Математический интуиционизм

1. Математический  интуиционизм.

     Одной из центральных проблем книги  М. Бунге [1] является проблема интуиционизма в математике.

     Анализ  интуиционистского направления  в обосновании математики он связывает  с обсуждением коренных философских  и собственных проблем математики.

     Интуиционизм  характерен отказом от понятия актуальной бесконечности, основного понятия классической математики и логики, отвержения логики как науки, предшествующей математике, и рассмотрением интуиции как последнего основания математики.

      В своей книге М. Бунге обстоятельно анализирует все положительные и отрицательные стороны интуиционизма как направления в математике.

     Прежде  всего, он отделяет интуиционизм как направление в обосновании математики от философии интуитивизма.

     М. Бунге рассматривает математический интуиционизм как течение, возникшее  среди математиков «в качестве реакции на преувеличения логицизма и формализма», а также «в качестве попытки спасти математику от катастрофы, которую, по-видимому, предвещало в начале нашего столетия открытие парадоксов в теории множеств» [1, стр.45].

     Математический  интуиционизм, как полагает автор, ближе  к концептуализму, чем к философскому интуитивизму. То, что обычно называют математическим интуиционизмом, не основано на чувственной интуиции.

     Не  все математические величины, отношения  и действия берут начало в чувственной  интуиции. «Усвоено, что они представляют собой понятийные построения и могут  вообще не иметь эмпирических коррелятов. Признается также, что самоочевидность  не пригодна в качестве критерия истинности и что доказательства не могут  ограничиваться одними чертежами, потому что аргументы бывают невидимыми», - пишет М. Бунге [1, стр.44].

     М. Бунге поддерживает интуиционистов в том, что они рассматривают  всю логику в целом как то, что  может быть пересмотрено впоследствии. «Законы логики надлежит считать не непреложными регулирующими принципами, но допускающими внесение в них исправлений гипотезами, которые могут оказаться неприемлемым по отношению к новым классам объектов, таким, как бесконечные множества», - пишет автор [1, стр.50]. Однако он не хочет принимать существование математических утверждений, которые объявляются интуитивными, представляя собой самоочевидные и более достоверные утверждения, чем утверждения логики.

     Наука основывает большую или меньшую  достоверность своих выводов  на законах логики. «Доброкачественные схемы вывода умозаключений - это те, которые и плодотворны в науке, и освящены логикой», - уточняет М. Бунге [1, стр.51].

     В своей книге автор развивает интересные мысли о соотношении развития формальной логики и развития других наук, раскрывая их взаимное влияние.

     Между логикой и другими науками  существуют отношения не односторонней  зависимости, но взаимного и прогрессирующего приспособления.

     «Достоверность логики основывается на высокой ее эффективности в математике и в фактуальных науках, а достоверность математики заключается в соответствии ее законам логики», - говорил М. Боше [2].

     Что касается чистой или априорной природы  математики, М. Бунге определяет её как «продукт человеческого ума» [1, стр.52]. Она независима от опыта, хотя и приложима к нему. Конечно, связь математических понятий с опытом более сложная, чем в эмпирических науках, но тем не менее она существует. Кроме того, математика автономна, то есть не зависит от других наук, и, в частности, автономна по отношению к логике. Но все эти особенности математики, как и другие ее особенности, не делают математику априорной, полностью внеопытной наукой.

     Давид Гильберт, ведущая фигура формалистического лагеря, писал, что математика, точно так же как и любая другая наука, не может строиться на одной логике, но требует допущения существования дологических объектов [3]. Он также рассматривал логику как приложение математики.

     Интуиционизм, таким образом, согласен с формализмом  относительно психологического (и даже логического) приоритета математики перед  логикой. Утверждать, что математическое исследование совершенно независимо от логики, - значит высказывать положение, «относящееся к психологии математики»  [1, стр.53]. Верность этого положения можно принять лишь условно в том смысле, что «математики обычно не отдают себе отчета» об использовании логики [1, стр.53].

     Каждый  математик подтвердит, что он пользуется логическими законами, такими, как  законы тождества, противоречия и исключенного третьего. «Но, конечно, работа его не заключается в чисто логических выкладках, в конце концов кто-то должен видеть проблему, придумывать адекватные посылки, догадываться о подходящих отношениях», - отмечает М.Бунге [1, стр.52].

     Следует принять, что математика прилагается  не к действительности и не к опыту, но к некоторым из теорий, относящихся  к действительности. Другими словами, математика может появляться в качестве формального инструмента в теориях, дающих схематическую картину объектов, предполагаемых реальными.

     Когда речь идет об отношении интуиционизма  к логическим и формальным основам математики, то речь идет не об их отрицании, а об их абсолютизации. Представители интуиционизма утверждают, что математика как наука свободна от логических предпосылок. Отсюда только интуиция может служить единственным источником математики.

     Они не отрицают логику и даже создают, так называемую, интуиционистскую логику, на которой основывается интуиционистская математика. Но, выступая против абсолютизации логических и формальных основ математики, представители интуиционизма, при анализе определенного этапа математического творчества, вообще отрывают интуитивное от логического.

     Рассматривая  роль интуиции в математике, М. Бунге  указывает на наличие противоречий и уязвимых сторон во взглядах интуиционистов на ее роль, которые появились в результате отрыва интуиции от логики и опыта.

     Всё сводится в следующий тезис: «Так как математика не выводится ни из логики ни из опыта, она должна порождаться особой интуицией,  преподносящей нам исходные понятия и выводы математики в непосредственно ясной и незыблемой форме. «Математическое построение должно быть для ума настолько непосредственным, а следствия его настолько ясными, что оно не нуждается в каких бы то ни было основах» [4, п.6]. Поэтому в качестве исходных следует выбирать понятия самые непосредственные, такие, как понятия натурального числа и существования» [1, стр.56].

     Приведенный тезис математического интуиционизма, по мнению автора, определенно интуитивистский. И именно он очень уязвим.

     Интуиционисты не одиноки, когда утверждают, будто  математика зиждется на доматематической интуиции. Тот же Гильберт признавал существование не только сверхлогических объектов, которые даны в восприятии до того, как о них подумали, но и интуитивных и надежных методов, таких, как опознание некоторого символа, впервые появляющегося в последовательности знаков, и даже основной схемы логического вывода умозаключения.

     Надо оговориться, что интуиция Гильберта не мистическая чистая интуиция, независимая от повседневного опыта. Это чувственное восприятие в специфическом применении к восприятию и опознанию знаков на бумаге либо на школьной доске и к представлению в уме геометрических соответствий аналитическим объектам.

     И когда Гильберт провозглашает «Вначале есть знак» » [3] и заявляет о своем доверии к чувственным операциям (усмотрению и написанию) с физическими знаками (символами), дающим нам возможность получить доказательство теоремы, он проявляет ту же тенденцию к фундаментальности и непогрешимости, которая породила философский интуитивизм и математический интуиционизм.

     Какой-нибудь метаученый отрицал бы существование  фундаментальных в абсолютном смысле математических объектов. Он решительно отказал бы в признании существованию понятий, по природе своей самоочевидных или ясных. Ему было бы известно, что самоочевидность – психологическое отношение, а не логическое свойство, и, кроме того, он отметил бы, что степень самоочевидности в значительной мере зависит от опыта или подготовки каждого субъекта.

     Автор возражает против крайностей интуиционизма  относительно доказательств существования. Сведение доказательств существования  только к эффективному построению сковывает  возможности математики.

       «Эффективное построение - единственный допустимый метод доказательства теорем существования, так как позволяет нам «видеть», к чему оно в целом относится. С другой стороны, доказательство того, что предположение, противоположное принятому, приводит к противоречию, указывает только на возможность существования или истинности, не подтверждая их. Следовательно, все утверждения, в которых бесконечные классы рассматриваются в качестве совокупностей, должны быть исключены из математики» [1, стр.60].

     В таком виде М. Бунге формулирует «конструктивистское» правило интуиционистской математики.

     Интуиционист  не считает существование числа  доказанным просто потому, что установлена  последовательность операций, необходимая  для его вычисления. Ему нужна  действительность, а не простая возможность.

     Интуиционист  прав, когда настаивает, что доказательство существования меньше говорит, то есть доставляет меньше информации, чем  эффективное построение, действительно  показывающее объект, существование  которого доказано. Теорема существования, не дающая возможности точно определить то, что она объявляет существующим, напоминает, по словам Вейля, документ, подробно описывающий сокровище, не упоминая, где оно находится [5, п.50-51].

     «С другой стороны, оправдана высокая оценка этого документа неинтуиционистом», - подчеркивает М. Бунге [1, стр.64]. Не от всех утверждений требуется максимальная содержательность. А теоремы существования, даже если они не дают нам возможности индивидуализировать те объекты, существование которых устанавливают, позволяют делать умозаключения, которые, быть может, приведут в конце концов к эффективному, путь даже только приблизительному, вычислению.

     Требование конструктивности нельзя охарактеризовать как интуитивистское с философской точки зрения. Гейтинг называет требование конструктивности «принципом позитивности» и излагает его в следующей форме: «Всякое математическое или логическое утверждение (приемлемое для интуиционизма) выражает результат построения» [6, п.223].

     Верно, что Кант смотрел на математику как  на рациональное знание, выведенное из «построения понятий». Для Канта  «построить понятие - значит дать соответствующую  ему априорную интуицию», что, если окажется возможным, будет психологической  операцией, тогда как для интуиционизма  это построение может быть полностью  логическим, вплоть до того, что может  заключаться в дедукции противоречия. Совсем другое дело первичные начала всех понятий математики, которые  и по Канту, и по Брауэру одинаково  должны быть интуитивными. В отличие  от Канта интуиционист требует, чтобы  интуитивными были только основные идеи.

     Правило конструктивности равносильно семантическому тезису: «Значение какого-нибудь, выражения - это последовательность операций, дающих возможность его построить или проверить», - тезису, который защищал Вейль и Витгенштейн.

     Вейль писал: «Всякий раз, когда доказывается возможность построения, мы не получаем содержательного утверждения только на основании действительного построения, доказательства, доведенного до конца, теорема существования (такая, как «существует некоторое четкое число») приобретает значение» [5, п.51].

     Интуиционизм  привлек внимание к проблеме существования  математических объектов, которые некритически толковалась рядом математиков. Отождествление существования математических объектов с существованием физических объектов приводило к возрождению  пифагореизма, платонизма во взглядах на существование математических объектов, к его чисто спекулятивному рассмотрению, что, конечно, не могло удовлетворить  математику.

     Как реакция на такое рассмотрение возникло формалистское истолкование проблемы существования математических объектов,  которое сводит эти объекты к  символам, знакам, начерченным на бумаге. Интуиционисты исходят из содержательного  характера понятий математики. Но содержание этих понятий сводится к мысленным конструкциям на основе исходных интуиций.

     «Математические символы не лишены смысла – они указывают на математические объекты, а последние, в свою очередь, обозначают объекты мысленные (понятия и суждения), каким-то образом отражающие явления. Другими словами, математические объекты далеки от того, чтобы существовать самостоятельно (как утверждают логицисты), и образуют «области конструктивных возможностей», а законы математики суть априорные законы природы,» - пишет М. Бунге [1, стр.55].

     Эти утверждения, как подчеркивает автор, тоже не типично интуитивистские, имея в виду философское понимание интуитивизма. Мало кто станет отрицать, что математика в процессе ее становления представляет собой деятельность разума.

     Содержательный  и конструктивный подход представителей интуиционизма к проблеме существования математических объектов имел определенное положительное значение в развитии математики и логики.

     Интуиционистские  ограничения оказались плодотворными  в другом отношении: они стимулировали  поиски новых, прямых доказательств  хорошо известных теорем математики, а также реконструкцию ранее установившихся понятий (например, понятия действительного числа). [1, стр.86]. Новые доказательства всегда желательны, особенно если они выявляют новые связи, и новые способы образования понятий тоже желательны, особенно если они содействуют их выяснению.

     Автор считает, что интуиционистское понимание проблемы существования приносит определенный ущерб развитию математики. Он пишет: «Интуиционистская методология в корне ограничивает свободу математического творчества. Исключая из теории совокупность теорем, рассматривавшихся обыкновенно как «интуитивные», математический интуиционизм сам себя подрывает» [1, стр.85].

     М. Бунге не отрицает познавательной ценности за теоремами существования, даже если они лишь утверждают, что, например, всякое уравнение с любыми числовыми коэффициентами, рациональными, действительными или комплексными имеет корни среди комплексных чисел, но не указывают способы нахождения этих корней. Он пишет, «что теоремы существования, даже если они не дают нам возможности индивидуализировать те объекты, существование которых устанавливают, позволяют делать умозаключения, которые, быть может, приведут в конце концов к эффективному, пусть даже только приблизительному вычислению» [1, стр.64]. В интуиционистском понимании существования он видит опасность снесения «немало полезных и прекрасных сооружений», таких, как теория функций действительного переменного.

     Интуиционистское  понимание существования привело  к мысли об ограниченности применимости закона исключенного третьего только к конечным совокупностям, и отказу от применений метода от противного в  доказательствах существования.

       «Надо отказаться от использования закона исключенного третьего, не отказываясь от самого закона. Он – не самоочевидное и не доказанное утверждение и в качестве методологического вспомогательного средства несовместим с принципом конструктивности или позитивности, так как любое утверждение истинно, только если это конструктивно безопасно; в противном случае оно может оказаться как ложным, так, и временно - или даже принципиально – недоказанным» - пишет М. Бунге [1, стр.69].

     Для интуициониста логика - не формальное исчисление, но методология; «логика  познания», занимающаяся упорядочением  и преобразованием наших умозаключении. А в системе логики, понимаемой таким образом, не уместны утверждения истинные или ложные независимо от процесса придания им достоверности.

     Следует обратить внимание, что интуиционистская логика не отвергает закон исключенного третьего, она показывает со всей строгостью, что «абсурдно, чтобы закон исключенного третьего был абсурдным».

     Интуиционистская  логика принимает не третье значение истины, как часто полагают, но скорей третью категорию утверждений, кроме  истинных и ложных, а именно таких  утверждений, относительно которых  бессмысленно утверждать, что они  истинны или что они ложны. Подобные неопределенные утверждения  могут со временем оказаться либо истинными, либо ложными, либо по существу недоказуемыми при помощи предписанного  комплекса приемов.

     Любая попытка исключить из науки экспериментирование  несовместима с духом научного исследования и с самим представлением о  теориях.

     Научная работа - исследовательская, а обычная  логика предоставляет исследованию большую свободу, чем логика интуиционистская. Необходимо отметить, что предложение  Канта и Брауэра рассматривать  истинность утверждений математики в качестве результата деятельности ума, а не как свойство, которым  они обладают или не обладают, более  приемлемо и ближе к жизни, чем позиция Платона, занимаемая логицистами и многими математиками.

     Существование формально недоказуемых истинных утверждений  не подтверждает ни существования чистой интуиции, ни необходимости принятия логики, основанной на теории познания.

     М. Бунге пишет: «Существование формально недоказуемых истинных утверждений не подтверждает ни существования чистой интуиции, ни необходимости принятия логики, основанной на теории познания» [1, стр.79].

     При рассмотрении проблемы интуиционизма  следует четко, как многократно  подчеркивает и М. Бунге, различать  математический и философский аспекты  этой проблемы, хотя они и тесно  связаны между собой. Математический интуиционизм не является философским  направлением. Вполне правомерно в  определенных пределах признание в  математике понятия интуиции как  непосредственного, логически необоснованного  усмотрения ума. Оставаясь в рамках математики, они имеют право поступать таким образом. Но когда они начинают истолковывать интуицию, отрывая ее от целостного познавательного процесса и противопоставляя ее этому процессу, они действительно, подобно интуитивистам, превращают интуицию в основу абсолютно достоверного и незыблемого знания.

     Современное конструктивное направление в математике, продолжая некоторые идеи интуиционизма, вместе с тем не приемлет его философские  основы. В частности, отрицается попытка  интуиционистов считать единственным источником математики первоначальную «интуицию», а критерием истинности в математике - интуитивную ясность. Представители советской школы конструктивного направления подчеркивают решающее значение практики как источника формирования математических построений и методов умозаключений.

     Тот, кто выполнял какую-нибудь математическую работу, согласится, что движущие силы математики конструктивны, что математик  не берет готовыми платоновские идеи и что аксиоматика почти всегда представляет собой апостериорную  реконструкцию [7, стр. 291-306].

     «С другой стороны, интуиционисты заблуждаются, отыскивая надежность в «чистой интуиции», поскольку не существует ни чистой интуиции, ни совершенной надежности» - отмечает М. Бунге [1, стр.79].

     Практический  математик, если его вообще интересует философия математики, интуитивизму не симпатизирует – потому ли, что тот ищет априорные основы или оправдания, или потому, что он превозносит непонятную «исходную интуицию» в качестве источника математического творчества, или потому, наконец, что он утверждает, будто подобная интуитивная основа – единственная гарантия достоверности. Математический и логический интуиционизм расценивается довольно высоко, несмотря на его своеобразные догмы, потому что он внес вклад в разрушение альтернативных догм, в особенности формалистических и логических. Математические теории начинают не с достоверностей, но с допущений, то есть с утверждений, предполагающих внесение в них поправок или по меньшей мере таких, которые можно переформулировывать и переставлять в интересах последовательности, глубины и плодотворности теории.

     Математическому интуиционизму присуще достоинство всякого нового исповедания, именно – внушение исподволь недоверия прежнему исповеданию. «Еще один повод, – пишет М. Бунге, – для оказания уважения интуиционистам – их отношение к законам логики и проблеме истины, отношение экспериментаторов и исследователей. И это отношение, вместе с оппозицией догматам, казавшимся нерушимыми, не характерное как раз для философского интуитивизма, сближает логический интуиционизм с материализмом, эмпиризмом и прагматизмом». 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     2. Интуиция ученого

     Проблема  интуиции в книге «интуиция и  наука» рассматривается в неразрывной  связи с важнейшими гносеологическими  и логическими проблемами развития современной науки. Будучи физиком, М. Бунге рассматривает проблемы интуиции главным образом в рамках физико-математических наук, хотя в  отдельных случаях он обращается к биологическим и общественным наукам.

     Гносеологические  проблемы науки, проблемы методологии  и логики исследования волнуют автора как крупного специалиста и исследователя. Широкая философия и специально научная эрудиция М. Бунге, активное участие в разработке отдельных  вопросов физики, дающее возможность  взглянуть на роль интуиции, так  сказатъ, «изнутри» науки, позволили ему глубоко раскрыть многие аспекты роли интуиции в развитии научного познания.

     Рассматривая  роль интуиции в познании, М. Бунге  исходит из понимания научного исследования как сложного диалектического процесса. «В любой научной работе, - пишет он, от выбора и формулирования проблемы до проверки решения и от придумывания ведущих гипотез до дедуктивной их обработки мы обнаруживаем чувственное восприятие вещей, явлений и знаков, образное или наглядное представление их, формирование в различной степени абстрактных понятий, сравнение, ведущее к аналогии, и индуктивное обобщение бок о бок с непридуманной догадкой, дедукцию - как формальную, так и неформальную, приближенный и детальный анализ и, вероятно, много других способов образования, сочетания и отклонения идей» [1, стр.93]. Такое понимание механизма научного исследования дает возможность автору глубоко рассмотреть роль интуиции в науке, поставить новые проблемы перед теорией познания.

     Все свои неосознанные возможности, способность  представления и чувственное  восприятие вещей, помогающие выводить умозаключения, М. Бунге относит  к интуиции, как к «коллекции хлама, куда мы сваливаем все интеллектуальные механизмы, о которых не знаем, как  их проанализировать, или даже как их точно назвать, либо такие, анализ или наименование которых нас не интересует» [1, стр.93-94].

     Рассматривая  интуицию как восприятие, М. Бунге  обращается к понятию чувственная  интуиция, подразумевая под ним «процесс постижения всякого рода физического  объекта» [1, стр.94].

     Автор говорит об ограниченности чувственной  интуиции, отмечая, что она является лишь сырьем для познания через описание и встречается только в деятельности ученого, но не в науке, как результате этой деятельности. М. Бунге пишет: «Научное познание представляет собой не восприятие, а переработку и дальнейшее развитие ощущения» [1, стр.95]. Тем самым, он подчеркивает донаучный характер чувственной  интуиции.

     Помимо  чувственной интуиции М. Бунге говорит  о таких важных способностях, как  ясное понимание значения или  взаимоотношений последовательности знаков, их правильной интерпретации.

     Следует отметить, что отчетливое улавливание  значения совокупности символов будет  зависеть не только от самих символов, но также, и даже в основном, от наших  собственных способностей и подготовки.

     Вопреки бытующему среди семантиков мнению, автор данной книги думает, что способность интерпретации нельзя механизировать или лишать значения, просто-напросто сформулировав все правила обозначения и постулаты интерпретирования, придающие значения соответствующим символам. «Причина этому то, что такие правила и постулаты не исчерпывают значения символов. Помимо того, каждый символ окружен некоторым ореолом » - поясняет М. Бунге [1, стр.99].

     Таким заключением он делает вывод, что  процесс интерпретации, «хотя он и не вполне дедуктивен, можно описывать  как логический, вплоть до использования  в нем логических отношений, существующих между терминами данной части  рассуждения» [1, стр.99].

     Взгляд  М. Бунге на роль интуиции в процессе творческого воображения определяется, во-первых, отрицательным отношением к сведению процесса получения нового знания только к дедуктивному выводу или индуктивным обобщениям. «Одна логика, - утверждает он, - никого не способна привести к новым идеям, как одна грамматика сама никого не способна вдохновить на создание поэмы, а теория гармонии - на создание симфонии» [1, стр.109]. Во-вторых, его взгляд на эту роль определяется признанием рационального характера творческого воображения. «И в науке и в технике новое порождается наблюдением, сравнением, проверкой, критикой и дедукцией» [1, стр.110].

     Обращаясь к роли интуиции в процессе воображения, М.Бунге, прежде всего,  говорит о способности представления или геометрической (пространственной) интуиции, определяя её, как «умение наглядно представить или изобразить отсутствующие объекты, а также создавать изображения, наглядные или действующие модели или схемы абстрактных сущностей» [1, стр.100].

     Данную  интуицию он определяет, как неотъемлемую часть, математических и физических трудов ученых.

     В то же время, М. Бунге подчеркивает, что образное представление или  наглядное воображение полезная подпорка для чистого разума, но не замена ему. Оно подкрепляет рассуждение  психологически, не логически. «Наглядные модели не очень-то полезны,  к примеру, в теории поля и в статистической механике, а упрямое следование за наглядным образом часто препятствует обобщению и улавливанию не поддающихся  визуализации качеств и отношений» - пишет М. Бунге [1, стр.105].