Математический и физический маятник

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание.

 

 

 

1. Введение                                                                                    стр. 3
2. Математический маятник                                                 стр. 4-9
3. Период колебаний математического маятника       стр. 9-10 
4. Физический маятник                                       стр. 11-12 
5. Период колебаний физического маятника                    стр. 12-13
6. Используемая литература           стр. 14  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Введение.

 

          Сейчас уже невозможно проверить легенду о том, как Галилей, Стоя на молитве в соборе, внимательно наблюдал за качением бронзовых люстр. Наблюдал и определял время, затраченное люстрой на движение туда и обратно. Это время потом назвали периодом колебаний. Часов у Галилея не было, и, чтобы сравнить период колебаний люстр, подвешенных на цепях разной длины, он использовал частоту биения своего пульса.

          Маятники используют для регулировки хода часов, поскольку любой маятник имеет вполне определённый период колебаний. Маятник находит также важное применение в геологической разведке. Известно, что в разных местах земного шара значения g различны. Различны они потому, что Земля — не вполне правильный шар. Кроме того, в тех местах, где залегают плотные породы, например некоторые металлические руды, значение g аномально высоко. Точные измерения g с помощью математического маятника иногда позволяют обнаружить такие месторождения.

 

 

2. Математический маятник.

 

          Математическим маятником называется тяжёлая материальная точка, которая двигается или по вертикальной окружности (плоский математический маятник), или по сфере (сферический маятник). В первом приближении математическим маятником можно считать груз малых размеров, подвешенный на нерастяжимой гибкой нити.

          Математический маятник — механическая система, состоящая из материальной точки, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в поле тяжести. Плоский математический маятник со стержнем — система с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на нерастяжимую нить, то это система с двумя степенями свободы со связью. Несмотря на свою простоту, с математическим маятником связан ряд интересных явлений. Если амплитуда колебания маятника близка к π, то есть, движение маятника на фазовой плоскости близко к сепаратрисе, то под действием малой периодической вынуждающей силы система демонстрирует хаотическое поведение. Это одна из простейших механических систем, в которой хаос возникает под действием периодического возмущения. Если точка подвеса не неподвижна, а совершает колебания, то у маятника может появиться новое положение равновесия. Если точка подвеса достаточно быстро колеблется вверх-вниз, то маятник приобретает устойчивое положение «вверх тормашками». Такая система называется маятником Капицы.

          Рассмотрим движение плоского математического маятника по окружности радиуса l с центром в точке О (рис. 1). Будем определять положение точки М (маятника) углом отклонения j радиуса ОМ от вертикали. Направляя касательную M_t в сторону положительного отсчёта угла j, составим естественное уравнение движения. Это уравнение образуется из уравнения движения

mW=F+N,                                            (1) 
где F — действующая на точку активная сила, а N — реакция связи.

Рисунок 1

 

         Уравнение (1) мы получили по второму закону Ньютона, который является основным законом динамики и гласит, что производная по времени от количества движения материальной точки равна действующей на неё силе, т. е.

.                                            (2)

Считая массу  постоянной, можно представить предыдущее уравнение в виде

 или  ,

где W есть ускорение точки.

          Итак уравнение (1) в проекции на ось t даст нам одно из естественных уравнений движения точки по заданной неподвижной гладкой кривой:

 или  .

В нашем случае получим в проекции на ось t

, 
где m есть масса маятника.

Так как  или , отсюда находим

. 
Сокращая на m и полагая

,                                             (3) 
будем окончательно иметь:

,

,

,

.                                           (4) 
          Рассмотрим сначала случай малых колебаний. Пусть в начальный момент маятник отклонён от вертикали на угол j и опущен без начальной скорости. Тогда начальные условия будут:

при t = 0, .                                 (5) 
Из интеграла энергии:

,                                         (6) 
где V — потенциальная энергия, а h — постоянная интегрирования, следует, что при этих условиях в любой момент времени угол j£j₀. Значение постоянной h определяется по начальным данным. Допустим, что угол j₀ мал (j₀£1); тогда угол j будет также мал и можно приближённо положить sinj»j. При этом уравнение (4) примет вид

.                                            (7) 
          Уравнение (7) есть дифференциальное уравнение простого гармонического колебания. Общее решение этого уравнения имеет вид

,                               (8) 
где A и B или a и e суть постоянные интегрирования.

          Отсюда сразу находим период (T) малых колебаний математического маятника (период — промежуток времени, в течении которого точка возвращается в прежнее положение с той же скоростью)

 и 

, 
т.к. sin имеет период равный 2p, то wT=2p Þ

                                           (9)

          Для нахождения закона движения при начальных условиях (5) вычисляем:

.                                        (10) 
Подставляя значения (5) в уравнения (8) и (10), получим:

j₀ = A, 0 = wB,

т.е. B=0. Следовательно, закон движения для малых колебаний при условиях (5) будет:

j = j₀cos wt.                                          (11)

          Найдём теперь точное решение задачи о плоском математическом маятнике. Определим сначала первый интеграл уравнения движения (4). Так как

, 
то (4) можно представить в виде

. 
Отсюда, умножая обе части уравнение на dj и интегрируя, получим:

.                                        (12) 
Обозначим здесь через j₀ угол максимального отклонения маятника; тогда при j = j₀ будем иметь , откуда C = w²cosj₀. В результате интеграл (12) даёт:

,                                       (13) 
где w определяется равенством (3).

Этот интеграл представляет собой интеграл энергии  и может быть непосредственно  получен из уравнения

,                                         (14) 
где — работа на перемещении M₀M активной силы F, если учесть, что в нашем случае v₀=0, и .

          Из уравнения (13) видно, что при движении маятника угол j будет изменяться между значениями +j₀ и -j₀ (|j|£j₀, так как ), т.е. маятник будет совершать колебательное движение. Условимся отсчитывать время t от момента прохождения маятника через вертикаль OA при его движении право (см. рис.). Тогда будем иметь начальное условие:

при t=0, j=0.                                        (15)

          Кроме того, при движении из точки A будет ; извлекая из обеих частей равенства (13) квадратный корень, получим:

. 
Разделяя здесь переменные, будем иметь:

.                                        (16)

Так как

,  , 
то

. 
Подставляя этот результат в уравнение (16), получаем:

.                                        (17)

Чтобы проинтегрировать уравнение (17), нужно найти квадратуру левой части. Для этого перейдём от j к новым переменному a, полагая:

, где  .                                        (18)

Тогда

, 
откуда

. 
Кроме того,

. 
Подставляя все эти величины в уравнение (17) и заменяя w его значением (3), получим:

.                                         (19)

По принятым начальным условиям (15) при t=0 угол j=0, а следовательно, как видно из (18), и a=0. Тогда, беря от обеих частей уравнения (19) определённые интегралы справа от 0 до t, а слева от 0 до a, получим закон движения маятника в виде

.                                         (20)

Интеграл, стоящий  в левой части равенства (20), представляет собой эллиптический интеграл первого  рода. Величина k называется модулем эллиптического интеграла. Этот интеграл есть функция верхнего предела и модуля, т.е.

.                                        (21) 
Если в равенстве (21) рассматривать верхний предел a как функцию от интеграла u, то такая функция носит название амплитуды u и обозначается так:

, 
или

.                                          (22)

Беря от обеих  частей равенства (22) синус, мы получим:

.                                         (23)

Функция snu (синус-амплитуда u) представляет собой так называемую эллиптическую функцию Якоби. Поскольку, согласно уравнению (20), , то, переходя в равенстве (23) от a к j с помощью формулы (18), найдём закон движения маятника, выраженный эллиптическую функцию sn, в виде

.                                         (24)

 

 

 

3. Период колебаний математического маятника.

 

          Период колебаний математического маятника определяется всего двумя параметрами – ускорением свободного падения и длиной нити (не зависит от массы материальной точки).

Найдём период T колебания маятника. Из положения j = 0 в положение j = j₀ маятник приходит за четверть периода. Так как, согласно равенству (18), при j = 0 и a = 0, а при j = j₀ величина , то из уравнения (20) имеем:

.                                        (25)

Таким образом, определение периода колебаний  маятника сводится к вычислению величины

,                                       (26) 
представляющий собой четверть периода эллиптического интеграла (21).

Известно (формула  Валлиса), что

.                                       (27) 
Разлагая в выражении (26) подынтегральную функцию в ряд, получим:

. 
Тогда, используя формулу (27), будем иметь:

. (28) 
Подставляя это значение K в равенство (25) и учитывая, что

, 
получим для периода колебаний плоского математического маятника выражение

.                                    (29)

         Следовательно, чем больше j₀ (угол размаха), тем больше период колебания маятника. Таким образом, математический маятник свойством изохронности не обладает. Если при малых размерах ограничиться в формуле (29) только двумя первыми членами, то, полагая , получим приближённое выражение периода

.                                        (30)

 

4. Физический маятник.

 

          Физическим маятником называется твердое тело, закрепленное на неподвижной горизонтальной ocи (оси подвеса), не проходящей через центр тяжести, и совершающее колебания относительно этой оси под действием силы тяжести. В отличие от математического маятника массу такого тела нельзя считать точечной.

          Физический маятник — осциллятор, представляющий собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси, перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс этого тела.

Рисунок 2

 

          При небольших углах отклонения α (рис. 2) физический маятник так же совершает гармонические колебания. Будем считать, что вес физического маятника приложен к его центру тяжести в точке С. Сила, возвращающая маятник в положение равновесия, представляет собой составляющую силы тяжести, приложенную в точке С:

F=mg·sinα

Момент этой силы относительно оси O равен:

M=-Fl=-mgd·sinα,

где l=d·sinα - плечо силы F относительно оси O, знак минус соответствует тому, что момент M стремится вернуть маятник в положение равновесия, аналогично квазиупругой силе.

В соответствии с уравнением динамики вращательного  движения:

M=Iε,

где ε=d²α/dt² - угловое ускорение, I - момент инерции маятника относительно оси О. Получаем:

I·d²α/dt²=-mgd·sinα                                                                                           (1)

Ограничившись малыми колебаниями (sinα~α), после преобразований получаем уравнение (1) в виде:

(d²α/dt²) + (mgdα/I)=0                                                                                       (2)

Сравнив выражения  мы видим их математическую аналогию, что позволяет записать выражения для циклической частоты и периода колебаний физического маятника:

ω₀=√(mgd/I)                                                                                                     (3)

T₀=2π/ω₀=2π√(I/mgd),                                                                                     (4)

где d - расстояние от центра тяжести до оси вращения.

          Если период колебаний не зависит от амплитуды, то такие колебания называются изохронными. Мы видим, что малые колебания физического маятника изохронны. Колебания приближенно изохронны, когда угловая амплитуда колебаний не превышает нескольких градусов. При больших амплитудах изохронность нарушается. На свойстве изохронности колебаний маятника основано его применение в часах.

 

 

 

5. Период колебаний физического маятника.

 

          В формулу для определения периода колебания физического маятника входят 4 параметра: ускорение свободного падения, расстояние между центром тяжести и осью вращения, масса тела и его момент инерции относительно оси, вокруг которой совершаются колебания.

          Период колебаний физического маятника не зависит ни, от фазы, ни от амплитуды колебания. Это утверждение справедливо для колебаний, подчиняющихся уравнение . Движение маятника описывается этим уравнением приближенно - в той мере, в какой справедлива использованная при выводе формула sin(j) » j. Исследование правильности утверждения о том, что период колебаний маятника не зависит от амплитуды, является чувствительным методом проверки теории.

          Для того, чтобы найти период колебаний физического маятника, необходимо решить уравнение качания. Для этого умножим левую часть этого уравнения на , а правую часть на . Тогда:

.

Интегрируя  это уравнение, получаем.

,

где произвольная постоянная. Её можно найти из граничного условия, что в моменты . Получаем: . Подставляем и преобразовываем получившееся уравнение:

.

Отделяем  переменные и интегрируем это  уравнение:

.

Удобно сделать  замену переменной, полагая  . Тогда искомое уравнение принимает вид:

.

Здесь — нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода. Для периода колебаний получаем формулу:

.

Здесь — полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода.

          Если амплитуда колебаний мала, то корень в знаменателе эллиптического интеграла приближенно равен единице. Такой интеграл легко берется, и получается хорошо известная формула малых колебаний:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Используемая литература.

 

1. Бухгольц Н.Н. «Основной курс теоретической механики» М.: Наука. 1969.
2. Боровой А., Херувимов А. «Колебания и маятники» Ж. Квант. № 8, 1981.