Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Математические фокусы. 2

Оглавление

Введение……………………………………………………………………………………..…….2 стр.
История возникновения фокусов……………………………………………………..4 стр.
Математические фокусы…………………………………………………………………..7 стр.

«Угадай число»…………………………………………………………………………….8 стр.
Фокус “Угадать задуманный день недели”………………………………..9 стр.
«Волшебная таблица………………………………………………………………...10 стр.
Фокус «Угадай день рождения»…………………………….…………………12 стр.
Число-загадка……………………………………………………………………………14 стр.
Фокус с запиской……………………………………………………………………….15стр.
Любимое число………………………………………………………………………….16 стр.
«Сколько братьев и сестер…»……………………………………………………18 стр.
Фокус с четным числом…………………………………………………………..…20 стр.
«Феноменальная память»…………………………………………………..…21 стр.
Фокус “Угадать зачеркнутую цифру”…………………………………….22 стр.

Заключение………………………………………………………………………………………24 стр.
Литература…………………………………………………………………………………….…25 стр.
Приложение………………………………………………………………………..…………..26 стр.

Введение.

Занимательная математика – это не только разумное средство заполнения досуга людей, но и прежде всего математика, причем в лучших своих образцах - математика прекрасная. В настоящее время ценность занимательной математики общепризнана. Нет лучшего способа пробудить интерес к этой науке. Вот и математические фокусы имеют свою особую прелесть. В них изящество математических построений соединяются с занимательностью. Фокусы развивают творческие начала личности, артистические способности, стимулируют потребность в творческом самовыражении, способствуют концентрации внимания, они могут разбудить сонных, растормошить ленивых, тренируют память, служат отличным тренажером для развития интеллекта. Математический интерес каждого фокуса заключается в разоблачении его теоретических основ, которые в большинстве случаев довольно просты, но хитро замаскированы.

Меня всегда увлекали и завораживали фокусы с числами, поэтому тема моего реферата: «математические фокусы – своеобразная форма демонстраций математических закономерностей».

Цель работы: осмысление и обобщение математических закономерностей, связанных с созданием математических фокусов.

Объект анализа: математические закономерности.

Предмет анализа: числовые фокусы.

Для достижения поставленной цели необходимо выполнить следующие задачи:

Познакомиться с историей возникновения фокусов;
Рассмотреть некоторые математические фокусы;

В работе использованы методы исследования: анализ справочной, методической, занимательной литературы; сравнительный анализ, выявление аналогий.

История возникновения фокусов

Что же такое фокусы и когда они возникли? Фокус и другие виды иллюзионизма появились несколько тысячелетий до нашей эры. Самая древняя информация о выступлении фокусника, которая дошла до нас около пяти тысяч лет назад, написана на папирусе в Египте. Может, именно поэтому, Египет и считают родиной иллюзионизма.

В древности этим искусством владели жрецы-маги. Они оберегали тайны своего ремесла, а фокусы выдавали за «чудеса божьи».

Но нет ничего тайного, которое бы со временем не стало известным. Как говориться: все тайное становиться явным. Миновало время, и путешествующие артисты, раскрыв большинство секретов церковников, начали показывать фокусы непосредственно на площадях и улицах. Но, как известно истории, тогда такие демонстрации и выступления считались как божественной силой или даром, так и сговором с силами тьмы.

В XVIII в. представления фокусников усовершенствовал итальянец Джузеппе Пинетти. Именно он первым стал показывать фокусы не на базарных площадях, а на настоящей театральной сцене. Он сделал это искусством для утонченной публики, обставил фокусы пышными декорациями, замысловатыми сюжетами. В английских газетах того времени сохранились заметки о его выступлениях в Лондоне 1784 г. Пинетти удивлял зрителей своими возможностями: читал тексты с закрытыми глазами, различал предметы в закрытых коробках.

Откуда взялось слово «фокус» никто не знает. Есть несколько версий. Наиболее популярная из них – все началось с латинской фразы «хок эст корпус меум». Эта фраза переводиться как «сие есть тело моё». Она произносилась священниками при вечерней трапезе и символизировала религиозный обряд превращение хлеба в тело бога. Позднее словосочетание превратилось в «хокус-покус» и стало употребляться для обозначения всех видом превращений. В словаре русского языка написано: «Фокус - искусный трюк, основанный на обмане зрения, внимания при помощи ловкого и быстрого приема, движения».

Математические игры и фокусы появились вместе с возникновением математики, как науки. Первое упоминание о математических фокусах мы встречаем в книге русского математика Леонтия Филипповича Магницкого с длинным названием “Арифметика, сиречь наука числительная, с разных диалектов на славянский язык переведенная и воедино собрана и на две книги разделена…”, опубликованной в 1703 году и содержащей начала математических знаний того времени. Одна глава книги была названа автором “Об утешных неких действах, через арифметику употребляемых”. Эта глава содержала математические игры и фокусы. Сам Магницкий пишет, что поместил эту главу в книгу для “утехи особенно для изощрения ума учащихся”.

Все мы знакомы с творчеством великого русского поэта М.Ю. Лермонтова, но не каждому известно, что он был большим любителем математики, особенно его, привлекали математические фокусы, которых он знал великое множество, причем некоторые из них придумывал сам.

Вот отрывок из воспоминаний однополчанина поэта Е.И. Мейделя о забавном случае, связанном с пребыванием Михаила Юрьевича в крепости (в Анапе) «… Зимой офицеры анапского гарнизона, проходя службу в захолустном местечке, собирались по вечерам у кого-либо из друзей и развлекались от скуки как могли. Однажды, находясь в такой компании, Лермонтов предложил: «Задумайте какую угодно цифру, и я с помощью простых арифметических действий, которые вы будете проводить со мною, определю эту цифру». В итоге Лермонтов всегда безошибочно называл ее. Батальонный был изумлен: «Фу ты... Да вы уж не колдун ли?!» Поэт улыбнулся: «Колдун – не колдун, а математике учился».

Математические фокусы

Все современные фокусы можно разделить на несколько групп:

Мнемотехнические – передача информации на расстоянии от фокусника к ассистенту (фокусник просто шифрует информацию с помощью тех или иных кодов).

Математические – трюки, основанные на использовании математических закономерностей.

Оптические – иллюзии, основанные на явлениях преломления, отражения, интерференции, дифракции и т. п. световых лучей и особом расположении световых линз, зеркал, стекол и других оптических приборов.

Физические - фокусы, связанные с демонстрацией эффектов, основанных на действии различных физических закономерностей.

Химические – основаны на достижении иллюзионных эффектов путем использования свойств химических веществ и реакций между ними.

Графические - фокусы, которые рисуются на бумаге или холсте, основанные на искажении графического изображения.

Логические - фокусы, основанные на неверных умозаключениях, внешне кажущихся правильными. Их часто называют парадоксами и словом “софизм”.

Психологические - трюки, основанные на дефектах восприятия, на недостаточной внимательности или неполной концентрации зрителя.

Обоняния - трюки, основанные на искаженном восприятии запахов.

Осязания - фокусы, основанные на использовании искажений, связанных с тактильными ощущениями.

Звуковые - фокусы, основанные на искажении звуковых эффектов.

Пластические - фокусы, основанные на пластических приемах, создающих иллюзию выполнения какого-либо действия.

Я же, остановила свой выбор на математических фокусах, так как они для меня более интересны, увлекательны и я уже давно интересуюсь занимательной математикой.

Фокус «Угадай число»

Содержание фокуса.

Задумайте число,

после этого число необходимо умножить на 2,

прибавить к результату 8,

разделить результат на 2 и

задуманное число отнять.

Ответ: число 4.

Секрет фокуса.

Например, задумано число 7.

7x2= 14

14+ 8= 22

22: 2= 11

11- 7= 4

Математическую сущность фокуса найдем при помощи уравнения, где х - задуманное число:

(х*2+8)/2-х=4

(2х+8)/2-х=4

х+4-х=4

4=4

Фокус “Угадать задуманный день недели”.

Содержание фокуса.

Пронумеруем все дни недели: понедельник – первый, вторник – второй и т.д. Загадайте любой день недели.

Необходимо умножить номер задуманного дня на 2, к произведению прибавить 5, полученную сумму умножить на 5, к полученному числу приписать в конце 0, прошу сообщить результат.

Ответ: из результата нужно вычесть числа 250 и число сотен будет номером задуманного дня недели.

Секрет фокуса.

Допустим, задуман четверг, то есть 4 день. Выполним действия: ((4*2+5)*5)*10=650, 650 – 250=400.

Математическую сущность фокуса найдем при помощи уравнения, где х- задуманный день недели:

((х*2+5)*5)*10-250=100х

(2х+5)*5)*10-250=100х

(10х+25)*10-250=100х

100х+250-100х=250

250=250

Фокус “Волшебная таблица”

Содержание фокуса.

Таблица в приложении, в которой известным образом в пяти столбцах записаны числа от 1 до 31. Прошу задумать любое число из этой таблицы и указать, в каких столбиках таблицы находится это число (см. приложение 1). После этого я назову задуманное вами число.

Секрет фокуса:

Например, вы задумали число 27. Это число находится в 1-ом, 2-ом, 4-ом и 5-ом столбиках. Достаточно сложить числа, расположенные в последней строке таблицы в соответствующих столбиках, и получим задуманное число. (1+2+8+16=27).

Математическая сущность фокуса:

Данная таблица построена (заполнена числами) по принципу сложения 5 отдельно взятых чисел 1, 2, 4, 8 и 16. Заполнялась она следующим образом 1 идет в первый столбец, далее по порядку начинаем складывать 1 с остальными числами и результаты размещаем в столбцы этих слагаемых. Например (нумерация столбцов по верхней строке)

Если сложить 1 +2=3, следовательно, 3 надо разместить в столбец 1 и 2

Если сложить 1 + 4=5, следовательно, 5 надо разместить в столбец 1 и 3

Если сложить 1 + 8=9, следовательно, 9 надо разместить в столбец 1 и 4

….

Если сложить 1 + 2+4+8=15, следовательно, 15 надо разместить в столбцы 1,2,3 и 4

Если сложить 1+2+4+8+16=31, следовательно, 31 надо разместить во всех столбцах

Получается, что в столбцах размещены суммы слагаемых из нижней строчки.

При помощи этих чисел можно получить путем сложения все числа от 1 до 31.

Затем необходимо переписать числа в таблицу в каждый столбец по возрастанию и «волшебная таблица готова».

Фокус «Угадай день рождения»

Содержание фокуса.

Объявите зрителям, что вы сможете угадать день рождения любого незнакомого человека, сидящего в зале.

Вызовите любого желающего и предложите ему умножить на 2 число дня своего рождения.

Затем пусть зритель сложит получившееся произведение и число 5,

теперь пусть умножит на 50 полученную сумму.

К этому результату необходимо прибавить номер месяца рождения (июль — 7, январь — 1 и т.д.)

Необходимо назвать полученное число.

Через секунду вы называете день и месяц рождения зрителя.

Секрет фокуса.

Все очень просто. В уме от того числа, которое назвал зритель, нужно отнять 250.

Должно выйти трехзначное или четырехзначное число. Первая и вторая цифры — день рождения, две последние — месяц.

Математическая сущность фокуса :

в месяце максимум 31 день и это «Х» и в году 12 месяцев и это «Y». Фокусник задает последовательность математических действий

(((x*2)+5)*50)+ y — 250

Раскроем скобки

х*2*50 + 5 *50 + y -250

x*100+250+y-250

x*100+y

Подставив в последнее выражения вместо х числа от 1 до 31 и вместо у числа от 1-12 получаем значения от 101 до 3112 .

Дни рождения меньше 10 и плюс любой месяц дают следующие интервалы значений

1*100 +у = 101...112

2*100+у=201...212

3*100+у=301...312

….

9*100+у=901...912

Получится всегда трехзначное число.

Первое число - день рождения, а последние два числа - месяц рождения .

Если в середине ноль, то его надо отбросить, чтобы назвать месяц рождения.

В случае, когда день рождения двузначное число, то мы получим четырёхзначное число в следующих интервалах

10*100+у=1001...1012

…

31*100+у=3101...3112

Первые два числа - это строго день рождения, а вторые два числа - это месяц рождения. Если два последних числа 01 или 02 ...09, то ноль, соответственно, отбрасывается.

Используя принципы позиционной системы исчисления и правила арифметических действий, такие «завуалированные» математические действия с двухзначными числами (когда одно число умножается на 100 ,а затем прибавляется еще одно двухзначное число) позволяет получить на позициях сотен и тысяч первое задуманное число, а на позициях десятков и единиц второе задуманное число.

Число-загадка

Содержание фокуса:

Попросите зрителя написать любое трехзначное число, но только такое, чтобы крайние цифры отличались друг от друга на число, которое укажет фокусник. Пусть затем он поменяет местами в этом числе крайние цифры. Получится еще одно число. Далее предложите зрителю вычесть меньшее число из большего. Разность всегда делится на 9, и фокусник может всегда сказать наперед, каким будет частное от деления этой разности на 9.

Секрет фокуса:

Частное же равняется указанной фокусником разности между крайними цифрами числа, умноженной на 11. Например, если сначала взять число 845, то 845-548=279; 279/9=33=11·(8-5).

Математическая сущность фокуса:

Чтобы доказать это правило, заметим, что каждое трехзначное число можно представить в виде 100a+10b+с, тогда число с переставленными цифрами будет равно 100c+10b+a.

Вычитая второе из первого и деля его на 9, имеем:

100a+10b+с-(100c+10b+a)/9=99(a-c)/9=11(a-c)

Фокус с запиской

Содержание фокуса:

Напишите на бумажке число 1089, вложите бумажку в конверт и запечатайте его. Затем предложите кому-нибудь написать на этом конверте любое трехзначное число, но такое, чтобы крайние цифры в нем были различны и отличались друг от друга более чем на единицу. Пусть затем он поменяет местами крайние цифры и вычтет из большего трехзначного числа меньшее. В результате пусть он опять переставит крайние числа, и получившееся число прибавит к разности первых двух. Когда он получит сумму, предложите ему вскрыть конверт. Там он найдет бумажку с числом 1089, которое, к удивлению, и есть полученное им число.

Секрет фокуса:

Секрет этого фокуса заключается в том, что разность между любым трехзначным числом, полученным из него перестановкой крайних цифр, всегда делится на 99. (см. предыдущий фокус). Так как крайние цифры отличаются более чем на единицу, то эта разность обязательно будет трехзначным числом, обозначим ее 100k+10l+m.

Математическая сущность фокуса:

Имеем: 100k+10l+m=99k+(10l+m+k).

Так как разность делится на 99, то это равенство показывает, что обязательно: 10l+m+k=99, откуда вытекает, что l=9, m+k=9. Число с переставленными крайними цифрами имеет вид 100k+10l+k, и сумма равняется: 100k+10l+m+100m+10l+k=100(k+m)+20l+(m+k)=100·9+20·9+9=1089.

Любимое число

Содержание фокуса:

Попросите кого-нибудь сообщить вам его любимую цифру. Допустим, вам назвали цифру 6.

После попросите собеседника умножить его любимую цифру на число значащих цифр, т.е. на 9, и полученное число (54) подпишите множителем под числом 12 345 679:

12 345 679

х 54

Что получиться в произведении?
Ваш собеседник выполняет умножение и с изумлением получает результат, состоящий сплошь из его любимых цифр:
6 666 666 666

Однако в чем тут дело?

Точно такой же изысканный вкус оказался бы у вашего собеседника, если бы он избрал какую угодно другую из девяти значащих цифр, потому что каждая из них обладает тем же свойством:

12 345 679

х 4 х 9

444 444 444

12 345 679

х 7 х 9

777 777 777

Секрет фокуса:

Откуда такая закономерность в результатах?

Пример во внимание, что

12 345 678*9+9=(12 345 678+1)*9=12 345 679*9

Поэтому

12 345 679*9=111 111 111.

Математическая сущность фокуса:

А это объясняется числовой пирамидой:

1*9+2=11

12*9+3=111

123*9+4=1111

1234*9+5=11111

12345*9+6=111111

123456*9+7=1111111

1234567*9+8=11111111

12345678*9+9=111111111

«Сколько братьев и сестер…»

Содержание фокуса:

Вы сможете угадать, сколько братьев, сестер, дедушек и бабушек у вашего приятеля, после того как он выполнит несколько арифметических действий на калькуляторе!

Пример:

Допустим, у вашего приятеля: братьев — 4; сестер — 3; бабушек и дедушек — 2.

Предложите приятелю:

Набрать на калькуляторе цифру, соответствующую количеству братьев– 4

Умножить это число на 2. 4´2=8
Прибавить к произведению 3 8 + 3=11
Умножить полученную сумму на 5. 11 ´ 5 = 55

4.Прибавить к результату сестер. 55 + 3 = 58

5. Умножить полученную сумму на 10 58 ´ 10 = 580

6. Прибавить бабушек и дедушек. 580 + 2 = 582

7. И, наконец, прибавить 125. 582 + 125 = 707

Закончив вычисления, попросите у приятеля калькулятор с результатом на табло. Вычтите из него 275, и на табло чудесным образом появится количество братьев, сестер и бабушек с дедушками!

Для нашего примера 707 – 275 = братья ® 432 ¬ бабушки и дедушки

сестры

Исключения:

1. Если после вычитания числа 275 на табло появится двузначное число, значит, у вашего приятеля нет братьев.

Пример 12 = 012; следовательно, число братьев равно 0.

2.Если после вычитания числа 275 на табло явится, лишь одна цифра, значит, у вашего приятеля нет ни братьев, ни сестер.

Пример 2 = 002;

Следовательно, число братьев равно нулю и число сестер также равно нулю.

Фокус с четным числом.

Содержание фокуса:

Предложите кому-нибудь задумать четное число. Затем утроить его, затем взять половину полученного числа и опять утроить ее. Если он скажет, чему равно частное отделение найденного числа на 9, то вы назовете задуманное число.

Математическая сущность фокуса:

Переведем команды на язык алгебры:

2n – четное число. После выполнения команд получаем: 2n · 3 = 6n; 6n : 2 = 3n; 3n · 3 = 9n ; 9n : 9 = n; n. n – половина задуманного числа. Чтобы назвать задуманное число, вы должны сообщенное число умножить на 2.

Пример. Пусть задумано 6. после утроения получаем 18, половина этого числа равна 9, утроив, получаем 27. Если теперь разделить на 9, то получим 3, т. е. половина задуманного числа.

Можно предложить любое задуманное целое число. Если утроенное задуманное число на 2 не делится, то к утроенному числу нужно добавит 1, а потом разделить на 2, и действовать как описано выше. Нужно также иметь ввиду, что в этом случае при угадывании числа после удвоения нужно обязательно прибавит 1. Проверим это правило для нахождения любого задуманного числа. Если задумано число четное, проверка уже сделана. Пусть теперь задумано нечетное число 2n + 1, наши действия принимают вид:

(2n · 3) = 6n + 3;. Поскольку это число на 2 не делится, то, прибавляя 1 находим: 6n + 3 + 1 = 6n + 4. разделив это число на 2 получим: 3n + 2.

(3n + 2) · 3 = 9n + 6. частное отделения 9n + 6 на 9 равно n. (остаток равен 6). Удваивая это частное и прибавляя 1, находим задуманное число 2n + 1.

“Феноменальная память”.

Содержание фокуса:

Для проведения этого фокуса необходимо заготовить много карточек, на каждой из которых поставить ее номер (двузначное число) и записать семизначное число по особому алгоритму. “Фокусник” раздает карточки участникам и объявляет, что он запомнил числа, записанные на каждой карточке. Любой участник называет номер каточки, а фокусник, немного подумав, говорит, какое на этой карточке записано число.

Секрет фокуса:

Разгадка данного фокуса проста: чтобы назвать число “фокусник” проделывает следующие действия – прибавляет к номеру карточки число 5, переворачивает цифры полученного двузначного числа, затем каждая следующая цифра получается сложением двух последних, если получается двузначное число, то берется цифра единиц. Например: номер карточки – 46. Прибавим 5, получим 51, переставим цифры – получим 15, будем складывать цифры, следующая – 6, затем 5+6=11, т. е. возьмем 1, потом 6+1=7, дальше цифры 8, 5. Число на карточке: 1561785.

Фокус “Угадать зачеркнутую цифру”

Содержание фокуса:

Пусть кто-либо задумает какое-нибудь многозначное число, например, число 847. Предложите ему найти сумму цифр этого числа (8+4+7=19) и отнять ее от задуманного числа. Получится: 847-19=828. в том числе, которое получится, пусть он зачеркнет цифру – безразлично какую, и сообщит вам все остальные. Вы немедленно назовете ему зачеркнутую цифру, хотя не знаете задуманного числа и не видели, что с ним проделывалось.

Секрет фокуса:

Выполняется это очень просто: подыскивается такая цифра, которая вместе с суммою вам сообщенных цифр составила бы ближайшее число, делящееся на 9 без остатка. Если, например, в числе 828 была зачеркнута первая цифра (8) и вам сообщили цифры 2 и 8, то, сложив 2+8, вы соображаете, что до ближайшего числа, делящегося на 9, т. е. до 18 – не хватает 8. Это и есть зачеркнутая цифра.

Почему так получается?

Математическая сущность фокуса:

Потому что если от какого-либо числа отнять сумму его цифр, то останется число, делящееся на 9 без остатка, иначе говоря, сумма цифр которого делится на 9. В самом деле, пусть в задуманном числе а – цифра сотен, в – цифра десятков, с – цифра единиц. Значит всего в этом числе единиц 100а+10в+с. Отнимая от этого числа сумму цифр (а+в+с), получим: 100а+10в+с-(а+в+с)=99а+9в=9(11а+в), т.е. число, делящееся на 9. При выполнении фокуса может случиться, что сумма сообщенных вам цифр сама делится на 9, например 4 и 5.Это показывает, что зачеркнутая цифра либо 0, либо 9.Тогда вы должны ответить: 0 или 9.

Заключение

В своем реферате я пыталась рассмотреть математические фокусы. Мне было интересно доказать, что математические фокусы, не что иное, как своеобразная форма демонстрации математических закономерностей. Интересно было узнать, что для угадывания возраста и даты рождения, состава семьи, любимого числа и т.д., является понятие состава числа. Я узнала, что секретом отгадывания большинства фокусов являются уравнения.

В ходе подготовки реферата была достигнута основная цель - осмысление и обобщение математических закономерностей, связанных с созданием математических фокусов. В результате проделанной работы можно сформулировать несколько выводов:

Фокусы появились несколько тысячелетий назад до нашей эры. А математические фокусы возникли и стали развиваться с возникновением математики, как науки.
Математические фокусы – это эксперименты, основанные на математике, на свойствах фигур и чисел, и лишь обличенные в экстравагантную форму. И понять суть того или иного эксперимента – это значит понять пусть небольшую, но математическую закономерность.

Литература:

М. Гарднер «Математические чудеса и тайны» Москва «Наука» 1970
Б. А. Кордемский «Математическая смекалка» Москва Просвещение 1957
Я. И Перельман «Занимательная алгебра» Москва «Наука» 1970
Я. И. Перельман «Занимательные задачи и опыты» Минск «Беларусь» 1994
В.В. Трошин «Магия чисел и фигур» Москва «Глобус» 2007
365 веселых игр и фокусов. Москва АСТ - пресс 2005
moikompas.ru/compas/focus_pocus
deltadim.narod.ru/matfocus.htm
nauka.relis.ru/52/0002/52002048.htm

Приложение

Фокус "Волшебная таблица"

5	4	3	2	1
16	8	4	2	1
17	9	5	3	3
18	10	6	6	5
19	11	7	7	7
20	12	12	10	9
21	13	13	11	11
22	14	14	14	13
23	15	15	15	15
24	24	20	18	17
25	25	21	19	19
26	26	22	22	21
27	27	23	23	23
28	28	28	26	25
29	29	29	27	27
30	30	30	30	29
31	31	31	31	31
16	8	4	2	1

Математические фокусы. 2 📙 Реферат → 🆔 142150