Логика высказываний. 3
Содержание
Введение ………………………………………………………
1. Логика высказываний……………………………
2. Законы логики высказывания…………
Заключение……………………………………………………
Список использованной литературы……………………………………..….22
Введение
Логика высказываний является теорией тех логических связей высказываний, которые не зависят от внутреннего строения (структуры) простых высказываний.
Логика высказываний исходит из следующих двух допущений:
-всякое высказывание является либо истинным, либо ложным (принцип двузначности);
-истинностное значение сложного высказывания зависит только от истинностных значений входящих в него простых высказываний и характера их связи.
На основе этих допущений ранее были даны строгие определения логических связок "и", "или", "если, то" и др. Эти определения формулировались в виде таблиц истинности и назывались табличными определениями связок. Соответственно, само построение логики высказываний, опирающееся на данные определения, называется табличным ее построением.
Согласно принятым определениям:
-конъюнкция истинна, когда оба входящих в нее высказывания истинны;
-дизъюнкция истинна, когда хотя бы одно из входящих в нее высказываний истинно;
-строгая дизъюнкция истинна, когда одно из входящих в нее высказываний истинно, а второе ложно;
-импликация истинна в трех случаях: ее основание и следствие истинны; основание ложно, а следствие истинно; и основание, и следствие ложны;
-эквивалентность истинна, когда два приравниваемых в ней высказывания оба истинны или оба ложны;
-отрицательное высказывание истинно, когда отрицаемое высказывание ложно, и наоборот.
С помощью таблиц истинности в случае любого сложного высказывания можно определить, при каких значениях истинности входящих в него простых высказываний это высказывание истинно, а при каких ложно.
1. Логика высказываний
Логика высказываний
– это определенная совокупность
формул, т.е. сложных высказываний, записанных
на специально сконструированном искусственно
-неограниченное множество переменных: А, В, С, ..., А1, В1, С1, ..., представляющих высказывания;
-особые символы для логических связок: & – "и", v – "или", V – "либо, либо", → – "если, то", ↔ – "если и только если", ~ – "неверно, что""
-скобки, играющие роль знаков препинания обычного языка. Чтобы использовать меньшее количество скобок, условимся, что операция отрицания выполняется первой, затем идут конъюнкция и дизъюнкция, и только после этого импликация и эквивалентность.
Формулам логики высказываний, образованным из переменных и связок, в естественном языке соответствуют предложения. К примеру, если А есть высказывание "Сейчас день", В – высказывание "Сейчас светло" и С – высказывание "Сейчас холодно", то формула:
А → В v С, или со всеми скобками: (А → (В v С)),
-представляет высказывание "Если сейчас день, то сейчас светло или холодно". Формула:
В & С → А, или ((В & С) → А),
-представляет высказывание "Если сейчас светло и холодно, то сейчас день". Формула:
~ В → ~ А, или ((~ В) → (~ А)),
-представляет высказывание "Если неверно, что сейчас светло, то неверно, что сейчас день" и т.п. Подставляя вместо переменных другие конкретные (истинные или ложные) высказывания, получим другие переводы указанных формул на обычный язык.
Формула, которой не соответствует осмысленное предложение, построена неправильно.
Таковы, в частности, формулы:
(А →), (& В), (A v ВС), (~ & ) и т.п.
Каждой формуле логики высказываний соответствует таблица истинности, показывающая, при каких подстановках конкретных высказываний в данную формулу она дает истинное сложное высказывание, а при каких ложное. Например, формула (~ В → ~ А) даст ложное высказывание, только если вместо В подставить ложное высказывание, а вместо А – истинное.
Всегда истинная формула логики высказываний, или тавтология, – это формула, дающая истинное высказывание при любых подстановках, в нее конкретных (т.е. истинных или ложных) высказываний.
Иными словами, внутренняя структура тавтологии гарантирует, что она всегда превратится в истинное высказывание, какими бы конкретными высказываниями мы ни заменяли входящие в нее переменные.
Всегда ложная формула, или логическое противоречие, всегда превращается влажное высказывание при подстановке конкретных высказываний вместо ее переменных.
Покажем для примера что формула:
(А – В) → (~ В → ~ А)
-является тавтологией. Для этого переберем варианты подстановок вместо переменных А и В конкретных высказываний. Таких вариантов, очевидно, четыре: оба подставляемых высказывания истинны, оба они ложны, первое из них истинно, а второе ложно, и первое ложно, а второе истинно.
В результирующей колонке таблицы встречается только значение "истинно", т.е. формула является всегда истинной.
А В А → В ~ В ~ А ~ В → ~ А (А → В) → (~ В → ~ А)
и и и л л и и
и л л и л и и
л и и л и л и
л л и и и л и
Нетрудно убедиться, например, что формула:
(А & → А)
-является всегда ложной, т.е. противоречием.
Множество тавтологий бесконечно.
Центральным понятием логики в целом и логики высказываний как ее части являются понятия логического закона и логического следования. Они могут быть определены через понятие тавтологии.
Логический закон логики высказываний – это тавтология данной логики. Иными словами, множество законов логики высказываний и множество ее тавтологий совпадают: каждый закон есть тавтология, и каждая тавтология есть закон. Это означает, что для установления того, является ли некоторая формула законом логики высказываний, достаточно с помощью таблиц истинности убедиться, является ли эта формула тавтологией. Логическим законом является, в частности, только что рассмотренная всегда истинна формула:
(А → В)(~ В → ~ А).
Таким образом, логический закон можно определить как выражение, содержащее только логические константы и переменные и являющееся истинным в любой (непустой) области объектов.
В обычном языке слово "тавтология" означает повторение того, что уже было сказано: "Жизнь есть жизнь", "Театр – это театр" и т.п.
Тавтологии бессодержательны и пусты, они не несут никакой информации. От них стремятся избавиться как от ненужного балласта, загромождающего речь и затрудняющего общение.
Иногда, однако, случается, что тавтология наполняется вдруг каким-то чужим содержанием. Попадая в определенный контекст, она как бы светит отраженным светом.
Слово "тавтология" широко используется для характеристики законов логики. В качестве логического термина оно получило строгие определения применительно к отдельным разделам логики.
В общем случае, логическая тавтология – это выражение, остающееся истинным независимо от того, о какой области объектов идет речь, или "всегда истинное выражение".
Все законы логики являются логическими тавтологиями. Если в формуле, представляющей закон, заменить переменные любыми постоянными выражениями соответствующей категории, эта формула превратится в истинное высказывание.
Например, в формулу "А или не-А", представляющую логический закон, вместо переменной А должны подставляться высказывания. Результаты таких подстановок: "Дождь идет или не идет", "Два плюс два равно нулю или не равно нулю", "Пегас существует или его нет" и тому подобное. Каждое из этих сложных высказываний является истинным. И какие бы дальнейшие высказывания ни подставлялись, результат будет тем же – полученное высказывание будет истинным.
Из тавтологии "Дождь идет или не идет" мы ничего не можем узнать о погоде. Тавтология "Неверно, что Пегас есть и его нет" ровным счетом ничего не говорит о существовании Пегаса. Ни одна тавтология не несет содержательной информации о мире.
Тавтология не описывает никакого реального положения вещей. Она совместима с любым таким положением. Немыслима ситуация, сопоставлением с которой тавтологию можно было бы опровергнуть.
Эти специфические особенности тавтологий пытались истолковать как несомненное доказательство отсутствия какой-либо связи законов логики с действительностью. Законы логики представляют собой априорные, известные до всякого опыта истины. Они не являются бессмысленными, но вместе с тем не имеют и содержательного смысла. Их невозможно ни подтвердить, ни опровергнуть ссылкой на опыт. Их функция – быть каркасом, строительными лесами нашего знания, указывать приемлемые преобразования выражений языка.
Идея об информационной пустоте логических законов является, однако, ошибочной. Ее сторонники крайне узко истолковывают опыт, способный подтверждать и опровергать научные утверждения и законы. Этот опыт сводится ими к фрагментарным, изолированным ситуациям или фактам. Последние достаточны для проверки истинности элементарных описательных утверждений типа "Идет дождь" или "Я иду быстро". Но они явно недостаточны для суждения об истинности абстрактных теоретических обобщений, опирающихся не на отдельные, разрозненные факты, а на совокупный, систематический опыт. Даже законы обычных наук нельзя обосновать простой ссылкой на факты и конкретику. Тем более это невозможно сделать в случае самых абстрактных из всех законов – законов логики. Они должны рассматриваться в своем генезисе и черпать свое обоснование из предельно широкого опыта мыслительной, теоретической деятельности. За законами логики стоит, конечно, опыт, и в этом они сходны со всеми иными научными законами. Но опыт не в форме каких-то изолированных, доступных наблюдению ситуаций, а конденсированный опыт всей истории человеческого познания.
Логические законы составляют основу человеческого мышления. Они определяют, когда из одних высказываний логически вытекают другие, и представляют собой тот невидимый железный каркас, на котором держится последовательное рассуждение и без которого оно превращается в хаотическую, бессвязную речь. Без логического закона нельзя понять, что такое логическое следование, а тем самым – и что такое доказательство.
Правильное, или, как обычно говорят, логичное мышление – это мышление по законам логики, по тем абстрактным схемам, которые фиксируются ими. Отсюда понятна вся важность данных законов.
Логические законы объективны и не зависят от сознания и воли человека. Они не являются результатом соглашения между людьми, некоторой специальной или стихийно сложившейся конвенции. Они не являются и порождением некоего "мирового духа" или "абстрактной идеи", как полагали некоторые философы. Власть законов логики над человеком, их обязательная для правильного мышления сила обусловлена тем, что они есть отображение реального мира, многовекового опыта его познания и преобразования человеком.
Подобно всем иным научным законам, логические законы являются универсальными и необходимыми. Они действуют всегда и везде, распространяясь в равной мере на всех людей и на любые эпохи. Присущая этим законам необходимость в каком-то смысле даже более настоятельна и непреложна, чем природная, или физическая, необходимость. Невозможно даже представить, чтобы логически необходимое стало иным. Если что-то противоречит законам природы и является физически невозможным, то никакой инженер, при всей его одаренности, не сумеет реализовать это. Но если нечто противоречит законам логики и является логически невозможным, то не только инженер – даже бог не смог бы воплотить это в жизнь.
Логических законов бесконечно много, однако не все они в равной мере употребительны. Далее будут рассмотрены некоторые, наиболее простые и часто используемые из них.
2. Законы логики высказывания
1. Закон противоречия.
Из всех логических законов самым известным является, без сомнения, закон противоречия. И вместе с тем в истории логики не было периода, когда бы этот закон не оспаривался и когда бы дискуссии вокруг него совершенно затихали.
Закон противоречия говорит о противоречащих друг другу высказываниях, т.е. о высказываниях, одно из которых является отрицанием другого. К ним относятся, например, высказывания "Луна – спутник Земли" и "Луна не является спутником Земли", "Трава – зеленая" и "Неверно, что трава зеленая" и т.п. В одном из противоречащих высказываний что-то утверждается, в другом – это же самое отрицается.
Если обозначить буквой А произвольное высказывание, то выражение не-A (неверно, что А) будет отрицанием этого высказывания.
Идея, выражаемая законом противоречия, проста: высказывание и его отрицание не могут быть вместе истинными.
Закон противоречия выражается формулой:
~ (А & ~ А),
неверно, что А и не-А
2. Закон исключенного третьего.
Закон исключенного третьего, как и закон противоречия, устанавливает связь между противоречащими друг другу высказываниями. Он утверждает: из двух противоречащих высказываний одно является истинным.
Символически:
A v ~ A,
А или не-А. Например: "Аристотель умер в 322 г. до н.э. или он не умер в этом году", "Личинки мух имеют голову или не имеют ее" и т.п. Само название закона выражает его смысл: дело обстоит так, как говорится в рассматриваемом высказывании, или так, как говорится в его отрицании, и никакой третьей возможности нет.
С законом исключенного третьего косвенно связан следующий методологический принцип: анализ каждого объекта должен вестись до тех пор и быть настолько полным, чтобы относительно любого утверждения об этом объекте можно было решить, истинно оно или нет. Это требование полноты и всесторонности исследования не относится, конечно, к законам логики. Оно полезно, но нередко оказывается невыполнимым. В случае рассуждений о бесконечных и неопределенных совокупностях объектов, об изменяющихся, текущих состояниях и т.п. изучение объекта не всегда способно достичь такой полноты, чтобы на любой вопрос о нем удалось ответить однозначно "да" или "нет".
3.Закон тождества
Внешне самым простым из логических законов является закон тождества. Он говорит: если высказывание истинно, то оно истинно. Иначе говоря, каждое высказывание вытекает из самого себя и является необходимым и достаточным условием своей истинности. Символически:
А → А,
если А, то А. Например: "Если дом высокий, то он высокий", "Если трава черная, то она черная" и т.п.
В приложениях закона
тождества к конкретному
Закон тождества нередко ошибочно подменяется требованием устойчивости, определенности мышления. Действительно, в процессе рассуждения значения понятий и утверждений не следует изменять. Они должны оставаться тождественными самим себе, иначе свойства одного объекта незаметно окажутся приписанными совершенно другому. Если мы начали говорить, допустим, о спутниках как небесных телах, то слово "спутник" должно, пока мы обсуждаем эту тему, обозначать именно такие тела, а не каких-то иных спутников. Требование не изменять и не подменять значения слов в ходе рассуждения, конечно, справедливо. Но, очевидно, что оно не является законом логики. Точно так же, как не относится к ним совет выделять обсуждаемые объекты по достаточно устойчивым признакам, чтобы уменьшить вероятность подмены в рассуждении одного объекта другим.
4.Закон двойного отрицания
Этим именем называется закон логики, позволяющий отбрасывать двойное отрицание. Этот закон можно сформулировать так: отрицание отрицания дает утверждение, или: повторенное дважды отрицание дает утверждение. Например: "Если неверно, что Вселенная не является бесконечной, то она бесконечна".
В символической форме закон записывается так:
~~ А → А,
если неверно, что не-А, то верно А.
Другой закон логики, говорящий о возможности не снимать, а вводить два отрицания, принято называть обратным законом двойного отрицания: утверждение влечет свое двойное отрицание. Например: "Если Шекспир писал сонеты, то неверно, что он не писал сонеты".
Символически:
A → ~~ A
если А, то неверно что не-А.
Объединение этих законов дает так называемый полный закон двойного отрицания:
~~ А ↔ А,
неверно, что не-А, если и только если верно А.
5.Законы контрапозиции
Законы контрапозиции говорят о перемене позиций высказываний с помощью отрицания: из условного высказывания "если есть первое, то есть второе" вытекает "если нет второго, то нет и первого", и наоборот.
Символически:
(А → В) → (~ В → ~ А),
если дело обстоит так, что если А, то В, то если не-В, то не-А;
(~ В → ~ А) → (А → В),
если дело обстоит так, что если не-В, то не-А, то если А, то В.
К примеру: из высказывания "Если есть следствие, то есть и причина" следует высказывание "Если нет причины, нет и следствия", и из второго высказывания вытекает первое.
6.Модус поненс
Слово "модус" в логике означает разновидность некоторой общей формы рассуждения. "Модус поненс" – термин средневековой логики, обозначающий определенное правило вывода и соответствующий ему логический закон.
Правило вывода модус поненс, обычно называемое правилом отделения или гипотетическим силлогизмом, позволяет от утверждения условного высказывания и утверждения его основания (антецедента) перейти к утверждению следствия (консеквента) этого
Если А, то В; А
Здесь "если А, то B" и "А" – посылки, "B" – заключение; горизонтальная черта стоит вместо слова "следовательно". Другая запись:
Если А, то B. А. Следовательно, В.
Благодаря этому правилу от посылки "если А, то В", используя посылку "А", мы как бы отделяем заключение "B". Например:
Если у человека грипп, он болен.
У человека грипп.
Человек болен.
7.Модус толленс.
Так средневековые логики называли следующую схему рассуждения:
Если А, то B; неверно В.
Неверно А.
Другая запись:
Если А, то В. Не-B. Следовательно, не-A.
Эта схема часто называется принципом фальсификации: если из какого-то утверждения вытекает следствие, оказывающееся ложным, это означает, что и само утверждение ложно. Посредством схемы от утверждения условного высказывания и отрицания его следствия осуществляется переход к отрицанию основания данного высказывания. Например:
Если гелий – металл, он электропроводен.
Гелий неэлектропроводен.
Гелий – не металл.
8.Модус толлендо поненс
Этим термином средневековые логики обозначали разделительно-категорическое умозаключение: первое или второе; не первое; значит, второе. Первая посылка умозаключения – разделительное (дизъюнктивное) высказывание, вторая – категорическое высказывание, отрицающее один из членов дизъюнкции; заключением является другой ее член:
А или В; неверно А
В
Или:
А или В; неверно В
А
Другая форма записи:
А или В. Не-А Следовательно, В.
А или В. Не-В. Следовательно, А.
Например:
Множество является конечным или оно бесконечно.
Множество не является конечным.
Множество бесконечно.
9.Закон приведения к абсурду.
Редукция к абсурду (приведение к нелепости) – это рассуждение, показывающее ошибочность какого-то положения путем выведения из него абсурда, т.е. логического противоречия. Если из высказывания А выводится как высказывание В, так и его отрицание, то верным является отрицание А. Например, из высказывания "Треугольник – это окружность" вытекает с одной стороны то, что треугольник имеет углы (быть треугольником значит иметь три угла), с другой, что у него нет углов (поскольку он окружность); следовательно, верным является не исходное высказывание, а его отрицание "Треугольник не является окружностью".
Закон приведения к абсурду представляется формулой:
(А → В) & (А → ~ В) → ~ А,
если (если А, то В) и (если А, то не-B), то не-А
10. Закон косвенного доказательства.
Закон косвенного доказательства позволяет заключить об истинности какого-то высказывания на основании того, что отрицание этого высказывания влечет противоречие. Например: "Если из того, что 17 не является простым числом, вытекает как то, что оно делится на число, отличное от самого себя и единицы, так и то, что оно не делится на такое число, то 17 есть простое число".
Символически закон косвенного доказательства записывается так:
(~ А → В) & (~ А → ~ В) → А,
если (если не-А, то В) и (если не-А, то не-В), то А.
Законом косвенного доказательства обычно называется и формула:
(~ А → (В & ~ В)) → А,
если (если не-А, то В и не-B), то А. К примеру: "Если из того, что 10 не является четным числом, вытекает, что оно делится и не делится на 2, то 10 – четное число".
11.Закон Клавия.
Закон Клавия характеризует связь импликации и отрицания. Он читается так: если из отрицания некоторого высказывания вытекает само это высказывание, то оно является истинным. Или, короче: высказывание, вытекающее из своего собственного отрицания, истинно. Или иначе: если необходимым условием ложности некоторого высказывания является его истинность, то это высказывание истинно. Например, если условием того, чтобы машина не работала, является ее работа, то машина работает.
Закон назван именем Клавия – ученого-иезуита, жившего в XVI в., одного из изобретателей григорианского календаря. Клавий первым обратил внимание на этот закон в своем комментарии к "Геометрии" Евклида. Одну из своих теорем Евклид доказал, выведя из ее допущения, что она является ложной.
Символически закон Клавия представляется формулой:
(~ А → А) → А,
если не-А имплицирует А, то верно А.
Из закона Клавия вытекает следующий совет, касающийся доказательства: если хочешь доказать А, выводи А из допущения, что верным является не-А Например, нужно доказать утверждение "У трапеции четыре стороны". Отрицание этого утверждения: "Неверно, что у трапеции четыре стороны". Если из этого отрицания удается вывести само утверждение, это будет означать, что оно истинно.
Закон Клавия – один из случаев общей схемы косвенного доказательства: из отрицания утверждения выводится само это утверждение, оно составляет вместе с отрицанием логическое противоречие; это означает, что отрицание ложно, а верным является само утверждение.
К закону Клавия близок по
своей структуре уже упоминавши
12.Закон транзитивности.
Закон транзитивности в обычном языке можно передать так: когда верно, что если первое, то второе, и если второе, то третье, то верно также, что если первое, то третье. Например: "Если дело обстоит так, что с развитием медицины появляется больше возможностей защитить человека от болезней и с увеличением этих возможностей растет средняя продолжительность его жизни, то верно, что с развитием медицины растет средняя продолжительность жизни человека". Иначе говоря, если условием истинности первого является истинность второго и условием истинности второго – истинность третьего, то истинность последнего есть также условие истинности первого.
Символически данный закон представляется формулой:
((А → В) & (В → C) → (А → С),
если (если А, то В) и (если В, то C), то (если А, то C).
13.Законы ассоциативности и коммутативности
Законами ассоциативности называются логические законы, позволяющие по-разному группировать высказывания, соединяемые с помощью "и", "или" и др.
Операции сложения и умножения чисел в математике ассоциативны:
(а + в) + с = а + (в + с),
- Логика высказываний
- Логика высказываний
- Логика в юриспруденции
- Логика Гегеля
- Логика Гегеля
- Логика Гегеля и учение об абсолютной идее
- Логика грузинского вторжения
- Логика в лицах. Иоанн Дунс Скот
- Логика вопросов и ответов
- Логика вопросов и ответов
- Логика вопросов и ответов
- Логика вопросов и ответов
- Логика вопросов и ответов
- Логика вопросов и ответов