Линейная производственная задача

 

 

 

 

 

 

Оглавление

ДАННЫЕ  ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ

Вариант № 14

Линейная производственная задача

Предположим, что предприятие может выпускать четыре вида продукции, используя для этого три вида ресурсов. Известна технологическая матрица А затрат любого ресурса на единицу каждой продукции, вектор В объемов ресурсов и вектор С удельной прибыли.

 

В индивидуальном задании  матрицы компактно записаны в виде:

                                              

С1	С2	С3	С4			27	39	18	20
a11	a12	a13	a14	B1		2	1	6	5	140
a21	a22	a23	a24	B2		0	3	0	4	90
a31	a32	a33	a34	B3		3	2	4	0	198

         

        2  1  6  5                              140

А=   0  3  0  4                       В =  90            С= 27, 39, 18, 20                   (1)

        3  2  4  0                              198

 

Требуется составить производственную программу, обеспечивающую предприятию  наибольшую прибыль при имеющихся ограниченных ресурсах.

Математическая модель задачи:

Найти производственную программу (х₁, х₂, х₃, х₄),

максимизирующую прибыль z=27x₁+39x₂+18x₃+20х₄                                    (2)

при ограничениях по ресурсам

            2x₁ + x₂ + 6x₃ + 5x₄  £ 140

                 3x₂              + 4x₄  £ 90 , (3)

            3x₁ +2x₂ +4x₃           £ 198

 

где по смыслу задачи

x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, x₃ ≥ 0, x₄ ≥ 0 .                                                                        (4)

(2)-(4)- математическая модель линейной производственной задачи:

(2) - целевая функция;

(3) - линейные ограничения задачи (ограничения по ресурсам);

(4) - условие не отрицательности  задачи.

Получили задачу на условный экстремум. Для ее решения систему неравенств (3) при помощи дополнительных неотрицательных неизвестных х₅, х₆, х₇  заменим системой линейных алгебраических уравнений

2x₁ + x₂ + 6x₃ + 5x₄ + x₅                  = 140

        3x₂ +          4x₄         + x₆          = 90 , (5)

3x₁+ 2x₂ + 4x₃                          + x₇  = 198

где дополнительные переменные имеют  смысл остатков соответствующих  ресурсов.

х₅ - остаток 1-го ресурса;

х₆ - остаток 2-го ресурса;

х₇ - остаток 3-го ресурса.

 Среди всех решений системы  уравнений (5), удовлетворяющих условию  неотрицательности

       x_i ³0 , i=1...7 ,  (6)

надо найти то решение, при котором  функция (2) примет наибольшее значение.

Воспользуемся тем, что правые части  всех уравнений системы (5) неотрицательны, а сама система имеет предпочитаемый вид – дополнительные переменные являются базисными. Приравняв к нулю свободные переменные х₁, х₂, х₃, х₄, получаем базисное неотрицательное решение

х₁= 0, х₂= 0, х₃= 0, х₄ = 0, х₅= 140, х₆= 90, х₇= 198 (7)

по которой мы пока ничего не производим.

Из выражения  (2) видно, что  наиболее выгодно начинать производить продукцию второго вида, так как прибыль на единицу продукции здесь наибольшая. Чем больше выпуск этой продукции, тем больше прибыль. Выясним, до каких пор наши ресурсы позволяют увеличить выпуск этой продукции. Для этого придется записать для системы (5) общее решение

х₅= 140 - 2x₁ - x₂  - 6x₃ - 5x₄

х₆= 90 -          3x₂ -        4x₄                                                                                                                  (8)

х₇= 198 - 3x₁ -2x₂ - 4x₃

 

Мы пока сохраняем в общем уравнении x₁= x₃ = x₄ = 0 и увеличиваем только x₂. При этом значения базисных переменных должны оставаться неотрицательными, что приводит к системе неравенств

140 - x₂  ≥ 0                    x₂ ≤ 140

90   -3x₂ ≥ 0        или      x₂ ≤ 30 ,             т.е. 0 ≤ x₂ ≤ 30

198 -2x₂ ≥ 0         x₂ ≤ 99

Дадим x₂ наибольшее значение x₂ = 30, которое она может принять при нулевых значениях других свободных неизвестных, и подставим его в (8). Получаем для системы уравнений (5) частное неотрицательное решение

х₅= 140 - 2x₁ -   30  - 6x₃ - 5x₄

х₆= 90 -             90 -          4x₄                                                                                                                 

х₇= 198 - 3x₁ –  60 - 4x₃

х₁= 0, х₂= 30, х₃= 0, х₄ = 0, х₅= 110, х₆= 0, х₇= 138                                  (9)

Нетрудно убедиться, что это  решение является базисным неотрицательным  решением системы линейных алгебраических уравнений (5), для получения которого достаточно было принять в системе (5) неизвестную х₂ за разрешающую и перейти к новому предпочитаемому виду этой системы, сохранив правые части уравнений неотрицательными, для чего за разрешающее уравнение мы обязаны принять второе, так как

min = min (140; 30; 99) = 30,

а разрешающим элементом a₂₂=3. Применив известные формулы исключения, получаем для системы (5) новый предпочитаемый эквивалент

 

2x₁ +            6x₃ + x₄ + х₅ + х₆           = 110

         х₂  +          x₄ +        х₆           = 30                                                     (10)

3 х₁ +          4x₃   -  x₄             - х₆ + х₇ = 138

Приравняв к нулю свободные переменные х₁, х₃, х₄, х₆, получаем базисное неотрицательное решение, совпадающее с (9), причем первые четыре компонента его определяют новую производственную программу

х₁= 0, х₂= 30, х₃= 0, х₄ = 0.   (11)

исследуем, является ли это программа  наилучшей, т.е. обеспечивает ли она наибольшую прибыль. Для этого выразим функцию прибыли (2) через новые свободные переменные х₁, х₃, х₄, х₆.

Из второго уравнения системы (10) выражаем базисную переменную х₂ через свободные и подставляем в (2). Получаем

z=27x₁+39(30 - x₄ - х₆) +18x₃+20х₄

z=1170 + 27 x₁+18x₃ - 32х₄ - 13х₆                                                                                                  (12) 

Видим, что программа (12) не является наилучшей, так как прибыль будет расти, если мы начнем производить третью продукцию, но наиболее быстро функция z растет при возрастании x₁. Поэтому принимаем x₁ в системе (10) за разрешающую неизвестную, находим разрешающее уравнение по

min( ; ; )=min(55; -; 46)= 46                                                         (13)

и исключаем x₁ из всех уравнений системы (10), кроме третьего. Получим следующий предпочитаемый эквивалент системы условий, который определит для системы (5) новое базисное неотрицательное решение и уже третью производственную программу, для исследования которого нам придется выразить функцию (12) через свободные переменные, удалив оттуда переменную x₁, ставшую базисной.

Важно обратить внимание на то, что эти удаления можно выполнить очень просто. Представим соотношение (2) в виде уравнения

- 27x₁ - 39x₂ - 18x₃ - 20х₄ =0 - z           (14)

и припишем его к системе (5). Получается вспомогательная система уравнений

    2x₁ + x₂   + 6x₃ + 5x₄ + x₅                 = 140

             3x₂ +           4x₄         + x₆          = 90  (15)

    3x₁+ 2x₂ +  4x₃                          + x₇ = 198

- 27x₁ - 39x₂ - 18x₃ - 20х₄                                  =0 - z

Напомним, что разрешающую неизвестную в системе (5) мы брали x₂. Этой переменной в последнем уравнении системы (15) отвечает наименьший отрицательный коэффициент ₄= - 39. Затем мы нашли разрешающий элемент a₂₂=3 и исключили неизвестную x₂ из всех уравнений системы (5), кроме второго. Далее нам пришлось x2 исключать из функции (2). Теперь это можно сделать очень просто, если посмотреть на систему уравнений (15). Очевидно, достаточно умножить второе уравнение на 13 и прибавить к четвертому; получим

-27 x₁ - 18x₃  + 32х₄ + 13х₆= 1170 – z                                                            (16)

Таким образом, мы преобразовали вспомогательную  систему уравнений (15) к виду

2x₁ +            6x₃ + x₄ + х₅ + х₆           = 110

         х₂  +          x₄ +        х₆           = 30                                                     (17)

3 х₁ +          4x₃   -  x₄             - х₆ + х₇ = 138

-27x₁ -     18x₃  + 32х₄ +     13х₆             = 1170 – z            

Первые три уравнения этой системы  представляют некоторый предпочитаемый эквивалент (10) системы уравнений (5) и определяют базисное неотрицательное  решение (9) и производственную программу (11), а из последнего уравнения системы (17) получается выражение (12) функции цели через свободные переменные. Очевидно, если имеется хотя бы один отрицательный коэффициент  j при какой-нибудь переменной хj  в последнем уравнении системы (17), то производственная программа не является наилучшей и можно далее продолжать процесс ее улучшения. С помощью (12) мы выяснили, что следует начинать производить продукцию первого вида, т.е. фактически мы нашли в последнем уравнении системы (17) наименьший отрицательный коэффициент

min( j < 0)=min( -18; -27)= -27= 1

и решили перевести свободную переменную x₁ в число базисных, для чего, согласно (13) определили разрешающее уравнение и указали разрешающий элемент a₃₁ =3.

Теперь мы будем преобразовывать  не систему (10), а всю вспомогательную  систему (17), по формулам исключения. Эта  система преобразуется к виду

                     x₃ + x₄ + х₅+ х₆  - х₇ = 18

       х₂ +                  x₄             + х₆                 = 30

x₁ +            x₃   - x₄               - х₆ + х₇ =46                                                 (18)

 

             18x₃  + 8х₄ +          7х₆  + 9 х₇  = 2412 - z

Первые три уравнения системы (18) представляют собой некоторый  предпочитаемый эквивалент системы уравнений (5) и определяют базисное неотрицательное решение системы условий рассматриваемой задачи

х₁= 46, х₂= 30, х₃= 0, х₄ = 0, х₅= 18, х₆= 0, х₇= 0                                      (19) 

т.е. определяют производственную программу

        х₁= 46, х₂= 30, х₃= 0, х₄ = 0                                                                (20)  

и остатки ресурсов:

первого вида   х₅= 18

второго вида   х₆= 0                 (21)

третьего вида  х₇= 0

В последнем уравнении системы (18) среди коэффициентов при неизвестных в левой части уравнения нет ни одного отрицательного. Если из этого уравнения выразить функцию цели z через остальные неотрицательные переменные

Z=2412 - 18x₃  - 8х₄ - 7х₆  - 9 х₇ ,                                                                                                       (22) 

То становится совершенно очевидным (в силу того, что все  хj ≥ 0), что прибыль будет наибольшей тогда, когда

х₃= 0, х₄ = 0,  х₆= 0, х₇= 0.   (23)

Это означает, что производственная программа (20) является наилучшей и обеспечивает предприятию наибольшую прибыль

Zmax=2412. (24)

Итак, организовав направленный перебор  базисных неотрицательных решений  системы условий задачи, мы пришли к оптимальной производственной программе и указали остатки ресурсов, а также максимальную прибыль.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ СИМПЛЕКСНЫМ МЕТОДОМ.

Для решения задачи симплексным  методом необходимо построить симплексную таблицу, что и сделано в следующей таблице:

Xб	Сб	Н	27	39	18	20	0	0	0	α
			Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Х7
Х5	0	140	2	1	6	5	1	0	0	140
Х6	0	90	0	3*	0	4	0	1	0	30
Х7	0	198	3	2	4	0	0	0	1	99
–	–	0	-27	-39	-18	-20	0	0	0
Х5	0	110	2	0	6	11/3	1	-1/3	0	55
Х2	39	30	0	1	0	4/3	0	1/3	0	-
Х7	0	138	3*	0	4	-8/3	0	-2/3	1	46
–	–	1170	-27	0	-18	32	0	13	0
Х5	0	18	0	0	10/3	49/9	1	1/9	-2/3
Х2	39	30	0	1	0	4/3	0	1/3	0
Х1	27	46	1	0	4/3	-8/9	0	-2/9	1/3
–	–	2412	0	0	18	8	0	7	9

 

 

 

 

Опорный план первой симплексной  таблицы.

X=(0, 0, 0, 0, 140, 90, 198)

Этот опорный план отражает производство, при котором ничего не выпускается, сырьё не используется и стоимость произведённой продукции равна 0.

В строке оценочных коэффициентов  имеются отрицательные значения, которые показывают на сколько увеличится прибыль от производства продукции при включении в план производства одной единицы продукции того или иного вида. Например, число –27 означает, что включение в план производства единицы изделий первого вида позволит увеличить прибыль на 27 денежных единиц. Наиболее выгодным в данной задаче  будет внедрение в производство второго вида продукции, так как ему соответствует максимальная прибыль 39 денежных единиц. Поэтому x₂ становится базисной неизвестной и запускается вторая технология. Так же определяем технологию, которую надо исключить из производства. Ограничивающим фактором будет объём сырья второго вида, так как из него можно произвести наименьшее количество продукции первого вида, так как ему соответствует наименьшее α равное 30.

Опорный план второй симплексной таблицы.

X=(0, 30, 0, 0, 110, 0, 138)

Изготавливается 30 единиц второго  вида продукции, 110 единиц первого вида ресурса и 138 единиц третьего ресурса  остаются в остатке.

Стоимость продукции при таком  плане производства z=1170 денежных единиц.

Значение в столбцах данной симплексной  таблицы показывают соотношение выпуска определённых видов продукции, либо затраты ресурсов при дополнительном вводе в производство какого-либо вида продукции. Например, число 4/3 показывает, на сколько единиц надо уменьшить выпуск второй продукции, чтобы внедрить в производство одну единицу четвёртой продукции. Причём для этого потребуется дополнительно 3²/₃ единицы первого ресурса и 8/3 единицы третьего (числа окаймляющие 4/3).

Прирост прибыли при внедрении  одной единицы первого вида продукции  составит  27 денежных единиц.

Из шестого столбца можно  заключить, что при внедрении  дополнительно ещё одной единицы  второго ресурса, объём производства второй продукции увеличится на 1/3, при этом потребуется дополнительно 1/3 первого ресурса и 2/3 третьего ресурса. При данном увеличении объёма производства второй продукции прибыль увеличится на 13 денежных единиц.

И, наконец, по этой таблице определяем, что наибольший прирост прибыли  принесёт первый вид продукции. При  исключении из базиса x₇ неиспользованный третий ресурс полностью уйдёт в производство. С учётом этого составляем третью симплексную таблицу.

 

Опорный план третьей  симплексной таблицы.

X=(46, 30, 0, 0, 18, 0, 0)

При данном плане производства достигается прибыль в размере 2412 денежных единиц.

Этот план не предполагает выпуска третьей и четвёртой продукции, что видно из строки оценочных коэффициентов, где убытки составляют от третьей продукции – 18 денежных единиц, я для четвёртого – 8 денежных единиц на единицу продукции. Оценочные коэффициенты соответствующие ресурсам: 0,7,9 – выражают меру дефицитности ресурсов. В случае увеличения количества дефицитных ресурсов на единицу (второго и третьего) объём выпуска второй и первой продукции увеличится на 1/3 и на 1/3, а прибыль увеличится на 7,9 денежных единиц, соответственно. Оценка первого ресурса равна 0. Он дан в избытке, увеличение его количества не ведет к увеличению прибыли, поэтому увеличивать его нет смысла.

Выводы.

1. Оптимальная производственная программа имеет вид :

Х₁=46, Х₂=30, Х₃=0, Х₄=0, или Х=(46,30,0,0).

2. Максимальная прибыль равна Zmax=2412.
3. Использование ресурсов:

     2-й и 3-ий ресурс  используется полностью (Х₆=0,Х₇=0), а 1-ый ресурс имеет остаток Х₅=18 единиц.

При выполнении производственной программы 2-й и 3-ий ресурсы используются полностью, то есть образуют  “узкие места производства”.

                                       Самопроверка

Предположим, что третью и четвертую  продукции мы не намеревались выпускать  с самого начала. Рассмотрим задачу с оставшимися двумя переменными, сохранив ин нумерацию. Математическая модель задачи будет выглядеть следующим образом (рис.1):

 Х (х₁, х₂) - ? 

Zmax= 27x₁+39x₂ max

2x₁ + x₂ £ 140

         3x₂ £ 90 

3x₁ +2x₂ £ 198                                                                                                                    

x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0

Рисунок 1

 

Проверка:

H= Q^-1*B

 

         18 140                     1    1/9   -2/3

H=    30           B=   90  Q^-1=    0    1/3     0

         46 198                     0   -2/9    1/3

1    1/9   -2/3 140  140*1 + 90*1/9     + 198*(-2/3)            18

0    1/3     0 *     90    = 140*0 + 90*1/3     + 198*0 =     30

0   -2/9    1/3 198  140*0 + 90*(-2/9) + 198*1/3                 46

 

Двойственная задача

Возникла новая ситуация. Знакомый предприниматель Петров, занимающийся производством каких-то других видов продукции, но с использованием трех таких же видов ресурсов, какие имеются у нас, предлагает нам «уступить» по определенным ценам все имеющиеся у нас ресурсы и обещает платить y₁ рублей за каждую единицу первого ресурса, y₂ руб – второго, y₃ руб – третьего. Возникает вопрос: при каких ценах y₁, y₂, y₃ мы можем согласиться в предложением Петрова.

        2  1  6  5                              140

А=   0  3  0  4                       В =  90            С= 27, 39, 18, 20                  

        3  2  4  0                              198

Для производства единицы продукции  первого вида м должны затратить, как видно из матрицы А, 2 единицы  ресурса первого вида, 0 единиц ресурса второго вида и 3 единицы ресурса третьего вида. В ценах y₁, y₂, y₃ наши затраты составят   2y₁ + 3y_{3 ,} т.е. столько заплатит предприниматель Петров за все ресурсы, идущие на производство единицы первой продукции. Н рынке за единицу первой продукции мы получили бы прибыль 27 руб. Следовательно, мы можем согласиться с предложением Петрова только в том случае, ели он заплатит не меньше

2y₁ + 3y₃³ 27

и т.д. по всем видам продукции.

Учтем, что за все имеющиеся у  нас ресурсы нам должны заплатить 

140y₁ + 90y₂ + 198y₃ 

Проблема определения расчетных  оценок приводит к задаче линейного  программирования: найти вектор двойственных оценок

у=(у₁,у₂,у₃),

минимизирующий общую оценку всех ресурсов

f = 140y₁ + 90y₂ + 198y₃  ® min (1)

при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ресурсов, затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции

2y₁           +  3y₃  ³ 27

y₁   + 3y₂  + 2y₃  ³ 39 (2)

6y₁  +           4y₃  ³ 18   ,

5у₁ + 4у₂             ³ 20

y_i ³ 0,  i = 1...3. (3)

Решение полученной задачи легко  найти с помощью второй основной теоремы двойственности.

x₁(2y₁            + 3y₃ - 27) = 0 

x₂(  y₁  + 3y₂ + 2y₃ - 39) = 0

x₃(6y₁            + 4y₃ - 18) = 0

x₄(5y₁  + 4y₂           - 20) = 0

 

 

y₁(2x₁ + 1x₂ + 6x₃ + 5x₄ - 140)  = 0

y₂(          3x₂           + 4x₄ -  90)  = 0

y₃(3x₁ + 2x₂ + 4x₃           - 198) = 0

Ранее было найдено, что в решении  исходной задачи x₁ > 0, x₂ > 0. Поэтому

2y₁           +  3y₃ - 27 = 0

  y₁ + 3y₂  +  2y₃ - 39 = 0

Если же учесть, что первый ресурс был избыточным и, согласно той же теореме двойственности, ее двойственная оценка равна нулю, то приходим к  системе уравнений

3y₃ – 27 = 0

3у₂ +  2y₃  - 39 = 0  

Таким образом, двойственные оценки ресурсов следующие:

у₁=0, у₂ =7 , у₃ = 9,

причём общая оценка всех ресурсов равна:

f_min =140*0 + 90*7 + 198*9 = 2412.

Заметим, что данное решение содержалось  в последней строке последней  симплексной таблицы исходной задачи.

Экономический смысл  полученных результатов.

Смысл двойственных оценок ресурсов у₁=0, у₂=7, у₃=9 показывает, что добавление одной единицы 1-го (2-го;3-го) ресурса обеспечит прирост прибыли на 0 (7, 9) денежных единиц.

Оценки 3-ей (4-ой) технологий D₃=18 (D₄=8) показывает, что если произвести одну единицу продукции 3-го (4-го) вида (они не входят в оптимальную производственную программу), то прибыль уменьшится на 18 (8) денежных единиц.

Задача о «расшивке узких  мест производства»

При выполнении оптимальной производственной программ второй и третий  ресурсы используются полностью, то есть образуют “узкие места производства”. Будем заказывать их дополнительно. T=(t₁, t₂, t₃) – вектор дополнительных объёмов ресурсов.

Итак, необходимо составить план “расшивки  узких мест“ производства, то есть указать, сколько единиц каждого из дефицитных видов ресурсов должно быть приобретено, чтобы суммарный прирост прибыли был максимальным при условии, что для расчетов используются найденные двойственные оценки ресурсов.

Так как  мы будем использовать найденные двойственные оценки ресурсов, то должно выполняться условие

H + Q^-1*Т ≥ 0.

Задача состоит в том, чтобы  найти вектор T=(t₁, t₂, t₃), максимизирующий суммарный прирост прибыли

W = 7t₂+ 9t₃ ® max,                                                                              (1)

где W – суммарный прирост прибыли, при условии сохранения двойственных оценок ресурсов (и следовательно структуры производственной программы)

18    1      1/9    -2/3         0  ³     0

30   +    0      1/3      0      *   t₂    ³   0 (2)

46    0     -2/9     1/3         t₃   ³   0

предполагая, что дополнительно  можно надеяться получить не более 1/3 первоначального объёма ресурса  каждого вида, то есть

0       140

t₂    £  90 (3)

t₃           198

 

причём по смыслу задачи t₂  ³ 0, t₃ ³ 0. (4)