Линейная зависимость и независимость векторов

АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ЦЕНТРСОЮЗА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КООПЕРАЦИИ» ВЛАДИМИРСКИЙ ФИЛИАЛ

Кафедра инженерно-технологических дисциплин  и сервиса

РЕФЕРАТ

по  дисциплине: Линейная алгебра

на  тему: Линейная зависимость и независимость  векторов

Работу  выполнила студентка группы ЭКБз-11-1 Карасёва Елена Владимировна

Проверил  к.ф.-м.н., доцент Красильщиков  Василий Вячеславович

 

Владимир 2012

     СОДЕРЖАНИЕ …………………………………………………………………..  1

     ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………………………………….   2

1. Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. ………………………………………………………………………..  1-2
2. Свойства линейной зависимости и независимости. …………………………  2-5
3. Исследование системы векторов на линейную зависимость. ………………   5-7
4. Алгоритм исследования системы векторов на линейную зависимость. ……  7
5. Примеры исследования системы векторов на линейную зависимость. …….  7-10

ЗАКЛЮЧЕНИЕ …………………………………………………………………...  10

Список  литературы. ……………………………………………………………...   11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

ВВЕДЕНИЕ

Понятия линейной зависимости и независимости  системы векторов является очень  важными при изучении алгебры  векторов, так как на них базируются понятия размерности и базиса пространства. В этой статье мы дадим определения, рассмотрим свойства линейной зависимости и независимости, получим алгоритм исследования системы векторов на линейную зависимость и подробно разберем решения примеров.

1. Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов.

Рассмотрим набор  из p n-мерных векторов, обозначим их следующим образом  . Составим линейную комбинацию этих векторов и произвольных чисел   (действительных или комплексных):  . Отталкиваясь от определения операций над n-мерными векторами, а так же свойств операций сложения векторов и умножения вектора на число, можно утверждать, что записанная линейная комбинация представляет собой некоторый n-мерный вектор  , то есть,  .

Так мы подошли к определению  линейной зависимости системы векторов  .

Определение.

Если линейная комбинация   может представлять собой нулевой вектор тогда, когда среди чисел   есть хотя бы одно, отличное от нуля, то система векторов   называется линейно зависимой.

Определение.

Если линейная комбинация   представляет собой нулевой вектор только тогда, когда все числа   равны нулю, то система векторов   называется линейно независимой.

 

 

2

2. Свойства линейной зависимости и независимости.

На основании данных определений, сформулируем и докажем свойства линейной зависимости и линейной независимости системы векторов.

1. Если к линейно зависимой системе векторов   добавить несколько векторов, то полученная система будет линейно зависимой.

Доказательство.

Так как система векторов   линейно зависима, то равенство   возможно при наличии хотя бы одного ненулевого числа из чисел  . Пусть  .

Добавим к исходной системе векторов еще s векторов  , при этом получим систему  . Так как   и  , то линейная комбинация векторов этой системы вида 
  
представляет собой нулевой вектор, а  . Следовательно, полученная система векторов является линейно зависимой.

2. Если из линейно независимой системы векторов   исключить несколько векторов, то полученная система будет линейно независимой.

Доказательство.

Предположим, что полученная система линейно  зависима. Добавив к этой системе  векторов все отброшенные векторы, мы получим исходную систему векторов. По условию – она линейно независима, а в силу предыдущего свойства линейной зависимости она должна быть линейно зависимой. Мы пришли к противоречию, следовательно, наше предположение неверно.

3

3. Если в системе векторов   есть хотя бы один нулевой вектор, то такая система линейно зависимая.

Доказательство.

Пусть вектор   в этой системе векторов является нулевым. Предположим, что исходная система векторов линейно независима. Тогда векторное равенство   возможно только тогда, когда  . Однако, если взять любое  , отличное от нуля, то равенство   все равно будет справедливо, так как  . Следовательно, наше предположение неверно, и исходная система векторов линейно зависима.

4. Если система векторов   линейно зависима, то хотя бы один из ее векторов линейно выражается через остальные. Если система векторов   линейно независима, то ни один из векторов не выражается через остальные.

Доказательство.

Сначала докажем первое утверждение.

Пусть система векторов   линейно зависима, тогда существует хотя бы одно отличное от нуля число   и при этом верно равенство  . Это равенство можно разрешить относительно  , так как  , при этом имеем 
 
Следовательно, вектор   линейно выражается через остальные векторы системы  , что и требовалось доказать.

4

Теперь докажем второе утверждение.

Так как система векторов   линейно независима, то равенство   возможно лишь при  .

Предположим, что какой-нибудь вектор системы   выражается линейно через остальные. Пусть этим вектором является  , тогда  . Это равенство можно переписать как  , в его левой части находится линейная комбинация векторов системы, причем коэффициент перед вектором   отличен от нуля, что указывает на линейную зависимость исходной системы векторов. Так мы пришли к противоречию, значит, свойство доказано.

Из двух последних  свойств следует важное утверждение: 
если система векторов содержит векторы   и  , где   – произвольное число, то она линейно зависима.

3. Исследование системы векторов на линейную зависимость.

Поставим задачу: нам требуется установить линейную зависимость или линейную независимость системы векторов  .

Логичный вопрос: «как ее решать?»

Кое-что полезное с практической точки зрения можно вынести из рассмотренных выше определений и свойств линейной зависимости и независимости системы векторов. Эти определения и свойства позволяют нам установить линейную зависимость системы векторов в следующих случаях:

1. когда хотя бы один из векторов системы является нулевым;
2. когда система векторов содержит два или более равных вектора;
3. когда система векторов содержит пропорциональные векторы (  и  );
4. когда достаточно очевидно, что один из векторов системы линейно выражается через несколько других.

5

Как же быть в  остальных случаях, которых большинство?

Разберемся с этим.

Напомним формулировку теоремы  о ранге матрицы, которую мы приводили  в статье ранг матрицы: определение, методы нахождения.

Теорема.

Пусть r – ранг матрицы А порядка p на n,  . Пусть М – базисный минор матрицы А. Все строки (все столбцы) матрицы А, которые не участвуют в образовании базисного минора М, линейно выражаются через строки (столбцы) матрицы, порождающие базисный минор М.

А теперь поясним  связь теоремы о ранге матрицы  с исследованием системы векторов на линейную зависимость.

Составим матрицу A, строками которой будут векторы исследуемой системы  : 

Что будет означать линейная независимость системы векторов  ?

Из четвертого свойства линейной независимости системы векторов   мы знаем, что ни один из векторов системы не выражается через остальные. Иными словами, ни одна строка матрицы A не будет линейно выражаться через другие строки, следовательно, линейная независимость системы векторов   будет равносильна условию Rank(A) = p.

Что же будет означать линейная зависимость системы векторов  ?

Все очень просто: хотя бы одна строка матрицы A будет линейно выражаться через остальные, следовательно, линейная зависимость системы векторов  будет равносильна условию Rank(A) < p.

6

Итак, задача исследования системы векторов на линейную зависимость  сводится к задаче нахождения ранга  матрицы, составленной из векторов этой системы.

Следует заметить, что при p > n система векторов   будет линейно зависимой.

Замечание: при составлении матрицы А векторы системы   можно брать не в качестве строк, а в качестве столбцов.

4. Алгоритм исследования системы векторов на линейную зависимость.

1. Сначала следует убедиться, что число векторов исследуемой системы   не превосходит числа координат векторов. Если же p > n, то можно делать вывод о линейной зависимости.
2. Проверяем, не содержит ли система векторов нулевого вектора, равных векторов, пропорциональных векторов (  и  ). Если такие имеются, то также делается вывод о линейной зависимости системы.
3. Если два предыдущих пункта алгоритма не привели к результату, то составляем матрицу A, строками которой являются векторы исследуемой системы векторов и находим ее ранг. Если Rank(A) < p, то система векторов   линейно зависима. Если Rank(A) = p, то система векторов   линейно независима.

Разберем алгоритм на примерах.

5. Примеры исследования системы векторов на линейную зависимость.

Пример.

Дана система  векторов  . Исследуйте ее на линейную зависимость.

Решение.

Так как вектор c нулевой, то исходная система векторов линейно зависима в силу третьего свойства.

Ответ:

система векторов линейно зависима.

Пример.

7

Исследуйте систему  векторов   на линейную зависимость.

Решение.

Не сложно заметить, что  координаты вектора c равны соответствующим координатам вектора  , умноженным на 3, то есть,  . Поэтому, исходная система векторов линейно зависима.

Ответ:

система векторов линейно зависима.

Пример.

Является ли система векторов  линейно зависимой?

Решение.

Эта система векторов является линейно зависимой, так как количество векторов в системе равно 4, а сами векторы двумерные.

Ответ:

да, является.

Пример.

Является ли система векторов   линейно независимой?

Решение.

Примем эти векторы  столбцами матрицы А и найдем ранг полученной матрицы методом Гаусса: 
 

 

8

Следовательно, Rank(A) = 2 < 3, поэтому, исходная система векторов линейно зависима.

 

Ответ:

нет, не является.

Пример.

Докажите, что  система векторов 
  
линейно независима.

Решение.

Составим матрицу, строками которой будут векторы данной системы: 
  
Покажем, что ранг этой матрицы равен количеству векторов исходной системы, то есть, четырем.

Ранг найдем методом окаймляющих миноров.

В качестве минора первого порядка, отличного от нуля, возьмем элемент a₁₁ = 1матрицы А. Окаймляющий его минор второго порядка   также отличен от нуля.

Переходим к  поиску окаймляющего минора третьего порядка: 
  
Осталось найти минор четвертого порядка, отличный от нуля. Вычислим определитель

 

 

9

 
  
Прибавим к первому столбцу  третий, далее разложим определитель по элементам первого столбца: 
  
Таким образом, ранг матрицы А равен четырем что доказывает линейную независимость исходной системы векторов.

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

Мы ознакомились с понятиями и свойствами линейной зависимости и линейной независимости  системы векторов, получили метод  исследования системы векторов на линейную зависимость, преобразовали его  в алгоритм, и подробно разобрали  решения характерных примеров.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

Список  литературы:

• Курош А.Г. Курс высшей алгебры.
• www.referat.ru

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ЦЕНТРСОЮЗА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КООПЕРАЦИИ» ВЛАДИМИРСКИЙ ФИЛИАЛ

Кафедра инженерно-технологических дисциплин  и сервиса

РЕФЕРАТ

по  дисциплине: Линейная алгебра

на  тему: Размерность векторного пространства. Базис.

Работу  выполнила студентка группы ЭКБз-11-1 Карасёва Елена Владимировна

Проверил  к.ф.-м.н. доцент Красильщиков  Василий Вячеславович

 

Владимир 2012

СОДЕРЖАНИЕ. ……………………………………………………………………….. 1

ВВЕДЕНИЕ. …………………………………………………………………………… 2

1. Понятие размерности векторного пространства и базиса. ……………………   2-5
2. Разложение вектора по базису векторного пространства. …………………..   6-10
3. Связь между базисами. ………………………………………………………... 10-15

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. …………………………………………………………………… 15

Список  литературы…………………………………………………………………    16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

ВВЕДЕНИЕ.

Когда мы разбирали понятия n-мерного вектора и вводили операции над векторами, то выяснили, что множество всех n-мерных векторов порождает линейное пространство. В этой статье мы поговорим о важнейших связанных понятиях – о размерности и базисе векторного пространства. Также рассмотрим теорему о разложении произвольного вектора по базису и связь между различными базисами n-мерного пространства. Подробно разберем решения характерных примеров.

1. Понятие размерности векторного пространства и базиса.

Понятия размерности  и базиса векторного пространства напрямую связаны с понятием линейно независимой  системы векторов, так что рекомендуем  при необходимости обращаться к статье линейная зависимость системы векторов, свойства линейной зависимости и независимости.

Определение.

Размерностью  векторного пространства называется число, равное максимальному количеству линейно независимых векторов в этом пространстве.

Определение.

Базис векторного пространства – это упорядоченная совокупность линейно независимых векторов этого пространства, число которых равно размерности пространства.

Приведем некоторые  рассуждения, основываясь на этих определениях.

Рассмотрим пространство n-мерных векторов.

Покажем, что размерность  этого пространства равна n.

Возьмем систему из n единичных векторов вида 
  
Примем эти векторы в качестве строк матрицы А. В этом случае матрица А будет единичной матрицей размерности n на n. Ранг этой матрицы равен n (при необходимости смотрите статью ранг матрицы: определение, методы нахождения).

 

2

Следовательно, система векторов   линейно независима, причем к этой системе нельзя добавить ни одного вектора, не нарушив ее линейной независимости. Так как число векторов в системе   равно n, то размерность пространства n-мерных векторов равна n, а единичные векторы   являются базисом этого пространства.

Из последнего утверждения  и определения базиса можно сделать  вывод, что любая системаn-мерных векторов, число векторов в которой меньше n, не является базисом.

Теперь переставим местами первый и второй вектор системы  . Легко показать, что полученная система векторов   также является базисом n-мерного векторного пространства. Составим матрицу, приняв ее строками векторы этой системы. Эта матрица может быть получена из единичной матрицы перестановкой местами первой и второй строк, следовательно, ее ранг будет равен n. Таким образом, система из n векторов   линейно независима и является базисом n-мерного векторного пространства.

Если переставить  местами другие векторы системы  , то получим еще один базис.

Если взять  линейно независимую систему не единичных векторов, то она также является базисом n-мерного векторного пространства.

Таким образом, векторное пространство размерности n имеет столько базисов, сколько существует линейно независимых систем из n n-мерных векторов.

Если говорить о двумерном векторном пространстве (то есть, о плоскости), то ее базисом  являются два любых не коллинеарных вектора. Базисом трехмерного пространства являются три любых некомпланарных вектора.

Рассмотрим несколько  примеров.

Пример.

Являются ли векторы   базисом трехмерного векторного пространства?

Решение.

 

3

Исследуем эту систему  векторов на линейную зависимость. Для этого составим матрицу, строками которой будут координаты векторов, и найдем ее ранг: 
  
Таким образом, векторы a, b и c линейно независимы и их количество равно размерности векторного пространства, следовательно, они являются базисом этого пространства.

Ответ:

да, являются.

Пример.

Может ли система  векторов  быть базисом векторного пространства?

Решение.

Эта система векторов линейно  зависима, так как максимальное число  линейно независимых трехмерных векторов равно трем. Следовательно, эта система векторов не может быть базисом трехмерного векторного пространства (хотя подсистема   исходной системы векторов является базисом).

Ответ:

нет, не может.

Пример.

Убедитесь, что  векторы 
  
могут быть базисом четырехмерного векторного пространства.

Решение.

 

 

4

Составим матрицу, приняв ее строками исходные векторы: 
  
Найдем ранг матрицы методом Гаусса: 
  
Таким образом, система векторов a, b, c, d линейно независима и их количество равно размерности векторного пространства, следовательно, a, b, c, d являются его базисом.

Ответ:

исходные векторы  действительно являются базисом  четырехмерного пространства.

Пример.

Составляют ли векторы  базис векторного пространства размерности 4?

Решение.

Даже если исходная система  векторов линейно независима, количество векторов в ней недостаточно для  того, чтобы быть базисом четырехмерного пространства (базис такого пространства состоит из 4 векторов).

Ответ:

нет, не составляет.

5

2. Разложение вектора по базису векторного пространства.

Пусть произвольные векторы   являются базисом n-мерного векторного пространства. Если к ним добавить некоторый n-мерный вектор x, то полученная система векторов будет линейно зависимой. Из свойств линейной зависимости мы знаем, что хотя бы один вектор линейно зависимой системы линейно выражается через остальные. Иными словами, хотя бы один из векторов линейно зависимой системы раскладывается по остальным векторам.

Так мы подошли  к очень важной теореме.

Теорема.

Любой вектор n-мерного векторного пространства единственным образом раскладывается по базису.

Доказательство.

Пусть   - базис n-мерного векторного пространства. Добавим к этим векторам n-мерный вектор x. Тогда полученная система векторов будет линейно зависимой и вектор x может быть линейно выражен через векторы  :  , где   - некоторые числа. Так мы получили разложение вектора x по базису. Осталось доказать, что это разложение единственно.

Предположим, что существует еще одно разложение  , где   - некоторые числа. Отнимем от левой и правой частей последнего равенства соответственно левую и правую части равенства  : 

Так как система  базисных векторов   линейно независима, то по определению линейной независимости системы векторов полученное равенство возможно только тогда, когда все коэффициенты   равны нулю. Поэтому,  , что доказывает единственность разложения вектора по базису.

Определение.

Коэффициенты   называются координатами вектора x в базисе  .                             6

После знакомства с теоремой о разложении вектора  по базису, мы начинаем понимать суть выражения  «нам задан n-мерный вектор  ». Это выражение означает, что мы рассматриваем вектор x n-мерного векторного пространства, координаты  которого заданы в некотором базисе. При этом мы понимаем, что этот же вектор x в другом базисе n-мерного векторного пространства будет иметь координаты, отличные от  .

Рассмотрим следующую  задачу.

Пусть в некотором  базисе n-мерного векторного пространства нам задана система из nлинейно независимых векторов 
  
и вектор  . Тогда векторы   также являются базисом этого векторного пространства.

Пусть нам требуется  найти координаты вектора x в базисе  . Обозначим эти координаты как  .

Вектор x в базисе   имеет представление  . Запишем это равенство в координатной форме: 
  
Это равенство равносильно системе из n линейных алгебраических уравнений с n-неизвестными переменными  : 
  
Основная матрица этой системы имеет вид

 

 

7

 
  
Обозначим ее буквой А. Строки матрицы А представляют собой векторы линейно независимой системы векторов  , поэтому ранг этой матрицы равен n, следовательно, ее определитель отличен от нуля. Этот факт указывает на то, что система уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено любым методом, например, методом Крамера или матричным методом.

Так будут найдены  искомые координаты   вектора x в базисе  .

Разберем теорию на примерах.

Пример.

В некотором базисе трехмерного векторного пространства заданы векторы 
  
Убедитесь, что система векторов   также является базисом этого пространства и найдите координаты вектора x в этом базисе.

Решение.

Чтобы система  векторов   была базисом трехмерного векторного пространства нужно, чтобы она была линейно независима. Выясним это, определив ранг матрицы A, строками которой являются векторы  . Ранг найдем методом Гаусса 
  
следовательно, Rank(A) = 3, что показывает линейную независимость системы векторов .

 

8

Итак, векторы   являются базисом. Пусть в этом базисе вектор x имеет координаты  . Тогда, как мы показали выше, связь координат этого вектора задается системой уравнений 
  
Подставив в нее известные из условия значения, получим  
  
Решим ее методом Крамера: 
  
Таким образом, вектор x в базисе   имеет координаты  .

Ответ:

.

Пример.

В некотором  базисе   четырехмерного векторного пространства задана линейно независимая система векторов

 

 

9

  
Известно, что  . Найдите координаты вектора x в базисе  .

Решение.

Так как система  векторов   линейно независима по условию, то она является базисом четырехмерного пространства. Тогда равенство  означает, что вектор x в базисе   имеет координаты  . Обозначим координаты вектора x в базисе   как  .

Система уравнений, задающая связь координат вектора x в базисах   и   имеет вид 
  
Подставляем в нее известные значения и находим искомые координаты  : 
 

Ответ:

.

3. Связь между базисами.

Пусть в некотором  базисе n-мерного векторного пространства заданы две линейно независимые системы векторов

 

 

 

 

10

 

  
и 
  
то есть, они тоже являются базисами этого пространства.

Если   - координаты вектора   в базисе  , то связь координат   и   задается системой линейных уравнений (об этом мы говорили в предыдущем пункте): 
  
, которая в матричной форме может быть записана как 

Аналогично для  вектора   мы можем записать 

 

 

 

 

 

11

Действуя дальше аналогично, получим 

Предыдущие матричные  равенства можно объединить в  одно, которое по сути задает связь  векторов двух различных базисов 

Аналогично мы можем выразить все векторы базиса   через базис  : 

Определение.

Матрицу   называют матрицей перехода от базиса   к базису  , 
а матрицу   - матрицей перехода от базиса   к базису  .

 

 

 

 

12

Из двух последних  равенств видно, что 
  
следовательно, матрицы перехода являются взаимно обратными.

Разберем пример.

Пример.

Найдите матрицу  перехода от базиса   к базису , а также укажите связь координат произвольного вектора x в этих базисах.

Решение.

Пусть T – матрица перехода от базиса   к базису  , тогда справедливо равенство 
  
Умножив обе части этого равенства справа на 
  
получим 
 
Найдем матрицу перехода, при этом не будем подробно останавливаться на нахождении обратной матрицы и умножении матриц (смотрите при необходимости

 

13

статьи нахождение обратной матрицы и операции над матрицами): 

Осталось выяснить связь  координат вектора x в заданных базисах.

Пусть в базисе   вектор x имеет координаты  , тогда 
 
а в базисе   вектор x имеет координаты  , тогда 
 
Так как левые части последних двух равенств одинаковы, то мы можем приравнять правые части: 
  
Если умножить обе части справа на 
 
то получим 

14

С другой стороны 
 
(найдите обратную матрицу самостоятельно). 
Два последних равенства дают нам искомую связь координат вектора x в базисах   и  .

Ответ:

матрица перехода от базиса   к базису   имеет вид 
; 
координаты вектора x в базисах   и   связаны соотношениями 
 
или 
.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

 

Мы рассмотрели  понятия размерности и базиса векторного пространства, научились  раскладывать вектор по базису и обнаружили связь между разными базисами n-мерного пространства векторов через  матрицу перехода.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

Список  литературы:

• Курош А.Г. Курс высшей алгебры.
• www.referat.ru

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16