Ұлы Гаусс математикасы

Мазмұны

 

Кіріспе...........................................................................................................4

 

І бөлім. Карл Фридрих Гаусс және оның еңбектері..................................5

 

1. "Математиктер патшасы"......................................................................5

 

1.2 Гаусстың ғылыми еңбектері.................................................................8

 

ІІ бөлім. Ұлы Гаусс математикасы............................................................10

 

2.1 Гаусс теоремасы.....................................................................................10

 

2.2 Гаусс проекциясы...................................................................................11

 

2.3 Гаусс әдісі................................................................................................12

 

2.4 Сандар сыры............................................................................................14

 

Қорытынды..................................................................................................18

 

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі............................................................20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кіріспе

 

Бұл рефераттың тақырыбы "Ұлы Гаусс математикасы". Реферат үш бөлімнен тұрады: кіріспе, негізгі бөлім, қорытынды.Негізгі бөлімнің өзі екі тараудан тұрады: Карл Фридрих Гаусс және  ұлы Гаусс математикасы.

Мақсаты: "Математиктер патшасы" атанған Карл Фридрих Гаусс өмірін және ғылыми еңбектерін жан-жақты қарастыру.

Міндеті: Карл Фридрих Гаустың ғылыми еңбектерін,соның ішінде Гаусс проекциясын,теоремасын және де Гаусс әдісі мен салу есептерін зерттеу.

Математика тарихы – математиканың бір саласы болып есептеледі.Ол – математика дамуының обьективтік заңдылықтары туралы ғылым.

"Математиктер патшасы" атанған  Карл Фридрих Гаусс кедей тап өкілі.Ол Германиядағы Брауншвейг ауылында 1777жылы дүниеге келген.Ол дүниге келгенде оның қатты шыққан даусынан айналадағы жұрт елең ете қалды.Әкесі Герхард мінезі тіктеу,бірбеткей,адал жан.Байлар бағына фонтан орнатып,бағын күтетінитас қалаушы.Анасы Доротея да ақылды,байсалды және ашық мінезді әйел болған.Ақылды әрі ұстамды шешесінің Карл тұңғышы.Тоқымашы,терең ақылды,кішпейіл,түйгені мол кіші нағашысы Фридрих, жас нәрестенің атын өзі қойды.Шешесі мұны мақтан тұтып Карл Фридрих Гаусс деп атап кетті.Екі жасында Гаусс вундеркинд атанса,үшке толмай – ақ әкесінің айлық есептеудегі қатесін байқап: "Әке, есептеуің қате,міне былай болады", - деді.Әке – шешесі мен туыстарынан әліпбидегі әріптердің оқылуын сұрап алып,өзбетінше оқи алатын дәрежеге жетті.Цифрларды танып,есептеуді өзі үйренді.Кейін Гаусс "сөйлеуден бұрын санауды үйрендім " деп қалжыңдайтын.Бұл шешесінен қанмен тараған,бойға сіңген мінез еді.Жетіге толып мектепке барды.Сабақты Бютнер есімді мұғалім жүргізуші еді.Бірде мұғалім тақтаға 1 – ден 100 – ге дейігі сандардың қосындысын табу керек екендігін жазып,оқушыларға түсіндіріп болғанша өзінің аспидальдық тақтасына графилімен "Дайын!" деп жазып қойды.Оқушылардың қалай шығарып жатқандығын байқап,оларға ақыл – кеңес беріп жүрген мұғалім Гаусс тақтасынан "Дайын!" деген жазуды көріп: "Есебің қайда?" – деді.Ол өзінің тақтасынан 5050 деген есептің жауабын нұсқады.Бютнер көпшілік алдында шығарып көрсетуді талап етті.Ол шығарып берді.

• Қане оқушылар! Сіздер қалай шығарады екенсіздер соны байқайық.

Гаусқа риза болған Бютнер оқушыларға арифметикалық прогрессияның мүшелерінің қосындысын табуға арналған формуланы түсіндірді.

Сөйтіп, он жастағы Гаусс 1 – ден 100 – ге дейінгі сандардың қосындысын тауып арифметикалық прогрессияның n – мүшесінің қосындысы формуласының дербес жағдайын ашты.Осы Бютнер өзіндегі арифметика оқулығын Гаусқа сыйға тартты.Бала Гаусс оны қиналмай – ақ меңгеріп алғанын көргенде: "Ол менен асып түсті.Оны мен басқа ештеңеге үйрете алмаймын", - деп өзінің көмекшісі Иоганн Мартин Бартельске(1769 – 1836ж.ж) табыс етті.Он жеті жастағы Бартельс математика десе ішкен асын жерге қоятын көктен іздегені жерден табылғандай қуанып, өз ризашылығын білдірді.Бартельспени Гаусс бірігіп біліидерін тереңдітіп,бірте – бірте мектептегі алгебра мен анализ бастамаларының дәлелдемелерін жаңарта бастады

1.1 Карл Фридрих Гаусс

 

Математика тарихы бойынша ХVІІ ғасыр мен ХІХ ғасырдың шекарасында неміс ғалымы Карл Фридрих Гаусстың ұлы тұлғасы ерекше орын алады.Гаусс заманы – Эйлер мен Лагранж ғасырының ақыры,Лобачевский мен Риман ғасырының алғашқы жартысы.Сондықтан Гаусс еңбектері ескі матемтиканың аяғы,жаңа математиканың басы болады.

Карл Фридрих Гаусс ескі стиль бойынша 1777жылы 30сәуірде Батыс Германияның Бруаншвейг қаласында дүниеге келген.Әкесі Герхард Дидриз Гаусс (1744-1808) сауатты жұмысшы болған,жас кезінде қалаға су тарату трубаларын жөндеуді кәсіп еткен.Анасы Доротея ақылды,байсалды және ашық мінезді әйел болған.Карл – оның тұңғыш және жалғыз ұлы,одан соң құрсақ көтермеген.Жалғыз ұлын ол мәпелеп өсірген,ұлы да анасын қадір тұтқан."Жалғыз баласының соңынан жүгіріп жүретін кемпір" деп дос әйелдері қалжыңдағанда,Доротея іркілместен:"Сендердің тапқан жиырма балаларыңа тұрмайма,менің жалғыз Карлым" дейтін,Доротея 97жыл өмір сүріп,Гаусс Геттингенде тұрғанда 1839жылы 19сәуірде қайтыс болған.Сол Геттингенде жерленген.

Карл жасынан-ақ зерек болған,әріптер мен цифрларды әкесінен үйренген.Бір күні әкесі бес-алты жұмысшыға тиісті еңбек ақыларын үлестіріп бергенде үш жасар ұлы Карл әкесінің қатесін тапқан.Тексергенде Герхардтың ақшаны қате есептеп артық беріп қойғандығы анықталған.Есейген шағында Гаус ойын шыны аралас:"Менің тілім шықпай тұрғанда санап үйренгенмін",- деген.

1784жылы Карл Брауншвейтегі Екатерина  атындағы бастауыш мектепке оқуға  түседі.Бұл мектепте Бютнер деген мұғалім болады.Карл арифметикадан үздік оқиды,бірақ басқа пәндерден артық өнер көрсете алмайды.Үшінші сыныпта оқып жүргенде қызық оқиға болады.Бютнер бір жерге барып келетін жұмысы боладыда шәкірттерге 1-ден 100-ге дейінгі сандарды қосып,қанша шығатынын табыңдар деп,тапсырма береді.Оның ойынша жұмысты тындырып келгенше шәкірттер әуреленіп отыруға тиіс.Мұғалім есептің шартын жаздырып аяқтаған кезде "5050" деп жазып,Карл тақтайшасын алып барған.Таң қалған Бютнер "қалай  шығардың?" деп сұраған. Есепті Гаустың өзі шығарғандығына күмәнданған Бютнер көпшілік алдында шығарып көрсетуді талап етті.Ол шығарып берді және оны Карл былай түсіндірген:1+101=101,1+99=101,... осындай 50 рет 101 болады,ал 101 × 50 = 5050.Есептің шешімі дұрыс.

Гаусқа риза болған Бютнер оқушыларға арифметикалық прогрессияның мүшелерінің қосындысын табуға арналған формуланы түсіндірді.

Сөйтіп, он жастағы Гаусс 1 мен 100 - дің,2 мен 99 - дың,3 пен 98 – дің,тағы сол сияқты екі шетінен бірдей қашықтықта тұрған сандардың қосындысы 101,ал ондай парлардың саны небары 50, демек, 101 × 50 = 5050 екенін байқап,арифметикалық прогрессияның n – мүшесінің қосындысы формуласының дербес жағдайын ашты.Осы үшін Бютнер өзіндегі арифметика оқулығын Гаусқа сыйға тартты.Бала Гаусс оны қиналмай-ақ меңгеріп алғанын көргенде:"Ол менен асып түсті.Оны мен басқа ештеңеге үйрете алмаймын",- деп өзінің көмекшісі Иоганн Мартин Бартельске(1769-1836ж.ж) табыс етті.Он жеті жастағы Бартельс математика десе ішкен асын жерге қоятын көктен іздегені жерден табылғандай қуанып,өз ризашылығын білдірді.Бартельс пен Гаусс білімдерін тереңдетіп,бірте-бірте мектептегі алгебра мен анализ бастамаларындағы арақатынастардың дәлелдемелерін жаңарта бастады.Қос қыран әрі асып,биномдық теореманы меңгерді.

n – кез – келген сан болса

(1 - х)² = 1 + ² + ³ + ... теңдігі қай уақытта орындалады деген сұраққа жауап берді.Бұл матемтикалық терең төңкеріске әкелді.Жазудағы көп нүкте қосылғыштар санын түгесуге болмайды,шектеусіз дегенді білдіреді.Сонымен,жас Гаусс анализді шексіздік ұғымымен байланыстырып,онсыз дәлелдеу өз мәнінде болмайтынын айтты.Гаусс төңкерісі кейінгі математиктерге де,замандастарына да әсерін тигізді.Гаусс он тоғызға толғанда анасы өмірлік досы Фаркаш Бояиден Гаустың келешегі барма деп сұрағанда:"Ол Европаның аса ірі математигі! " – деп жауап берді.Қуанғаннан анасы көзмоншағын сүртіп,езу тартты.Гаусс өз табысына мұнша қуанғанымен,математика профессоры Бартельс "Гаусты ашқан менмін!" –деп әрқашан айтып жүрді.Ол Гаустан бір елі қалмай ,қартайған шағында да дәрісханаларға бірге кіретін.Бартельс Қазан университетінде де қызмет істеп,ұлы геометр Н.И.Лобачевскийдіңде сүйікті ұстазы болды.

Гаусс Бютнер мектебінде 4жыл оқиды,сонда жүріп латын,грек,көне еврей тілдерімен танысады.1788жылы сол мектептің жанындағы гимназияға ауысады.Гимназия оны бірден екінші сыныпқа алады.Гимназияда,содан кейін Королин коллегиясында оқиды.Бұл жылдары тілдерді терең біліп алып,математиканың классикалық кітаптарын – Ньютон "Негіздерін", Эйлер мен Лагранж шығармаларын т.с.с оқиды.

1795жылы Гаусс Геттинген университетіне түседі.Университетте тіл ғылымдары мен математиканы қатар оқиды.Екінші курста оқып жүрген кезінде,1796жылы 30 наурызда,циркуль мен сызғыш арқылы дұрыс 17-бұрышты алуға болатындығын дәлелдейді.Осы есепті шешкеннен кейін Гаусс тіл білімін "кейін көрермін" деп екінші қатарға қалдырып,математик болуға бел байлайды.Бұл уақытта Гаус 18жаста еді.17-бұрыш Гаусс еңбектерінің бет ашары,алғы сөзі,хабаршысы,төл басы сияқты болды,Кейін көптеген жаңалықтар ашса да,өзі осы 17- бұрышты зерттеуін айрықша есінде сақтады.Кейін бұл есепті Гаусс жалпы түрде шешті.Грек геометрлері дұрыс көпбұрыштардың кейбір дербес түрлерін салу жолдарын ғана айтып кеткен.Дұрыс көпбұрыштардың қандайын циркуль мен сызғыш арқылы салуға болады,қандайын – салуға болмайды?Бұл сұраққа гректер де,орта ғасырлардағы математиктер де жауап бере алмаған.Гаусс мынадай теореманы : егер дұрыс көпбұрыштың қабырғаларының санын өрнектейтін n саны

n=

p p ,..p

түрінде болса,ал p p ,..p сандары p =2 + 1,i = 1,2,…m,α=2 болса (k,β – натурал сандар),ондай көпбұрышты салуға болады,бұл шарттар орындалмаса,- салуға болмайды.Мәселен,Гаусс теоремасы бойынша қабырғаларының саны 16,24,40,17,257,... болатын дұрыс көпбұрыштарды салуға болады,7,9,18,19,26,... қабырғасы бар көпбұрыштарды циркуль мен сызғыш арқылы салуға болмайды.Гаусстың бұл табысы – үлкен жаңалық. Карл мұнымен тоқтап қалған жоқ,студент кезінде өзінде-ақ ғылыми зерттеулермен айналыса берді,оларының нәтижелері кейін жарияланды.

1798 жылы Гаусс Геттинген университетін бітірді,1799жылы Хельмштедт университетінде философия ғылымының докторы дәрежесін,Брауншвейгте приват-доцент атағын алды.

1801жылы Гаусс өзінің "Арифметикалық  зерттеулер" атты әйгілі шығармасын  жариялады.Бұл үш бөлімнен құралған  үлкен еңбек сандар теориясын жүйелі ғылымға айналдырды.Геомерияның,алгебраның,анализдің бірталай күрделі мәселелерін Гаусс арифметика заңдарсына сүйеніп шешті.Сондықтан ол арифметиканы өте жоғары бағалады.Фурье матемтиканың негізгі арнасы ретінде математикалық анализді түсінген болатын.Гаусс бұл рольді арифметикаға береді.Сөз болып отырған кітабында ол былай дейді: "Ғылымдардың бекзадасы – математика,математиканың бекзадасы - арифметика".Гаусс латын тілінде "принципес" деген,бұл сөзді Батыс Европа тілдерінде "корорль" немесе "королева" дейді,орыс тілінде "царь" мен "царица" деп аударылады.Қазақ тарихында король да,царь да болмағандығын еске алып, біз "бекзада" деп келтіріп отырмыз.Осыдан кейін Гауссты замандастары "математиктирдің бекзадасы" деп атап кеткен(латынша - "Математикорум приципс").

"Арифметикалық зерттеулері" үшін Гаусс бірнеше сыйлық және медаль алды,бірақ қалам ақысы мардымсыз болды.Приавт-доцент ретінде айына 8-ақ талер жалақы алды.Сондықтан ғалымның күн көрісі мүкі-тапы болды.1801жылы 31қаңтарда Петербург академиясы оны өзінің корресподент мүшесі етіп сайлады.

Гаусс астрономиямен де шұғылданатын.Сол кезде ол неміс астрономдары Г.Ольберспен және Ф.Бессельмен танысып,достасып алған болатын.Астрономиялық зерттеулер жүргізуге Петербургтен гөрі Геттинген қолайлы,өйткені Геттинген аспаны  көбінесе бұлтсыз болады.Герцог Геттингенде обсерватория салдырмақшы болып және оны басқаруды Гауссқа тапсырмақшы болып уәде етті.Гаусстың Германияда қалуының екінші себебі осы болды.Обсерватория 1811жылы салынып бітті,1807жылдан өмірінің ақырына,1855жылға дейін Гаусс оның директоры болды.Өзі сол обсерваторияның жанында салынған үйде тұрды.

Гаусс ұзақ жылдар бойы Геттинген университетінде математикадан,физикадан,астрономиядан сабақ берген.Оны Берлин университеті шақырқаған,бірақ Гаусс Берлинге бармаған.

1849жылы 16шілдеде Геттинген университеті  Гаусстың ғылыми жұмыстарының 50жылдығын  атап өтті.Оған Геттинген мен  Брауншвейгтің құрметті азаматы  атағы берілді.Шетелдерден көптеген  дипломдар келді.

Жас кезінде Гаусстың денсаулығы жақсы болған,ол дамыл көрмей күнделікті жұмысын атқара берген,өмір бойы екі-ақ рет дәрі ішкен,дәрігерлерге сенбеген.Медицинаның мешеу,жақсы жәрігерлердің тапшы заманында,мүмкін онысы дұрыс болғанда шығар.Жасы 70-ке келгенде күш-қуаты қайта бастаған,ұйқысы қашып,тынысы тарылып,көмейіне қақырық толып,ауыра берген.Саяхат жасап,демалуға уақыты болмаған,Ганновер – Геттинген темір жолы салынып біткенде осы жол мейрамына ғана барған,туған жері Брауншвейгтегі,қызмет істеген жері Геттингендегі,барып қайтқан Хельмштедт пен Бременді білген,Германияның басқа қалаларында болмаған.

Гаусс жартасқа шыққан жалғыз қарағайдай өмір сүрген,жастар арасында сирек болған,университетте лекцияларын оқығанна кейін обсерваториясына кетіп қалатын болған,жиналыстарға қатынаспаған,саясат мәселелеріне көңіл бөлмеген,өз идеяларын дамыта берген,өзге ғалымдардың еңбектері жөнінде жарытымды пікір айтпаған.Ол көшеде келе жатқанда да ойланып жүрген,ондайда кездесе қалатын жолдастарын да танымайтын болған.Ешбір ғалымның еңбегіне таңданбаған,бірақ ешкімнің еңбегін жамандамаған.

Карл Фридрих Гаусс 1855жылы ескі стиль бойынша 23ақпанда жүректің ұлғаюынан қайтыс болған.Оның 40жыл ұстаған қалта сағаты да дәл сол минутта тоқтап қалған.26ақпанда Геттингенде жерленген.Ғалымды соңғы сапарға шығарып салуға көп халық қатынасқан.Гауустың зираты темір шарбақтармен қоршалған,басына ескерткіш орнатқан.

1863-1933жылдары Геттинген ғылыми  қоғамы 12том етіп Гаусс шығармаларының  толық жинағын бастырып шығарды.1875-1925жылдары  бұл жұмысты атақты неміс матемтигі  Феликс Клейн басқарды.Клейннің  басшылығымен "Гаусстың ғылыми  өмірбаянына қатысты материалдар" (8том) жарияланды.

 Ғылым атты мұхиттың көкжиегін көрем деп,Гаусс өмірінің соңғы жиырма жылында аяқ аттап сыртқада шықпапты

 

 

2. Гаустың ғылыми еңбектері

 

Гауссты жұрт "математиктер бекзадасы" деп текке айтқан жоқ.Ол ірі – ірі табыстарға жетті,таза матемтикадан,қолданбалы математикадан,физикадан т.с.с тамаша жаңалықтар ашып,ғылымды байытып кетті.

Гаусстың ең алдымен айналысқаны "үш ұлы А" – арифметика, алгебра, анализ.Геометрияға ол ғалым ретінде қалыптасқан кезінде келді.

Одан кейін,1799жылы Хельмштедте алгебраның негізгі теоремасының дәлелдемесіне арналған диссертация қорғайды.Бұл диссертацияда коэффициенттері нақты сандар болатын кез келген алгебралық теңдеудің ең кемінде бір түбірі болатыны,сондықтан теңдеудің түбірлерінің саны дәрежесімен бірдей болатындығы жөнінде ең бірінші қатал дәлелдеме береді.Бұл теореманың дәлелдемесін көп математиктер Гауссқа дейін де қарастырған,олардың ішінде Альберт Жирар,Жан Даламбер т.б бар.Осы соңғы жұмысында ол ешбір жерде жорымал шамалар туралы айтпайды,ол тек кез келген полиномды бірінші не екінші дәрежелі көбейткіштерге жіктеуге болмайтыны туралы ғана айтады.

Келесі үлкен жұмысы кешігіңкірей 1801жылы ғана жарияланған "Арифметикалық зерттеулер".Бұл кітапта Гаусс қазіргі сандар теориясын толық құрды деуге болады.Ең қызығы бұл кітапқа кірген жаңалықтардың бәрін ол өз ойынан,ешкімнің ықпалынсыз табады.Осындағы мәселелермен байланысты Эйлер,Лагранж және Лежандрдың жұмыстарымен,кейінрек Геттингенде ғана танысады.Бұл шығарма үш бөлімнен құралған.Бірінші бөлімі квадраттық қалыңдылар теориясына арналған.Онда сандар теориясының негізгі теоремасы - өзаралықтың квадраттық заңы дәлелденген.Бұл теореманы Гаусс "алтын теорема" дейтін. "Арифметикалық зерттеулердің" екінші бөлімінде Гаусс квадраттық формалардың теориясын қарастырған.Мұнда ол ax² + 2bxy + cy² өрнегінің a,b,c бүтін сандар болғанда х пен у – тің бүтін мәндерінде қандай шамаларға тең бола алатынын зерттейді.Ал кітаптың үшінші бөлімінде дөңгелекті бөлудегі хⁿ=1 теңдеуінің квадрат радикалдар арқылы шешілуі зерттеледі.Бұл шығармада барлық дәлелдемлер өте қатал,дедукция әдісімен жүргізіледі,қарастырылып отырған мәселелердің мағынасы туралы ешбір сөз жоқ,сондықтаг оны оқу өте қиын.

Алгебрада Гаусс көбінесе жоғарыда айтылған "негізгі теоремамен" айналысқан.1799жылы дәлелдемеден кейін 1818жылы жаңа дәлелдеме келтіреді, ал 1826жылы басқс әдістермен үшінші дәлелдемесін табады.Бұл соңғы дәлелдеме комплекс жазықтықтағы қос интегралдарда қолданылады.Ал 1849жылы 50жылдығымен және докторлық атағын алуымен байланысты,Гаусс ең бірінші дәлелдемеге қайта оралды.

Гаусстың анализдегі еңбектерін жалпы алғанда үшке бөлінген үлкен бір жұмыс деп қарастыруға болады.Оның бірінші бөлімі –

F(α,β,γ,x) = 1 +

x² + …

гипергеометриялық қатар туралы жазған.Мұнда қатарлардың жинақты болуының алғашқы критерийлері келтірілген.

 Екінші бөлімде коэффициенттері х – ке рационал түрде тәуелді болатын дифференциалдық теңдеулерге арналған зерттеулер болды.Бұл теңдеулер үшін гипергеометриялық қатар дербес интгерал болар еді,олар эллипстік модуляр функциялармен байланысты болар еді.Ал үшінші бөлімде жалпы эллипстік функциялардың теориясы орын алу керек еді.Бірақ бұл екінші және үшінші бөлімдерде болуға тиісті мәселелер туралы Гаусс ешқандай еңбек жарияламады,бұлар жөніндегі зерттеулері тек оның өзі қайтыс болғаннан кейін,оның қағаздарының арасынан табылды.Кейін бұл мәселелер туралы Абель(1825) мен Якоби(1827) құнды зерттеулер жариялады.

Гаусс өз еңбектерін жариялауға еш уақытта асықпайтын,ол өзінің дәлелдемелеріне өте қатал қарайтын."Егер зерттеліп отырған мәселеден әліде біраз жұмыс істеу мүмкін болса,- дейтін Гаусс,- ол зерттеуді аяқталған еңбек деп есептеуге болмайды".Оның үстіне Гаусстың ойынан әр қашан да түрлі есептер мен проблемалар шықпайтын,кейде бір мәселені зерттеп отырғанда көңілі басқа ойға түсіп кететін.

1821- 1823жылдары ол өзінің ең  кіші квадраттар әдісін жариялады.Осы  жылдары ол дифференциалдық геометриямен  көп айналысады,табылған нәәтижелерін "Қисық беттер туралы жалпы зерттеулер" деген жұмысында жариялайды(1827жылы).Бұл жұмыста алдымен беттің беті мен нүктесіндегі иілімнің шамасы және толық иілім деген ұғым анықталады.Содан кейін ол

dS² =Edu² + 2Fdudv + Gdv²

формула арқылы, ds сызықтық элементі квадраттық форма реттінде өрнектейді.Мұнда тағы бір қызықты теорема дәлелденді.Ол теорема бойынша беттің толық иілімі тек қана E,F,G және солардың туындыларынан ғана тәуелді болады,ал онда толық иілім беттің майысуынан өзгермейтін болып шығады.Бұл да дифференциалдық геометрияның бір негізгі теоремасы.Гаусстың дифференциалдық геометрияға дейінгі Монж көзқарасы басқа.Гаусстың зерттеулерінен беттердің ішкі геометриясы шығады.

Гаусс ат басын тіремеген математика салалары кемде-кем.Ол бұлардың әрқайсысында елеулі із қалдырды.Гаусс жиырма төрт жасында "қарандаштың ұшымен" Церара планетасын тапты.

Электромагнитизимнің математикалық теориясымен,жердің тартылу  күшімен,диоптрикамен,аэродинамикамен,электростатикамен,геодезиямен,капилярлық теориясымен айналысты.

 

 

2.1 Гаусс теоремасы

 

Гаусс теоремасы (Гаусс заңы) — электродинамика заңдарының бірі болып табылады және де ол Максвелл теңдестіру жүйесіне жатады. Ол тұйықталған үстіңгі бет арқылы және  көлемдегі қуатпен электр өрісі кернеулігі ағындары аралығында байланысты көрсетеді (атап айтқанда, теңдік дәлдігімен тұрақты коэффициентке дейін). Гаусс теоремасы  электростатикалық өрісті есептеу үшін жеке қолданылады.Сонымен қатар Гаусс теоремасы теориялық физикада терең мағынаға ие.

Гаусс теоремасы - электр динамикада электр статикасының S тұйық бет арқылы өтетін электр индукциясының (D) сол бетті қамтитын көлем (V) ішіндегі зарядқа (Q) пропорционалдығын тұжырымдайтын негізгі теорема.

СГС	СИ

 

 

мұндағы 

•  — тұйық   бет арқылы өтетін электр өрісі кернеулігінің ағыны.
•  —   беті қамтып тұрған көлем ішіндегі толық заряд.
•  — электр тұрағы.

Бұл өрнек теореманың интегралдық түрі.

Ескерту: кернеулік векторының ағыны беттің ішіндегі үлестіріліміне (зарядтардың орналасуына) байланысты емес.

 
 Дифференциалдық түрінде Гаусса теоремасы былай жазылады:

 

СГС	СИ

Мұндағы   — еркін зарядтың көлемдік тығыздығы (орта бар кезде — еркін және байланысты зарядтар қосындысының тығыздығы), ал   — набл операторы. Бұл формула электрмагниттік өріс үшін Максвелл теңдеулерінің 4-нің интегралдық түрі және ол электр зарядының электр өрісінің көзі екендігін дәлелдейді.

 

2.2 Гаусс проекциясы

 

Гаусс проекциясы - жер эллипсоидінің бетін нүктелік сәйкестік заңы бойынша жазықтыққа кескіндеу әдісі. Гаусс проекциясында картографиялық проекциялардағы ауытқулар қарапайым және тұжырымды түрде есептеледі.

Теңбұрышты кескіндегі координат жүйесі енді,ол Гаусс-Крюгер кескіні деп аталды.Оны немістің көрнекті ғалымы Карл Фридрих Гаусс гановер триангуляция жұмысы үшін енгізген болатын(1821-1825ж.ж).Оны 1912 және 1919жылдары неміс геодизияшы Л.Крюгер жетілдірді.Содан бері ол Гаусс-Крюгер кескіні деп аталып кетті. Гаусс- Крюгер кескінінде геометриялық түсіндіру жоқ.Ол изотермиялық координаттан дәрежелік құрамға кешендік қызметті жіктеп аналитикалық жолмен алынған. Гаусс- Крюгер кескіні үш шартпен анықталады: ол теңбұрышты,ұзындығын орта меридианада сақтайды және орта меридианадан экваторға біршама симметриялы.Ол құрамы бойынша көлденең цилиндрлік кескін болып табылады.Цилиндр аймақтың орта меридианына қатысты,және осы цилиндрге барлық аймақ,жоғарыда аталған үш шартты сақтай отырып жобаланады. Гаусс- Крюгер кескініндегі жер эллипсоидының беті үш немесе алты градусты аймақтарға,шектеулі меридиандармен полюстен полюске дейін бөлінеді.

Гаусс кез келген алгебралық теңдеудің түбірі a + bi(комплекс тсан) түрінде болады деді.Мұндағы a мен b – нақты сандар,ал iti = -1.Бұл жаңа санды ол комплекс сан,ал i – ді жорамал бірлік деп атады.Комплекс санды жазықтық нүктелері ретінде бейнелеуге болады.Декарт координаталарындағы A(a;b) нүктесі a + bi комплекс санын көрсетеді.

Гаусс саны — а + bi комлекс саны, мұндағы а және b - бүтін сандар, i - жорымал бірлік (i=√-1). Бұл сандарды Гаусс 1825 жылы енгізген. Формальды анықтамасы:

.

Кез келген    гаусс саны мына квадраттық теңдеуді қанағаттандырады:

.

 

 

2.3 Гаусс әдісі

 

Сызықты теңдеулер жүйесінің шешімін табу үшін Гаусс әдісі өте тиімді болып табылады.

Гаусс әдісі (оны элементар түрлендірулер әдісі деп те атайды) – кез –келген тікбұрышты (квадрат емес) матрицалары бар теңдеулер жүйесін зерттеуге және шешімін табуға (жүйенің ақырсыз көп шешімі бар жағдайда да) мүмкіндік береді.

Теңдеулер жүйесін зерттеу – оның үйлесімді (немесе үйлесімсіз) екенін ,ал егер үйлесімді болса,онда жүйе шешімінің қанша болатынын анықтау деген сөз.

Гаусс әдісінің негізі болып – элементар түрлендірулер болып саналады.

Сызықты теңдеулер жүйесін шешудің Гаусс әдісінің мағынасы мынада: "берілген теңдеулер жүйесінде қарапайым түрлендірулер қолдану арқылы айнымалыларды біртіндеп жою бойынша оны баспалдақты түрге келтіру". 
Содан соң кері есептеулер жүргізіп жүйенің шешімі табылады. Берілген жүйеге қолданылатын барлық түрлендірулерді сызықты теңдеулер жүйесінің матрицаларына қолдануға болады.

F өрісінде анықталған теңдеулер жүйесі берілсін.

                                                                                    (1)

 

Егер 0 болса, онда белгісіздердің орнын ауыстырамыз. ≠0 болсын. Жүйенің 2 – ші теңдеуінен бастап - ден арыламыз.Ол үшін 1 –ші теңдеуді - ге көбейтіп 2 – шіден алып тастаймыз және - ге көбейтіп үшінші теңдеуінен аламыз.Осы процесті жалғастыра берсек мынадай теңдеулер жүйесін аламыз

 

                                                                               (2)

 

Бірінші теңдеу өзгеріссіз қалады. Енді екінші теңдеуден бастап жоғарыдағы процесті қайталаймыз,яғни үшінші теңдеуден бастап - ден арыламыз.Сонда мынадай теңдеулер жүйесін аламыз.

 

                                                              (3)

Жоғарыдағы процесті үшінші теңдеуден бастап қолданамыз.Осы процесті жалғастыра берсек,онда мынадай екі жағдайдың біреуіне келеміз.

1. теңдігі орындалуы боуы мүмкін.Онда берілген жүйенің шешуі жоқ.

2. Бірінші жағдай орындалмаса,онда  бірнеше қадамнан кейін мынадай  жүйені аламыз:

  ≠0, ≠ 0, ≠ 0.                               (4)

 

Бұл жағдайда (1) жүйе үйлесімді болады.Егер r = n болса жүйе анықталған,ал егер r < n  болса жүйе анықталмаған болады.Егер r = n болса,онда

 

 жүйесін аламыз.                                                          (5)

 

Соңғы теңдеуден - ді тауып, оны алдындағы теңдеуге қойсақ - ді табамыз және т.с.с.

Егер r < n ,болса, ,..., бос белгісіздер деп аталады да кез-келген мән қабылдайды.Төменнен жоғары жылжи отырып - дің мәндерін табамыз.Бос белгісіздер кез-келген мән қабылдағандықтан бұл жағдайда берілген жүйенің көп шешуі болады.

Мысалдар:

 

1) ↔ 2, -3,  -1.

Жүйенің бір шешуі бар.

 

2) Шешуі жоқ.

 

 

3) Шексіз көп шешуі бар.

 

 

 

2.4 Сандар сыры

 

    Карл Гаусс математиканың сан салаларын сарапқа сала келіп арифметиканы "математика патшасы" деп бағалаған. Ал арифметиканың негізгі ұғымы-сан.

       Шындығында, арифметиканың өзі айрықша ғылым болып бертінде қалыптасқанмен,оның басты ұғымы-сан ұғымы өте ертеде, адамзат жазу, сызуды білмеген заманда пайда болған.

        Адам баласының ең бірінші қолдана білген математикалық амалы санау болды. Тіпті аз ғана санды білетін жабайы тайпалардың өзі көп нәрседен тұратын жиындарды санауға дейін әрекет жасаған. Бұл жағынан қарағанда адам саннан бұрын-ақ «санауды», «түгендеуді» білген деуге болады. Қайта осы санау, түгендеу әрекеттері негізінде сан ұғымы туады, біртіндеп кеңейеді. Ежелгі қазақтар төрт түлік малдарын санамай түгендеуі осының нақты мысалы. Ел  аузындағы «түгендеймін санамай» деген сөз тіркесі осыны аңғартады. Осы сияқты олар кейде  бір қора қойдың өзін жасына қарай бөліп, әрбір төлді бөлек-бөлек түстеп түгендейтін болған. Бұл, әрине өте ерте кездегі санау тәртібінен қалған сарқыншақтар.

   Алайда, көз мөлшермен санау практикасы адам баласының мұқтаждығын аса қанағаттандыра алмаған. Түстеп санау арқылы түгенделетін  заттың көп-аздығы, бары-жоғы  ажыратылғанмен, санмен келтірілген басқа негізгі міндеттері (мәселен, «мен 20 қоян әкелдім» дегенді білдіру сияқты) орындау мүмкін болмады. Мұндай жағдай да адамдар саусақпен  санауға ұмтылған. Торрес бұғазының батыс жағалауын мекендейтін кейбір австралиялық жабайы тайпалар адамның дене мүшелері арқылы 33-ке дейінгі санды өрнектей алады екен. Егер саналатын заттар 33-тен асып кетсе, олар таяқшаларды пайдаланады. Ертеде қойшылар таяқтарына  баққан қойының санына сай келетін кертікшелер белгілеу арқылы қойының  есеп-қисабын алып отырған.

         Бұл қарсаңда да сан тең мөлшерлі жиындардың  бәріне ортақ, тұрақты қасиетін көрсететін ерекше математикалық ұғым болып қалыптаса қоймады.  Мұнда тек бір жиындағы  нәрселер сондай мөлшерлі басқа бір жиынмен ауыстырылды. Мысалы, қорадағы қой саны мен таяқтағы кертік саны мөлшерлес.