Малые колебания

Малые колебания.

1.Свободные  одномерные колебания.

 Очень распространенный  тип движения механических систем  это так называемые малые колебания,  которые система совершает вблизи  своего положения равновесия.

 Рассмотрим  наиболее простой случай, когда  система обладает всего одной  степенью 

свободы – эта  система называется  линейный  осциллятор. 

  Функция Лагранжа в случае

Устойчивому положению  равновесия соответствует положение, в котором потенциальная энергия имеет мнимое значение, т.е., где и  обобщенные силы, которые вызывают  колебания в потенциальной яме при отклонении тела от положения равновесия.                                                                          

 

 

  

                           

 Предположим,  что эти отклонения малы и  при малых отклонениях системы от положения равновесия разложит потенциальную энергию U(q) в ряд по степеням малости отклонений в окружности положения равновесия. 

  Произведем  масштабное преобразование координат,  т.е.будем отсчитывать потенциальную  энергию от  , U()=0

  Учтем, что   как точка минимума U(q) (на самом дне потенциальной силы).

  Обозначим и назовем  коэффициентом квазиупругой силы.

  Обозначим   –отклонение тела от положения равновесия, которое называется смещением. 

Перейдя в случае однородных колебаний к декартовой координате, т.е. 

  Обозначая,a(x)=m получим функцию Лагранжа для одномерных малых колебаний. Подставим в уравнение Лагранжа: 

дифференциальное  уравнение движения.

Вводя – собственная частота

Решение. Дифференциальное уравнение – второго порядка или его можно привести к виду – уравнение смещения для линейного гармоничного асцилятора, где Α - амплитуда, ωt+α-фаза, α- начальная фаза.

  Как его  получить? Исходим из уравнения  движения

По общему правилу  решения ищем решение в виде  

Общее решение  ДУ-2 запишем в виде суперпозиции двух уравнений 

т.к. x- это смещение, то это действительная величина, а  критерием действительности величины является в комплексном анализе  то, что 

  Тогда представим  const и   также в комплексной форме где a-модуль комплексного числа, мнимая часть числа , но тогда сравнивая их тогда

  Учитывая, получим мы пришли к выражению (1) где A=2a

Расписывая

Выражение (1) можно  представить в комплексной форме такой вид записи в комплексной форме намного удобнее тригонометрической, поскольку с экспонентами  легче работать. Часто пишут просто , и выполняя преобразования и дойдя до ответа необходимо просто в конечном ответе учесть что надо взять действительную часть числа и получим решение. В такой записи - комплексная амплитуда,a- амплитуда,- начальная фаза 

МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ  СВОБОДЫ (МНОГОМЕРНЫЕ  МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ)

  Функция  Лагранжа системы со многими  степенями свободы 

Рассмотрим малые  колебания вблизи положения равновесия, т.е. вблизи некоторой точки с координатами Это та точка, в которой потенциальная энергия имеет min т.е. экстремум.

1.Исследование  потенциальной энергии.

Вводя аналогично одномерным колебаниям малые отклонения тела от положения равновесия , которые будем называть смещением, разложим потенциальную энергию в ряд по степеням малости в окрестности положения равновесия 

  Отсчитывая  потенциальную энергию от  можно положить U(

Учтем что все

Введем обозначение -коэффициенты квазиупругой силы

Потенциальная энергия 

Причем коэффициент и на дне потенциальной ямы двойные производные должны быть «+» т.е. из коэффициентов можно составить матрицу- . Симметрическая матрица, которая в евклидовом пространстве представляет собой положительно определённую квадрируемую форму , где критерием положительной определенности такой квадрируемой формы является то, что определители все более высокого ранга должны быть положительны.

1)

2)

3) >0 т.е. и сама потенциальная энергия (1) так же является положительно определенной квадрируемой формой координат

2. Исследование кинетической  энергии

Т.к.

Обозначим это значение коэффициентов рассчитанные в точке равновесия, тогда кинетическая энергия т.е. и кинетическая энергия также является положительно определенной квадрируемой формой скоростей, где

3.Функция  и уравнение Лагранжа

Объединяя первое и второе, составим функцию Лагранжа малых многомерных колебаний (3) и подставим (3) в уравнение Лагранжа, которых будет n-малое штук. 

Найдем 

В любом случае ,

Аналогично

Собираем производные  в уравнение Лагранжа, получим (4) , но i=1,…,n.

Т.е. уравнение  движений для малых колебаний  представляют собой систему линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, и по общему правилу ищем решение в виде (5)

4.Характеристические  уравнения.

Подставляем (5) в (4) , т.к. (i=1,…,n)

Для этой системы  уравнений существует тривиальное  решение, когда все коэффициенты =0 (j=1,…,n), но оно нас не интересует . Но для того, чтобы эта система имела отличие от нуля  решения, необходимо чтобы обращался в нуль ее определитель, т.е. Выражение (7) называется характеристическим уравнением

  Это уравнение  служит для определения частот , это уравнение n-ой степени относительно . Решив его, мы находим n-малое частот (выбирая из них , т. е. те частоты, которые имеют реальный физический смысл). Именно такие частоты называются собственными частотами систем.

  После нахождения  частот, их необходимо подставить  в уравнение (6) и найти значение  коэффициента  матрица. Тогда решение уравнения это уравнение движения для первой из степеней свободы при многомерных колебаниях примет вид Каждая координата зависит от всех частот.

Если все корни  характеристического уравнения (7) различны, т.е.  то коэффициенты пропорциональны минорам определителя характеристического уравнения где комплексная постоянная, тогда общее решение , где - уравнение для однородного осциллятора. Сравнив с предыдущим пунктом, где мы начинаем понимать, что под мы можем понимать уравнение движения относительно отдельной степени свободы.

  Т.е. изменения  каждой из координат системы   со временем представляет собой положение n-простых периодических колебаний ,…, с произвольными амплитудами и фазами, частотами, но вполне определёнными частотами.

5)Колебания линейного осциллятора при наличии вынужденной силы.

  Т.к. колебания  малые, то и внешнее поле  будем полагать  достаточно малым,  иначе оно может вызвать большие смещения. Пусть, как и раньше - это собственная потенциальная энергия - потенциальная энергия квазиупругой  силы. Под действием внешнего поля система будет обладать также потенциальной энергией ,  где x - смещение

 Разложим в ряд по степеням малости смещение (x) в окрестности положения  равновесия , но эта функция только времени и по третьему свойству функции Лагранжа ее можно исключить, как полную производную над некоторой другой функции времени  
. Подставим в функцию Лагранжа для свободной колебательной системы

  Подставим  в уравнение Лагранжа , - дифференциальное уравнение движения

  Будем рассматривать частный случай, когда внешняя вынужденная сила имеет периодический характер где – частота начальная фаза

  Частный  случай: (2), но решение неоднородного дифференциального уравнения , где общее решение однородного уравнения, соответствующее уравнению движения свободного гармонического осциллятора

  Частный  интеграл не однородного уравнения  будем искать в виде ,подставим

  уравнение движения  линейного осциллятора  под действием  периодической вынужденной силы. Его движение представляет собой наложение двух колебаний с частотами и

Здесь возможны три случая:

1)Если колебания происходят в противофазе

2)Если  колебания происходят в фазе

3)Если  и это резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний, при совпадений собственной частоты колебательной системы и частоты внешней вынужденной силы. 

A

      Без трения 
 
 
 

                                

 Вблизи резонанса пользоваться уравнением (3) нельзя (оно дает неопределенность или дает стремление к бесконечности). Переобозначим постоянные и при некоторой новой const получим При второе слагаемое дает неопределенность типа , воспользуемся правилом Лопиталя.

  Продифференцируем  второе слогаемое по x с подстановкой   подставим обратно в (3)

  Вблизи резонанса амплитуда возрастает по линейному закону с течением времени.

 Для дальнейшего  исследования колебаний в близи  резонанса будем рассматривать  те частоты, внешние силы которой  отличаются от собственной на  бесконечно малую величину 

  Перейдем  в общем решении (3) к комплексной  форме , где Обозначим , тогда .  

A 

 По линейному  закону 
 

 

              

Такие колебания  происходят с изменяющей амплитудой, чтобы найти границы ее изменений  найдем квадрат . Но cos может принимать max и min значения cos(…)= Т.е. амплитуда вынужденных колебаний в близи резонанса сама изменяется по гармоническому закону, т.е. сама периодически изменяется в таких границах

 

  

 Явление биения

 

 
 
 

          6)Колебания линейного одномерного осциллятора под действием вынуждающей силы в общем случае.

  Из предыдущего  вопроса уравнение движения представим это выражение в виде Введем обозначения тогда (*) , где где Тогда частное решение неоднородного уравнения ищем в виде Подставим в (*) + ; ; ; Учтем что , но реальная часть , а мнимая часть

Найдем комплексное  число, но энергия- энергия колебательной системы Предполагаем начальную энергию системы равной нулю, найдем полную энергию передаваемую системе за все время действия силы от до . Энергия, передаваемая системе, определяется квадратом модуля Фурье компонента силы с частотой равной собственной частоте системы. И сравнивая энергию с выражением импульс, передаваемый системе вынуждающей силы.                                            

А если сила действует  кратковременно, если время действия силы много меньше периода собственных колебаний , то тогда для кратковременной силы

Т.е. кратковременная сила сообщает системе импульс не успев за это время произвести заметного смещения.

  МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ.

    1)Уравнение  движения для системы  с одной степенью  свободы.

  При взаимодействии  колебательной системы со средой  происходит потеря энергии. Процесс  движения в этих условиях уже  не является чисто механическим  т.к. необходим учет движения  как самой среды, так и учет  внутреннего теплового состояния  как среды так и тела. Т.е.  задача о движении тела в  среде уже не является задачей  механики (нужна молекулярная физика, термодинамика). Но если частота  колебаний системы много меньше  частоты, характерной для внутренних  диссипотивных процессов в среде,  то можно считать что на  тело действует сила трения  зависящая только от его скорости .

Диссипация- убыль  энергии в окружающую среду.

  Частота  колебания атомов и молекул  действительно на много больше  механических колебаний. Действительно,  мы вспомнили, что сила трения  зависит от скорости. Предполагая малой, разложим силу трения в ряд по степеням малости скорости в окрестности состояния покоя.

Учтем, что в  состоянии покоя

Обозначим ; и учтем что сила трения противоположна скорости, т.е. и тогда

И тогда необходимо добавить в уравнение Лагранжа потенциальную  силу взаимодействия со средой=

Эта сила трения действует на ранее свободный осциллятор функция Лагранжа, которая -собственная частота в отсутствии трения –коэффициент затухания, характеризующий взаимодействие движущего тела со средой

  Составляем  характеристическое уравнение ;

Тогда общее  решение такого дифференциального  уравнения будет уравнение движения для линейного осциллятора в присутствии трения

Возможны три  случая:

1)Путь некоторая новая const где – это собственная частота колебательной системы, которая становится меньше чем собственная частота без трения, поскольку внешняя среда задает движение.

Тогда уравнение смещения для линейного гармонического осциллятора в присутствии силы трения, если трение мало

Это гармоническое  колебание с экспоненциально  убывающей амплитудой.

                 

 
 

 

 

Предположение, что означает, что трение мало, т.е. в течении одного периода собственных колебаний, энергия колебательной системы не значительно диссипатирует в окружающую среду.

2)Пусть 

Обозначим

Никакой периодичности  здесь нет. Такой случай, возникающий  при большом трении, называется апериодическое затухание.

В течении одного периода энергия диссипирует  в окружающую среду

 

 

 

 
 

3)Если , тогда корни характеристического уравнения одинаковы и решение получается особый случай апериодического затухания.

          2)Диссипативная функция Релея и ее физический смысл.

  Если вернуться  к уравнению Лагранжа , то можно увидеть, что силу трения можно представить как производную по скорости от какай-то другой функции скоростигде – диссипативная функция Релея

Иначе уравнение  Лагранжа можно представить

Выясним смысл  этой функции, для этого найдем (T+U)=)=(--)=

  Диссипативная  функция определяет скорость  убывания энергии из системы.

  Т.к. при  диссипативных процессах энергия  из системы всегда убывает,  т.е. всегда

Диссипативная функция т.е. она должна быть положительно определенной квадратной формой скоростей. Это возможно только тогда, если

Это значит, что  при увеличении скорости движения тела, сила трения возрастает.

           3)Вынужденные колебания при наличии трения.

  Рассмотрим  колебания при наличии трения, если вынуждающая сила имеет  периодический характер

Тогда уравнение  движения в одномерном случае (см. 2 предыдущих  пункта)

Общее решение  такого неоднородного дифференциального  уравнения

Но решение  однородного уравнения – это  уравнение движения одномерного  осциллятора в присутствии трения – новая собственная резонансная частота в присутствии трения.

  Причем нас  интересует случай, когда коэффициент  затухания, в противном случае, когдабудет случай апериодического затухания и колебание отсутствует.

  Перейдем  в уравнении (1) к комплексной  форме

  учитывая, что  в конечном результате надо  взять действительную часть. Решение  не однородного уравнения ищем  в виде

Подставляем в  дифференциальное уравнение

Собираем все  в общее решение не однородного  уравнения

  В полученном  решении первое слагаемое действительно,  а второе – комплексное.

  Чтобы избавится от комплексного вида, надо суметь представить , в виде . Для этого умножим и разделим эту дробь на комплексно - сопряженные выражения, знаменателю =

Введем обозначения представленные экспоненты, для определения величины мы можем взять       

Подставим выражение  для const в общее решение

Величина начинает играть роль начальной фазы вынужденных колебаний в присутствии трения

  В течении  достаточно длительного времени  (при установившихся колебаниях ) первое слагаемое экспоненциально  стремится к 0 и в полученном  решении можно оставить только  со вторым слагаемых

Применим операцию взятия действительной части числа

Т.е. вынужденные  колебание в присутствии трения  происходят с частотой вынуждающей силы

  Исследуем  изменения амплитуды таких колебаний  при разных частотах  ;будем иметь, тогда, когда функция, стоящая под корнем, будет иметь min;

 

 
 

   

 

B(0)

 

0            

 

Найдем производную  функции                – новое значение резонансной частоты системы в присутствии трения

  Причем, при наличии трения будет меньше чем при резонансе без трения.

  В случае резонанса  с трением

1)Резонансная  частота

2)Амплитуда , но уже как в случае резонанса без трения.

 

B Резонанс без трения

      Резонанс  с трением

 

B(0)

  

          

 

  Подставим  значение резонансной частоты  и найдем max резонансного значения амплитуды .

  Амплитуда  колебаний при резонансе обратно  пропорциональна коэффициенту затухания чем больше , тем меньше