения и подставляя во второе, получим уравнение траектории движения снаряда:

Эта кривая (парабола) пересекает ось x в двух точках: x1 = 0 (начало траектории) и (место падения снаряда). Подставляя в полученные формулы заданные значения v0 и a, получим

ответ: y = x – 90x2, S = 90 м.

Отметим, что при  построении этой модели использован  ряд предположений: например, считается, что Земля плоская, а воздух и  вращение Земли не влияют на движение снаряда.

Транспортная  задача.

В городе имеются  два склада муки и два хлебозавода. Ежедневно с первого склада вывозят 50 т муки, а со второго — 70 т на заводы, причем на первый — 40 т, а на второй — 80 т.

Обозначим через  aij стоимость перевозки 1 т муки с i-го склада на j-й завод (i, j = 1,2). Пусть

a11 = 1,2 р., a12 = 1,6 р., a21 = 0,8 р., a22 = 1 р. 

Как нужно спланировать перевозки, чтобы их стоимость была минимальной?

Придадим задаче математическую формулировку. Обозначим  через x1 и x2 количество муки, которое  надо перевезти с первого склада на первый и второй заводы, а через x3 и x4 — со второго склада на первый и второй заводы соответственно. Тогда:

x1 + x2 = 50, x3 + x4 = 70, x1 + x3 = 40, x2 + x4 = 80.        (1)

Общая стоимость  всех перевозок определяется формулой

f = 1,2x1 + 1,6x2 + 0,8x3 + x4.

С математической точки  зрения, задача заключается в том, чтобы найти четыре числа x1, x2, x3 и x4, удовлетворяющие всем заданным условиям и дающим минимум функции f. Решим систему уравнений (1) относительно xi (i = 1, 2, 3, 4) методом исключения неизвестных. Получим, что

x1 = x4 – 30, x2 = 80 –  x4, x3 = 70 – x4,         (2)

а x4 не может быть определено однозначно. Так как xi і0 (i = 1, 2, 3, 4), то из уравнений (2) следует, что 30Јx4Ј70. Подставляя выражение для x1, x2, x3 в формулу для f, получим

f = 148 – 0,2x4.

Легко видеть, что  минимум этой функции достигается  при максимально возможном значении x4, то есть при x4 = 70. Соответствующие значения других неизвестных определяются по формулам (2): x1 = 40, x2 = 10, x3 = 0.

Задача о радиоактивном  распаде.

Пусть N(0) — исходное количество атомов радиоактивного вещества, а N(t) — количество нераспавшихся атомов в момент времени t. Экспериментально установлено, что скорость изменения количества этих атомов N'(t) пропорциональна N(t), то есть N'(t)=–lN(t), l>0 — константа радиоактивности данного вещества. В школьном курсе математического анализа показано, что решение этого дифференциального уравнения имеет вид N(t) = N(0)e–lt. Время T, за которое число исходных атомов уменьшилось вдвое, называется периодом полураспада, и является важной характеристикой радиоактивности вещества. Для определения T надо положить в формуле  Тогда  Например, для радона l = 2,084·10–6, и следовательно, T = 3,15 сут.

Задача о  коммивояжере.

Коммивояжеру, живущему в городе A1, надо посетить города A2, A3 и A4, причем каждый

 город точно  один раз, и затем вернуться  обратно в A1. Известно, что все  города попарно 

соединены между  собой дорогами, причем длины дорог  bij между городами Ai и Aj (i, j = 1, 2, 3, 4) таковы:

b12 = 30, b14 = 20, b23 = 50, b24 = 40, b13 = 70, b34 = 60.

Надо определить порядок посещения городов, при  котором длина соответствующего

пути минимальна.

Изобразим каждый город  точкой на плоскости и пометим  ее соответствующей меткой Ai (i = 1, 2, 3, 4). Соединим эти точки отрезками прямых: они будут изображать дороги между городами. Для каждой «дороги» укажем ее протяженность в километрах (рис. 2). Получился граф — математический объект, состоящий из некоторого множества точек на плоскости (называемых вершинами) и некоторого множества линий, соединяющих эти точки (называемых ребрами). Более того, этот граф меченый, так как его вершинам и ребрам приписаны некоторые метки — числа (ребрам) или символы (вершинам). Циклом на графе называется последовательность вершин V1, V2, ..., Vk, V1 такая, что вершины V1, ..., Vk — различны, а любая пара вершин Vi, Vi+1 (i = 1, ..., k – 1) и пара V1, Vk соединены ребром. Таким образом, рассматриваемая задача заключается в отыскании такого цикла на графе, проходящего через все четыре вершины, для которого сумма всех весов ребер минимальна. Найдем перебором все различные циклы, проходящие через четыре вершины и начинающиеся в A1:

1) A1, A4, A3, A2, A1;

2) A1, A3, A2, A4, A1;

 3) A1, A3, A4, A2, A1.

Найдем теперь длины  этих циклов (в км): L1 = 160, L2 = 180, L3 = 200. Итак, маршрут наименьшей длины — это первый.

Заметим, что если в графе n вершин и все вершины попарно соединены между собой ребрами (такой граф называется полным), то число циклов, проходящих через все вершины, равно  Следовательно, в нашем случае имеется ровно три цикла.

Задача о  нахождении связи между структурой и свойствами веществ.

Рассмотрим несколько  химических соединений, называемых нормальными  алканами. Они состоят из n атомов углерода и n + 2 атомов водорода (n = 1, 2 ...), связанных между собой так, как показано на рисунке 3 для n = 3. Пусть известны экспериментальные значения температур кипения этих соединений:

yэ(3) = – 42°, yэ(4) = 0°, yэ(5) = 28°, yэ(6) = 69°.

Требуется найти  приближенную зависимость между  температурой кипения и числом n  

для этих соединений. Предположим, что эта зависимость  имеет вид

y » an + b,

где a, b — константы, подлежащие определению. Для нахождения a и b подставим в эту формулу последовательно n = 3, 4, 5, 6 и соответствующие значения температур кипения. Имеем:

– 42 » 3a + b, 0 » 4a + b, 28 » 5a + b, 69 » 6a + b.

Для определения  наилучших a и b существует много разных методов. Воспользуемся наиболее простым из них. Выразим b через a из этих уравнений:

b » – 42 – 3a, b » – 4a, b » 28 – 5a, b » 69 – 6a.

Возьмем в качестве искомого b среднее арифметическое этих значений, то есть положим b » 16 – 4,5a. Подставим в исходную систему уравнений это значение b и, вычисляя a, получим для a следующие значения: a»37, a»28, a»28, a»36. Возьмем в качестве искомого a среднее значение этих чисел, то есть положим a»34. Итак, искомое уравнение имеет вид

y » 34n – 139.

Проверим точность модели на исходных четырех соединениях, для чего вычислим температуры кипения по полученной формуле:

yр(3) = – 37°, yр(4) = – 3°, yр(5) = 31°, yр(6) = 65°.

Таким образом, ошибка расчетов данного свойства для этих соединений не превышает 5°. Используем полученное уравнение для расчета  температуры кипения соединения с n = 7, не входящего в исходное множество, для чего подставим в это уравнение n = 7: yр(7) = 99°. Результат получился довольно точный: известно, что экспериментальное значение температуры кипения yэ(7) = 98°.

Задача об определении надежности электрической  цепи.

Здесь мы рассмотрим пример вероятностной модели. Сначала  приведем некоторые сведения из теории вероятностей — математической дисциплины, изучающей закономерности случайных явлений, наблюдаемых при многократном повторении опыта. Назовем случайным событием A возможный исход некоторого опыта. События A1, ..., Ak образуют полную группу, если в результате опыта обязательно происходит одно из них. События называются несовместными, если они не могут произойти одновременно в одном опыте. Пусть при n-кратном повторении опыта событие A произошло m раз. Частотой события A называется число W = . Очевидно, что значение W нельзя предсказать точно до проведения серии из n опытов. Однако природа случайных событий такова, что на практике иногда наблюдается следующий эффект: при увеличении числа опытов значение  практически перестает быть случайным и стабилизируется около некоторого

 неслучайного  числа P(A), называемого вероятностью  события A. Для невозможного события (которое никогда не происходит в опыте) P(A)=0, а для достоверного события (которое всегда происходит в опыте) P(A)=1. Если события A1, ..., Ak образуют полную группу несовместимых событий, то P(A1)+...+P(Ak)=1.

Пусть, например, опыт состоит в подбрасывании игральной  кости и наблюдении числа выпавших очков X. Тогда можно ввести следующие  случайные события Ai ={X = i}, i = 1, ..., 6. Они образуют полную группу несовместных равновероятных событий, поэтому P(Ai) = (i = 1, ..., 6).

Суммой событий A и B называется событие A + B, состоящее  в том, что в опыте происходит хотя бы одно из них. Произведением  событий A и B называется событие AB, состоящее  в одновременном появлении этих событий. Для независимых событий A и B верны формулы

P(AB) = P(A)•P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

 Рассмотрим теперь  следующую задачу. Предположим, что  в электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо друг от друга. Вероятности отказов 1-го, 2-го и 3-го элементов соответственно равны P1 = 0,1, P2 = 0,15, P3 = 0,2. Будем считать цепь надежной, если вероятность того, что в цепи не будет тока, не более 0,4. Требуется определить, является ли данная цепь надежной.

Так как элементы включены последовательно, то тока в  цепи не будет (событие A), если откажет  хотя бы один из элементов. Пусть Ai — событие, заключающееся в том, что i-й элемент работает (i = 1, 2, 3). Тогда P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Очевидно, что A1A2A3 — событие, заключающееся в том, что одновременно работают все три элемента, и

P(A1A2A3) = P(A1)•P(A2)•P(A3) = 0,612.

Тогда P(A) + P(A1A2A3) = 1, поэтому P(A) = 0,388 < 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

В заключение отметим, что приведенные примеры математических моделей (среди которых есть функциональные и структурные, детерминистические и вероятностные) носят иллюстративный характер и, очевидно, не исчерпывают всего разнообразия математических моделей, возникающих в естественных и гуманитарных наука 

Классификация математических моделей (ТО - технический  объект)

Виды математических моделей технических объектов      (ОПИСАТЬ)

По форме представления  ММ 

По характеру отображаемых свойств ТО 

По степени абстрагирования 

По способу получения  ММ

Инвариантные 

Функциональные 

ММ микроуровня(с распределенными параметрами) 

Теоретические

Алгоритмические 

Структурные 

ММ макроуровня (со средоточенными параметрами

Экспериментальные факторные

Аналитические

ММ метауровня 

Графические (схемные) 

Структура модели - это  упорядоченное множество элементов  и их отношений. Параметр -  это  величина, характеризующая свойство или режим работы объекта. Выходные параметры характеризуют свойства технического объекта, а внутренние параметры - свойства его элементов. Внешние параметры - это параметры внешней Среды, оказывающей влияние на функционирование технического объекта.

К математическим моделям  предъявляются требования адекватности, экономичности, универсальности. Эти  требования противоречивы.

В зависимости от степени абстрагирования при  описании физических свойств технической  системы различают три основных иерархических уровня: верхний или  метауровень, средний или макроуровень, нижний или микроуровень.

Метауровень соответствует начальным стадиям проектирования, на которых осуществляется научно-техничекский1 поиск и прогнозирование, разработка концепции и технического решения, разработка технического предложения. Для построения математических моделей метауровня используют методы морфологического синтеза, теории графов, математической логики, теории автоматического управления, теории массового обслуживания, теории конечных автоматов.

На макроуровне объект рассматривается как динамическая система с сосредоточенными

 параметрами.  Математические модели макроуровня представляют собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти модели используют при определении параметров технического объекта и его функциональных элементов.

На микроуровне объект представляется как сплошная Среда с распределенными параметрами. Для описания процессов функционирования таких объектов используют дифференциальные уравнения в частных производных. На микроуровне проектируют неделимые по функциональному признаку элементы технической системы, называемые базовыми элементами.  При этом базовый элемент рассматривается как система, состоящая из множества однотипных функциональных элементов одной и той же физической природы, взаимодействующих между собой и находящихся под воздействием внешней Среды и других элементов технического объекта, являющихся внешней средой по отношению к базовому элементу.

По форме представления  математических моделей различают  инвариантную, алгоритмическую, аналитическую и графическую модели объекта проектирования.

В инвариантной форме  математическая модель представляется системой уравнений вне связи  с методом решения этих уравнений.

В алгоритмической  форме соотношения модели связаны  с выбранным численным методом решения и записаны в виде алгоритма - последовательности вычислений. Среди алгоритмических моделей выделяют имитационные , модели предназначенные для имитации физических и информационных процессов, протекающих в объекте при его функционировании под воздействием различных факторов внешней среды.