Математические методы экономического анализа

Министерство  Образования Кыргызской Республики

Кыргызско – Российский Славянский Университет

Кафедра Экономического Анализа 
 

На тему:

Математические  методы экономического анализа 
 
 
 
 
 
 

                                                                                                      Выполнили: Ушурова Мубаряк

                                                                                                                                     Раев Рустам

                                                                                                       Проверила: Акматалиева А. С. 

Бишкек 2011 
Математические методы:

1. Матричный метод
2. Теория игр
3. Теория массового обслуживания
4. Линейное программирование
5. Нелинейное программирование

1. Матричный метод экономического анализа

Наряду с другими  экономико-математическими методами в анализе хозяйственной деятельности находят применение также матричные  методы. Эти методы базируются на линейной и векторно-матричной алгебре. Такие  методы применяются для целей  анализа сложных и многомерных экономических явлений. Чаще всего эти методы используются при необходимости сравнительной оценки функционирования организаций и их структурных подразделений.

В процессе применения матричных методов анализа можно  выделить несколько этапов.

На первом этапе  осуществляется формирование системы  экономических показателей и  на ее основе составляется матрица  исходных данных , которая представляет собой таблицу, в которой по ее отдельным строкам показываются номера систем (i = 1,2,....,n), а по вертикальным графам — номера показателей (j = 1,2,....,m).

На втором этапе  по каждой вертикальной графе выявляется наибольшее из имеющихся значений показателей, которое и принимается за единицу.

После этого  все суммы, отраженные в данной графе  делят на наибольшее значение и формируется матрица стандартизированных коэффициентов .

На третьем  этапе все составные части  матрицы возводят в квадрат. Если они имеют различную значимость, то каждому показателю матрицы присваивается  определенный весовой коэффициент k. Величина последнего определяется экспертным путем.

Затем определяется рейтинговая оценка по каждой из анализируемых  систем по следующей формуле:

На последнем, четвертом этапе найденные величины рейтинговых оценок Rj группируются в порядке их увеличения или уменьшения.

Изложенные матричные  методы следует использовать, например, при сравнительном анализе различных  инвестиционных проектов, а также  при оценке других экономических  показателей деятельности организаций. 
 
 
 
 
 

2. Теория  Игр экономического анализа

     Цель  теории игр – выработка рекомендаций для различного поведения игроков  в конфликтной ситуации, т.е. выбор  оптимальной стратегии для каждого  из них. Различают два больших  класса игровых моделей: модели без  противодействия (или их еще называют «играми с природой») и модели с противодействием (действия конкурентов на рынке).

     Игры  с противодействием часто называют конфликтными ситуациями, которые широко распространены в обществе. Например, конкурентная борьба в экономике, в  спортивных соревнованиях, состязание сторон в ходе судебного заседания и т.д. Игровая модель, в отличии от конфликтной ситуации, строится по определенным законам, а игроки придерживаются определенных правил.

     Развитие  игры во времени представляется как  ряд последовательных «ходов». Ходы могут быть сознательные и случайные. Случайный ход – результат, получаемый не решением игрока, а каким либо механизмом случайного выбора (покупательский спрос, задержка с поставкой материалов и т.п.). Сознательный ход – выбор игроком одного из возможных вариантов действия (стратегий) и принятие решения о его осуществлении.

     Конфликтная же ситуация, строго говоря, развивается  спонтанно.

     Участниками игры (конфликтной ситуации) могут  быть минимум два человека (парная игра) или несколько человек (множественная игра). Игра развивается по оговоренным правилами. Игроки по очереди делают свои ходы. Естественно, перед каждым ходом игрок может или сохранить предыдущую стратегию или применить новую стратегию. Если игрок при выборе очередного хода придерживаются каких-либо правил, то такая игра носит название стратегической. Однако игрок во время игры может менять вариант своего поведения (но не правил), т.е. сменить стратегию.

     Возможные варианты (исходы) игры сводятся в прямоугольную  таблицу (табл. 1.1) – платежную матрицу, в которой строки соответствуют различным стратегиям игрока А, столбцы – стратегиям игрока В, ai j называется выигрыш первого игрока.

     Таблица 1.1

     Если  игра содержит ограниченное количество стратегий, то такая игра называется конечной. В противном случае – бесконечной.

     Стратегия, приносящая игроку максимальный выигрыш, называется оптимальной. Для нахождения оптимальной стратегии необходимо проанализировать все возможные стратегии и рассчитывать на то, что разумный противник на каждую из них будет отвечать такой, при которой выигрыш игрока А минимален. Обычно минимальные числа в каждой строке обозначаются α i и выписываются в виде добавочного столбца матрицы (табл. 1.2). В каждой строке будет свое α i = min aij . Предпочтительной для игрока А является стратегия, при которой α i обращается в максимум, т.е.

     α = max (min aij),

     где α – гарантированный выигрыш (максимин).

     Если  придерживаться максиминной стратегии, то при любом поведении стороны В (конкурента) гарантирован выигрыш, во всяком случае не меньше α . Поэтому α называют также ценой игры – тот гарантированный минимум, который можно обеспечить при наиболее осторожной (перестраховочной) стратегии.

     Очевидно, что аналогично распределения можно провести и для конкурента В, который должен рассмотреть все свои стратегии, выделяя для каждой из них максимальные значения выигрыша:

     β = min (max aij),

     которое дает минимаксный выигрыш, или минимакс.

     Такая β – стратегия – минимаксная, придерживаясь которой стороне В гарантировано, что в любом случае она проигрывает не больше β, поэтому β называют верхней ценой игры.

     Если  α = β = С, то число С называют чистой ценой игры или седловой точкой.

     Для игры с седловой точкой нахождение решения состоит в выборе пары максиминной и минимаксной стратегий, которые являются оптимальными, так как любое отклонение от этих стратегий приводит к уменьшению выигрыша первого игрока и увеличению проигрыша второго игрока по сравнению с ценой игры С.

     Таблица 1.2

     Наиболее  полно разработан математический аппарат  игр с нулевой суммой, когда  выигрыш одного игрока равен проигрышу  другого игрока, т.е. общая сумма выигрыша всех игроков равна нулю.

     При построении игровых моделей предполагается, что каждый из игроков будет выбирать только лучшую (для себя) стратегию.

     Результатом исследования игровой модели является определение наиболее осторожной стратегии поведение игрока, либо обеспечение гарантированного выигрыша (как правило, минимального), либо сведение к минимуму проигрыша. Риски при получении большого выигрыша не учитываются и не оцениваются.

     Таким образом, результаты исследования игровых  моделей указывают на оптимальную стратегию поведения (гарантированный выигрыш), а какой стратегией воспользуется игрок в реальной жизни – дело самого игрока. 
 
 
 
 

3. Теория  массового обслуживания

     Теория  массового обслуживания – вероятностные  модели реальных систем обслуживания населения, при которых время обслуживания будет минимальным, а качество – высоким, не будет излишних затрат.

     Теория  массового обслуживания впервые  применялась в телефонии, а потом  и в других областях хозяйственной  деятельности.

     Пик своего развития теория массового обслуживания достигла в 50-70-е годы. Затем интерес к теории массового обслуживания несколько ослабел. Это было связано с несколькими причинами, например, математической. Однако в последнее время снова возродился интерес к задачам теории массового обслуживания, обусловленный не только новыми проблемами, возникшими в практической жизни и особенно в областях, связанных с разработкой и применением вычислительной техники, но и новыми математическими подходами к их решению.

     Организация нормального процесса обслуживания покупателей связана с правильным определением следующих показателей: количество предприятий данного торгового профиля, численность продавцов в них, наличие соответствующих основных фондов, частота завоза товаров, численность обслуживаемого населения, плотность обращаемости и потребности в соответствующих основных фондов, частоты завозов товаров, численности обслуживаемого населения, плотности обращаемости и потребности в соответствующих товарах. Организации торгового обслуживания населения нужно выбрать такой оптимальный вариант, при котором время обслуживания будет минимальным, качество – высоким, не будет излишних хозяйственных затрат. Математический аппарат теории массового обслуживания облегчает решение этой задачи.

     Различают две формы обслуживания: с неявными потерями и с явными потерями.

     Теория  массового обслуживания представляет собой прикладную математическую дисциплину, занимающуюся исследованием показателей  производительности технических устройств  или систем массового обслуживания, предназначенных для обработки поступающих в них заявок на обслуживания заявок.

     При наличии одного канала обслуживания система массового обслуживания называется одноканальной, если их несколько  – многоканальной. Если источники  заявок включены в систему, она называется замкнутой, иначе – разомкнутой. Если несколько систем соединены последовательно, таким образом, что заявки, удовлетворенные в одной системе, переходят к следующей, возникает многофазная система массового обслуживания.

     Исполнение  заявки в системе продолжается некоторое случайное время, после чего освободившийся канал вновь готов к приему заявки. Если в системе допускается формирование очереди заявок, поступивших в моменты, когда все каналы заняты, они становятся в очередь и ожидают освобождения занятых каналов.

     В зависимости от допустимости и характера  формирования очереди различают  системы обслуживания с отказами, с неограниченной очередью и смешанного типа.

     Система с отказом имеет место, если формирование очереди не разрешено. Заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и не будет удовлетворена.

     Система массового обслуживания с неограниченной очередью представляет собой структуру, где разрешается очередь неограниченной длины. В такой системе поступившие  заявки будут обслужены, хотя время ожидания может оказаться довольно продолжительным.

     В системе массового обслуживания смешанного типа возможны различные  ограничения, например, на максимальную длину очереди, время пребывания заявка в очереди и т.д. в системе  с ограниченной очередью заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все места в очереди заняты. Заявка, попавшая в очередь, обязательно обслуживается. В системе массового обслуживания с ограниченным временем пребывания в очереди заявка становится в очередь и ожидает некоторое случайное время. Если она за это время не попадает на канал обслуживания, то покидает очередь. Такой вариант обслуживания применяется для моделирования входного контроля заголовок и имитации брака на операциях по обработке деталей.

     Основная  задача теории массового обслуживания – выявить зависимость показателей  эффективности системы от характера  входящего потока, дисциплины и ограничения  очереди, количества, производительности и условий функционирования каналов  с целью последующей ее оптимизации. В качестве критерия оптимальности применяют максимум прибыли от эксплуатации системы; минимум суммарных потерь, связанных с простоем каналов; минимум заявок в очереди и уходов не обслуженных заявок; заданную пропускную способность и т.п. в качестве варьируемых переменных обычно фигурируют количество каналов, их производительность, организация работы в одноканальном или многоканальном режиме, условия взаимопомощи между каналами, дисциплина очереди, приоритетность обслуживания и др.

     Основными элементами системы массового обслуживания являются источники заявок, их входящий поток, каналы обслуживания, выходящий поток. Многие понятия теории массового обслуживания можно проиллюстрировать на одном важном примере: взлет и посадка самолетов в крупном аэропорту - операция, представляющая интерес для многих людей, пользующихся этим видом транспорта.

     Во  многих задачах теории массового  обслуживания для определения необходимого показателя эффективности достаточно знать распределение входящего  потока, дисциплину очереди (например, случайный выбор, обслуживание в порядке поступления или с приоритетом) и распределение времени обслуживания. В других задачах нужно иметь дополнительную информацию. Например, в случае отказов в обслуживании нужно определить вероятность того, что поступившее требование получит отказ сразу после прибытия или через некоторое время, т.е. покинет очередь до или после присоединения к ней.

     Прежде  всего получим уравнение в  конечных разностях для рn(t), т.е. для вероятности того, что в интервале времени t в системе находится n требований (клиентов). После этого при надлежащих условиях перейдем к пределам пи t®¥ и получим формулу для рn, соответстветствующих сиационарному режиму исследуемого процесса.

Применение теории массового обслуживания

     Теория  массового обслуживания – прикладная область теории случайных процессов. Теория рассматривает вероятностные  модели реальных систем обслуживания. Она используется для минимизации  издержек в сфере обслуживания, в  производстве, в торговле. При этом учитываются факторы: ритм изменения числа клиентов или заявок, вероятностные соображения, например, каковы шансы столкнуться с необычно большим наплывом покупателей, способ определения издержек ожидания и улучшения обслуживания. Предметом ее исследования являются вероятностные модели реальных систем обслуживания, где в случайные моменты времени возникают заявки на обслуживание и имеются устройства выполнения заявок. Теория массового обслуживания исследует математические методы количественной оценки процессов массового обслуживания, качества функционирования систем, где случайными могут быть как моменты появления требований, так и затраты времени на их исполнение.

     Данная  теория позволяет изучать системы, предназначенные для обслуживания массового потока требований случайного характера. Случайными могут быть как моменты появления требований, так и затраты времени на их обслуживание. Целью методов теории является отыскание разумной организации обслуживания, обеспечивающей заданное его качество, определение оптимальных (с точки зрения принятого критерия) норм дежурного обслуживания, надобность в котором возникает непланомерно, нерегулярно.

     С использованием метода математического  моделирования можно определить, например, оптимальное количество автоматически действующих машин, которое может обслуживаться одним рабочим или бригадой рабочих и т.п.

     Типичным  примером объектов теории массового  обслуживания могут служить автоматические телефонные станции - АТС. На АТС случайным  образом поступают “требования” - вызовы абонентов, а “обслуживание” состоит в соединении абонентов с другими абонентами, поддержание связи во время разговора и т.д. Задачи теории, сформулированные математически, обычно сводятся к изучению специального типа случайных процессов.

     Исходя  их данных вероятностных характеристик  поступающего потока вызовов и продолжительности  обслуживания и учитывая схему системы  обслуживания, теория определяет соответствующие  характеристики качества обслуживания (вероятность отказа, среднее время ожидания начала обслуживания т.п.).

     Применение  системы массового обслуживания применяется в задачах, когда  в массовом порядке поступают  заявки на обслуживание с последующим  их удовлетворением. На практике это  могут быть поступление сырья, материалов, полуфабрикатов, изделий на склад и их выдача со склада; обработка широкой номенклатуры деталей на одном и том же технологическом оборудовании; организация наладки и ремонта оборудования; транспортные операции; планирование резервных и страховых запасов ресурсов; определение оптимальной численности отделов и служб предприятия; обработка плановой и отчетной документации. 

Рис. Классификация  сетей массового обслуживания 
 
 
 
 
 
 
 

4. Линейное  программирование

     Исследование  свойств общей системы линейных неравенств ведется с XIX в., а первая оптимизационная задача с линейной целевой функцией и линейными  ограничениями была сформулирована в З0-е годы XX в. Одним из первых зарубежных ученых, заложивших основы линейного программирования, является Джон фон Нейман, широко известный математик и физик, доказавший основную теорему о матричных играх. Среди отечественных ученых большой вклад в теорию линейной оптимизации внесли лауреат Нобелевской премии Л.В. Канторович, Н.Н. Моисеев, Е.Г. Гольштейн, Д.Б. Юдин и многие другие.

     Линейное  программирование традиционно считается  одним из разделов исследования операций, который изучает методы нахождения условного экстремума функций многих переменных.

     В классическом математическом анализе  исследуется общая постановка задачи определения условного экстремума, однако в связи с развитием  промышленного производства, транспорта, агропромышленного комплекса, банковского  сектора традиционных результатов  математического анализа оказалось недостаточно. Потребности практики и развитие вычислительной техники привели к необходимости определения оптимальных решений при анализе сложных экономических систем. Главным инструментом для решения таких задач является математическое моделирование, т.е. формализованное описание изучаемого процесса и исследование его с помощью математического аппарата.

     Искусство математического моделирования  состоит в том, чтобы учесть как  можно более широкий спектр факторов, влияющих на поведение объекта, используя при этом по возможности несложные соотношения. Именно в связи с этим процесс моделирования часто носит многоэтапный характер. Сначала строится относительно простая модель, затем проводится ее исследование, позволяющее понять, какие из интегрирующих свойств объекта не улавливаются данной формальной схемой, после чего за счет усложнения модели обеспечивается большая ее адекватность реальности. При этом во многих случаях первым приближением к действительности является модель, в которой все зависимости между переменными, характеризующими состояние объекта, являются линейными. Практика показывает, что значительное количество экономических процессов достаточно полно описывается линейными моделями, а следовательно, линейное программирование как аппарат, позволяющий отыскивать условный экстремум на множестве, заданном линейными уравнениями и неравенствами, играет важную роль при анализе этих процессов.

5. Нелинейное программирование

Это раздел математического программирования, изучающий методы решения таких экстремальных задач, в которых результаты (эффективность) возрастают или убывают не пропорционально изменению масштабов использования ресурсов (или, что то же самое, масштабов производства) из-за деления издержек производства на предприятиях на переменные и условно-постоянные, из-за насыщения спроса на товары, когда каждую следующую единицу продать труднее, чем предыдущую, из-за влияния внешней экономики, внешних издержек и т. д.

В краткой  форме задачу нелинейного программирования можно записать так:

max G(x) при  условиях

где х  — вектор искомых переменных; G(x) — целевая функция; g(x) — функции  ограничений; b — вектор констант ограничений (выбор знака < здесь произволен, в конкретных случаях он может  быть изменен на обратный). Иначе  говоря, задача состоит в выборе таких неотрицательных значений переменных, подчиненных системе ограничений в форме неравенств, при которых достигается максимум (или минимум) данной функции. При этом не оговаривается форма ни целевой функции, ни неравенств. Возможны разные случаи: целевая функция нелинейна, а ограничения линейны; целевая функция линейна, а ограничения (хотя бы одно из них) — нелинейны; и целевая функция, и ограничения нелинейны.

Нелинейные  задачи сложны, часто их упрощают тем, что приводит к линейным. Для этого условно принимают, что на том или ином участке целевая функция возрастает или убывает пропорционально изменению независимых переменных.

Такой подход называется методом кусочно-линейных приближений, он применим, однако, лишь к некоторым видам нелинейных задач.

Задачами нелинейного  программирования называются задачи математического  программирования, в которых нелинейны  и (или) целевая функция, и (или) ограничения  в виде неравенств или равенств.

Задачи нелинейного  программирования можно классифицировать в соответствии с видом функции F(x), функциями ограничений и размерностью вектора х (вектора решений).

Общих способов решения, аналогичных симплекс-методу линейного программирования, для  нелинейного программирования не существует.

В каждом конкретном случае способ выбирается в зависимости  от вида функции F(x).

Задачи нелинейного  программирования на практике возникают  довольно часто, когда, например, затраты  растут не пропорционально количеству закупленных или произведённых товаров.

Многие задачи нелинейного программирования могут  быть приближены к задачам линейного  программирования, и найдено близкое  к оптимальному решению. Встречаются  задачи квадратичного программирования, когда функция есть F(x) полином 2-ой степени относительно переменных, а ограничения линейны. В ряде случаев может быть применён метод штрафных функций, сводящей задачу поиска экстремума при наличии ограничений к аналогичной задаче при отсутствии ограничений, которая обычно решается проще.