Космонавты в вакууме

 

Министерство образования и  науки Российской Федерации

ФГБОУ ВПО «Мордовский государственный  университет им. Н. П. Огарёва»

 

Факультет математики и информационных технологий

 

Кафедра дифференциальных уравнений

 

 

 

«УТВЕРЖДАЮ» _____________________ _____________________       «______»__________201_    г.

 

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)

 

Дифференциальные  уравнения

 

для направлений подготовки

010400.62 – Прикладная математика и информатика

(бакалавриат)

 

 

профиль подготовки

Системное программирование и компьютерные технологии

 

Квалификация – бакалавр

 

 

Форма обучения

очная

 

 

 

 

 

 

 

г. Саранск

   2012 г.

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Цели и задачи учебной дисциплины: Целями   освоения   учебной дисциплины   дифференциальные уравнения  являются: обучение фундаментальным методам современной количественной и качественной теории дифференциальных уравнений как средства математического моделирования детерминированных явлений, ознакомить студентов с методами решения интегрируемых типов дифференциальных уравнений, методами качественного исследования и применения дифференциальных уравнений в математическом моделировании динамических процессов. Научить студентов самостоятельно расширять теоретические знания.

 

 

2. Место учебной дисциплины в структуре ООП: Дисциплина Дифференциальные уравнения относится к базовой (общепрофессиональной)  части профессионального цикла. Для успешного освоения предмета необходимо владеть общекультурными и профессиональными компетенциями:

- способностью владеть культурой мышления, умение аргументированно и ясно строить устную и письменную речь (ОК-1);

- способностью и готовностью к письменной и устной коммуникации на родном языке (ОК-10);

- способностью к интеллектуальному, культурному, нравственному, физическому и профессиональному саморазвитию, стремление к повышению своей квалификации и мастерства (ОК-16);

- способностью понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат (ПК-3);

- способностью составлять и контролировать план выполняемой работы, планировать необходимые для выполнения работы ресурсы, оценивать результаты собственной работы (ПК-12).

 

В дисциплине используется материал следующих дисциплин «Алгебра и геометрия», «Математический анализ», «Комплексный анализ». Материал дисциплины является опорным для изучения таких дисциплин, как «Численные методы», «Методы оптимизации».

 

 

3. Требования к результатам освоения дисциплины

Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины(модуля):

В результате изучения дисциплины студент должен:

Знать: теоретические основы методов интегрирования дифференциальных уравнений и систем, качественную теорию дифференциальных уравнений.

Уметь: интегрировать известные типы обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных первого порядка, проводить качественное исследование решений.

Владеть: методами и средствами теории дифференциальных уравнений.

 

4. Образовательные технологии

Традиционные формы обучения

 

 

 

5. Структура учебной дисциплины (модуля)

. Структура дисциплины

№ п/п	Раздел учебной дисциплины	Курс	Семестр	Неделя семестра	Виды учебной работы, в т.ч. СРС  и трудоёмкость (в часах)			Формы текущего контроля  успеваемости  (по неделям семестра)	Форма промежуточной аттестации
					лекции	практические занятия	СРС*
1.	Дифференциальные уравнения первого порядка	2	4	1 – 9	18	18	36	КР 1 (9-я неделя)	Зачет
2.	Дифференциальные уравнения высших порядков	2	4	10 – 18	18	18	36	КР 2 (17-я неделя)
3.	Системы дифференциальных уравнений	3	5	1 – 10	20	8	30	КР 3 (10-я неделя)	Экзамен
4.	Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений	3	5	11-15	10	4	30
5.	Дифференциальные уравнения с  частными производными первого порядка.	3	5	16-18	6	6	30

 

 

* СРС – самостоятельная работа  студента

** КР – контрольная работа

 

 

 

 

 

 

5.1 Содержание учебной дисциплины (модуля). Объем дисциплины и виды учебных занятий

 

Вид учебной работы	Всего часов	Семестры
		4	5
Аудиторные занятия (всего)	126	72	54
В том числе:	-	-	-	-	-
Лекции	72	36	36
Практические занятия (ПЗ)	54	36	18
Семинары (С)
Лабораторные работы (ЛР)
Самостоятельная работа (всего)	162	72	90
В том числе:	-	-	-	-	-
Курсовой проект (работа)
Расчетно-графические работы
Реферат
Другие виды самостоятельной  работы
Контрольные работы	3	2	1
Вид  текущего контроля  успеваемости
Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)		зачет	экзамен
Общая трудоемкость                                     час                                                                        зач. ед.	288	144	144
	8	4	4

   

 

5.2. Содержание разделов учебной дисциплины

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Содержание раздела	Формы текущего контроля успеваемости (по неделям семестра)
1.	Дифференциальные уравнения первого порядка	Дифференциальные уравнения первого  порядка, разрешенные  относительно производной. Существование и единственность решения задачи Коши. равнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения первого порядка.  Линейные уравнения. Уравнение Бернулли, Риккати. Уравнение в полных дифференциалах.  Интегрирующий множитель. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной. Особые решения. Неполные уравнения. Уравнения Лагранжа и Клеро. Метод введения параметра.	КР 1
2.	Дифференциальные уравнения высших порядков	Дифференциальные уравнения высших порядков. Случаи понижения порядка. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с переменными  коэффициентами.   Метод Лагранжа.  Линейные дифференциальные  уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера. Построение однородного линейного уравнения по фундаментальной системе решений. Понижение порядка однородного линейного уравнения при помощи линейно независимых частных решений. Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и колебательные  явления. Краевая задача для дифференциального уравнения   второго порядка. Функция Грина. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. Представление решений в окрестности особой точки в виде обобщенных степенных рядов. Уравнение Бесселя.	КР 2
3.	Системы дифференциальных уравнений	Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого  порядка.   Теорема существования  и единственности. Связь между  уравнениями высшего порядка и системами дифференциальных уравнений. Линейные системы дифференциальных уравнений. Фундаментальная матрица. Определитель Вронского. Метод Эйлера решения линейных однородных систем с постоянными коэффициентами. Матричный метод решения линейных однородных  систем с постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные системы. Метод вариации произвольной постоянной. Метод  Эйлера решения неоднородных систем. Нули решений линейных однородных дифференциальных  уравнений второго порядка. Теорема Штурма.  Теорема сравнения. Линейные системы с периодическими коэффициентами. Мультипликаторы. Теорема о приводимости линейной системы. Краевая задача для линейной системы. Функция Грина. Непрерывная зависимость решений от начальных данных   и параметров. Дифференцируемость решений по начальным данным и параметрам. Общее решение, общий интеграл, независимые     интегралы  системы дифференциальных уравнений. Методы интегрирования нелинейных систем	КР 3
4.	Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений	Устойчивость линейных систем. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому линейному приближению. Второй метод Ляпунова в теории устойчивости. Теоремы о неустойчивости. Общее решение, общий интеграл, независимые      интегралы  системы  дифференциальных уравнений. Качественное исследование плоских систем, точки покоя. Предельные циклы автономных систем.	Опрос
5.	Дифференциальные уравнения с  частными производными первого порядка.	Дифференциальные уравнения с  частными производными первого порядка. Задача Коши. Однородные уравнения с частными производными первого порядка. Теорема существования и  единственности для линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка. Неоднородные уравнения с частными производными. Нелинейные системы уравнений  с частными производными первого порядка.Уравнение Пфаффа.	Опрос

 

5.3 Разделы учебной дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами

№ п/п	Наименование обеспе-чиваемых (последую-щих) дисциплин	№ № разделов данной дисциплины, необходимых для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
		1	2	3	4	5
1.	Уравнения с частными производными	+	+	+	+	+
2.	Численные методы	+	+	+	+	+
3.	Методы оптимизации	+	+	+	+	+

 

5.4 Разделы дисциплин и виды занятий

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Лекц.	Практ. зан.	Лаб. зан.	Семин	СРС	Все-го час.
1.	Дифференциальные уравнения первого порядка	18	18			36	72
2.	Дифференциальные уравнения высших порядков	18	18			36	72
3	Системы дифференциальных уравнений	20	8			30	58
4.	Устойчивость решений	10	4			30	44
5.	Дифференциальные уравнения с  частными производными первого порядка.	6	6			30	42

 

6. Лабораторный практикум – не предусмотрен

 

7. Практические занятия  (семинары)

№ п/п	№ раздела дисциплины	Тематика практических занятий (семинаров)	Трудо-емкость (час.)
1.	1	Дифференциальные уравнения первого  порядка.. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения.Уравнения, приводимые к однородным. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли и Риккати. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Интегрируемые в квадратурах  дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной. Уравнения Лагранжа и Клеро.	18
2.	2	Дифференциальные уравнения n-го порядка. Случаи понижения порядка. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Линейные однородные уравнения с переменными коэффициентами. Линейные неоднородные уравнения. Методом вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Лиинейные неоднородные уравнения с переменными коэффициентами.	18
3.	3	Линейные однородные системы с  постоянными коэффициентами. Метод  Эйлера. Матричный метод. Линейные неоднородные системы. Метод вариации произвольной постоянной. Линейные неоднородные системы  со специальной правой частью. Интегрирование нелинейных систем.	8
4.	4	Исследование на устойчивость систем дифференциальных уравнений по линейному приближению, с помощью функций Ляпунова. Общее решение, общий интеграл, независимые интегралы  системы дифференциальных уравнений. Качественное исследование плоских систем, точки покоя. Предельные циклы автономных систем.	4
5.	5	Линейные однородные уравнения  с частными производными первого  порядка. Линейные неоднородные уравнения с частными производными первого порядка. Задача Коши.	6

 

8. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов

 

Вопросы к экзамену

 

1. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной. Существование и единственность решения задачи Коши.
2. Уравнения с разделяющимися переменными.
3. Однородные уравнения первого порядка.
4. Линейные уравнения. Уравнение Бернулли, Риккати.
5. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
6. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной. Особые решения.
7. Простейшие типы дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной  (неполные уравнения).
8. Дифференциальные уравнения высших порядков. Случаи понижения порядка.
9. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с переменными коэффициентами. Метод Лагранжа.
10. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера.
11. Построение однородного линейного уравнения по фундаментальной системе решений.
12. Понижение порядка однородного линейного уравнения при помощи линейно независимых частных решений.
13. Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и колебательные явления.
14. Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка. Функция Грина.
15. Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Теорема существования и единственности.
16. Связь между уравнениями высшего порядка и системами дифференциальных уравнений.
17. Линейные системы дифференциальных уравнений. Фундаментальная матрица. Определитель Вронского.
18. Метод Эйлера решения линейных однородных систем с постоянными коэффициентами.
19. Матричный метод решения линейных однородных систем с постоянными коэффициентами.
20. Линейные неоднородные системы. Метод вариации произвольной постоянной.
21. Метод Эйлера решения неоднородных систем.
22. Нули решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка. Теорема Штурма.
23. Теорема сравнения.
24. Линейные системы с периодическими коэффициентами. Мультипликаторы.
25. Теорема о приводимости линейной системы.
26. Краевая задача для линейной системы. Функция Грина.
27. Периодические решения линейных систем.
28. Непрерывная зависимость решений от начальных данных и параметров.
29. Дифференцируемость решений по начальным данным и параметрам.
30. Метод малого параметра.
31. Решения периодических квазилинейных систем.
32. Устойчивость линейных систем.
33. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому линейному приближению.
34. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости.
35. Теоремы о неустойчивости.
36. Общее решение, общий интеграл, независимые интегралы системы дифференциальных уравнений.
37. Автономные системы. Виды траекторий.
38. Качественное исследование плоских систем, точки покоя.
39. Предельные циклы автономных систем.
40. Общий интеграл. Теорема существования независимых интегралов автономной системы.
41. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.
42. Представление решений в окрестности особой точки в виде обобщенных степенных рядов.
43. Уравнение Бесселя.
44. Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка. Задача Коши.
45. Однородные уравнения с частными производными первого порядка.
46. Теорема существования и единственности для линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка.
47. Неоднородные уравнения с частными производными.
48. Нелинейные системы уравнений с частными производными первого порядка
49. Уравнение Пфаффа.
50. Операционный метод решения линейных уравнений и линейных систем дифференциальных уравнений.

 

 

Примерные задания контрольных  работ.

 

Контрольная работа № 1

 

 

Контрольная работа № 2

 

1. Решить уравнения

а)

б)

2. Решить задачу Коши

3. Найти общее решение линейного однородного уравнения. Частное решение искать в виде многочлена или показательной функции.

 

Контрольная работа № 3

1. Найти решение системы, удовлетворяющее начальным условиям

2. Решить систему матричным методом

 

 

3. Найти общее решение системы

 

9. Учебно-методическое и информационное обеспечение учебной дисциплины:

а) основная литература

1. Бибиков Ю. Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений: Учеб. пособие для ун-тов. -  М.: Высш. шк., 1991. - 303 с.
2. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений: Учеб. Минск: Вышэйш. шк., 1974. 766 с.
3. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970.
4. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Учеб. М.: Наука, 1982. 331 с.
5. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. пособие для втузов, том второй. М.: Наука, 1972.576 с.
6. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений: Учеб. М.:Физматгиз, 1958. 458 с.
7. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.:Наука, 1979. 128 с.

 

б) дополнительная литература

1. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1971.

2. Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости. М.:Наука. 1971.

3. Богданов Ю. С. Дифференциальные уравнения: Учеб. пособие /

4. Ю. С. Богданов, Ю. Б. Сыроид. Минск: Вышэйш. шк., 1983. 239 с.

5. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

6. Гудыменко Ф. С., Павлюк И. А., Волкова В. А. Сборник

7. задач по дифференциальным уравнениям. Киев: Вища шк., 1972.

8. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Минск: Наука и техника, 1979. - 743 с.

9. Еругин Н.П., Штокало И.З. и др. Курс дифференциальных уравнений: Учебное пособие. Киев: Вища школа, 1974. - 472 с.

10. Карташов А.П., Рождественский Б.А. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы ва-риационного исчисления: Учебное пособие. М.: Наука, 1980. - 287 с.

11. Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Минск: Вышэйш. школа, 1977. - 414 с.

12. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перстюк Н.А. Дифференциальные уравнения: примеры и за-дачи: Учебное пособие. М.: Высшая школа, 1989. - 383 с.

13. Эльсгольц Л. А. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление: Учебник. М.: Наука, 1965. - 424 с.

14. Федорюк М.Б. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Учебное пособие. М.: Наука, 1980. - 352 с.

 

в) программное обеспечение и Интернет- ресурсы

1. Международный научно-образовательный сайт EqWorld [Электронный ресурс] : Электрон. дан. и прогр. – Режим доступа: http://eqworld.ipmnet.ru/indexr.htm, свободный. – Загл. с экрана.
2. DMVN [Электронный ресурс] : [портал учебных материалов для студентов мехмата МГУ им. М.В. Ломоносова]. – Режим доступа: http://dmvn.mexmat.net, свободный. – Загл. с экрана.
3. Википедия [Электронный ресурс] : [свобод. Интернет-энцикл.] – Электрон. дан. и прогр. – Режим доступа: http://ru.wikipedia.org, свободный. – Русскояз. часть междунар. проекта «Википедия».

 

 

____________________________________________________________________________

10. Материально-техническое обеспечение дисциплины:

 

Учебные аудитории для проведения лекционных и практических занятий.

 

11. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины:

 

Во время лекционных занятий необходимо особое внимание студентов обратить на:

а) на интегрируемые типы уравнений.

б) обоснования методов интегрирования;

в) основные моменты в доказательствах теорем;

г) возможные приложения теоретических  знаний.

Критерии оценки. Оценка “отлично” ставится, если студент строго обосновывает свой ответ на вопросы билета, правильно отвечает на дополнительные вопросы, умеет грамотно объяснить решение задачи, владеет методами интегрирования дифференциальных уравнений и систем, знает доказательства теорем, умеет строить математические модели с помощью дифференциальных уравнений. Оценка “хорошо” ставится, если студент демонстрирует полное усвоение материала, предусмотренного программой, грамотно отвечает на вопросы билета и дополнительные вопросы. Умеет решать большую часть задач, предусмотренных программой курса. Допускаются  неточности второстепенного значения при ответе на дополнительные вопросы. Оценка “удовлетворительно” ставится, если студент усвоил материала, предусмотренный программой курса. На вопросы билета дает ответы в целом правильные, но они являются неполными. Умеет решать большую часть задач, предусмотренных программой курса, но допускает неточности при объяснении решения. Оценка “неудовлетворительно” ставится, если студент не может ответить грамотно на вопросы билета, затрудняется при решении задач, предусмотренных программой курса. На дополнительные вопросы отказывается отвечать.

 

Автор (разработчик):

Кафедра дифференциальных уравнений (место работы)	доцент (занимаемая должность)	Е. В. Афиногентова (инициалы, фамилия)
Рецензенты
____________________ (место работы)	______________ (занимаемая должность)	________________ (инициалы, фамилия)
____________________ (место работы)	______________ (занимаемая должность)	________________ (инициалы, фамилия)

Программа одобрена на заседании 

(Наименование  уполномоченного органа вуза (УМК,  НМС, Ученый совет)

От «___»_____________ 2012 года, протокол №.__

 

 

 

 

 

 

 

5. Структура учебной дисциплины (модуля)

 

 

№ п/п	Раздел учебной дисциплины	Курс	Семестр	Неделя семестра	Виды* учебной работы,  в т.ч. СРС и трудоёмкость (в часах)				Формы текущего  контроля  успеваемости  (по неделям семестра)	Форма промежуточной аттестации
					лекция	практика	СРС
1.	Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные   относительно производной.  Существование   и единственность решения  задачи Коши.	2	4	1	2		2
2.	Уравнения с разделяющимися переменными.  Однородные уравнения первого  порядка.  Линейные уравнения. Уравнение Бернулли, Риккати.	2	4	2	4	4	4
3.	Уравнение в полных дифференциалах.  Интегрирующий множитель.	2	4	3-4	6	4	6
4.	Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной. Особые решения.  Неполные уравнения.	2	4	5-6	4	4	4		Контрольная работа
5.	Дифференциальные уравнения высших порядков. Случаи понижения порядка.	2	4	7	1	2	1
6.	Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с переменными  коэффициентами.    Метод Лагранжа.  Линейные дифференциальные  уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера.	2	4	8	2	4	2
7.	Построение однородного линейного  уравнения по фундаментальной системе решений.  Понижение порядка однородного  линейного уравнения при помощи линейно независимых частных решений.	2	4	9	2		2
8.	Линейные уравнения второго  порядка с постоянными коэффициентами и колебательные   явления.	2	4	9	2		2
9	Нули решений линейных однородных дифференциальных   уравнений второго порядка.  Теорема Штурма.   Теорема сравнения.	2	4	10	1		1
10	Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. Представление решений  в окрестности особой точки в виде обобщенных степенных рядов. Уравнение Бесселя.	2	4	10	1		1		опрос
11	Краевая задача для дифференциального уравнения    второго порядка. Функция  Грина.	2	4	10	1	2	1
12	Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.    Теорема существования и  единственности.	2	4	10	2		2
13	Связь между уравнениями высшего порядка и системами дифференциальных уравнений. Линейные системы дифференциальных уравнений. Фундаментальная  матрица. Определитель Вронского.	2	4	11	2	2
14	Метод Эйлера решения линейных однородных систем с постоянными коэффициентами.	2	4	11	2	2
15	Матричный метод решения линейных однородных   систем с постоянными коэффициентами.	2	4	12	2	2	2
16	Линейные неоднородные системы. Метод  вариации произвольной постоянной.  Метод Эйлера решения неоднородных систем.	2	4	13	2	2	2		Контрольная работа
17.	Линейные системы с периодическими коэффициентами. Мультипликаторы. Теорема о приводимости линейной системы. Периодические решения линейных систем	2	4	13			4
18.	Краевая задача для линейной системы. Функция Грина.	2	4	14	2		2
19.	Непрерывная зависимость решений от начальных данных    и параметров.	2	4	14			4
20.	Дифференцируемость решений по начальным данным и параметрам. Метод малого параметра.	2	4	14			4
21.	Дифференциальные уравнения с   частными производными первого  порядка. Задача Коши. Однородные уравнения с частными производными первого порядка.	2	4	15	2	2	2
22.	Теорема существования и   единственности для линейного  однородного уравнения в частных производных первого порядка. Неоднородные уравнения с частными производными.	2	4	16	2	2	2
23.	Теорема существования и   единственности для линейного  однородного уравнения в частных производных первого порядка. Неоднородные уравнения с частными производными. Неоднородные уравнения с частными производными. Задача Коши. Нелинейные системы уравнений с частными производными первого порядка. Уравнение Пфаффа.	2	4	16	4		4
24.	Линейные разностные уравнения  n-го порядка. Методы решения.	2	4	17	2	2	2
25.	Классификация систем конечно-разностных уравнений. Линейные и нелинейные системы. Определение решения. Фундаментальная матрица решений линейной системы. Матрица Коши. Постановка начальной задачи. Существование и единственность решения начальной задачи.	2	4	18	4	2	4			экзамен