Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Математические методы моделирования

Содержание

1.Понятие определенного интеграла, его геометрический и экономический смысл…………………………………………………………………………..…..2

1.1 Задача, приводящая к понятию определенного интеграла………………2

1.2 Понятие определенного интеграла…………………………………3

1.3 Геометрический смысл определенного интеграла…………………….....4

1.4 Экономический смысл определенного интеграла…………………………..6

2.Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница………...7

2.1 Свойство определённого интеграла…………………………………….…7

2.2 Формула Ньютона-Лейбница………………………………………….......9

2.3 Замена переменной и формула интегрирования по частям а определенном интеграле………………………………………………………...11

3. Геометрические приложения определённого интеграла…………………...14

3.1 Вычисление площадей плоских фигур…………………………………...14

3.2 Вычисление объёмов тел вращения………………………………………21

3.3 Вычисление длины дуги плоской кривой………………………………..24

4. Несобственные интегралы…………………………………………………....26

5. Примеры и решение задач……………………………………………………31

5.1.Вычисление определенных интегралов по формуле

Ньютона-Лейбница……………………………………………………………...31

5.2 Замена переменной в определенном интеграле………………………….35

5.3 Метод интегрирования по частям в определенном интеграле………….38

6. Геометрические приложения определённого интеграла…………………...41

1. Понятие определенного интеграла, его геометрический и экономический смысл.

Задача о площади криволинейной трапеции.

Пусть на отрезке [а, b] задана неотрицательная функция у=f(x). Требуется найти площадь S криволинейной трапеции, ограниченной кривой у=f(x), прямыми х=а, х=b и осью абсцисс у = 0 (см. рис.1). Говорят также о площади S под 1 кривой у =f(x) на [а, b]

Рис. 2

Рис. 1

Рассмотрим некоторую ломаную, которая расположена достаточно близко к кривой у =f(x) на [а, b] (см. рис.2). Фигура под ломаной состоит из трапеций и прямоугольников, и ее площадь S_л (равная сумме площадей этих трапеций) может быть вычислена с использованием известных формул планиметрии. Поскольку ломаная выбрана достаточно близко к кривой y=f(x), то справедливо приближенное равенство . Это равенство оказывается тем
более точным, чем ближе расположена ломаная к исходной кривой. Поэтому естественно за искомую площадь S взять предел площади S_л под ломаной неограниченно приближении ломаной к заданной кривой.

Понятие интегральной суммы. Пусть на [а, b] задана функция у =f(x). Разобьем отрезок [а, b] на п элементарных отрезков точками : На каждом отрезке [] разбиения выберем некоторую точку и положим ∆ где i=1,2,…,n. Сумму вида

∆ (1)

Будем называть интегральной суммой для функции у =f(x) на [а,b]. Очевидно, что интегральная сумма (1) зависит как от способа разбиения отрезка [а,b] точками х₀ , …, , так и от выбора точек каждом из отрезков разбиения

Геометрический смысл интегральной суммы. Пусть функция y=f(x) неотрицательна на [a,b]. Отдельное слагаемое f() ∆

интегральной суммы (1) в этом случае равно площади прямоугольника со сторонами f() и ∆, где i=1, 2, …, п (см.рис.3.), где =∆, ∆ и т.д.). Другими словами,

— это площадь под прямой y=f() на отрезке [ ]. Поэтому вся интегральная сумо (26.1) равна площади + +S₂+…+ S_n под ломаной, образованной на каждом из отрезков [] прямой y=f(), параллельной оси абсцисс (см. рис.26.3), т.е.

∆

Рис. 3

1.2 Понятие определенного интеграла.

Для избранного разбиения отрезка [а,b] на части обозначим через ∆, максимальную из длин отрезков [], где i=1, 2, …, n.

Определение. Пусть предел интегральной суммы (1) при стремлении max ∆х, к нулю существует, конечен и не зависит от

способа выбора точек х₁,х₂,… и точек , Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции y=f(x) на [а,b], обозначается а сама функция у=f(х) называется интегрируемой на отрезке [а,b], т.е.

При этом число а называется нижним пределом, число b — его верхним пределом; функция f(x) — подынтегральной функцией, выражение f(x)dx — подынтегральным выражением, а задача о нахождении — интегрированием функции f(x) на отрезке [а,b].

Следует заметить, что не имеет значения, какой буквой обозначена переменная интегрирования определенного интеграла:

поскольку смена обозначений такого рода никак не влияет на поведение интегральной суммы (1).

Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии, определенный и неопределенный интегралы существенно различные понятия: в то время как представляет семейство функций, Г есть определенное число.

Во введенном определении определенного интеграла

предполагается, что а<b. По определению положим

(2)

Принимая во внимание (2), для нас отныне будет несущественно, какой из пределов интегрирования больше: верхний или нижний.

Полагая в (2) b=а, получаем

или т.е.

(3)

Также непосредственно из определения вытекает следующая формула (для любого действительного числа С)

(4)

1.3 Геометрический смысл определенного интеграла.

Понятие определенного интеграла введено таким образом, что в случае, когда функция y=f(x) неотрицательна на отрезке [а,b],где а<b,

численно равен площади S под кривой y=f(x) на [а,b] (см. рис. 1). Действительно, при стремлении max к нулю ломаная (см. рис. 3) неограниченно приближается к исходной кривой и площадь под ломаной переходит в площадь под кривой.

Используя геометрический смысл определенного интеграла, можно вычислить значения некоторых интегралов, используя известные планиметрические формулы для площадей плоских фигур.

Например,

а) б) 1в)

а) Первый интеграл – это площадь квадрата со стороной единичной длины:

1 y=1

0 1 x

Рис. 4

б) второй интеграл – это площадь прямоугольного треугольника, оба катета которого единичной

длины:

y=x

1

рис.5.

в) Третий интеграл – это площадь четверти круга единичного радиуса:

x

Рис.6

Заметим, что равенство (6) также согласовано с геометрическим смыслом определенного интеграла: в случае, когда отрезок интегрирования стянут в точку, фигура под кривой стягивается в отрезок, площадь которого равна нулю, поскольку это площадь прямоугольника, одна из сторон которого равна нулю.

1.4. Экономический смысл определенного интеграла.

Пусть функция описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени. Найдем объем продукции V, произведенной за промежуток времени [О, Т ].

Если производительность не изменяется с течением времени — постоянная функция), то объем продукции , произведенной за некоторый промежуток, времени задается формулой В общем случае справедливо приближенное равенство, где , которое оказывается тем более точным, чем меньше .

Разобьем отрезок [О,Т] на промежутки времени точками: Для величины объема продукции , произведенной за промежуток времени , имеем

, где Тогда

При стремлении , к нулю каждое из использованных приближенных равенств становится все более точным, поэтому.

Учитывая определение определенного интеграла, окончательно

Получаем

т.е. если — производительность труда в момент t, то есть объем выпускаемой продукции за промежуток [О, Т].

Таким образом, величина U объема продукции, произведенной за промежуток времени [О, Т ], численно равна площади под графиком функции , описывающей изменение производительности труда с течением времени, на промежутке [О, Т]

или

Достаточное условие существования определенного интеграла (интегрируемости функции). Теорема (Т.1): Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [а,b], то она интегрируема на этом отрезке.

2. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.

2.1 Свойство определённого интеграла

На основании теоремы (Т.1) будем предполагать интегрируемость всех рассматриваемых функций на выделенных отрезках интегрирования.

Рассмотрим сначала свойства определенного интеграла, которые имеют аналоги в случае интеграла неопределенного.

1)Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла,

т.е.

, (1)

Доказательство. Пусть разбиением отрезка [а;b] и выбор точек на каждом из отрезков. Используя распределительный знак умножения чисел, имеем

∆∆

Перейдем к пределу в левой и правой части последнего равенства при ∆

По определению определенного интеграла первый из пределов равен левой части равенства (1), последний – правой.

2) Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.

(2)

Это свойство остается справедливым для любого числа слагаемых.

Доказательство свойства 2) аналогично свойству 1).

Перейдем теперь к свойствам определенного интеграла, которые не имеют аналогов в случае неопределенного интеграла.

3)Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е. при любых a,b,c, c

(3)

4) Если на отрезке , где , , то и

, (4)

т.е. обе части неравенства можно почтенно интегрировать.

Доказательство. Пусть фиксированы разбиение отрезка и выбор точек на каждом из отрезков разбиения. Тогда из неравенства вытекает аналогичное неравенство для интегральных сумм:

Переходя к пределу при , получим (4).

Следствие (оценка интеграла):

Пусть на отрезке , где , где m и M – некоторые числа. Тогда

(5)

Доказательство. По свойству 4) имеем

Заметим, что по свойству 1) и геометрическому смыслу определенного интеграла

аналогично

5) Теорема о среднем. Если функция непрерывна на отрезке , (где ), то найдется такое значение , что

Доказательство. По свойству функции, непрерывной на отрезке, для произвольного значения x из верно, что где m и M – наименьшее и наибольшее значение функции на . Тогда, согласно (5), имеем

Но функция, непрерывная на отрезке, принимает любое значение, заключенное между её наименьшим и наибольшим значением. Поэтому, в частности, найдется такое число , что

Пусть на . Тогда теорема о среднем утверждает: найдется такая точка из отрезка , что площадь под кривой на равна площади прямоугольника со сторонами и (b-a) (cм. Рис.1 и геометрический смысл определенного интеграла).

6) Если функция сохраняет знак на отрезке , где , то интеграл имеет тот же знак, что и функция. Так, если на отрезке то

Доказательство:

По «теореме о среднем» имеем , где .

А так как для всех , то и . Поэтому , т.е.

7)Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции:

Доказательство:

Применяя свойство 4) к очевидным неравенствам

получаем:

Отсюда следует, что

8) Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, т.е.

Доказательство. По формуле Ньютона-Лейбница имеем:

Следовательно,

Это означает, что определенный интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.

Формула Ньютона—Лейбница

Опираясь на свойства интеграла с переменным верхним пределом, мы получим основную формулу интегрального исчисления, традиционно связываемую с именами И.Ньютона и Г.В.Лейбница

Теорема 1: Пусть функция у =f(x) непрерывна на отрезке [а, b] и F(x) — любая первообразная для f(x) на [а, b]. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на [а, b] равен приращению первообразной F(x) на этом отрезке, т.е.

Нахождение определенных интегралов с использованием формулы Ньютона—Лейбница осуществляется в два шага: на
первом шаге, используя технику нахождения неопределенного
интеграла, находят некоторую первообразную F(x) для подынтегральной функции f(x); на втором — применяется собственно формула Ньютона—Лейбница — находится приращение первообразной, равное искомому интегралу. В связи с этим, введем обозначение для приращения первообразной, которое удобно использовать при записи решений. По определению положим

F(x)=F(b)-F(a). (8)

Следует подчеркнуть, что при применении формулы Ньютона—Лейбница можно использовать любую первообразную F(x) для подынтегральной функции F(х), например, имеющую наиболее простой вид при C=0.

Пример 1. Вычислить: a) б)

Решение. А) Произвольная первообразная для функции

имеет вид. Для нахождения интеграла по формуле Ньютона—Лейбница возьмем такую первообразную, у которой С=0 (см. замечание выше). Тогда

б) Первообразную подынтегральной функции найдем, используя формулу (24.11). Применяя формулу Ньютона—Лейбница, получаем

►

При нахождении интеграла из примера1. б) было использовано свойство приращения первообразной где а — некоторое число.

Заметим, что введенное ранее определение (2) и его следствие (3) согласованы с формулой Ньютона-Лейбница. Действительно,

Таким образом, и при применении формулы Ньютона-
Лейбница несущественно, какой из пределов интегрирования
больше: верхний или нижний.

2.3 Замена переменной и формула интегрирования по частям в определенном интеграле

При вычислении определенных интегралов с использованием
формулы Ньютона—Лейбница не нужно жестко разграничивать этапы решения задачи (нахождение первообразной подынтегральной функции, нахождение приращения первообразной). Такой подход, использующий, в частности, формулы замены переменной и интегрирования по частям для определенного интеграла, обычно позволяет упростить запись решения.

Теорема 2: Пусть функция имеет непрерывную производную на отрезке [, ], а= и функция f(x} непрерывна в каждой точке х вида где .

Тогда справедливо следующее равенство

(10)

Формула (10) носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.

Доказательство: Пусть - первообразная для на отрезке

Тогда по формуле Ньютона-Лейбница имеем

Так как (F( то является первообразной для функции , поэтому по формуле Ньютона-Лейбница имеем

Подобно тому, как это было в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к табличному (табличным). При этом в отличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования.

Достаточно лишь найти новые пределы интегрирования и по новой переменной t как решение относительно переменной t уравнений и На практике, выполняя замену переоей, часто начинают с того, что указывают выражение новой переменной через старую. В этом случае нахождение пределов интегрирования по переменной t упрощается:

Пример 2. Вычислить

Решение: Положим Тогда

Пересчитаем новые пределы интегрирования :

Если то если то Следовательно,

Рассмотрим теперь, как выполняется интегрирование по частям в определенном интеграле.

Теорема 3: Пусть функции и имеем непрерывные производные на отрезке . Тогда

(11)

где

Формула (11) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

Доказательство:

Поскольку то функция uv является первообразной для функции .

Тогда по формуле Ньютона-Лейбница и (2) получаем:

что равносильно (11), поскольку по определению дифференциала и

Пример 3. Вычислить

Решение. Пусть Тогда и

Применяя (11), получаем

Для нахождения последнего интеграла, введем новую переменную Тогда

Новые пределы интегрирования:

если , то

если то следовательно,

Интеграл можно было найти другим способом; тогда

Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах

Пусть функция непрерывна на отрезке , симметричном относительно точки . Докажем, что

если четная функция,

если нечетная функция.

Разобьем отрезок интегрирования на части и Тогда по свойству аддитивности

(13)

В первом интеграле сделаем подстановку Тогда

(согласно свойству: «определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования»). Возвращаясь к равенству (13) получим

(14)

Если функция f(x) четная то если функция нечетная то f(-x)+f(x)=0.

Следовательно, равенство (27.14) принимает вид (12).

Благодаря доказанной формуле можно, например, сразу, не производя вычислений, сказать, что

то

3. Геометрические приложения определённого интеграла.

Вычисление площадей плоских фигур.

Вспомним геометрический смысл определённого интеграла.

Определённый интеграл от неотрицательной непрерывной функции f(x) на [а;b] численно равен площади криволинейной трапеции с основанием [а;b], ограниченной сверху графиком функции y = f(x), т.е.

(1)

Рассмотрим несколько случаев.

Пусть функция y = f(x) неотрицательна и непрерывна на [а;b]. Тогда, согласно геометрическому смыслу определённого интеграла, применяем формулу

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

y = 2Cos2x, y = 0, x = - , x = .

Решение. Выполним эскиз (рис.28.1)

Надо вычислить площадь

заштрихованной фигуры.

0 x

- - - -

рис.1

В этом случае сразу применяем формулу (1), т.к. y = 2Cos2x неотрицательна на [ - ; ], т.е. график этой функции на заданном отрезке расположен выше оси Ох. А также заданы пределы интегрирования, т.е.

а = х₁= -; b = x₂ = .

_{=

=} = =+ (ед²).

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

y = 2x – x² и y = 0.

Решение . Выполним эскиз (рис.2)

В данном случае не заданы пределы интегрирования а и b, поэтому их нужно вычислить.

Y В данном случае не заданы пределы

интегрирования а и b, поэтому их нужно

вычислить.

0 1 2 х

рис.2

Решим уравнение и найдём абсциссы точек пересечения двух кривых

y = 2x – x² и y = 0:

2х – х² = 0; х(2-х) = 0; х₁ = 0; х₂ = 2, следовательно а = 0, в = 2.

S = = = = (ед².)

2) Пусть функция неположительна и непрерывна на (см.рис.3). Выясним, какая связь в этом случае существует между площадью S криволинейной трапеции «над кривой» на и интегралом .

a b

Рис. 3

Отражая кривую симметрично относительно оси абсцисс, получаем кривую с уравнением . Эта функция уже неотрицательна на из соображений симметрии равна площади S (см.рис.4). Тогда

a S b

0 S х

Математические методы моделирования 📙 Реферат → 🆔 142126