Математические модели в экономике
Содержание
Введение
Эконометрика - это совокупность методов анализа связей между различными экономическими показателями на основании реальных статистических данных, с использованием аппарата теории вероятностей и математической статистики. При помощи этих методов выявляют новые, ранее неизвестные связи, уточняют или отвергают гипотезы о существовании определенных связей между экономическими показателями, предлагаемые экономической теорией.
Эконометрика объединяет совокупность методов и моделей, позволяющих на базе экономической теории, экономической статистики и математико-статистического инструментария исследовать количественные выражения качественных зависимостей. Это понимание эконометрики определило содержание и структуру, как дисциплины. Большое место в нем отводится регрессионному анализу как методу, используемому в эконометрике для поиска уравнения, которое в наибольшей степени соответствует совокупности наблюдений зависимых и независимых переменных, и тем самым дающему наилучшую оценку истинного соотношения между этими переменными. С помощью оцененного таким образом уравнения можно предсказать, каково будет значение зависимой переменной для данного значения независимой переменной.
Таким образом, не вызывает сомнения, что дана тема наиболее актуальна для рассмотрения на сегодняшний день.
Целью работы является теоретические и методологические основы применения регрессионного анализа в эконометрике.
Исходя из поставленной цели, выявляется ряд поставленных задач:
- изучить основные положения регрессионного анализа;
- исследовать оценку параметров парной регрессионной модели;
- рассмотреть интервальную оценку функции регрессии и ее параметров;
- раскрыть оценку значимости уравнения регрессии и особенности применения коэффициента детерминации.
Данная работа состоит из введения, четырех основных глав, заключения и списка использованной литературы.
==============================
1. Основные положения регрессионного анализа
Регрессионный анализ - метод моделирования измеряемых данных и исследования их свойств. Данные состоят из пар значений зависимой переменной (переменной отклика) и независимой переменной (объясняющей переменной). Регрессионная модель есть функция независимой переменной и параметров с добавленной случайной переменной.
Корреляционный анализ и регрессионный анализ являются смежными разделами математической статистики, и предназначаются для изучения по выборочным данным статистической зависимости ряда величин; некоторые из которых являются случайными. При статистической зависимости величины не связаны функционально, но как случайные величины заданы совместным распределением вероятностей1.
Исследование зависимости случайных величин приводит к моделям регрессии и регрессионному анализу на базе выборочных данных. Теория вероятностей и математическая статистика представляют лишь инструмент для изучения статистической зависимости, но не ставят своей целью установление причинной связи. Представления и гипотезы о причинной связи должны быть привнесены из некоторой другой теории, которая позволяет содержательно объяснить изучаемое явление.
Числовые данные обычно имеют между собой явные (известные) или неявные (скрытые) связи.
Явно связаны показатели, которые получены методами прямого счета, т. е. вычислены по заранее известным формулам. Например, проценты выполнения плана, уровни, удельные веса, отклонения в сумме, отклонения в процентах, темпы роста, темпы прироста, индексы и т. д.
Связи же второго типа (неявные) заранее неизвестны. Однако необходимо уметь объяснять и предсказывать (прогнозировать) сложные явления для того, чтобы управлять ими. Поэтому специалисты с помощью наблюдений стремятся выявить скрытые зависимости и выразить их в виде формул, т. е. математически смоделировать явления или процессы. Одну из таких возможностей предоставляет корреляционно-регрессионный анализ.
Математические модели строятся и используются для трех обобщенных целей:
- для объяснения;
- для предсказания;
- для управления.
Пользуясь методами корреляционно-регрессионного анализа, аналитики измеряют тесноту связей показателей с помощью коэффициента корреляции. При этом обнаруживаются связи, различные по силе (сильные, слабые, умеренные и др.) и различные по направлению (прямые, обратные). Если связи окажутся существенными, то целесообразно будет найти их математическое выражение в виде регрессионной модели и оценить статистическую значимость модели.
Регрессионный анализ называют основным методом современной математической статистики для выявления неявных и завуалированных связей между данными наблюдений2.
Постановка задачи регрессионного анализа формулируется следующим образом.
Имеется совокупность результатов наблюдений. В этой совокупности один столбец соответствует показателю, для которого необходимо установить функциональную зависимость с параметрами объекта и среды, представленными остальными столбцами. Требуется: установить количественную взаимосвязь между показателем и факторами. В таком случае задача регрессионного анализа понимается как задача выявления такой функциональной зависимости y = f (x2, x3, …, xт), которая наилучшим образом описывает имеющиеся экспериментальные данные.
Допущения:
- количество наблюдений достаточно для проявления статистических закономерностей относительно факторов и их взаимосвязей;
- обрабатываемые данные содержат некоторые ошибки (помехи), обусловленные погрешностями измерений, воздействием неучтенных случайных факторов;
- матрица результатов наблюдений является единственной информацией об изучаемом объекте, имеющейся в распоряжении перед началом исследования.
Функция f (x2, x3, …, xт), описывающая зависимость показателя от параметров, называется уравнением (функцией) регрессии. Термин «регрессия» (regression (лат.) – отступление, возврат к чему-либо) связан со спецификой одной из конкретных задач, решенных на стадии становления метода.
Решение задачи регрессионного анализа целесообразно разбить на несколько этапов:
- предварительная обработка данных;
- выбор вида уравнений регрессии;
- вычисление коэффициентов уравнения регрессии;
- проверка адекватности построенной функции результатам наблюдений.
Предварительная обработка включает стандартизацию матрицы данных, расчет коэффициентов корреляции, проверку их значимости и исключение из рассмотрения незначимых параметров3.
Выбор вида уравнения регрессии Задача определения функциональной зависимости, наилучшим образом описывающей данные, связана с преодолением ряда принципиальных трудностей.
Таким образом, были рассмотрены основные положения регрессионного анализа.
2. Оценка параметров парной
регрессионной модели
В зависимости от количества факторов, включенных в уравнение регрессии, принято различать простую (парную) и множественную регрессию.
Парная регрессия – регрессия между двумя переменными y и x, т.е. модель вида:
Где y – зависимая переменная (результативный признак);
х – независимая, объясняющая переменная (признак-фактор).
Спецификация модели – формулировка вида модели, исходя из соответствующей теории связи между переменными. Со спецификации модели начинается любое эконометрическое исследование. Иными словами, исследование начинается с теории, устанавливающей связь между явлениями.
Прежде всего, из круга факторов, влияющих на результативный признак, необходимо выделить наиболее существенно влияющие факторы. Парная регрессия достаточна, если имеется доминирующий фактор, который и используется в качестве объясняющей переменной. В уравнении регрессии корреляционная по сути связь признаков представляется в виде функциональной связи, выраженной соответствующей математической функцией:
Где yj - фактическое значение результативного признака;
yxj - теоретическое значение результативного признака.
- случайная величина, характеризующая отклонения реального значения результативного признака от теоретического.
Случайная величина называется также возмущением. Она включает влияние неучтенных в модели факторов, случайных ошибок и особенностей измерения4.
От правильно выбранной спецификации модели зависит величина случайных ошибок: они тем меньше, чем в большей мере теоретические значения результативного признака подходят к фактическим данным у.
К ошибкам спецификации относятся неправильный выбор той или иной математической функции для , и недоучет в уравнении регрессии какого-либо существенного фактора, т. е. использование парной регрессии вместо множественной.
Наряду с ошибками спецификации имеет место ошибка выборки - исследователь чаще всего имеет дело с выборочными данными при установлении закономерной связи между признаками. Ошибки измерения практически сводят на нет все усилия по количественной оценке связи между признаками.
Основное внимание в эконометрических исследованиях уделяется ошибкам спецификации модели. В парной регрессии выбор вида математической функции может быть осуществлен тремя способами: графическим; аналитическим (исходя из теории изучаемой взаимосвязи) и экспериментальным.
Графический метод основан на поле корреляции. Аналитический метод основан на изучении материальной природы связи исследуемых признаков. Экспериментальный метод осуществляется путем сравнения величины остаточной дисперсии Dост, рассчитанной при разных моделях. Если фактические значения результативного признака совпадают с теоретическими то Docm =0. Если имеют место отклонения фактических данных от теоретических
Чем меньше величина остаточной дисперсии, тем лучше уравнение регрессии подходит к исходным данным.
Если остаточная дисперсия оказывается примерно одинаковой для нескольких функций, то на практике предпочтение отдается более простым видам функций, ибо они в большей степени поддаются интерпретации и требуют меньшего объема наблюдений. Число наблюдений должно в 6 - 7 раз превышать число рассчитываемых параметров при переменной х.
==============================
3. Интервальная оценка функции регрессии и ее параметров
Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитывается - критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью - критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки.
Рассчитываются: .
Уравнение регрессии представимо в виде:
.
Стандартная ошибка , т.е. стандартная ошибка прогнозного значения зависит от ошибки и ошибки коэффициента регрессии.
Для доказательства этого рассмотрим дисперсии: .
- здесь учтено, что неслучайная (детерминированная) величина, при вынесении которой за знак дисперсии её необходимо возвести в квадрат,
Т.о. .
Определим стандартную ошибку через остаточную дисперсию на одну степень свободы:
или
Сравнивая фактические и табличные значения - статистики и принимаем или отвергаем гипотезу . Установим связь между F-критерием Фишера и - статистикой Стьюдента:
,
но , очевидно .
Следовательно: .
Т.о. проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии.
Если < , но отклоняется, т.е. не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора . Если > , то не отклоняется и признается случайная природа формирования или .
Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку для каждого показателя:
,
тогда формула для расчета доверительных интервалов имеют следующий вид:
Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается нулевым, т.к. он не может одновременно принимать и положительное и отрицательное значения.
Прогнозное значение определяется путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего прогнозного значения . Вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза
и строится доверительный интервал прогноза
.
Рассмотренные формулы стандартных ошибок предсказываемого среднего значения при заданном характеризует ошибку положения линии регрессии, при , и возрастает при удалении от .
Но фактические значения варьируют около среднего , индивидуальные значения могут отклоняться на величину , дисперсия которой оценивается как остаточная дисперсия на одну степень свободы, поэтому ошибка предсказываемого индивидуального значения должна включать не только , но и случайную составляющую , или
.
Таким образом, была рассмотрена интервальная оценка функции регрессии и ее параметров.
==============================
4. Оценка значимости уравнения
регрессии и особенности
После того как найдено уравнение линейной регрессии, проводится оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных его параметров.
Оценка значимости уравнения регрессии в целом дается с помощью F-критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза, коэффициент регрессии равен нулю, то есть b=0, и, следовательно, фактор х не оказывает влияния на результат у. Непосредственному расчету F-критерия предшествует анализ дисперсии. Центральное место в нем занимает разложение общей суммы квадратов отклонений переменной у от среднего значения у на две части – «объясненную» и «необъясненную».
Общая сумма квадратов отклонений индивидуальных значений результативного признака у от среднего значения у вызвана влиянием множества причин. Условно всю совокупность причин можно разделить на две группы:
- изучаемый фактор х
- прочие факторы
Если фактор не оказывает влияния на результат, то линия регрессии на графике параллельна оси охи у = ŷ. Тогда вся дисперсия результативного признака обусловлена воздействием прочих факторов и общая сумма квадратов отклонений совпадает с остаточной. Если же прочие факторы не влияют на результат, то у связан с х функционально и остаточная сумма квадратов равна нулю. В этом случае сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией, совпадает с общей суммой квадратов.
Поскольку не все точки поля корреляции лежат на линии регрессии, то всегда имеет место их разброс как обусловленный влиянием фактора х, то есть регрессией у по х, так и вызванный действием прочих величин (необъясненная вариация). Пригодность линии регрессии для прогноза зависит от того, какая часть общей вариации признака у приходится на объясненную вариацию. Очевидно, что если сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией, будет больше остаточной суммы квадратов, то уравнение регрессии статистически значимо и фактор х оказывает существенное влияние на результат у. Это равносильно тому, что коэффициент детерминации r2xy будет приближаться к единице5.
Любая сумма квадратов отклонений связана с числом степеней свободы (df – degrees of freedom), то есть с числом свободы независимого варьирования признака. Число степеней свободы связано с числом единиц совокупности n и с числом определяемых по ней констант. Применительно к исследуемой проблеме число степеней свободы должно показать, сколько независимых отклонений из n возможных [(y1-y), (y2-y),…,(yn-y)] требуется для образования данной суммы квадратов. Так, для общей суммы квадратов ∑(y-y)2 требуется (n-1) независимых отклонений.
При расчете объясненной или факторной суммы квадратов ∑(ŷx -y)2 используются теоретические (расчетные) значения результативного признака ŷx, найденные по линии регрессии: ŷx=а+b*x.
В линейной регрессии сумма квадратов отклонений, обусловленных линейной регрессией, составит: ∑(ŷx -y)2=b2*∑(x –x)2.
Поскольку при заданном объеме наблюдений по х и у факторная сумма квадратов при линейной регрессии зависит только от одной константы коэффициента регрессии b, то данная сумма квадратов имеет одну степень свободы. К тому же выводу придем, если рассмотрим содержательную сторону расчетного значения признака у, то есть ŷx. Величина ŷx определяется по уравнению линейной регрессии: ŷx=а+b*x. Параметр а можно определить как: a=y-b*x. Подставив выражение параметра а в линейную модель получим:
ŷx= y-b*x+b*x= y-b*(х-х).
Отсюда видно, что при заданном наборе переменных у и х расчетное значение ŷx является в линейной регрессии функцией только одного параметра – коэффициента регрессии. Соответственно и факторная сумма квадратов отклонений имеет число степеней свободы, равное 1.
Существует равенство между числом степеней свободы общей, факторной и остаточной суммами квадратов. Число степеней свободы остаточной суммы квадратов при линейной регрессии составляет n-2. Число степеней свободы для общей суммы квадратов определяется числом единиц, и поскольку используется средняя вычисленная по данным выборки, то теряем одну степень свободы, то есть dfобщ= n-1.
Итак, имеется два равенства:
∑(у-у)2=∑( ŷx –у)2+∑(у- ŷx)2,
n-1=1+(n-2).
Разделив каждую сумму квадратов на соответствующее ей число степеней свободы, получим средний квадрат отклонений, или, что то же самое, дисперсию на одну степень свободы D.
Dобщ=∑(у-у)2/(n-1);
Dфакт=∑( ŷx –у)2/1;
Dост=∑(у- ŷx)2/(n-1).
Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии к сравнимому виду. Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину F-отношения (F-критерия):
F= Dфакт/ Dост, где
F – критерий для проверки нулевой гипотезы Н0: Dфакт=Dост.
Если нулевая гипотеза справедлива, то факторная и остаточная дисперсии не отличаются друг от друга. Для Н0 необходимо опровержение, чтобы факторная дисперсия превышала остаточную в несколько раз.
Английским статистиком Снедекором разработаны таблицы критических значений F-отношений при разных уровнях существенности нулевой гипотезы и различимом числе степеней свободы. Табличное значение F-критерия – это максимальная величина отношения дисперсий, которая может иметь место при случайном их расхождении для данного уровня вероятности наличия нулевой гипотезы. Вычисленное значение F-отношения признается достоверным (отличным от единицы), если оно больше табличного. В этом случае нулевая гипотеза об отсутствии связи признаков отклоняется и делается вывод о существенности этой связи: Fфакт>Fтабл. Н0 отклоняется.
Если же величина окажется меньше табличной Fфакт<Fтабл, то вероятность нулевой гипотезы выше заданного уровня и она не может быть отклонена без серьезного риска сделать неправильный вывод о наличии связи. В этом случае уравнение регрессии считается статистически не значимым. Н0 не отклоняется.
Оценку качества модели дает коэффициент детерминации. Коэффициент детерминации (R2) - это квадрат множественного коэффициента корреляции14. Он показывает, какая доля дисперсии результативного признака объясняется влиянием независимых переменных.
Формула для вычисления коэффициента детерминации:
где
yi - выборочные данные, а fi - соответствующие им значения модели.
Также это квадрат корреляции Пирсона между двумя переменными. Он выражает количество дисперсии, общей между двумя переменными.
Коэффициент принимает значения из интервала [0;1]. Чем ближе значение к 1 тем ближе модель к эмпирическим наблюдениям.
В случае парной линейной регрессионной модели коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции, то есть R2 = r2.
Иногда показателям тесноты связи можно дать качественную оценку (шкала Чеддока).
Функциональная связь возникает при значении равном 1, а отсутствие связи - 0. При значениях показателей тесноты связи меньше 0,7 величина коэффициента детерминации всегда будет ниже 50 %. Это означает, что на долю вариации факторных признаков приходится меньшая часть по сравнению с остальными неучтенными в модели факторами, влияющими на изменение результативного показателя. Построенные при таких условиях регрессионные модели имеют низкое практическое значение6.
Таким образом, была рассмотрена
оценка значимости уравнения регрессии
и особенности применения коэффициента
детерминации.=================
Заключение
Итак, подведем итоги о проделанной работе. Для практического использования моделей регрессии большое значение имеет их адекватность, т.е. соответствие фактическим статистическим данным.
Анализ качества эмпирического уравнения парной и множественной линейной регрессии начинают с построения эмпирического уравнения регрессии, которое является начальным этапом эконометрического анализа. Первое же, построенное по выборке уравнение регрессии, очень редко является удовлетворительным по тем или иным характеристикам. Поэтому следующей важнейшей оценкой является проверка качества уравнения регрессии. В эконометрике принята устоявшаяся схема такой проверки, которая проводится по следующим направлениям:
- проверка статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии
- проверка общего качества уравнения регрессии
- проверка свойств данных, выполнимость которых предполагалась при оценивании уравнения (проверка выполнимости предпосылок МНК)
Прежде, чем проводить анализ качества уравнения регрессии, необходимо определить дисперсии и стандартные ошибки коэффициентов, а также интервальные оценки коэффициентов. Корреляционный и регрессионный анализ, как правило, проводится для ограниченной по объёму совокупности.
Поэтому параметры уравнения регрессии (показатели регрессии и корреляции), коэффициент корреляции и коэффициент детерминации могут быть искажены действием случайных факторов. Чтобы проверить, на сколько эти показатели характерны для всей генеральной совокупности и не являются ли они результатом стечения случайных обстоятельств, необходимо проверить адекватность построенных статистических моделей.
Таким образом, цели и задачи, достигнуты, тема раскрыта.
==============================
Список использованной литературы
- Бережная, Е.В. Математические методы моделирования экономических систем / Е.В. Бережная. - М.: Финансы и статистика, 2011. - 432 с.
- Боровков, А.А. Математическая статистика. Учебник / А.А. Боровков. – М.: Лань, 2010. – 305 с.
- Васин, А.А. Введение в теорию игр с приложениями к экономике / А.А. Васин. – М.: Инфра, 2012. – 278 с.
- Дубров, А.М. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе: Учеб. пособие / А.М. Дубров. – М. : Финансы и статистика, 2010. – 224 с.
- Печерский, С.Л. Теория игр для экономистов / С.Л. Печерский. – СПб.: Питер, 2012. – 344 с.
- Математические модели диффузии инноваций
- Математические модели и их свойства
- Математические модели процессов
- Математические модели электротехнических объектов
- Математические начала натуральной философии
- Математические основы оценочной деятельности. Шесть функций денежной единицы
- Математические основы теории надёжности информационных систем
- Математические модели
- Математические модели
- Математические модели
- Математические модели в программе Electronic WorkBench
- Математические модели в управлении
- Математические модели в экологии. Модели биогеоценозов
- Математические модели в экологии. Модели биогеоценозов
