Математические фокусы

Министерство  образования и науки РФ

Муниципальное общеобразовательное  учреждение

Средняя общеобразовательная  школа

с. Песочнодубровка  Кожевниковского  района

Томской области.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РЕФЕРАТ

 

по теме: Математические фокусы

 

 

 

 

 

Выполнила:

ученица 11  класса

Павлова Влада

Руководитель:

Гуленкина В. В.

учитель математики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2009г

 

Оглавление:

Введение

1-Магические таблицы для угадывания чисел…………………………………….3

1.1 Волшебные таблицы; 1.2 Волшебный веер;  1.3 Угадывание чисел на шестиугольниках………………………………………………………………...5

2-Фокусы с  настенным календарем………………………………………………...9

2.1Фокус-предсказание;  2.2 Фокус с нахождением суммы; 2.3 Вычисления вслепую.

3- Фокусы с  прикосновениями…………………………………………………….12

    3.1 Волшебная карта цветов; 3.2 Задумайте животное.

4- Фокусы на нахождение числа…………………………………………………..13

       4.1 Число – загадка; 4.2  Фокус с запиской.

5- Фокусы с мелкими предметами (домино, игральные кости и монеты)……...15

       5.1 Фокус с домино;  5.2 Фокусы с игральными костями;  5.3 Фокус с монетами.

6- Фокус с предопределенным выбором………………………………………….19

       6.1 Фокус Дэвида Копперфильда.

7- Фокусы с уравнениями………………………………………………………….21

     8- Числовые фокусы…………………………………………………………….23

      8.1. «Сколько братьев и сестер…»    8.2 Фокус с четным числом;    

      8.3 Фокус с книгой;

  Заключение………………………………………………………………………..28

Приложение 1. Таблица  для угадывания чисел от 1 до 63………………………30   

 

     

 

 

Введение

Тема моего  реферата выбрана не случайно. Летом  я получила письмо следующего содержания: «Жизнь как арифметические действия! Каждый день мы сталкиваемся с теми или иными действиями. А я предлагаю тебе совершить магический обряд над датой твоего рождения. Этот ритуал позволит улучшить свою жизнь. Вы должны  написать на листке число месяца вашего рождения и сделать следующее: это число удвоить; полученное число умножить на 10; к итогу прибавить 73, и сумму умножить на 5, а к итогу прибавить порядковый номер месяца рождения. Записать конечный результат на лист и, сложив его пополам, подержать его в руке. По этому числу я смогу сказать кое-что о тебе. После перепиши это послание и отдать пяти знакомым, а полученное число, записанное отдельно и сохрани, а если же захочешь узнать секрет моего дара и приобрести его принеси мне свое число я не оставлю тебя без дара. Вы можете не верить в это, но это действительно действует. Не оставляйте письмо не переписанным, а то случится несчастье».

Я решил не нести  это число, а самой попробовать  разобраться в этом «даре». Для  этого перевела команды на язык математики и увидела, что это было ни что иное как простой математический фокус, секрет которого я  раскрою в своем реферате. После этого случая я и решила больше узнать о математических фокусах.

Цель моего  реферата доказать, что математические фокусы - это ни что иное как решение математических задач, завуалированные в особую форму.  

Задачи, которые  я ставила перед собой:

  1. Сбор материала по теме реферата и его обработка;
  2. Обобщение материала;
  3. Оформление полученного мною материала;   
  4. Подготовка презентации;
  5. Презентация реферата на уроках и школьном математическом вечере;

Моя работа состоит  из семи параграфов. Мной были изучены  и обработаны материалы литературные источники, среди которых  учебная, справочная, научно-популярная литература и интернет-сайт. Оформлено приложение, в котором содержатся таблицы, рисунки,  карточки, а также подготовлена презентация, сделанная редакторе  Power Poınt.   

Математические  фокусы не пользуются особым вниманием  ни у математиков, ни у фокусников. Математикам они сложны, рассматривать их как забаву, фокусники пренебрегают ими как слишком скучным делом. И все-таки математические фокусы имеют свою особую прелесть.

Математические  фокусы - очень своеобразная форма  демонстраций математических закономерностей. В математических фокусах изящество математики соединяется с занимательностью.

Математические  фокусы – это эксперименты, основанные на математике, на свойствах фигур  и чисел, и лишь обличенные в экстравагантную  форму. И понять суть того или иного эксперимента – это значит понять пусть небольшую, но математическую закономерность.

Каждый из нас, несомненно, встречался с «фокусами» по отгадыванию чисел. Фокусник обычно предлагает выполнить действия следующего характера: задумайте число, прибавьте 2, умножьте на 3, отнимите 5, отнимите задуманное число и т. д. всего пяток, а то и десяток каких – либо действий. Затем фокусник спрашивает, что у вас получилось в результате, и, получив ответ, мгновенно сообщает задуманное вами число.

Удивительной  для непосвященных кажется, способность человека отгадывать задуманные другими числа. Но если вы узнаете секрет математических фокусов, то сможете не только их показывать, но и придумывать свои новые фокусы. Секрет фокуса становится понятен, если записать предложенные действия в виде алгебраического выражения, где выполнены действия, получаем секрет отгадывания чисел.

В своей работе покажем секреты отгадывания  чисел, классифицируя их по параграфам:

1-Магические  таблицы для угадывания чисел;

2-Фокусы с  настенным календарем;

3- Фокусы с прикосновениями;

4- Фокусы на нахождение числа;

5- Фокусы с мелкими предметами (домино и игральные кости);

6- Фокус с предопределенным выбором;

7- Фокусы с уравнениями;

1. Магические таблицы для угадывания чисел.

Название этого  параграфа, в какой – то степени шутка, но оно объясняется тем, что здесь собраны элементы магии чисел и фигур, которые можно использовать на практике. Речь идет не об изготовлении талисманов с магическими квадратами, хотя в наше время целителей и экстрасенсов, может быть и пошло бы на ура. Просто, описанные здесь предметы, можно изготовить и с их помощью показать фокус, выступить на школьном вечере или на встрече друзей, повеселить или удивить своих знакомых. Начнем с числовых таблиц, с помощью которых можно продемонстрировать друзьям свои удивительные математические способности.

Волшебная таблица.

В этой таблице  написаны известным образом все  числа от 1 до 31. Таблица эта отличается следующим «волшебным свойством»

Задумайте, какое  угодно число, не больше 31, и укажите, в каких столбцах этой таблицы находится задуманное вами число, и я тотчас же «угадаю» это число.

Магическая таблица  для угадывания чисел:

 

        1

         2

          3        

              4

            5

16

8

4

2

1

17

9

5

3

3

18

10

6

6

5

19

11

7

7

7

20

12

12

10

9

21

13

13

11

11

22

14

14

14

13

23

15

15

15

15

24

24

20

18

17

25

25

21

19

19

26

26

22

22

21

27

27

23

23

23

28

28

28

26

25

29

29

29

27

27

30

30

30

30

29

31

31

31

31

31


 

 

Для отгадывания нам нужно  хорошо знать степени числа 2.

20=1, 21=2, 22=4, 23=8, 24=16

Первому столбцу  соответствует 24=16, второму 23=8, третьему 22=4, четвертому 21=2 и пятому 20=1. Всего лишь на всего нужно в уме сложить числа, соответствующие названным столбцам.

Секрет  основан на кодировании чисел  в двоичной системе счисления. Каждое из чисел от 1 до 31 переведено в двоичную запись и расставлено в таблице в соответствии с этим кодом.

Например, в какие столбцы нужно записать число 27? Для этого переведем число 27 в двоичную систему:

Значит 27 надо записать в 1, 2, 4 и 5 столбцах.

Вместо данной таблицы можно взять «волшебный веер». С его помощью тоже можно  отгадать любое задуманное число  от 1 до 31. Фокусник просит указать, на каких  лепестках веера написано задуманное число. (Слайд 3).

Основываясь на том же принципе можно составить таблицу крупнее, из чисел от 1 до 63. В этом случае в ней будет шесть столбцов, первому будет соответствовать значение 25=32, второму 24=16 и т. д.  Эти числа как раз стоят в первой строчке таблицы. Нам остается только хорошо их запомнить, чтоб потом на таблицу не смотреть. Рассмотрим несколько примеров записи чисел в таблицу от 1 до 63. К примеру, возьмем числа 33 и 37:

  33=(100001)2

Значит,  число 33 нужно поставить в 1 и в 6 столбцах.

37= (100101)2

Из  этого следует, что число 37 нужно записать в 1, 4 и 6 столбцах. 

Таким образом, можно разместить по нужным столбцам все числа от 1 до 63 и получим  таблицу для отгадывания задуманных чисел от 1 до 63.

Таблица для отгадывания чисел от 1 до 63. (Приложение 1).

 

Угадывание чисел на шестиугольнике.

Этот фокус  тоже относится к разделу угадывания чисел по таблице в данном случае в шестиугольнике. Для этого необходимо задумать любое число, стоящее в лучах пятиконечной звезды и сказать в каком луче оно находится. Затем на другом шестиугольнике с окружностями сказать, в каком ряду находится задуманное число. По этим данным можно безошибочно сказать, какое число вы задумали. (Слайд 4, 5) .

  Секрет заключается в следующем. Все числа, которые на одном рисунке  расположены в первом  луче звезды, на другом расположены на первой окружности от центра.

Соответственно  числа второго луча - на второй окружности  от центра и т. д. Следовательно, цифра, названная вам первой, указывает  номер окружности от центра, а вторая цифра – номер ряда на первом рисунке. Это позволяет сразу же назвать задуманное число. Например, задумали число и сказали, что оно находится на шестом луче. Это же число на другом рисунке оказалось в четвертом ряду. Значит, вам нужно назвать число из четвертого ряда, стоящее на шестой окружности от центра – это число 6.

2. Фокусы с настенным календарем.

Фокус – предсказание.

Предупредив зрителей, что вы обладаете даром прорицания и умеете проводить в уме быстрое  сложение нескольких чисел, попросите кого-то обвести на настенном календаре в любом месте любой квадрат из 16 чисел. Бегло посмотрев на обведенную фигуру, вы записываете на листке предсказание, кладете его в конверт и отдаете на хранение зрителю. Затем просите зрителя выбрать любое число в этом квадрате, обвести его кружком и вычеркнуть все числа, находящиеся в той же строчке и в том же столбике, что и обведенное число. В качестве второго числа зритель может обвести кружком любое число, оставшееся не зачеркнутым. После этого он должен вычеркнуть все числа, стоящие в одной строчке и в одном столбике со вторым обведенным числом. Так же выбирается третье число, а соответствующие столбик и строчка вычеркиваются. В результате этих операций останется не зачеркнутым одно единственное число. Его тоже нужно обвести кружком и подсчитать сумму четырех чисел, выбранных абсолютно случайным образом.

ПН

  

7

14

21

28

ВТ

  1

8

15

22

29

СР

Х

Х

16

Х

30

ЧТ

3

Х

Х

Х

31

ПТ

Х

Х

Х

25

  

СБ

Х

12

Х

Х

  

ВС

6

13

20

27

  



 

                                                                                                     

 

         

 

 

 

 

В финале эффектно предлагаете  достать из конверта листок и убедиться, что на нем заранее была написана именно эта сумма.

Чтобы это сделать, нужно было сложить два числа, находящихся на двух диагонально  противоположных углах квадрата (безразлично какая пара из двух возможных берется) и удвоить найденную сумму.

Сумма чисел, выбранных  по одному из каждой строки и каждого  столбца квадрата, равно сумме  чисел на диагонали. Эта последняя  есть сумма четырех членов арифметической прогрессии с разностью 8 и равна, в силу известной формулы, удвоенной суммы первого и последнего членов.

Например, рисунок приведенный  выше. После вычеркивания и обведения  трех чисел осталось число 12. Найдем сумму: 3+18+23+12=56. Также, если мы (5+23)*2=56

Фокус с нахождением суммы.

В этом фокусе фокусник очень быстро может отгадать сумму  чисел, входящих в обведенный квадрат  на календаре. Для этого снова просите зрителя обвести на настенном календаре в любом месяце квадрат, содержащий 16 чисел.

Взглянув на него ровно секунду, отворачиваетесь  и через мгновение, необходимое для умножения суммы двух чисел, стоящих на противоположных концах любой диагонали, обведенного квадрата, на восемь.

ПН

  

7

14

21

28

ВТ

  1

8

15

22

29

СР

2

9

16

23

30

ЧТ

3

10

17

24

31

ПТ

4

11

18

25

  

СБ

5

12

19

26

  

ВС

6

13

20

27

  



 

     

 

 

 

 

 

 

    2. Фокусы с настенным календарем.

Фокус – предсказание.

Предупредив зрителей, что вы обладаете даром прорицания и умеете проводить в уме быстрое  сложение нескольких чисел, попросите кого-то обвести на настенном календаре в любом месте любой квадрат из 16 чисел. Бегло посмотрев на обведенную фигуру, вы записываете на листке предсказание, кладете его в конверт и отдаете на хранение зрителю. Затем просите зрителя выбрать любое число в этом квадрате, обвести его кружком и вычеркнуть все числа, находящиеся в той же строчке и в том же столбике, что и обведенное число. В качестве второго числа зритель может обвести кружком любое число, оставшееся не зачеркнутым. После этого он должен вычеркнуть все числа, стоящие в одной строчке и в одном столбике со вторым обведенным числом. Так же выбирается третье число, а соответствующие столбик и строчка вычеркиваются. В результате этих операций останется не зачеркнутым одно единственное число. Его тоже нужно обвести кружком и подсчитать сумму четырех чисел, выбранных абсолютно случайным образом.

ПН

  

7

14

21

28

ВТ

  1

8

15

22

29

СР

Х

Х

16

Х

30

ЧТ

3

Х

Х

Х

31

ПТ

Х

Х

Х

25

  

СБ

Х

12

Х

Х

  

ВС

6

13

20

27

  



 

                                                                                                     

 

         

 

 

 

 

В финале эффектно предлагаете  достать из конверта листок и убедиться, что на нем заранее была написана именно эта сумма.

Чтобы это сделать, нужно было сложить два числа, находящихся на двух диагонально противоположных углах квадрата (безразлично какая пара из двух возможных берется) и удвоить найденную сумму.

Сумма чисел, выбранных  по одному из каждой строки и каждого  столбца квадрата, равно сумме  чисел на диагонали. Эта последняя есть сумма четырех членов арифметической прогрессии с разностью 8 и равна, в силу известной формулы, удвоенной суммы первого и последнего членов.

Например, рисунок приведенный  выше. После вычеркивания и обведения  трех чисел осталось число 12. Найдем сумму: 3+18+23+12=56. Также, если мы (5+23)*2=56

Фокус с нахождением суммы.

В этом фокусе фокусник очень  быстро может отгадать сумму чисел, входящих в обведенный квадрат на календаре. Для этого снова просите  зрителя обвести на настенном  календаре в любом месяце квадрат, содержащий 16 чисел.

Взглянув на него ровно секунду, отворачиваетесь  и через мгновение, необходимое  для умножения суммы двух чисел, стоящих на противоположных концах любой диагонали, обведенного квадрата, на восемь.

ПН

  

7

14

21

28

ВТ

  1

8

15

22

29

СР

2

9

16

23

30

ЧТ

3

10

17

24

31

ПТ

4

11

18

25

  

СБ

5

12

19

26

  

ВС

6

13

20

27

  



 

     

 

 

 

 

 

 

    Например, из выделенного квадрата сложим 1 и 25 и умножим сумму на 8. (1+25)*8=208. Значит, сложив числа 1+2+3+4+8+9+10+11+15+16+17+18+22+23+24+25=208.

Вычисления вслепую.

Каждый следующий  номер должен быть менее трудоемок  для зрителей, чтобы не переутомить  их и, вместе с тем, более эффектен. На этот раз вообще не смотрим на календарь и стоим, повернувшись спиной к зрителям, а один из них по нашему распоряжению выбирает на настенном календаре любой месяц и обводит на нем какой–нибудь квадрат, содержащий 9 чисел. Мы же просим самую малость : назвать наименьшее из чисел, попавших в этот квадрат, чтобы через пару мгновений назвать сумму этих девяти чисел. Объяснение наших действий. Нужно прибавить к названному числу 8 и результат умножить на 9.

Если – m наименьшее число в указанном квадрате, то весь квадрат имеет вид

  

     m

 

     m+7

 

     m+14

 

     m+1

 

     m+8

 

     m+15

 

     m+2

 

       m+9

     

 

    m+16


И сумма всех чисел квадрата равна 9m+72=9(m+8).

ПН

  

7

14

21

28

ВТ

  1

8

15

22

29

СР

2

9

16

23

30

ЧТ

3

10

17

24

31

ПТ

4

11

18

25

  

СБ

5

12

19

26

  

ВС

6

13

20

27

  



 

     

 

 

 

 

 

 

Вычисления  для данного примера: (8+8)·9=144 и гораздо длиннее 8+15+22+9+16+23+10+17+24=144

3. Фокусы с прикосновениями.

Волшебная карта цветов.

Зритель задумывает цветок (Слайд 6), и фокусник начинает перебирать карандашом цветы. При каждом прикосновении зритель называет про себя одну букву из названия выбранного цветка и произносит вслух: «стоп» когда его слово будет исчерпано. Указка и будет остановлена около задуманного цветка. Первое прикосновение делается около фиалки, далее обходятся цветы против часовой стрелки через один. .

 

Задумайте животное.

Зритель задумывает какое-нибудь животное (Слайд 7) и произносит про себя название его по буквам, в то время как показывающий дотрагивается до рисунка. .

Начав с жеребенка, он переходит затем  вверх по линии к гиппопотаму и так продолжает обход всех животных, двигаясь в направлениях, указываемых линиями, пока зритель не дойдет до последней буквы своего слова и не скажет «стоп».

 

 

4. Фокусы на нахождение задуманного числа.

Число-загадка.

Попросите зрителя написать любое трехзначное число, но только такое, чтобы крайние цифры отличались друг от друга на число, которое укажет фокусник. Пусть затем он поменяет местами в этом числе крайние цифры. Получится еще одно число. Далее предложите зрителю вычесть меньшее число из большего. Разность всегда делится на 9, и фокусник может всегда сказать наперед, каким будет частное от деления этой разности на 9.

Частное же равняется указанной фокусником разности между крайними цифрами  числа, умноженной на 11. Например, если сначала взять число 845, то 845-548=279; 279/9=33=11·(8-5).

Чтобы доказать это правило, заметим, что  каждое трехзначное число можно представить в виде 100a+10b+с, тогда число с переставленными цифрами будет равно 100c+10b+a.

Вычитая второе из первого и деля его на 9, имеем:

100a+10b+с-(100c+10b+a)/9=99(a-c)/9=11(a-c)

Фокус с запиской.

Напишите на бумажке число 1089, вложите бумажку  в конверт и запечатайте его. Затем предложите кому-нибудь написать на этом конверте любое трехзначное число, но такое, чтобы крайние цифры в нем были различны и отличались друг от друга более чем на единицу. Пусть затем он поменяет местами крайние цифры и вычтет из большего трехзначного числа меньшее. В результате пусть он опять переставит крайние числа, и получившееся число прибавит к разности первых двух. Когда он получит сумму, предложите ему вскрыть конверт. Там он найдет бумажку с числом 1089, которое, к удивлению, и есть полученное им число.

Секрет  этого фокуса заключается в том, что разность между любым трехзначным числом, полученным из него перестановкой крайних цифр, всегда делится на 99. (см. предыдущий фокус). Так как крайние цифры отличаются  более чем на единицу, то эта разность обязательно будет трехзначным числом, обозначим ее 100k+10l+m.

Имеем: 100k+10l+m=99k+(10l+m+k).

Так как разность делится на 99, то это  равенство показывает, что обязательно: 10l+m+k=99, откуда вытекает, что l=9, m+k=9. Число с переставленными крайними цифрами имеет вид 100k+10l+k, и сумма равняется: 100k+10l+m+100m+10l+k=100(k+m)+20l+(m+k)=100·9+20·9+9=1089.

5. Фокусы с мелкими предметами (игральной костью и домино).

Пожалуй, почти  каждый мелкий предмет, так или иначе  связанный с числами или счетом, использовался для показа фокусов  математического характера или  для математических головоломок  и задач. В этой главе мы рассмотрим математические фокусы с игральной костью и домино.

Фокус с домино.

Фокусник предлагает желающему задумать какую-либо косточку, после чего говорит: «Умножьте число очков одной половины на 2, к произведению прибавьте  7 и сумму умножьте на 5; теперь прибавьте к результату число очков другой половины косточки и скажите, что у вас получилось». Фокусник же скажет, какое число вы задумали. .

Так как же фокусник определил, какое  число вы задумали? Для этого надо от сказанного задумавшим результата отнять 35, тогда цифры полученного  двузначного числа будут указывать на соответствующие числа очков задуманной косточки домино.

Математические фокусы 📙 Реферат → 🆔 142151

Математические фокусы 📙 Реферат → 🆔 142151

Математические фокусы