Логистика_Использование экономико-математических методов при оптиизации транспортных операций

 

 

 

 

 

 

 

 

РЕФЕРАТ

 

по   Промышленной логистике  

наименование дисциплины

 

 

 

  Использование экономико-математических методов  

тема (вариант)

 

   при оптимизации транспортных операций   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2014

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Стремление лучше организовать бизнес, сделать его более эффективным и рентабельным, требует от менеджера, практикующего в области логистики, в частности, умения и навыков использования соответствующих инструментов для экономического анализа и оптимизации моделей логистических систем и цепей поставок. Такой анализ позволит оптимизировать различные важные для приложений показатели эффективности работы системы.

В условиях высокой неопределенности рыночной экономики особенно важно уметь оптимизировать показатели эффективности работы цепи поставок или логистической системы в той или иной сфере бизнеса. Поэтому умение представить анализируемые процессы для системы/подсистемы логистики, например, моделью системы управления запасами или сетевой моделью, или моделью сетевых графиков и т.д., и выбрать лучшие варианты решений при анализе логистических процессов в таких моделях, чтобы обеспечить наибольшую рентабельность бизнеса, сегодня реально востребовано практикой.

С расширением производства и увеличение экономического развития транспортные грузовые перевозки приобретают все большее значение в современном мире. Актуальность вопросов оптимизации маршрута и снижение стоимости перевозки выходит на первый план. Поскольку это позволяет снизить конечную стоимость товаров для конечных потребителей, снижать производственные запасы, повысить рентабельность бизнеса.

Цель данной работы показать использование экономико-математических методов при оптимизации транспортных операций.

 

 

 

1 ПРОЦЕСС ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

 

Этот процесс состоит из нескольких взаимосвязанных этапов. Разбиение на этапы и выделение на каждом этапе присущих ему процессов условно: на одном из выделенных этапов возможно совмещение процессов, относящихся к разным этапам. Первый этап - постановка задачи. Данный этап начинается с выработки цели исследования. Для конкретной экономической системы цели исследования могут быть различными, например, для предприятия можно задаться целью составить оптимальный план выпуска продукции или перевозок грузов, либо найти оптимальный вариант раскроя исходных материалов и т.д.

Исходя из цели исследования необходимо провести подробный анализ системы, выявить ее структуру и функции, изучить особенности. В процессе постановки задачи необходимо помнить, что модель должна, во-первых, правильно воспроизводить действительность, во-вторых, быть доступной для исследования. Эти два обстоятельства оказывают существенное влияние на выбор исходных предпосылок. При моделировании экономических систем, исходя из цели исследования, с одной стороны, необходимо выбрать самые важные в условиях данной задачи факторы и ввести в модель только те, которые самым существенным образом влияют на результат решения, на достижение поставленной цели. Учет в модели несущественных факторов приводит к тому, что модель становится сложной для понимания моделируемой системы и для решения. С другой стороны, игнорирование многих факторов может привести к чрезмерному упрощению модели, нарушению соответствия ее действительности. Компромисс между этими двумя требованиями достигается методом проб и ошибок. Эйнштейн утверждал, что правильная постановка задачи более важна, чем ее решение.

Второй этап – построение математической модели На этом этапе проводится формализация задачи – построение математических зависимостей в виде уравнений, неравенств, функций и т.п. Формализованную с помощью математического аппарата запись экономической задачи называют моделью задачи. Приступая к формализации экономического процесса, необходимо проанализировать, подходит ли для его описания одна из ранее созданных ЭММ. К настоящему моменту создано несколько десятков так называемых универсальных, или типовых, моделей 5 (модель транспортной задачи, модели задачи о ранце, диете, раскрое и т.п.), которые используются на практике для описания различных экономических процессов. Самой универсальной моделью считается модель транспортной задачи, с помощью которой формализуется не только процесс перевозки грузов, но и процесс размещения предприятий отрасли на определенной территории, процесс назначения работников на работы и др. Третий этап - получение решения с помощью построенной модели.

Основные задачи данного этапа. Первая задача – сбор и обработка необходимой для модели достоверной исходной информации, определение числовых значений параметров и внешних переменных. На практике не всегда удается собрать требуемую информацию, что приводит к невозможности использования модели в полученном виде. Тогда приходится возвращаться к постановке задачи и приспосабливать ее к имеющимся исходным данным.

Вторая задача – выбор метода получения решения: используются аналитические (формульные) и численные экономико-математические методы: симплекс-метод, метод потенциалов и др. Экономико-математические методы в определенной степени универсальны и используются для решения различных экономических задач. Однако не любая задача укладывается в рамки модели, для которой уже разработаны эффективные аналитические или численные методы решения. В этом случае пользуются другими методами получения решения, в частности эвристическими и имитационными методами исследования систем. Эвристика (в переводе с греческого - нахожу, придумываю, открываю) - это совокупность неформальных методов решения задач (эвристических методов), основанных на прошлом опыте, интуиции решающего. Эвристические методы в общем случае не гарантируют получение наилучшего решения, поскольку они опираются не на доказательства, а на так называемые правдоподобные рассуждения.

Имитационное моделирование следует рассматривать как новую методологию, новое направление в моделировании, позволяющее расширить его возможности. Под имитационным моделированием понимается экспериментирование с моделью реальной системы, в частности, вычислительный эксперимент, проводимый с помощью математической модели путем изменения различных исходных предпосылок. Поскольку вручную такие эксперименты просто невозможны, ИМ получило развитие только с появлением ЭВМ. Имитация (в переводе с латинского - подражание) - это воспроизведение чего-либо искусственными средствами, что позволяет постичь суть явления, не прибегая к экспериментам на реальном объекте. Имитационные модели служат для анализа поведения системы в условиях, определяемых экспериментатором. Четвертый этап - применение полученных с помощью модели результатов на практике. Сложность экономических процессов и явлений, другие особенности экономических систем затрудняют не только построение моделей, но и проверку их адекватности - соответствия ЭММ рассматриваемой экономической системе, цели ее исследования. Любая модель любой системы предполагает абстрагирование от некоторых реальных свойств объекта и отражает лишь основные его свойства. На данном этапе проверяется, насколько принятые допущения правомерны и, следовательно, применима ли построенная модель для исследования моделируемой системы. В случае необходимости модель корректируется. С целью обоснования пригодности модели для конкретных исследований проводится так называемый анализ модели на чувствительность. Полученное с помощью ЭММ решение анализируется на чувствительность путем изменения исходной информации в определенных пределах. Важность данной задачи состоит в том, что исходная

 

2 СХЕМЫ ОРГАНИЗАЦИИ ПЕРЕВОЗОЧНОГО ПРОЦЕССА

 

С точки зрения организации перевозочного процесса возможны три основные схемы.

«Один-к-одному». Первая схема организации перевозок, наиболее простая с точки зрения планирования, «один-к-одному», когда перевозка груза осуществляется в течение дня (рейса) между одним отправителем и получателем, не требует от автотранспортного предприятия решения ни транспортной задачи, ни задачи маршрутизации.

«Один-ко-многим». Один отправитель – несколько получателей. Перевозки по второй схеме («один-ко-многим») требует решения задачи маршрутизации, которая включает в себя решение: о задачи «увязки» ездок, если между грузоотправителями и грузополучателями перевозка осуществляется только по маятниковым маршрутам; о задачи коммивояжера, если между грузоотправителями и грузополучателями перевозка осуществляется только по развозочным (сборным или сборно-развозоч-ным) маршрутам; о двух вышеперечисленных типов задач, если при организации перевозочного процесса используются как маятниковые, так и развозочные (сборные или сборно-развозочные) маршруты.

Перевозка груза осуществляется по развозочному маршруту, если в качестве первого объекта выступает грузоотправитель и второго — грузополучатель, в противном случае организуется сборный маршрут. В случае, когда первый и второй объекты являются как грузообразующи-ми, так и грузопоглощающими пунктами, для перевозки груза используется сборно-развозочный маршрут.

«Многие-ко-многим». Несколько отправителей – несколько получателей. При организации движения по схеме «многие-ко-многим» требуется на первом этапе решить транспортную задачу, затем задачу маршрутизации (второй этап). 

 

 

 

2.1 Проектирование технологии организации перевозочного процесса.

 

Логистический подход к организации автомобильных перевозок обусловливает новое методологическое содержание, заключающееся в том, что основной составляющей частью перевозок должно стать проектирование оптимального (рационального) перевозочного процесса. Под этим понимается поиск наилучших организационных и технически возможных решений, обеспечивающих максимальную эффективность перевозки грузов от места их производства до места потребления. Следует отметить, что понятие «проектирование» означающее дословно выбор задуманного предначертания, представляется правомерным относить к процессу создания не только технических средств, но и транспортной продукции.

На рис. 1 показана принципиальная схема организации перевозки груза.

Рисунок 1 – Принципиальная схема организации перевозки груза

где I – грузообразующий пункт; II – грузопоглащающий пункт; III – перевозочный комплекс; W(t) – грузопоток перевозочного комплекса; WQ – транспортная продукция; 
Wг – потребности грузополучателя; W’k – плановая провозная возможность перевозочного комплекса; Wk – фактическая провозная возможность перевозочного комплекса; 
О1,О2,О3 – операторы.

 

Под грузообразующими пунктами понимаются предприятия и организации всех отраслей народного хозяйства, с которых вывозятся их продукция и отходы.

Под грузопоглощающими пунктами понимаются предприятия и организации всех отраслей народного хозяйства, на которые завозятся сырье, топливо, материалы, готовая продукция и другие грузы, необходимые для их нормальной производственной деятельности.

Расположение грузообразующих и грузопоглощающих пунктов определяется, с одной стороны, природными условиями, а с другой – более или менее случайными факторами.

Одно и тоже предприятие может одновременно быть грузообразующим и грузопоглощающим пунктом. Например, завод железобетонных изделий, как вывозящий готовую продукцию является грузообразующим пунктом, а как ввозящий сырье – песок, щебень, цемент, и т.д. – грузопоглощающим.

В данной принципиальной схеме можно выделить два контура. 1 – количество груза, доставленного грузополучателю WQ, должно соответствовать грузопотоку перевозочного комплекса W(t). Разница между входом и выходом ΔW=W(t)-WQ подается по цепи обратной связи на грузообразующий пункт и через оператора О1 изменяет плановую величину провозной возможности перевозочного комплекса. Оператор О1 приводит в соответствие связь между грузопотоком и провозной возможностью перевозочного комплекса. Планируемая величина его провозной возможности W’k в свою очередь преобразуется в действительную провозную возможность Wk с помощью оператора О2.

Второй контур представляет собой изменение в объеме перевозок, связанные со спросом получателя на данную продукцию (груз). Свои потребности он подает в виде заказов по другой цепи связи на грузообразующий пункт и на перевозочный комплекс. Изменение потребности получателя в данном грузе влияет на действительную провозную возможность, что отражается, прежде всего, на выходе системы. Это действие выполняется оператором О3.

Независимыми переменными будут являться производительность грузообразующего пункта и потребность получателя, которые могут принимать произвольные значения.

 

2.2 Классическая транспортная задача.

 

Транспортная задача (классическая) – задача об оптимальном плане перевозок товара со складов в пункты потребления на транспортных средствах. 
Для классической транспортной задачи выделяют два типа задач: критерий стоимости (достижение минимума затрат на перевозку) или расстояний и критерий времени (затрачивается минимум времени на перевозку).

Классическая транспортная задача является одной из важнейших задач линейного программирования, и заключается она в нахождении оптимальных грузопотоков, то есть в оптимальном закреплении поставщиков однородного груза за потребителями (несколько складов и большое количество потребителей).

Исходные данные

Исходными данными для рассматриваемой задачи являются: о количество грузоотправителей и грузополучателей; о ограничения, накладываемые грузоотправителем и грузополучателем на партию груза, которая может быть отправлена и получена соответствующим субъектом; о затраты на перемещение единицы груза от каждого отправителя каждому получателю.

Классическая транспортная задача предполагает, что количество груза у отправителя точно соответствует количеству груза, необходимому получателям.

 

 

Особые виды транспортной задачи

Однако в практике планирования грузовых автомобильных перевозок встречаются особые виды транспортной задачи, решение которых также может быть сведено к классической задаче:

1. Модели с несбалансированным спросом и предложением, получившие название — открытые. В таких задачах спрос может или превышать или быть меньше предложения. Если у отправителя груза больше, чем это требуется потребителю, то вводится фиктивный груэополучатель, если же спрос превышает предложение, то вводится фиктивный грузоотправитель.

2. Модель с запрещенными корреспонденциями используется, если какие-либо грузополучатели не могут получать груз от некоторых грузоотправителей. В этом случае при решении задачи между ними искусственно вводится очень большое расстояние, существенно превышающее реальное.

3. Модель с обязательными корреспонденциями используется, если какие-либо потребители должны получать груз от конкретных поставщиков. В этом случае данная корреспонденция вводится в обязательные условия.

Специальные методы решения

Для решения транспортной задачи разработаны специальные методы, позволяющие из множества возможных решений найти оптимальное. Одним из таких методов является распределительный метод, который имеет неЧ сколько разновидностей, отличающихся в основном способом выявления оптимального решения. Наиболее известны три разновидности: о метод Хичкова; о метод Креко; о модифицированный распределительный метод или метод потенциалов.

Отличаются они в основном способом выявления оптимального решения. Указанные методы достаточно широко представлены в литературе по экономико-математическим методам на автомобильном транспорте.

«Поиск решения»

В настоящее время для решения транспортной задачи и задачи определения кратчайших расстояний широко применяется «Поиск решения» - встроенная возможность Microsoft Excel, позволяющая получить точное решение с наименьшими затратами времени.

В исследовании операций под транспортной задачей обычно понимают задачу выбора плана перевозок некоторого товара (изделий, груза) от m источников (пунктов производства, поставщиков) к n стокам (станциям назначения, пунктам сбыта), обеспечивающего минимальные транспортные затраты. При этом предполагают, что:

а) мощность i-го источника (объем поставок товара от i-го источника) равна Si>0, i=l,...,m;

б) мощность j-го стока (объем поставок товара к j-му стоку) равна Dj >0, j=1,...,n;

в) стоимость перевозки единицы товара (в условных денежных единицах) от i-го источника к j-му стоку равна сij;

г) суммарная мощность всех источников равна суммарной мощности всех стоков, т.е.:

     (1)

Далее под объемом товара будем понимать его количество в фиксированных единицах измерения.

Для математического описания транспортной задачи вводят переменные xij, обозначающие объемы поставок товара от i-го источника j-му стоку. В этом случае xi1+xi2+...+xin – общий объем поставок товара от i-го источника, т.е. мощность этого источника; xij+xi2+...+xin – общий объем поставок товара к j-му стоку, т.е. мощность этого стока; c11x11+ c12x12+…+ cmnxmn – суммарная стоимость перевозок товара от источников к стокам. С учетом этого рассматриваемая задача может быть представлена в следующем виде:

      (2)

На рисунке 2 показано представление транспортной задачи в виде сети с m пунктами отправления и n пунктами назначения, которые показаны в виде узлов сети. Дуги, соединяющие узлы сети, соответствуют маршрутам, связывающим пункты отправления и назначения. С дугой (i,j), соединяющей пункт отправления i с пунктом назначения j, соотносятся два вида данных: стоимость cij перевозки единицы груза из пункта i в пункт j и количество перевозимого груза хij. Объем грузов в пункте отправления i равен Si, а объем грузов в пункте назначения j равен Dj. Задача состоит в определении неизвестных величин xij, минимизирующих суммарные транспортные расходы и удовлетворяющих ограничениям, накладываемым на объемы грузов в пунктах отправления (предложение) и пунктах назначения (спрос).

 

Рисунок 2 – Представление транспортной задачи в виде сети

 

Когда суммарный объем предложений (грузов, имеющихся в пунктах отправления) не равен общему объему спроса на товары (грузы), запрашиваемые пунктами назначения, транспортная задача называется несбалансированной. В этом случае, при решении классической транспортной задачи методом потенциалов, применяют прием, позволяющий несбалансированную транспортную задачу сделать сбалансированной. Для этого вводят фиктивные пункты назначения или отправления. Выполнение баланса транспортной задачи необходимо для того, чтобы иметь возможность применить алгоритм решения, построенный на использовании транспортных таблиц.

 

2.3 Транспортная задача с промежуточными пунктами.

 

Одно практически важное обобщение классической транспортной задачи связано с учетом возможности доставки товара от i-го источника j-му стоку по маршруту, проходящему через некоторый промежуточный пункт (склад). Так, например, промежуточные пункты являются составной частью распределительной системы любой крупной компании, имеющей сеть универсальных магазинов во многих городах. Такая компания обычно имеет зональные оптовые базы (источники), снабжающие товарами более мелкие региональные склады (промежуточные пункты), откуда эти товары поступают в розничную торговую сеть (стоки). При этом товар для каждого фиксированного стока в общем случае может быть доставлен не из любого источника и по маршрутам, не обязательно проходящим через все промежуточные пункты. Кроме того, промежуточные пункты могут обладать вполне определенной спецификой. Так, например, при транспортировке товара от источника к стоку по маршруту, проходящему через склад, часть товара может быть использована для создания неприкосновенного запаса на складе.

Задачу выбора плана перевозок товаров от источников стокам с учетом промежуточных пунктов, обеспечивающего минимальные транспортные затраты и потребности стоков, в исследовании операций называют транспортной задачей с промежуточными пунктами. Для приобретения практических навыков в построении математических моделей таких задач обратимся к следующему примеру.

На рисунке 3 представлена схема размещения складов, на которой указаны:

а) склады в виде узлов сети с номерами от 1 до 8;

б) избыток товара на складе, который должен быть перераспределен в системе складов (указан в квадратных скобках рядом с узлом сети положительным числом и выражен в единицах измерения товара);

в) недостаток товара на складе, который должен быть устранен за счет его поставок с других складов системы (указан в квадратных скобках рядом с узлом сети отрицательным числом);

г) возможность перевозки товара со склада i на склад j (ориентированная дуга от круга с номером i к кругу с номером j);

д) затраты, связанные с перевозкой единицы товара со склада i на склад j (величина cij рядом с соответствующей ориентированной дугой, выраженная в денежных единицах).

Рисунок 3 – Схема размещения складов

 

На рисунке 3 видно, что суммарный избыток товара, имеющийся на складах системы с номерами 1 и 4, равен суммарному недостатку товара, имеющемуся на складах с номерами 3, 6 и 8 той же системы. Перераспределение товара может происходить через склады с номерами 2, 4÷7, которые в рассматриваемой задаче и являются промежуточными или транзитными пунктами. Истинным пунктом отправления является лишь склад с номером 1, на котором имеется избыток товара и с которого товар можно только вывозить, а истинными пунктами назначения являются склады с номерами 3 и 8, на которых есть недостаток товара, и на эти склады товары можно только завозить. Заметим также, что между складами с номерами 4 и 5 возможны перевозки в обоих направлениях, но в общем случае c45≠c54 (например, наличие одностороннего движения по кратчайшему маршруту).

Объемы спроса и предложения, соответствующие этим пунктам отправления и назначения, вычисляются следующим образом.

Объем предложения истинного пункта отправления = объем исходного предложения.

Объем предложения транзитного пункта = объем исходного предложения + объем буфера.

Объем спроса истинного пункта назначения = объем исходного спроса.

Объем спроса транзитного пункта = объем буфера.

Объем буфера должен быть таким, чтобы вместить объем всего предложения (или спроса).

Пусть J —множество номеров складов, на которые товар может быть доставлен с k-то склада, а I — множество номеров складов, с которых товар может быть доставлен на k-й склад. Tk — величина чистого запаса товара, равная объему исходного предложения или исходного спроса. Тогда математическую модель данной задачи можно представить следующим образом:

 

      (4)

 

Задача о назначении

Предположим, что имеется n различных работ, каждую которых может выполнить любой из n привлеченных исполнителей. Стоимость выполнения i-й работы j-ым исполнителем известна и равна сij (в условных денежных единицах). Необходимо распределить исполнителей по работам (назначить одного исполнителя на каждую работу) так, чтобы минимизировать суммарные затраты, связанные с выполнением всего комплекса работ.

В исследовании операций задача, сформулированная выше известна как задача о назначениях. Введем переменные хij, принимающие значение 1 в случае, когда i-ю работу выполняет i-й исполнитель и значение 0 во всех остальных случаях, ij = 1, n. Тогда ограничение

 

гарантирует выполнение каждой работы лишь одним исполнителем, ограничение:

 

гарантирует, что каждый из исполнителей будет выполнять лишь одну работу. Стоимость выполнения всего комплекса работ равна

Таким образом, задачу о назначениях можно записать следующим образом:

 

Задача о назначениях является частным случаем классической транспортной задачи, в которой надо положить n=m, Si = 1, i = 1,...,n, Dj = 1, j = 1,...,n. При этом условие  , i,j = 1,...,n, означает выполнение требования целочисленности переменных хij. Это связано с тем, что мощности всех источников и стоков равны единице, откуда следует, что в допустимом целочисленном решении значениями переменных могут быть только 0 и 1.

Как частный случай классической транспортной задачи, задачу о назначениях можно рассматривать как задачу линейного программирования. Поэтому в данном случае используют терминологию и теоретические результаты линейного программирования.

В задаче о назначениях переменное хij, может принимать значение 0 или 1. При этом в любом допустимом решении лишь и переменных могут принимать значения 1. Таким образом, любое допустимое базисное решение задачи о назначениях будет вырожденным.

На практике встречаются задачи о назначениях, в постановках которых параметр cij для i.j = 1,...,n понимается как эффективность выполнения i-й работы j-м исполнителем. В этих случаях нужно так распределить работы между исполнителями, чтобы суммарная эффективность их выполнения был бы максимальной, т.е.

где максимум ищется при указанных выше ограничениях.

 

 

3. ПРИМЕР ТРАНСПОРТНОЙ  ЗАДАЧИ

 

Уголь, добываемый в нескольких месторождениях, отправляется ряду потребителей. нам известно, сколько угля добывается в каждом из месторождений, скажем за месяц и сколько его требуется на тот же срок каждому из потребителей. Известны расстояния между месторождениями и потребителями, а также условия сообщения между ними. Учитывая эти данные. Можно подсчитать, во что обходится перевозка каждой тонны угля из любого месторождения в любой пункт потребления. Требуется при этих условиях спланировать перевозки угля таким образом, чтобы затраты на них были минимальными.

Пусть для простоты заданы всего 4 месторождения М1, М2, М3, М4, причем их ежемесячная добыча составляет a1, а2, а3, а4 тонн угля. Предположим далее, что этот уголь надо доставить в пункты потребления b1, b2, b3, b4, b5, соответственно с ежемесячными потребностями этих пунктов. Будем считать, что общее производство угля равно суммарной потребности в нем (сбалансированность планов): a1, а2, а3, а4 = b1, b2, b3, b4, b5. Задача состоит в определении такого плана перевозок, при котором общая стоимость перевозок была бы наименьшей. Обозначим через x11 количество угля (в тоннах), предназначенное к отправлению из M1 в П1; вообще через xij обозначим количество угля, отправляемого из месторождения Mi в пункт потребления Пj. Схема перевозок примет вид, изображенный в таблице 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 1 – Схема перевозок

	ПН	в П1	в П2	в П3	в П4	в П5	Всего
ПО							отправлено
из Ì1		х11	х12	х13	х14	х15	a1
из Ì2		х21	х22	х23	х24	х25	а2
из Ì3		х31	х32	х33	х34	х35	а3
из Ì4		х41	х42	х43	х44	х45	а4
Всего привезено		b1	b2	b3	b4	b5