Линейная модель парной регресии

1. Линейная парная регрессия

1.1. Основные понятия и  определения

 

Корреляционная зависимость  может быть представлена в виде

 

Mx(Y) = j(x)                                                    (1)

 

или My(X) = y(у), где j(x) ¹ const, y(у) ¹ const.

 

В регрессионном анализе  рассматривается односторонняя  зависимость случайной переменной Y

 от одной (или нескольких) неслучайной независимой переменной  Х. Такая зависимость Y от X (иногда  ее называют регрессионной) может  быть также представлена в  виде модельного уравнения регрессии  Y от X (1). При этом зависимую переменную Y называют также функцией отклика  (объясняемой, выходной, результирующей, эндогенной переменной, результативным  признаком), а независимую переменную  Х – объясняющей (входной, предсказывающей,  предикторной, экзогенной переменной, фактором, регрессором, факторным  признаком).

 

Для точного описания уравнения  регрессии необходимо знать условный закон распределения зависимой  переменной Y при условии, что переменная Х примет значение х, т.е. Х = х. В статистической практике такую информацию получить, как правило, не удается, так как  обычно исследователь располагает  лишь выборкой пар значений (xi, yi) ограниченного  объема n. В этом случае речь может  идти об оценке (приближенном выражении, аппроксимации) по выборке функции  регрессии. Такой оценкой является выборочная линия (кривая) регрессии:

 

= ( x, b0, b1, …, bp)                                          (2)

 

где  - условная (групповая) средняя переменной Y при фиксированном  значении переменной X = x

; b0, b1, …, bp – параметры  кривой.

 

Уравнение (2) называется выборочным уравнением регрессии.

 

В дальнейшем рассмотрим линейную модель и представим ее в виде

 

= b0 + b1x.                                                     (3)

 

Для решения поставленной задачи определим формулы расчета  неизвестных параметров уравнения  линейной регрессии (b0, b1).

 

Согласно методу наименьших квадратов (МНК) неизвестные параметры b0 и b1 выбираются таким образом, чтобы  сумма квадратов отклонений эмпирических значений yi от значений , найденных  по уравнению регрессии (3), была минимальной:

 

.               (4)

 

На основании необходимого условия экстремума функции двух переменных S = S(b0, b1) (4) приравняем к  нулю ее частные производные, т.е.

 

 

 

откуда после преобразований получим систему нормальных уравнений  для определения параметров линейной регрессии:

 

                              (5)

 

Теперь, разделив обе части  уравнений (5) на n, получим систему  нормальных уравнений в следующем  виде:

 

                                            (6)

 

где соответствующие средние  определяются по формулам:

 

;             (7)                                    ;                       (9)

 

;            (8)                                    .                        (10)

 

Решая систему (6), найдем

 

,                                   (11)

 

где  - выборочная дисперсия  переменной Х:

 

,                                     (12)

 

- выборочный корреляционный  момент или выборочная ковариация:

 

.                           (13)

 

Коэффициент b1 называется выборочным коэффициентом регрессии Y по X.

 

Коэффициент регрессии Y по X показывает, на сколько единиц в  среднем изменяется переменная Y при  увеличении переменной X на одну единицу.

 

Отметим, что из уравнения  регрессии  следует, что линия  регрессии проходит через точку , т.е.  = b0 + b1.

 

На первый взгляд, подходящим измерителем тесноты связи Y от Х  является коэффициент регрессии b1. Однако b1 зависит от единиц измерения  переменных. Очевидно, что для "исправления" b1 как показателя тесноты связи  нужна такая стандартная система  единиц измерения, в которой данные по различным характеристикам оказались  бы сравнимы между собой. Если представить  уравнение  в эквивалентном виде:

 

.                                         (14)

 

В этой системе величина  называется выборочный коэффициент  корреляции и является показателем  тесноты связи.

 

Если r > 0 (b1 > 0), то корреляционная связь между переменными называется прямой, если r < 0 (b1 < 0), - обратной.

 

Учитывая (7)–(13) получим следующие  формулы для расчета коэффициента корреляции:

 

;                                    (15)

 

.                 (16)

 

Выборочный коэффициент  корреляции обладает следующими свойствами:

 

1. Коэффициент корреляции  принимает значения на отрезке  [-1: 1], т.е. -1 ≤ r ≥ 1.

 

 

2. При r=±1 корреляционная  связь представляет линейную  функциональную зависимость. При  этом все наблюдения располагаются  на прямой линии.

 

3. При r = 0 линейная корреляционная  связь отсутствует. При этом  линия регрессии параллельна  оси ОХ.

 

В силу воздействия неучтенных факторов и причин отдельные наблюдения переменной Y будут в большей или  меньшей мере отклоняться от функции  регрессии j(Х). В этом случае уравнение  взаимосвязи двух переменных (парная регрессионная модель) может быть представлена в виде:

 

Y = j(X) + e,

 

где e - случайная переменная (случайный член), характеризующая  отклонение от функции регрессии.

 

Рассмотрим линейный регрессионный  анализ, для которого унция j(Х) линейна  относительно оцениваемых параметров:

 

Mx(Y) = b0 + b1x.                                              (17)

 

Предположим, что для оценки параметров линейной функции регрессии (17) взята выборка, содержащая п пар  значений переменных (xi, yi), где i = 1, 2, …, п. В этом случае линейная парная регрессионная  модель имеет вид:

 

yi = b0 + b1xi + ei.                                              (18)

 

Отметим основные предпосылки  регрессионного анализа (условия Гаусса-Маркова).

 

1. В модели yi = b0 + b1xi + ei возмущение ei

есть величина случайная, а объясняющая переменная xi

– величина неслучайная.

 

2. Математическое ожидание  возмущения ei

равно нулю:

 

M(ei) = 0.                                                           (19)

 

3. Дисперсия возмущения ei постоянна для любого i:

 

D(ei) = s2.                                                          (20)

 

4. Возмущения ei и ej

не коррелированны:

 

M(ei ej) = 0 (i ¹ j).                                              (21)

 

5. Возмущения ei

есть нормально распределенная случайная величина.

 

Оценкой модели (18) по выборке  является уравнение регрессии 

= b0 + b1x. Параметры этого  уравнения b0 и b1 определяются  на основе МНК. Воздействие  неучтенных случайных факторов  и ошибок наблюдений в модели (18) определяется с помощью дисперсии  возмущений (ошибок) или остаточной  дисперсии (см. табл. 1).

 

Теорема Гаусса

-

Маркова. Если регрессионная  модель

yi = b0 + b1xi + ei удовлетворяет  предпосылкам 1-5, то оценки b0, b1 имеют  наименьшую дисперсию в классе  всех линейных несмещенных оценок.

 

Таким образом, оценки b0 и b1 в  определенном смысле являются наиболее эффективными линейными оценками параметров b0 и b1.

 

Проверить значимость уравнения  регрессии – значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих  переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной. Для проверки значимости выдвигают  нулевую гипотезу о надежности параметров. Вспомним основные понятия и определения  необходимые для анализа значимости параметров регрессии.

 

Статистическая гипотеза – это предположение о свойствах  случайных величин или событий, которое мы хотим проверить по имеющимся данным.

 

Нулевая гипотеза Н0 – это  основное проверяемое предположение, которое обычно формулируется как  отсутствие различий, отсутствие влияние  фактора, отсутствие эффекта, равенство  нулю значений выборочных характеристик  и т.п.

 

Другое проверяемое предположение (не всегда строго противоположное  или обратное первому) называется конкурирующей  или альтернативной

гипотезой.

 

Выдвинутая гипотеза может  быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость  проверить ее. Так как проверку производят статистическими методами, то данная проверка называется статистической.

 

При проверке статистических гипотез возможны ошибки (ошибочные  суждения) двух видов:

 

- можно отвергнуть нулевую  гипотезу, когда она на самом  деле верна (так называемая  ошибка первого рода);

 

- можно принять нулевую  гипотезу, когда она на самом  деле не верна (так называемая  ошибка второго рода).

 

Допустимая вероятность  ошибки первого рода

может быть равна 5% или 1% (0,05 или 0,01).

 

Уровень значимости – это  вероятность ошибки первого рода при принятии решения (вероятность  ошибочного отклонения нулевой гипотезы).

 

Альтернативные гипотезы принимаются тогда и только тогда, когда опровергается нулевая  гипотеза. Это бывает в случаях, когда  различия в средних арифметических экспериментальной и контрольной  групп настолько значимы (статистически  достоверны), что риск ошибки отвергнуть нулевую гипотезу и принять альтернативную не превышает одного из трех принятых уровней значимости статистического  вывода:

 

1-й уровень - 5% (a = 0,05), где  допускается риск ошибки в  выводе в пяти случаях из  ста теоретически возможных таких  же экспериментов при строго  случайном отборе для каждого  эксперимента;

 

2-й уровень - 1% (a = 0,01), т.  е. соответственно допускается  риск ошибиться только в одном  случае из ста; 

 

3-й уровень - 0,1% (a = 0,01), т.  е. допускается риск ошибиться  только в одном случае из  тысячи.

 

Последний уровень значимости предъявляет очень высокие требования к обоснованию достоверности  результатов эксперимента и потому редко используется. В эконометрических исследованиях, не нуждающихся в  очень высоком уровне достоверности, представляется разумным принять 5%-й  уровень значимости.

 

Статистика критерия

- некоторая функция от  исходных данных, по значению  которой проверяется нулевая  гипотеза. Чаще всего статистика  критерия является числовой функцией.

 

Всякое правило, на основе которого отклоняется или принимается  нулевая гипотеза, называется критерием  проверки данной гипотезы. Статистический критерий – это случайная величина, которая служит для проверки статистических гипотез.

 

Критическая область –  совокупность значений критерия, при  котором нулевую гипотезу отвергают. Область принятия нулевой гипотезы

(область допустимых значений) – совокупность значений критерия, при котором нулевую гипотезу  принимают. При справедливости  нулевой гипотезы вероятность  того, что статистика критерия  попадает в область принятия  нулевой гипотезы должна быть  равна 1.

 

Процедура проверки нулевой  гипотезы в общем случае включает следующие этапы:

 

-      задается  допустимая вероятность ошибки  первого рода (a = 0,05);

 

-      выбирается  статистика критерия;

 

-      ищется  область допустимых значений;

 

-      по исходным  данным вычисляется значение  статистики;

 

-      если статистика  критерия принадлежит области  принятия нулевой гипотезы, то  нулевая гипотеза принимается  (корректнее говоря, делается заключение, что исходные данные не противоречат нулевой гипотезе), а в противном случае нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза. Это основной принцип проверки всех статистических гипотез.

 

В современных эконометрических программах (например, EViews) используются не стандартные уровни значимости, а уровни, подсчитываемые непосредственно  в процессе работы с соответствующим  статистическим методом. Эти уровни, обозначенные обычно Prob, могут иметь  различное числовое выражение в  интервале от 0 до 1, например, 0,7, 0,23 или 0,012. Понятно, что в первых двух случаях, полученные уровни значимости слишком  велики и говорить о том, что результат  значим нельзя. В последнем случае результаты значимы на уровне двенадцати тысячных.

 

 

Если вычисленное значение Рrob

превосходит выбранный уровень  Рrob

кр

, то принимается нулевая  гипотеза, а в противном случае - альтернативная гипотеза. Чем меньше  вычисленное значение Рrob, тем  более исходные данные противоречат  нулевой гипотезе.

 

Число степеней свободы у  какого-либо параметра определяют как  размер выборки, по которой рассчитан  данный параметр, минус количество выбранных переменных.

 

Величина W называется мощностью  критерия и представляет собой вероятность  отклонения неверной нулевой гипотезы, т.е. вероятность правильного решения. Мощность критерия – вероятность  попадания критерия в критическую  область при условии, что справедлива  альтернативная гипотеза. Чем больше W, тем вероятность ошибки второго  рода меньше.

 

Коэффициент регрессии (b1) является случайной величиной. Отсюда после  вычисления возникает необходимость  проверки гипотезы о значимости полученного  значения. Выдвигаем нулевую гипотеза (Н0) о равенстве нулю коэффициента регрессии (Н0:b1 = 0) против альтернативной гипотезы (Н1) о неравенстве нулю коэффициента регрессии (Н1:b1 ¹ 0). Для  проверки гипотезы Н0 против альтернативы используется t-статистика, которая  имеет распределение Стьюдента  с (n - 2) степенями свободы (парная линейная регрессия).

 

Коэффициент регрессии надежно  отличается от нуля (отвергается нулевая  гипотеза Н0), если tнабл > ta;n-2. В этом случае вероятность нулевой гипотезы (Prob

.) будет меньше выбранного  уровня значимости. ta;n-2 - критическая  точка, определяемая по математико-статистическим  таблицам.

 

Проверка значимости уравнения  регрессии производится на основе дисперсионного анализа.

 

Согласно основной идее дисперсионного анализа

 

    (22)

 

или

 

Q = QR + Qe,                                                     (23)

 

где Q – общая сумма  квадратов отклонений зависимой  переменной от средней, а QR и Qe – соответственно сумма квадратов, обусловленная  регрессией, и остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов.

 

Схема дисперсионного анализа  имеет вид, представленный в табл. 1.

 

Средние квадраты  и s2 (табл. 1) представляют собой несмещенные  оценки дисперсий зависимой переменной, обусловленных соответственно регрессией или объясняющей переменной Х  и воздействием неучтенных случайных  факторов и ошибок; m – число оцениваемых  параметров уравнения регрессии; п  – число наблюдений.

 

При отсутствии линейной зависимости  между зависимой и объясняющими(ей) переменными случайные величины  и  имеют c2-распределение соответственно с т – 1 и п – т степенями  свободы.

 

Таблица 1

Компоненты дисперсии 

Сумма квадратов 

Число

 степеней свободы 

Средние

 квадраты

 

Регрессия 

 

m – 1 

 

 

Остаточная 

 

n – m 

 

 

Общая 

 

n – 1 

 

 

 

 

Поэтому уравнение регрессии  значимо на уровне a, если фактически наблюдаемое значение статистики

 

,                           (24)

 

где  - табличное значение F-критерия Фишера-Снедекора, определяемое на уровне значимости a при k1 = m – 1 и k2 = n – m степенях свободы.

 

Учитывая смысл величин  и s2, можно сказать, что значение F показывает, в какой мере регрессия  лучше оценивает значение зависимой  переменной по сравнению с ее средней.

 

Для парной линейно регрессии  т = 2, и уравнение регрессии значимо  на уровне a (отвергается нулевая  гипотеза), если

 

.                               (25)

 

Следует отметить, что значимость уравнения парной линейной регрессии  может быть проведена и другим способом, если оценить значимость коэффициента регрессии b1, который  имеет 

t-распределение Стьюдента  с k = n – 2 степенями свободы.

 

Уравнение парной регрессии  или коэффициент регрессии b1 значимы  на уровне a (иначе – гипотеза Н0 о  равенстве параметра b1 нулю, т.е.

Н0:b1 = 0, отвергается), если фактически наблюдаемое значение статистики

 

                                   (26)

 

больше критического (по абсолютной величине), т.е. |t| > t1 - a; n

- 2.

 

Коэффициент корреляции r значим на уровне a (Н0: r = 0), если

 

.                                  (27)

 

Одной из наиболее эффективных  оценок адекватности регрессионной  модели, мерой качества уравнения  регрессии, характеристикой прогностической  силы анализируемой регрессионной  модели является коэффициент детерминации, определяемый по формуле:

 

.                                           (28)

 

Величина R2 показывает, какая  часть (доля) вариации зависимой переменной обусловлена вариацией объясняющей  переменной.

 

В случае парной линейной регрессионной  модели коэффициент детерминации равен  квадрату корреляции, т.е. R2 = r2.

 

Доверительный интервал для  индивидуальных значений зависимой  переменной .

 

- t1 – a; n - 2× £  £  + t1 - a; n - 2×,                     (29)

 

где  - оценка дисперсии  индивидуальных значений у0 при х = х0.

 

Доверительный интервал для  параметров регрессионной модели.

 

         (30)