Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Магические квадраты

Муниципальное общеобразовательное учреждение-средняя общеобразовательная школа № 9

Тема исследовательской работы: «Магические квадраты»

Выполнила: Самойлова Владлена ученица 8«Б» класса

Руководитель: Слегина Инна Валентиновна, учитель математики первой квалификационной категории

г.Куйбышев

2009 год

План.

1.Введение.

2.Из глубины веков.

3.Вопросы и ответы.

4.Построение магического квадрата чётного и нечётного порядка.

5.Гимнастика для ума.

Цель:

Расширить знания о магических квадратах.

Задачи:

1.Проанализировать литературу по теме.

2.Рассмотреть данную тему на примерах работ известных математиков.

3.Изучить виды магических квадратов.

4.Рассмотреть способы построения магических квадратов.

Введение

В незапамятные времена, научившись считать, люди познали меру количества – число. Вглядываясь в сочетания чисел, они с изумлением увидели, что числа имеют какую-то самостоятельную жизнь, удивительную и полную тайны; тайны необъяснимой и поэтому загадочной и многозначительной... Оказалось, что, располагая числа правильными рядами, один под другим, в случае удачи можно, складывая их слева направо и сверху вниз, каждый раз получать одно и то же число. Наконец, кто-то придумал разделить числа линиями так, что каждое из них оказалось в отдельной клетке, как птицы в доме птицелова. Так посвященные увидели квадрат, населенный числами, неизвестно что сулящий его владельцу, но, конечно, обладающий магической силой.

Е.Я. Гуревич. Тайна древнего талисмана

Из глубины веков

Священные, волшебные, загадочные, таинственные, совершенные.…Как только их не называли! «Я не знаю ничего более прекрасного в арифметике, чем эти числа, называемые некоторыми планетарными, а другими – магическими», - писал о них известный французский математик, один из создателей теории чисел Пьер де Ферма. Привлекающие естественной красотой, наполненные внутренней гармонией, доступные, но по-прежнему непостижимые, скрывающие за кажущейся простотой множества тайн.… Я решила познакомиться с магическими квадратами – удивительными представителями воображаемого мира чисел.

Магическим квадратом n-го порядка называется квадратная таблица размером n * n, заполненная натуральными числами от 1 до n в квадрате, суммы которых по всем строкам, столбцам и обеим диагоналям одинаковы. Различают магические квадраты четного и нечетного порядка. Поля таблицы, в которых записывают числа, называются клетками магического квадрата, а сумма чисел, стоящих в любой строке, столбце или на диагонали, - его постоянной.

Магические квадраты возникли в глубокой древности в Китае. Вероятно, самым «старым» из дошедших до нас магических квадратов является таблица Ло шу (ок.2200 г. до н.э.). Она имеет размер 3*3 и заполнена натуральными числами от 1 до 9. В этом квадрате сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали равна 15. (Рис. 1)

Рис. 1

Согласно одной из легенд, прообразом Ло шу стал узор из связанных черных и белых точек, украшавших панцирь огромной черепахи, которую встретил однажды на берегу реки Ло-шуй мифический прародитель китайской цивилизации Фуси. Жители Поднебесной считали таблицу Ло шу священной, у них даже не возникало мысли о составлении аналогичных квадратов большего размера, поэтому последние стали появляться только три тысячелетия спустя.

Из Китая магические квадраты распространились сначала в Индию, затем в Японию и другие страны. На Востоке их считали волшебными, полными тайного смысла символами, и использовали при заклинании. На рис. 2 изображен магический квадрат 4-го порядка, известный еще древним индусам. Он интересен тем, что сохраняет свойства быть магическим после последовательной перестановки строк (столбцов).

Рис. 2

Название магические квадраты получили от арабов, которые усмотрели в их свойствах нечто мистическое и потому принимали квадраты за своеобразные талисманы, защищавшие тех, кто их носит, от многих несчастий. К удивительным квадратам проявляли интерес и средневековые арабские математики, приводившие их примеры в своих сочинениях.

Древние греки были знакомы с простейшим (3-го порядка) магическим квадратом. В одном из арабских манускриптов конца 8 века упоминается его автор - философ-новопифогорец Апполон из Тиана, живший в начале нашей эры.

Европейцев с удивительными числовыми квадратами познакомил византийский писатель и языковед Мосхопулос. Его работа была первым специальным сочинением на эту тему и содержала примеры магических квадратов разного порядка, составленных самим автором.

В Средневековой Европе, как и на Востоке, магическим квадратам часто приписывали различные мистические свойства. Поэтому не удивительно, что они пользовались особой популярностью у прорицателей, астрологов и врачевателей. Бытовало даже поверье, что выгравированный на серебряной платине магический квадрат защищает от чумы.

В начале 14 века знаменитый художник Альбрехт Дюрер увековечил магический квадрат в искусстве, изобразив его на гравюре «Меланхолия» (Рис. 3)

Квадрат Дюрера имеет размер 4 на 4 и составлен из шестнадцати первых натуральных чисел, сумма которых в каждой строке, столбце и на диагонали равен 34. Оказывается, 34 равны и суммы других четверок чисел: расположенных в центре, в угловых клетках, по бокам центрального квадрата (рис.4,а), а также образующих четыре равных квадрата, на которые можно разделить исходный квадрат (рис.4 б). А вот числа 15 и 14 в нижней строке квадрата указывают дату создание гравюры-1514 г.

Рис. 4, а

Рис. 4, б

Вопросы и ответы.

У меня возник вопрос: «Почему не существует магического квадрата 2-го порядка?». Я нашла ответ в журнале «Математика для школьников».

Ранее отмечалось, что квадрат 3-го порядка является самым простым. А почему не существует магический квадрат 2-го порядка?

Квадрат размером 2*2 должен был бы состоять из чисел 1,2,3,4, а его постоянная – равняется 5. У такого квадрата по две строки, столбца и диагонали. Итого шесть. Чтобы квадрат стал магическим, надо представить число 5 в виде суммы двух данных чисел шестью различными способами, но это сделать не возможно! Ведь таких комбинаций всего две: 1+ 4 и 2+3. Как ни расставляй числа в клетках таблицы, их сумма будет равна 5 либо в каждой строке, либо в обоих столбцах, либо по диагоналям (рис 5), но никак не одновременно.

Рис.5

Как построить магический квадрат?

Задача на построение магических квадратов является классическим образцом математических развлечений и головоломок. О ней я и хочу поговорить.

Как самим построить магический квадрат? Эта задача легко решается для

n =3. А как быть при других значениях n?

Поиском способов составления магических квадратов занимались в разное время многие математики. Известные на сегодня правила построения таких квадратов делятся на три группы в зависимости от порядка квадрата; некоторые из них мы рассмотрим ниже. Однако общего метода построения, годящегося для всех квадратов, до сих пор не существует.

Построение магического квадрата нечетного порядка.

Вновь у меня возник вопрос: «Как построить магический квадрат нечетного порядка?».

Я рассмотрела два метода построения магического квадрата нечетного порядка, описанные французским математиком 17 в. Баше де Мезириаком и де Лялубером.

Метод Баше проиллюстрирую на примере построения магического квадрата 5-го порядка.

Все натуральные числа от 1 до 25 записаны в клетках по диагонали (по 5 в ряд) так, чтобы получился диагональный квадрат (Рис.6)

				1
			6		2
		11		7		3
	16		12		8		4
21		17		13		9		5
	22		18		14		10
		23		19		15
			24		20
				25

Рис. 6

В центре выделен квадрат размером 5 *5. Он и составит основу будущего магического квадрата. (Рис. 7)

				1
			6		2
		11		7		3
	16		12		8		4
21		17		13		9		5
	22		18		14		10
		23		19		15
			24		20
				25

Рис. 7

Каждое число, находящееся вне центрального квадрата, перенесено внутрь - к его противоположной стороне, сдвигаясь при этом на 5 клеток.

Магический квадрат готов (Рис. 8)

Рис 8.Магический квадрат нечётного порядка. Метод Баше.

Я поясняю метод де Лялубера на примере построения квадрата 5-го порядка. Если поместить число 1 в центральную клетку верхней строки. Остальные натуральные числа расположить в порядке возрастания циклически по диагонали снизу вверх и справа налево.

Рис. 9

Дойдя до верхнего края квадрата, заполнить диагональ, начинающуюся в нижней клетке следующего столбца. Дойдя до правого края квадрата, перейти к диагонали, выходящей из левой клетки строкой выше. Дойдя до уже заполненной или до угловой клетки, опуститься на одну клетку вниз и продолжить процесс заполнения. В последней клетке будет число 25.

В результате получится магический квадрат, изображенный на рис. 9.

Рис. 9 Магический квадрат нечётного порядка. Метод Лялубера.

Построение магического квадрата четного порядка

Я рассмотрела простой метод построения магического квадрата n-го порядка, где n=2, k>2.

Рассмотрела его на примере магического квадрата 8- го порядка, составленного из натуральных чисел от 1 до 64. Метод включает следующие шаги.

1.Разделила исходный квадрат на квадраты 4-го порядка. В каждом из них закрасила все клетки, лежащие на обеих диагоналях.

2. Заполнила клетки построчно данными числами, двигаясь слева направо и сверху вниз, пропуская при этом те из них, что соответствует закрашенным клеткам (рис.10).

Рис. 10

3 Выделенные на первом шаге клетки заполним пропущенными числами в порядке возрастания, двигаясь, справа налево и снизу вверх.

Магический квадрат построен (Рис. 11)

Рис. 11

Я построила магический квадрат 4-го порядка, пользуясь простым методом построения магического квадрата четного порядка (Рис. 12).

16	2	3	13
5	11	10	8
9	7	6	12
4	14	15	1

Рис. 12

Дьявольские квадраты

Кроме уже перечисленных магических квадратов существуют магические квадраты, которые можно назвать удивительными. Например «Дьявольский квадрат». Если его верхнюю строку переставить вниз или наоборот нижнюю строку поместить наверх, а так же если вычеркнуть последний столбец справа или слева и приписать его к квадрату с противоположенной стороны, то он все равно останется «Дьявольским». Если из одинаковых дьявольских квадратов выложить мозаику (каждый квадрат должен вплотную примыкать к своим соседям) то получится нечто вроде паркета, в котором числа стоящие в любой группе клеток 4х4 будут образовывать дьявольский квадрат. Числа в четырёх клетках, следующих последовательно одна за другой, как бы они ни были расположены по вертикали, по горизонтали или по диагонали,- в сумме всегда дают постоянную квадрата (Рис.13 а, б).

Рис.13, а

Рис.13, б

Великолепная семёрка

Кроме «Дьявольского квадрата» удивительным можно назвать магический квадрат «Великолепная семерка. Он имеет размер 7x7 и содержит в себе магический квадрат размером 5x5. А магический квадрат 5x5 содержит в себе магический квадрат размером 3х3. Все эти квадраты имеют общее центральное число – 3407. В квадрат размером 7х7 входят 49 чисел. Все они оканчиваются цифрой 7 и все простые. Сумма цифр в верхнем

«треугольнике» равна сумме цифр в нижнем «треугольнике» (Рис.14).

1847	6257	6197	3677	1307	1877	2687
2267	1427	5987	5927	1667	2027	4547
2897	947	2357	4517	3347	5867	3917
3557	4157	4397	3407	2417	2657	3257
4337	5717	3467	2297	4457	1097	2477
4817	4767	827	887	5147	5387	1997
4127	557	617	3137	5507	4937	4967

Рис.14

Гимнастика для ума

А теперь предлагаю несколько задач на исследование и построение магических фигур.

Головоломка Оксфордского студента

Когда молчаливого и задумчивого Оксфордского студента убедили задать головоломку своим товарищам по путешествию, он сказал:

- Я тут как-то размышлял над охраняющимися от чумы и прочих зол таинственными талисманами, в которых замешаны магические квадраты.

Глубока тайна подобных вещей, а числа таких квадратов воистину можно назвать великими. Но та небольшая загадка, которую я придумал накануне для всей компании, не столько трудна, чтобы ее нельзя было решить, вооружившись ненадолго терпением.

Затем студент изобразил квадрат (Рис. 15) и сказал, что его надо разделить на четыре части (вдоль прямых), из которых можно было бы сложить магический квадрат.

Рис. 15

Ответ:

Решение показано на рисунке 16 а,б

Рис. 16 а Рис 16 б.

Магические квадраты 📙 Реферат → 🆔 139682