Корреляционный анализ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  И НАУКИ РФ

Федеральное  государственное  бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

Кафедра «ХТПЭ»

 

 

 

 

Реферат

Тема: Корреляционный анализ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Волгоград 2013

Содержание

  1. Введение………………………………………………………………….…3
  2. Реферативная справка……………………………………………………...5
  3. Отбор факторов для корреляционного анализа……………………..…...9
  4. Постановка задачи………………………………………………………...11
  5. Пример…………………………………………………………………..…12
  6. Выводы………………………………………………………………….…19
  7. Список использованной литературы………………………………….…20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Статистические методы применяются  при обработке материалов психологических  исследований для того, чтобы извлечь  из тех количественных данных, которые  получены в экспериментах, при опросе и наблюдениях, возможно больше полезной информации. Одним самых из распространенных методов статистики является корреляционный анализ.

Термин "корреляция" впервые  применил французский палеонтолог  Ж. Кювье, который вывел "закон  корреляции частей и органов животных" (этот закон позволяет восстанавливать  по найденным частям тела облик всего  животного). В статистику указанный  термин ввел английский биолог и статистик  Ф. Гальтон (не просто связь – relation, а "как бы связь " – corelation).

Корреляционный анализ –  это проверка гипотез о связях между переменными с использованием коэффициентов корреляции. Коэффициент  корреляции – двумерная описательная статистика, количественная мера взаимосвязи (совместной изменчивости) двух переменных. Таким образом, корреляционный анализ это совокупность методов обнаружения  корреляционной зависимости между  случайными величинами или признаками. Корреляционный анализ для двух случайных  величин заключает в себе:

1) построение корреляционного поля и составление корреляционной таблицы;

2)   вычисление выборочных коэффициентов корреляции и корреляционных отношений;

3)  проверка статистической гипотезы значимости связи.

Основное назначение корреляционного  анализа – выявление корреляционной связи между двумя или более  изучаемыми переменными. Корреляционная связь это совместное согласованное изменение двух изучаемых характеристик. Данная изменчивость обладает тремя основными характеристиками: формой, направлением и силой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Реферативная  справка

 

Корреляционный анализ  -    совокупность основанных на математической теории корреляции методов  обнаружения корреляционной зависимости  между двумя случайными признаками или факторами. Корреляционный анализ экспериментальных данных заключает в себе следующие основные практические приёмы: 1) построение корреляционного поля и составление корреляционной таблицы; 2) вычисление выборочных коэффициентов корреляции или корреляционного отношения; 3) проверка статистической гипотезы значимости связи. Дальнейшее исследование заключается в установлении конкретного вида зависимости между величинами. Зависимость между тремя и большим числом случайных признаков или факторов изучается методами многомерного корреляционного анализа. (вычисление частных и множественных коэффициентов корреляции и корреляционных отношений).

Корреляционное поле и  корреляционная таблица являются вспомогательными средствами при анализе выборочных данных. При нанесении на координатную плоскость выборочных точек получают корреляционное поле. По характеру  расположения точек поля можно составить  предварительное мнение о форме  зависимости случайных величин (например, о том, что одна величина в среднем  возрастает или убывает при возрастании  другой). Для численной обработки  результаты обычно группируют и представляют в форме корреляционной таблицы. В каждой клетке корреляционной таблицы  приводятся численности гц; тех пар (х, у), компоненты которых попадают в соответствующие интервалы  группировки по каждой переменной.

         Предполагая длины интервалов  группировки (по каждому из  переменных) равными между собой,  выбирают центры xi (соответственно yj) этих интервалов и числа  nij в качестве основы для расчётов.

         Коэффициент корреляции и корреляционное  отношение дают более точную  информацию о характере и силе  связи, чем картина корреляционного  поля. Выборочный коэффициента корреляции  определяют по формуле:

   Где

При большом числе независимых  наблюдений, подчиняющихся одному и  тому же распределению, и при надлежащем выборе интервалов группировки коэффициент  ρ̂ близок к истинному коэффициенту корреляции ρ. Поэтому использование  ρ̂ как меры связи имеет четко  определённый смысл для тех распределений, для которых естественной мерой  зависимости служит ρ (т. е. для нормальных или близких к ним распределений). Во всех др. случаях в качестве характеристики силы связи рекомендуется использовать корреляционное отношение η, интерпретация  которого не зависит от вида исследуемой  зависимости.

Коэффициенты корреляции является общепринятой в математической статистике характеристикой связи между  двумя случайными величинами. Коэффициент  корреляции - показатель степени взаимозависимости, статистической связи двух переменных; изменяется в пределах от -1 до +1. Значение коэффициента корреляции 0 указывает на возможное отсутствие зависимости, значение +1 свидетельствует о согласованности переменных.

Различают следующие коэффициенты корреляции:

- дихотомический - показатель связи  признаков (переменных) измеряемых  по дихотомическим шкалам наименований;

- Пирсона (Pearson product-moment correlation) - коэффициент  корреляции, используемый для континуальных  переменных;

- ранговой корреляции Спирмена (Spearmen's rank-order correlation) - коэффициент корреляции  для переменных, измеренных в  порядковых (ранговых) шкалах;

- точечно-бисериальной корреляции (point-biserial correlation) - коэффициент корреляции, применяемый в случае анализа  отношения переменных, одна из  которых измерена в континуальной  шкале, а другая - в строго дихотомической  шкале наименований;

- j - коэффициент корреляции, используемый  в случае, если обе переменные  измерены в дихотомической шкале  наименований.

- тетрахорический (четырехпольный) (tetrachoric) - коэффициент корреляции, используемый  в случае, если обе переменные  измерены в континуальных шкалах[4].

Линейная связь между переменными Xi и Xj оценивается коэффициентом  корреляции:

где Xi и Xj – исследуемые переменные; mXi и mXj – математические ожидания переменных; σX и σX – дисперсии переменных.

Выборочный коэффициент корреляции определяют по формуле:

или по преобразованной формуле:

где i =1, 2, ., n, j = 1, 2, ., m, u = 1, 2, ., N; N – число  опытов(объем выборки); xi, xj – оценки математических ожиданий; SXi, SXj – оценки среднеквадратических отклонений.

Только при совместной нормальной распределенности исследуемых случайных  величин Xi и Xj коэффициент корреляции имеет определенный смысл связи  между переменными. В противном  случае коэффициент корреляции может  только косвенно характеризовать эту  связь[5].

Применение корреляционного  анализа позволяет решить следующие  задачи:

1) определить изменение  результативного показателя под  воздействием одного или нескольких  факторов {в абсолютном измерении), т.е. определить, на сколько единиц  изменяется величина результативного  показателя при изменении факторного  на единицу;

2) установить относительную  степень зависимости результативного  показателя от каждого фактора.

Исследование корреляционных зависимостей имеет огромное значение в АХД. Это проявляется в том, что значительно углубляется  факторный анализ, устанавливаются  место и роль каждого фактора  в формировании уровня исследуемых  показателей, углубляются знания об изучаемых явлениях, определяются закономерности их развития и как итог — точнее обосновываются планы и управленческие решения, более объективно оцениваются итоги деятельности предприятий и более полно определяются внутрихозяйственные резервы.

 

Отбор факторов для  корреляционного анализа

 

Отбор факторов для корреляционного  анализа — очень важный момент: от того, насколько правильно отобраны факторы, зависят конечные результаты анализа. Главная роль при отборе факторов принадлежит теории, а также  практическому опыту анализа. При  этом необходимо придерживаться следующих  правил.

1. В первую очередь следует учитывать причинно-следственные связи между показателями, ибо только они раскрывают сущность изучаемых явлений. Анализ же таких факторов, которые находятся только в математических соотношениях с результативным показателем, не имеет практического смысла.

2. При создании многофакторной  корреляционной модели необходимо  отбирать самые значимые факторы,  которые оказывают решаюшее воздействие  на результативный показатель, так  как охватить все условия и  обстоятельства практически невозможно. Факторы, которые имеют критерий  надежности по Стьюденту меньше  табличного, не рекомендуется принимать  в расчет.

3. В корреляционную модель  линейного типа не рекомендуется  включать факторы, связь которых  с результативным показателем  имеет криволинейный характер.

4. Нельзя включать в  корреляционную модель взаимосвязанные  факторы. Если парный коэффициент  корреляции между двумя факторами  больше 0,85, то по правилам корреляционного  анализа один из них необходимо  исключить, иначе это приведет  к искажению результатов анализа.

5. Не рекомендуется включать  в корреляционную модель факторы,  связь которых с результативным  показателем носит функциональный  характер.

Большую помощь при отборе факторов для корреляционной модели оказывают аналитические группировки, способ сравнения параллельных и  динамических рядов, линейные графики. С их помощью можно определить наличие, направление и форму  зависимости между изучаемыми показателями. Отбор факторов можно производить  также в процессе решения задачи корреляционного анализа на основе оценки их значимости по критерию Стьюдента.

Учитывая перечисленные  требования и используя названные  способы отбора факторов, для многофакторной корреляционной модели уровня рентабельности (Y) подобраны следующие факторы, оказывающие наиболее существенное влияние на ее уровень:

x1 - материалоотдача, руб.;

x2 - фондоотдача, коп.;

x3 - производительность труда  (среднегодовая выработка продукции  на одного работника), млн руб.;

x4 - продолжительность оборота  оборотных средств предприятия,  дни;

x5 - удельный вес продукции  высшей категории качества, %.

Поскольку корреляционная связь  достаточно полно проявляется только в массе наблюдений, объем выборки  данных должен быть достаточно большим, так как только в массе наблюдений сглаживается влияние других факторов. Чем большая совокупность объектов исследуется, тем точнее результаты анализа.

 

 

 

 

 

 

Постановка задачи

Имеется матрица наблюдений вида(пример 1 ,2)

Необходимо определить оценки коэффициентов корреляции для всех или только для заданных пар параметров и оценить их значимость. Незначимые оценки приравниваются к нулю.

Допущения:

  • Выборка имеет достаточный объем. Понятие достаточного объема зависит от целей анализа, требуемой точности и надежности оценки коэффициентов корреляции, от количества факторов. Минимально допустимым считается объем, когда количество наблюдений не менее чем в 5–6 раз превосходит количество факторов;
  • выборки по каждому фактору являются однородными. Это допущение обеспечивает несмещенную оценку средних величин;
  • матрица наблюдений не содержит пропусков.

Если необходима проверка значимости оценки коэффициента корреляции, то требуется соблюдение дополнительного  условия – распределение вариант должно подчиняться нормальному закону.

Задача анализа решается в несколько этапов:

  • проводится стандартизация исходной матрицы;
  • вычисляются парные оценки коэффициентов корреляции;
  • проверяется значимость оценок коэффициентов корреляции, незначимые оценки приравниваются к нулю. По результатам проверки делается вывод о наличии связей между вариантами (факторами).

 

 

 

 

 

Пример

Исследование зависимости  между среднемесячными доходами X на семью (в тыс. у.е.) и расходами Y на покупку кондитерских изделий (в у.е.) представлено в таблице:

X

4,8

3,8

5,4

4,2

3,4

4,6

3,4

4,8

5,0

3,8

5,2

4,0

3,8

4,6

4,4

Y

75

68

78

71

64

73

66

75

75

65

77

69

67

72

70


 

Построить корреляционное поле и сделать предварительный вывод  о форме зависимости случайных  величин

Решение. Корреляционное поле, построенное по статистическим данным, приведено на рис.1.

Анализ рис. 1. позволяет сделать вывод о наличии сильной линейной статистической связи между среднемесячными доходами семьи и затратами на приобретение ею кондитерских изделий. При этом связь имеет положительную тенденцию, т.е. с ростом переменной X наблюдается увеличение отклика Y.

При большом объеме выборки  результаты группируются и представляются в виде корреляционной таблицы.

Пример 2:  По 20 туристическим фирмам были установлены затраты X на рекламу и количества туристов Y, воспользовавшихся услугами каждой фирмы. В таблице фирмы ранжированы по величине затрат на рекламу:

Порядковый номер фирмы

Затраты на рекламу,

усл.ден.ед.

Количество туристов,

воспользовавшихся

услугами фирмы,

чел.

1

8

800

2

8

850

3

8

720

4

9

850

5

9

800

6

9

880

7

9

950

8

9

820

9

10

900

10

10

1000

11

10

920

12

10

1060

13

10

950

14

11

900

15

11

1200

16

11

1150

17

11

1000

18

12

1200

19

12

1100

20

12

1000


Построить корреляционную таблицу  и сделать предварительный вывод  о форме зависимости случайных  величин.

Решение. Исходные данные, ранжированные по величине затрат на рекламу, уже могут быть использованы при ответе на вопрос о наличии или отсутствии корреляционной связи. Этот простейший прием обнаружения связи называется сопоставлением двух параллельных рядов. Согласно этому элементарному приему, значения факторного признака X располагают в неубывающем порядке и затем прослеживают направление изменения результативного признака Y.

По таблице можно видеть, что в целом для всей совокупности фирм увеличение затрат на рекламу  приводит к увеличению количества туристов, пользующихся услугами фирмы. Хотя в  отдельных случаях наличие такой  зависимости может не усматриваться. Например, сопоставим данные по фирмам с порядковыми номерами 7 и 11. Здесь  можно увидеть даже обратное соотношение: у фирмы 11 количество туристов меньше, чем у фирмы 7, хотя затраты на рекламу выше. В каждом отдельном  случае количество туристов, воспользовавшихся  услугами фирмы, будет зависеть не только от размера затрат фирмы на рекламу, но и от того, как сложатся прочие факторы, определяющие величину результативного  признака.

Однако наличие большого числа различных значений результативного  признака, соответствующих одному и  тому же значению признака-фактора, затрудняет восприятие таких параллельных рядов. Особенно это сказывается при  большом числе единиц, составляющих изучаемую совокупность. В таких  случаях целесообразнее воспользоваться  для установления факта наличия  связи корреляционной таблицей. Построение корреляционной таблицы начинают с  группировки значений факторного и  результативного признаков. Поскольку  в приводимом примере факторный  признак представлен всего пятью  вариантами повторяющихся значений, достаточно в первом столбце корреляционной таблицы выписать эти результаты. Для результативного признака необходимо определить величину интервала группировки. Это можно сделать с помощью  формулы Стержэсса:

В корреляционной таблице  факторный признак X, как правило, располагают в строках, а результативный признак Y – в столбцах таблицы. Числа, расположенные на пересечении строк и столбцов таблицы, означают частоту повторения данного значения X и Y:

Данная корреляционная таблица  уже при общем знакомстве дает возможность выдвинуть предположение  о наличии или отсутствии связи, а также выяснить ее направление. Если частоты в корреляционной таблице  расположены на диагонали из левого верхнего угла в правый нижний угол (т.е. бóльшим значениям фактора  соответствуют бóльшие значения функции), то можно предположить наличие  прямой корреляционной зависимости  между признаками. Если же частоты  расположены по диагонали из правого  верхнего угла в левый нижний, то предполагают наличие обратной связи  между признаками.

Необходимо подчеркнуть, что при рассмотрении корреляционной таблицы важно установить расположение основной части частот. Возможны варианты, когда все клетки корреляционной таблицы окажутся заполненными. Однако это обстоятельство еще не означает, что корреляционная связь между  признаками отсутствует. Нужно установить, как расположена в таблице основная масса частот. Для того, чтобы сделать восприятие корреляционной таблицы более доступным и в целях более четкого выявления основной тенденции связи, можно для каждой строки рассчитать средние значения   результативного признака Y, соответствующие определенному значению признака-фактора X. Так, в рассматриваемом примере среднее число туристов для первой группы, состоящей из трех фирм, которые тратят на рекламу 8 усл. ден. ед., будет равно 800 человек:

Для следующей группы, состоящей  из пяти фирм, у которых затраты  на рекламу 9 усл. ден. ед.

и т.д. (рассчитанные таким  образом средние   представлены в последнем столбце корреляционной таблицы).

Итак, увеличение средних  значений результативного признака с увеличением значений факторного признака еще раз свидетельствует  о возможном наличии прямой корреляционной зависимости числа туристов, воспользовавшихся  услугами фирмы, от затрат фирмы на рекламу.

Корреляционная таблица  позволяет сжато, компактно изложить материал. Поэтому все последующие  расчеты можно вести по корреляционной таблице. 

Выборочный коэффициент  корреляции Пирсона для группированной   корреляционной таблицы определяется формулой:

                                                                                                     (1)

где  

                                                                          (2)

– выборочная ковариация;   и   – центры соответствующих интервалов группировки;

,  ,

,                             (3)

– соответствующие выборочные дисперсии.

Для выборочной ковариации   справедлива формула

,                               (4)

являющаяся аналогом формулы   в теории вероятностей. Для простой (негруппированной) выборки формулы (6.2) – (6.4) упрощаются и приобретают вид:

                    

,                                          (5)

,

, 
.                             (6)

Выборочный коэффициент  корреляции   обладает всем свойствами, которыми обладает теоретико-вероятностный коэффициент корреляции  . В частности, для любой выборки  .

При этом, чем ближе   к 1 (или к  ), тем сильнее выражена линейная зависимость между X и Y. Однако значимость такой зависимости должна быть

подкреплена проверкой гипотезы. Проверка гипотезы о наличии корреляции осуществляется следующим образом. Основная гипотеза – отсутствие линейной статистической связи ( ); альтернативной гипотезой может выступать любая из трех возможных 

В тех случаях, когда справедливо  предположение о нормальном распределении  двумерного генерального вектора  , подходящей статистикой для проверки основной гипотезы является статистика Стъюдента

,                                                 (6.7)

где обозначено   – выборочный коэффициент корреляции, а объем n выборки предполагается большим (число степеней свободы равно  ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выводы

  1. Делаем вывод о наличии и характере функциональной зависимости или о предпочтительности для описания исследуемого объекта регрессионной модели того или иного вида;
  2. Корреляционный анализ призван просто находить взаимозависимость, объяснять ее интенсивность и трансформацию;
  3. Корреляционный анализ можно рассматривать как составную часть факторного анализа, (как и самостоятельный вид анализа) но это не умаляет достоинства первого т.к он выявляет определяющие связи. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованной литературы

 

  1. Экономический анализ: Учебник для вузов/ Под ред. Л.Т Гиляровской. – 2-е изд.,  доп. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002 – 615с.
  2. Баканов М.И, Шеремет А.Д, Теория экономического анализа: Учебник – 4-е изд., доп. и перераб. – М.: Финансы и статистика, 2002. – 416 с.
  3. Любушин Н.П. Экономический анализ: Учебное пособие по специальностям 080109 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» и 080105 «Финансы и кредит». – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007 – 423 с.
  4. Анализ хозяйственной деятельности предприятия: Учебник. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ИНФРА-М, 2003. – 400 с.
  5. Басовский Л.Е. Теория экономического анализа: Учебное пособие. – М.: ИНФРА-М, 2003. – 222 с.

 


Корреляционный анализ 📙 Реферат → 🆔 127949

Корреляционный анализ 📙 Реферат → 🆔 127949