Математические модели электротехнических объектов

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ  МОДЕЛИ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

1. Подсистемы физических систем

В технике  рассматриваются физические системы, функционирование которых происходит в соответствии с известными законами. Физические системы помимо основных частей включают все, что связывает основные части системы между собой, с внешней средой и с источниками энергии, саму внешнюю среду и источники энергии. Выделение в системе составных частей не разделяет устройства на детали, а характеризует части единого процесса преобразования энергии, где энергия имеет один вид (одну физическую природу). В этом смысле одна и та же деталь устройства может участвовать в различных частях системы. Если в выделенных частях системы энергия имеет один вид, то их называют однородными, в противном случае разнородными.

Электрический аппарат, представляющий собой техническое  устройство — электромагнитный привод для автоматической регулировки расхода топлива автомобиля, изображен на рис. 1.

Описание  устройства как технического объекта  должно включать конструкцию и принцип действия. Например, допустима следующая формулировка.

Электромагнитный привод состоит из стального магнитопровода 7, электрической катушки 2, стального  сердечника 3, соединенного штоком 4 с клапаном 5. Сердечник шток и клапан жестко соединены между собой, перемещаются в осевой опоре скольжения 6 и имеют предварительное поджатие в правое положение возвратной пружиной 7.

12 3 4 6 7 5

Рис. 1. Электромагнитный привод для автоматической регулировки расхода топлива  автомобиля

 

Поинцип действия заключается в  выполнении следующих операций. Микропроцессор автомобиля по данным первичных датчиков выдает оманду управляемому источнику питания на включение электромагнита на требуемое напряжение. Возникает действующая на сердечник электромагнитная сила, которая перемещает его в заданное функцией управления положение. По команде отключения электромагнита электромагнитная сила исчезает и сила возвратной пружины перемешает подвижную часть в исходное положение, канал подачи топлива

закрывается.

Описание электромагнитного привода  как физической системы разделяют  на части или подсистемы с одним  видом энергии в целях дальнейшего  построения математической модели устройства. Какие виды энергии присутствуют в устройстве и с какими деталями связаны? Подсистемы электромагнитного привода изображены на рис. 2.

Во-первых, энергия электрического тока, которая передается от источника  питания автомобиля к катушке электромагнита по проводам — это электрическая подсистема.

Во-вторых, энергия электромагнитного  поля, существующая в деталях электромагнита: катушке, намагничиваемых магнитопроводе и сердечнике, а также в окружающем пространстве, которую создает ток в катушке — это электромагнитная подсистема.

В-третьих, механическая энергия поступательного  движения деталей механизма, возникающая под действием электромагнитных сил — это механическая подсистема поступательного движения.

В-четвертых, тепловая энергия, которая, естественно, присутствует во всех деталях устройства и в окружающем пространстве. Протекание тока в проводах, намагничивание и перемагничивание стальных Деталей электромагнита, трение в опорах скольжения приводят к ^в°зникновению теплоты — это тепловая подсистема.

 

Выделение физических подсистем  может быть продолжено на другие процессы в автомобиле и окружающем пространстве.

1.2. Виды  математических моделей

Электромеханические системы электрических  аппаратов [1], электрических машин и других электротехнических устройств — сложные для моделирования объекты. Они отличаются разнообразностью конструкций и происходящих в них физических процессов. Подробная математическая модель устройств имеет большое число неизвестных параметров и требует больших вычислительных ресурсов при анализе. Стремление получить более простую формализованную модель ограничивается тремя основными требованиями: достаточностью по объему получаемой информации, доступностью для понимания физических процессов и достоверностью результатов моделирования.

Достаточность модели по объему информации определяется техническими требованиями задания. Математическое моделирование применяется в основном при оптимизационном проектировании выбранного нового или ранее известного типа конструкции не только для сокращения дорогостоящего и длительного промежуточного физического макетирования, но и для более глубокого, чем в эксперименте, анализа процессов. Полный отказ от макетирования переносит риски ошибок на опытные образцы устройств.

Доступность понимания физических процессов, иначе «прозрачность» модели, позволяет применять ее на практике и трактовать результаты непосредственно инженерами различных специальностей, а не только разработчиками моделей.

Достоверность результатов моделирования определяется расхождениями с экспериментальными данными реальных устройств, которые складываются из погрешностей модели, вычислительных погрешностей, приближенного знания свойств объекта, а также погрешностями экспериментальных исследований. Нет никаких оснований повышать точность моделирования сверх погрешностей воспроизведения оригинала и требований конкретной задачи.

Подсистемы электротехнического  объекта представляют процессы преобразования энергии только своей физической природы и называются:

электрическая — энергия электрического тока;

магнитная — энергия электромагнитного  поля;

механическая  — механическая энергия твердых  тел; 

тепловая  — тепловая энергия, а также другие, например гидравлическая, акустическая.^

Модель отдельной подсистемы должна устанавливать правила преобразования энергии своего вида, а также связывать  различные

подсистемы.

физический процесс происходит в среде, идентифицируемой в пространстве и во времени. Даже в ограниченном диапазоне пространственно-временных координат имеем бесконечное множество значений параметров, характеризующих процесс. Для построения математических моделей конечной размерности применяются аппроксимирующие функции, которые позволяют приближенно определить значения параметров в любой точке пространства и в любой момент времени по значениям в ограниченном числе узловых точек пространства и моментов времени. Чем больше узловых точек, тем точнее производится аппроксимация. Поэтому такие модели имеют асимптотическое уточнение решения. В зависимости от точности пространственной аппроксимации параметров принято разделять микромодели и макромодели.

Микромодель имеет множество узлов для аппроксимации в пространстве, в общем случае изменяющихся во времени функций, которые выбираются с учетом характера пространственно-временного распределения параметров (рис. 3). Так решаются задачи численного анализа векторных или скалярных полей, например расчет поля вектора магнитной индукции электромагнита. Сама модель — это системы уравнений: дифференциальных в частных производных, интегро- дифференциальных или интегральных для функций координат и времени. При численном решении все типы уравнений сводятся к алгебраическим для последующего решения на компьютере.

 

 

**3. Микромодель системы с распределенными в пространстве параметрами: о — непрерывное распределение в пространстве векторного потенциала; конечно-элементная микромодель распределения векторного потенциала 

Рис. 4. Представление механического устройства в виде системы материальных точек

Макромодель наоборот использует грубую пространственную аппроксимацию параметров, которая позволяет исключить из рассмотрения распределенные параметры процессов. Она удобна там, где имеются сосредоточенные в пространстве элементы моделирования, например в электрической цепи — резистор, конденсатор или катушка индуктивности. В механике твердые тела представляются системой материальных точек со своими массами и воздействующими на них сторонними силами, силами трения и силами упругих связей с другими материальными точками (рис.4).

Математическая  модель физической системы на макроуровне  представляет собой систему алгебраических и обыкновенных дифференциальных (интегральных) уравнений.

2. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ  СОСТАВЛЕНИЯ МАКРОСКОПИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

1. Элементы, фазовые переменные и источники

Макромодель составляется из элементов, не имеющих пространственных размеров. Свойства отдельных деталей моделируемого объекта представляются в ней интегральными параметрами, выраженными в виде констант или простых алгебраических функций. Определение параметров моделей отдельных элементов выделяется в самостоятельную задачу.

Составление математической модели системы, включающей несколько подсистем различной физической природы, основано на общих для всех подсистем понятиях, позволяющих добиться единообразия формы записи уравнений. К ним относятся [2] понятия элементов и фазовых переменных.

Названия пассивных элементов  макромодели для любой из подсистем одинаковы и связаны с характером преобразования энергии в них. Таких элементов три. По аналогии с электрическими цепями их обозначают и называют: резистор, катушка индуктивности и конденсатор.

В резисторе R происходит безвозвратное рассеяние энергии

           1

W= ∫i²Rdt. В катушке индуктивности L и конденсаторе С накап-

         0

ливается энергия W_L =Li²/2, W_c =CU²/2, где U, i — параметры процесса (для каждой подсистемы свои); t — время.

В макромоделях физические процессы представляются в виде зависимостей от времени определенных параметров, которые составляют совокупность искомых неизвестных математической модели и носят название фазовых переменных. По своему характеру такие переменные в каждой подсистеме могут быть отнесены к одному из двух типов: переменные типа потока и переменные типа потенциала, например ток i и напряжение U в электрической цепи. Фазовые переменные обычно выбираются из условия, что их произведения определяют мощность преобразуемой энергии, а тип (поток или потенциал), с точки зрения математического моделирования, может быть назначен произвольно. Кроме того, фазовые переменные должны быть удобны  для записей физических законов в традиционной форме.

Источники энергии в физических подсистемах моделируются ис точниками фазовых переменных двух типов: источники типа потока (аналог источника тока в электрических цепях) и источники типа по» тенциала (источник ЭДС в электрических цепях). В графическом представлении математическая модель изображается эквивалентными схемами подобно электрическим цепям, содержащим требуемый набор активных и пассивных элементов.

Составляющие математическую модель уравнения определяют связи между  фазовыми переменными. По смысловому содержанию формируемые уравнения объединяются названиями либо компонентных, либо топологических уравнений.

Компонентные уравнения отражают закон функционирования каждого элемента системы и связывают разнородные фазовые переменные (поток — потенциал). Они выводятся как на основе известных ранее фундаментальных законов и их следствий (например, второй закон Ньютона в механике), так и на основе данных специальных теоретических или экспериментальных исследований (в частности, микромоделированием полей, физическим макетированием и др.).

Топологические уравнения отражают структуру связей между различными элементами в подсистеме и в целом в системе и записываются для однородных фазовых переменных: отдельно для потоков и потенциалов. Вывод топологических уравнений легко поддается формализации, так как опирается на общие правила функционирования любых технических подсистем, представляющие законы непрерывности и равновесия.

Математические записи физических законов в каждой подсистеме включают различные параметры и  различны по форме. Использование формальных определений, соответствующих данной подсистеме простейших элементов R, L, С и фазовых переменных, позволяет представить физические законы всех подсистем в одинаковой форме записи в виде однотипных компонентных уравнений. Такие преобразования возможны благодаря существующему подобию процессов различной физической природы по отношению к накоплению и рассеянию энергии конкретного вида.

2. Подобие процессов и явлений

Для выявления подобия процессов  и явлений применяют теорию подобия, подробно изложенную в [3]. При математическом моделировании систем, состоящих из ряда различных подсистем, подобие

процессов в этих подсистемах выражается в пропорциональном изменении во времени фазовых переменных. Поэтому модели различных подсистем можно представить совокупностью моделей одной подсистемы, например привычной для нас электрической цепью.

Для выявления возможного подобия процессов должны быть выполнены два требования к математической записи уравнений.

1. Уравнение физического процесса представляет сумму однород-

ных слагаемых ∑ⁿ⁼⁰f_j(x_j) = 0, где п — число слагаемых уравнения; i=i

X: — параметры слагаемого. Это значит, что все слагаемые имеют

одну и ту же размерность (правило  Фурье). Проверку правильности формул всегда начинают с проверки размерности  ее членов: каждое слагаемое заменяется произведением степеней ее параметров, знаки интегрирования и дифференцирования  отбрасываются, трансцендентные функции принимаются безразмерными. Также проверяется безразмерность аргументов трансцендентных функций.

2. Уравнение физического процесса должно быть полным, т.е. не содержать констант, определенных в частных случаях при конкретном выборе системы единиц измерения. Замена единиц измерения параметров в уравнении процесса не должна приводить к изменению вида уравнений.

После подтверждения исходных положений  выявление подобных процессов в  системе разнородных физических подсистем производится на основе теорем подобия: первая и вторая теоремы подобия указывают на существование определенных соотношений между параметрами подобных процессов — критериев подобия, а третья теорема вместе с дополнительными положениями к ней устанавливает необ- ^Х0Димые и достаточные условия подобия.

Критерии подобия — это безразмерные комбинации параметров процесса. Они представляют произведения параметров в соответствую щих степенях. Если известно уравнение процесса, то для нахождения критериев подобия можно использовать метод интегральных Залогов. Поясним его на конкретном примере анализа переходного процесса при включении синусоидального источника питания

^a^_msin(cD?) в электрическую цепь, составленную из резистора R,

5 ^^Шки индуктивности L и конденсатора С (рис. 5). Уравнение про-

| имеет вид

е   

где i —ток в цепи; t — время.

Рис. 5. Электрическая цепь с последовательным соединением Л, L, С элементов и источника переменного напряжения

 

Для определения  критериев подобия выполняются  следующие действия.

1. Все члены уравнения процесса делятся на любой из его членов, например на напряжение. Получаются безразмерные слагаемые

iR L d i 1

1. = + + \idt.

f/_msin(wO U_m sin(cor) dr CU_m sin(coO q

2. Каждое из полученных слагаемых записывается отдельно. При этом отбрасываются знаки интегралов и дифференциалов, а также трансцендентные функции. Полученные слагаемые, представляющие произведения параметров в соответствующих уравнению степенях, являются критериями подобия рассматриваемого процесса:

 

З.К критериям подобия добавляются  безразмерные аргументы трансцендентных  функций. В нашем случае

тс₄ = со?.

При определении критериев подобия  исходное уравнение можно разделить  на любой из членов и получить различные  формы записи критериев. Комбинации критериев подобия, полученные умножением, делением, возведением в степень и умножением на постоянный коэффициент также являются критериями подобия.

Другой способ определения критериев  подобия основывается на анализе размерностей и не требует записи уравнения процесса. Сна 
чала составляется перечень параметров процесса. Для рассмотренного примера он включает:U,i,R,L,C,(0,t (см. рис. 5). Затем определяется одна из возможных комбинаций независимых по размерностям параметров из перечня. Независимые по размерностям параметры те, единицы измерений которых не могут быть выражены через единицы измерений всех других выбранных независимых параметров. Например, напряжение U измеряется в вольтах: [ U ] = В. Выберем его в качестве первого независимого параметра. Ток i измеряется в амперах: [ i ] = А. Амперы не могут быть выражены через вольты и, поэтому можно принять ток в качестве второго независимого параметра. Сопротивление резистора R измеряется в омах [ R ] = Ом, что соответствует вольтам, деленным на амперы (Ом = В/А).

Следовательно, сопротивление резистора  не может быть принято за независимый  параметр. Единица измерения индуктивности L катушки — генри [ L ] = Гн = Вс/А, т.е. для определения генри требуется еще единица измерения времени t — секунда [ t ] = с, и индуктивность катушки может быть выбрана за независимый параметр. Единица измерения емкости С конденсатора — фарада [ С ] = Ф = Ас/В определяется через единицы измерения ранее выбранных независимыми параметры (U,i,L). В этом случае емкость конденсатора не может представлять независимый параметр, так же как и угловая частота [со] = 1/с и время [ / ] = с. Возможны и другие наборы независимых параметров: (U,i,t), (/,/?,/), (R,U,t) и т.п.

Критерии подобия записываются в виде дроби: в числителе — параметр процесса из перечня, кроме выбранных независимых параметров, в знаменателе — произведение независимых параметров в заранее неизвестных степенях:

R С

⁷¹¹ “ цЩ.цЯ2.Я£°3,Л ’ ^ ~ ц^а\,С j^a2,C£®3,С ’

HR (О _я t

^ ц^а1. (о £^а3, ш ⁴ цЩ,1 *4,

Показатели степеней при независимых  параметрах в знаменателе Должны обеспечить безразмерность критериев, т.е. размерность чис- ^ЛИтеля должна равняться размерности знаменателя. Иначе необходи- ^Мо Сразить размерности зависимых параметров процесса через раз- ^МсРности выбранных независимых параметров. Выполнение этих ^Рацнй

позволяет получить следующие формы  записи критериев 

=—; л₂ =

С CU²

U~²i²l} " Li^{2 1}

(0 mL

t tU

Они представляют линейные комбинации критериев, выведенных по методу интегральных аналогов.

Теоремы подобия имеют следующие формулировки [3].

Первая теорема. У подобных процессов  критерии подобия численно одинаковы.

Вторая теорема. Всякое полное уравнение  физического процесса, записанное в  определенной системе единиц, может  быть представлено в виде зависимости между критериями подобия.

Третья теорема. Необходимыми и  достаточными условиями подобия являются равенство определяющих критериев подобия и пропорциональность сходственных величин, входящих в условия однозначности.

Третья теорема устанавливает  для доказательства подобия жесткие  требования аналогичности математических записей уравнений процессов, что обеспечивает одинаковое число и возможные формы записи определяющих критериев подобия. Условия однозначности в макромоделировании включают начальные и граничные условия.

3. Аналогии элементов и фазовых переменных.

Компонентные  уравнения

Рассмотрим более подробно компонентные уравнения, связывающие разнородные фазовые переменные в элементах подсистем.

Электрическая подсистема — это цепи постоянного или переменного электрического тока, составленные из резисторов, катушек индуктивности, конденсаторов и источников ЭДС и источников тока. В моделях в качестве фазовых переменных используют токи в ветвях и напряжения на ее участках. Источник фазовой переменной типа потенциала в модели будет источник ЭДС, а переменной типа потока —- источник тока.

Компонентные уравнения определяют связи напряжений и токов на элементах  цепи. В электротехнике принято в качестве фазовой переменной типа потока использовать ток в цепи i, а в качестве фазовой переменной типа потенциала — напряжение U . В этом случае получаем традиционное определение элементов. 

критерий подобия щ = — .

Для собственной  индуктивности L электрической катушки в соответствии с законом электромагнитной индукции имеем: dw dvir di

jj. =-e(r) = — = ——-, где \|/ — потокосцепление катушки; i — ^L dr dz dr

~ dw \ir .di

ток в катушке. В линеином случае — = — = L = const, U_L — L—.

d/ i d t

Критерий подобия для собственной  индуктивности катушки

п₂=-—- Напряжение U_L вызвано и определяется ЭДС, индуциро- U_Lt

ванной в катушке переменным током в этой же катушке (ЭДС самоиндукции). Если переменный магнитный поток в катушке создан другим током, то получаем ЭДС взаимной индукции, напряжение которой можно выразить через взаимную индуктивность Um\2 ⁼ 1 dr, М\2= vj/j₂ //2 > ^гД^е ^_М1 — напряжение, индуциро

ванное в первой катушке  магнитным потоком, созданным током /₂ во второй катушке; М₁₂— взаимная индуктивность катушек. Критерий

подобия для взаимной индуктивности 7с₄ = ^¹²*² . Наконец, переменим^*

ный магнитный поток  может быть создан движущимся намагниченным телом — постоянным магнитом. В этом случае магнитный поток зависит от положения постоянного магнита, а ЭДС от скорости движения.

<*¥_пм(*)- d\i/_nMQc)cbr d* dr ~ dx dr’ it ' где \|/_пм(х) — потокосцепление катушки с магнитным потоком постоянного магнита; х — координата; v — скорость движения магнита.

Критерий подобия процесса возникновения ЭДС в катушке от Движущегося постоянного магнита

- ₌ Упм(*> _{или к =} УпмW_v e(t)t e(t)x

Суммарное переменное во времени потокосцепление катушки \и

создается тремя источниками: своим  током, чужим током и двиял щимся намагниченным телом. В математической модели возникав щую суммарную ЭДС можно представить:

• одной ЭДС e(t) = - d\y_L / dt;
• в виде напряжения на собственной индуктивности L и ЭДс e(0 = -d(\|/£-V_I)/(i^ индуцированной током второй катушки и движущимся постоянным магнитом;
• в виде напряжения на собственной индуктивности, на взаимной индуктивности и ЭДС, индуцированной движущимся постоянным магнитом.

Вариант принятой модели зависит от конкретной задачи. Обычно удобно включать в модель собственную и взаимную индуктивность, если они имеют постоянное значение (линейная задача).

Для электрического конденсатора С  в соответствии с законом электрической  индукции принято соотношение: i = CdU_c/it,

С = q/U , где q — заряд конденсатора. Критерий подобия для конга _v

денсатора я₃1 . Кроме модели с конденсатором процесс элек-

CUc

трической индукции может быть представлен  моделью источника

тока i = dq/dt и критерием подобия т^- — .

it

Если между элементами различных  подсистем имеются аналогии, то компонентные уравнения элементов макромоделей могут быть записаны в одинаковом виде. Обозначим фазовую переменную типа потенциала символом ф, а перемененную типа потока — символом ф. Существование аналогий предполагает запись компонентных уравнений элементов: на R — ф = фR, на L — Ld<j)/df, на С — ф = (Мф/dt. Критерии подобия должны совпадать со следующими формами записи:

щ = фД/ф; тег = Ц>/(фО; Щ = Сф/(фг). №

Для определения R, L, С в моделях используются не физические

представления элементов, а формальная математическая интерпрет³ ция их параметров. 

Предположим в электрической подсистеме сделан иной выбор фазовых переменных: ток i — переменная типа потенциала <р, а напряжение U — переменная типа потока ф. В математическом моделировании такое представление называется обращенной моделью и вполне допустимо. Как изменятся определения элементов в новой модели R\ L', С' по отношению к традиционным значениям R, L, С ?

В соответствии с общими формами  записи компонентных уравнений на резисторе фазовая переменная типа потенциала равна произведению сопротивления резистора на фазовую переменную типа потока. Следовательно, правильная запись ф = ф/? соответствует / = R'U и

сопротивление нового резистора/?' = 1//?. Аналогично новая индуктивность L' = С, а новая емкость конденсатора С = L.

В традиционном представлении электрической  цепи источник фазовой переменной типа потенциала есть источник ЭДС, а источник фазовой переменной типа потока есть источник тока. В обращенной модели ЭДС будет источником тока, а источник тока будет источником ЭДС. Изменится и схема электрической цепи. Если в традиционном представлении имели последовательное соединение ЭДС и элементов R, L, С, то в обращенной модели соединение всех элементов

будет параллельное (рис. 6).

Магнитная подсистема. Макромодель магнитной подсистемы строится на основе принятого в теоретической электротехнике определения магнитной цепи [4], т.е. используется представление пространственной картины магнитного поля в виде отдельных трубок магнитного потока. Трубка магнитного потока представляет собой мысленно выделенный в пространстве объем, ограниченный торцевыми эквипотенциальными поверхностями и боковыми силовыми поверхностями. Вектор магнитной индукции у боковой поверхности направлен по касательной, а вектор напряженности магнитного поля у торцевой поверхности по нормали. Магнитный поток по всей длине трубки постоянен. Каждая трубка потока заменяется эквивалентной

U ^т £/_msin(a>/)

Рис. & Обращенная модель электрической цепи рис. 5

 

цепью с сосредоточенными параметрами, содержащими источники магнитодвижущей силы (МДС) или потока и магнитные активные или реактивные сопротивления. Необходимо заметить, что принятая в магнитных цепях пространственная аппроксимация параметров магнитного поля не может рассматриваться как асимптотическая модель, снижающая погрешности аппроксимации при дроблении пространства на большее число трубок потока, так как форма трубок не известна заранее и не может быть уточнена по результатам макромоделирования.

В дальнейшем для анализа магнитной  подсистемы будем использовать макромодели только при незначительных магнитных потоках рассеяния, когда ошибками в определении геометрической конфигурации трубок магнитного потока можно пренебречь. В общем случае применяются методы численного анализа электромагнитного поля, т.е. микромоделирования.

В магнитной цепи приняты фазовые  переменные: магнитный потенциал ф_м и магнитный поток ф_м . Разность магнитных потенциалов есть магнитное напряжение U_M. Трубка магнитного потока имеет активное магнитное сопротивлением R_M, которое зависит от формы трубки и магнитных свойств материала. Закон Ома для магнитной цепи имеет вид f/_M = ф_м/?_м. Критерий подобия щ = ф_м/?_м /£/_м указывает на существование подобия с электрической цепью (1.1). Аналогом магнитного резистора будет электрический резистор. Источники фазовой переменной типа потенциала представлены магнитодвижущей силой (МДС) F = iN, где N — число витков катушки с током i, создающей МДС. Другой источник магнитного поля — это предварительно намагниченный постоянный магнит. Его можно моделировать источником МДС с соответствующим внутренним сопротивлением, имеющим линейные или нелинейные свойства.