Математические знания египтян

Содержание

Введение...........................................................................................3

Математика древнего Египта..........................................................4

Математика древней Индии............................................................7

Математика древнего Китая............................................................9

Математика древнего Вавилона....................................................11

Математика древних Шумер.........................................................13

Заключение.....................................................................................16

Список литературы........................................................................17

Введение

В истории математики традиционно выделяются несколько этапов развития математических знаний:

1. Формирование понятия геометрической фигуры и числа как идеализации реальных объектов и множеств однородных объектов. Появление счёта и измерения, которые позволили сравнивать различные числа, длины, площади и объёмы.
2. Изобретение арифметических операций. Накопление эмпирическим путём (методом проб и ошибок) знаний о свойствах арифметических действий, о способах измерения площадей и объёмов простых фигур и тел. В этом направлении далеко продвинулись шумеро-вавилонские, китайские и индийские математики древности.
3. Появление в древней Греции дедуктивной математической системы, показавшей, как получать новые математические истины на основе уже имеющихся. Венцом достижений древнегреческой математики стали «Начала» Евклида, игравшие роль стандарта математической строгости в течение двух тысячелетий.
4. Математики стран ислама не только сохранили античные достижения, но и смогли осуществить их синтез с открытиями индийских математиков, которые в теории чисел продвинулись дальше греков.
5. В XVI—XVIII веках возрождается и уходит далеко вперёд европейская математика. В XIX—XX веках становится понятно, что взаимоотношение математики и реальности далеко не столь просто, как ранее казалось.

Помимо большого исторического  интереса, анализ эволюции математики представляет огромную важность для развития философии и методологии математики. Нередко знание истории способствует и прогрессу конкретных математических дисциплин; например, древняя китайская задача (теорема) об остатках сформировала целый раздел теории чисел.

Неолитическая революция  осуществлялась неравномерно, и наиболее интенсивно её процессы шли в немногих регионах. Там и возникли первые великие цивилизации древности, своеобразные острова культуры, качественно  более сложной по сравнению с  первобытностью. Наиболее известны в  настоящее время цивилизации, возникшие  в междуречье Тигра и Евфрата, в долине Нила, в долине реки Инд, в долине реки Хуанхэ и в центральной Америке

Математика древнего Египта

В долине Нила с очень  давних времён жили люди, исстари говорившие на одном языке и считавшие  себя одним народом. Видимо, поэтому здесь возникла первая в истории система единого национального государства, просуществовавшая во много раз дольше всех других. Это произошло около 3300 – 3000 гг. до н.э. Примерно в это время начинают делать папирусные свитки, разрабатывается система иероглифов, осваивается счёт. Для фараонов, жрецов, вельмож возводят монументальные гробницы-мастабы, в них пытаются сохранять мумифицированные тела покойных. Тогда же формируется особый менталитет, в котором царь — воплощение бога Гора. 
Боги были антропоморфны (похожи на людей) или соединяли черты человека и животного: Анубис — человек с головой шакала, Гор — с головой сокола, Мут — женщина с головой львицы и т.п. Были и зооморфные боги, например, скарабеи — навозные жуки, богиня Баст (Бастет) — кошка, Хатор — небесная корова. Самые почитаемые боги: Амон (Ра), бог солнца; Анубис — покровитель мёртвых; Гор — бог неба, солнца, покровитель царской власти; Осирис — владыка подземного царства, умиравший каждую осень и воскресавший зимой; Сет — повелитель сил зла; Исида — богиня семейной любви и верности, покровительница мудрости и магии, близкая к Иштар-Астарте-Иннане, ипостась единой богини любви. Высоко почитался бог мудрости Тот, покровитель литературы, писцов, лекарей и магов. 
          Жрецы очень рано начали наблюдать за небом, чтобы определять смены сезонов, предугадывать разливы Нила. В египетских храмах сохранились древние карты  звёздного неба, где звёзды объединены в созвездия. Жрецы умели даже предсказывать солнечные затмения. На основе своих наблюдений жрецы составили солнечный календарь, который лежит в основе современных европейских календарей.  
Фараоны издавна начали строгий учёт своих владений, и прежде всего земли; для описи всех земель их измеряли, что требовало развития геометрии. Геометрические знания и вычисления применялись в строительстве пирамид и храмов, в сооружении ирригационных систем. Египтяне пользовались десятеричной системой исчисления, знали простые дроби. Египетская математика, как и месопотамская, не знала доказательств и выводов, аксиом и теорем. Каждая решаемая задача была уникальной, и изучение математики сводилось к запоминанию ранее найденных решений задач.

Древнейшие древнеегипетские математические тексты относятся к началу II тысячелетия до н. э. Математика тогда использовалась в астрономии, мореплавании, землемерии, при строительстве зданий, плотин, каналов и военных укреплений. Денежных расчётов, как и самих денег, в Египте не было. К сожалению, египтяне писали на папирусе, который сохраняется плохо, и поэтому наши знания о математике Египта существенно меньше, чем о математике Вавилона или Греции. Вероятно, она была развита лучше, чем можно представить, исходя из дошедших до нас документов — известно, что греческие математики учились у египтян.

Основные сохранившиеся источники: папирус Ахмеса или Ринда (84 математические задачи) и московский математический папирус (25 задач), оба из Среднего царства, времени расцвета древнеегипетской культуры. Авторы текста нам неизвестны. Дошедшие до нас экземпляры — это копии, переписанные в период гиксосов. Гиксо́сы — группа кочевых скотоводческих азиатских племён из Передней Азии, захвативших власть в Нижнем Египте в середине XVII в. до н. э. и затем, около 1650 г. до н. э., образовавших свою династию правителей. Свое название они получили от египетского Hqa xAswt «правитель (чужеземных) стран», передаваемое по-гречески ὑκσώς или ὑξώς. Манефон (Иосиф Флавий «Против Апиона» I. 14, 82-83) переводит слово «гиксосы», как «цари-пастухи» или «пленники-пастухи», последнее подтверждается египетским HAq «добыча», «пленник». Время правления гиксосов в истории Древнего Египта принято называть Вторым переходным периодом.. Носители научных знаний тогда именовались писцами и фактически были государственными или храмовыми чиновниками.

Все задачи из папируса Ахмеса (записан ок. 1650 года до н. э.) имеют прикладной характер и связаны с практикой строительства, размежеванием земельных наделов и т. п. Задачи сгруппированы не по методам, а по тематике. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и аликвотными дробями, пропорциональное деление, нахождение отношений, возведение в разные степени, определение среднего арифметического, арифметические прогрессии, решение уравнений первой и второй степени с одним неизвестным.

Полностью отсутствуют какие бы то ни было объяснения или доказательства. Искомый результат либо даётся прямо, либо приводится краткий алгоритм его вычисления.

Такой способ изложения, типичный для  науки стран древнего Востока, наводит  на мысль о том, что математика там развивалась путём индуктивных обобщений и гениальных догадок, не образующих никакой общей теории. Тем не менее, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что математика в Древнем Египте тех лет имела или по крайней мере начинала приобретать теоретический характер. Так, египетские математики умели извлекать корни и возводить в степень, решать уравнения, были знакомы с арифметической и геометрической прогрессией и даже владели зачатками алгебры: при решении уравнений специальный иероглиф «куча» обозначал неизвестное.

Нам ничего не известно о развитии математических знаний в Египте как  в более древние, так и в  более поздние времена. После  воцарения Птолемеев начинается чрезвычайно плодотворный синтез египетской и греческой культур.

Нумерация и разложение чисел

Рис.Иероглифическая запись числа 35736

Древнеегипетская нумерация, то есть запись чисел, была похожа на римскую: поначалу были отдельные значки для 1, 10, 100, … 10 000 000, сочетавшиеся аддитивно (складываясь). Египтяне писали справа налево, и младшие разряды числа записывались первыми, так что в конечном счёте порядок цифр соответствовал нашему. В иератическом письме уже есть отдельные обозначения для цифр 1-9 и сокращённые значки для разных десятков, сотен и тысяч.

Умножение египтяне производили с помощью сочетания удвоений и сложений. Деление заключалось в подборе делителя, то есть как действие, обратное умножению.

Особые значки обозначали дроби вида и . Однако общего понятия дроби у них не было, и все неканонические дроби представлялись как сумма аликвотных дробей. Типовые разложения были сведены в громоздкие таблицы.

Рис.Пример иероглифической записи уравнения

Числа в Древнем Египте записывали двумя способами: словами и цифрами.

Например, чтобы написать число 30, можно было использовать обычные  иероглифы или то же самое написать цифрами (три символа десятки). Обоими способами можно было записывать любые числа. Египтяне использовали систему разложения наименьшего множителя на кратные числа, сумма которых составляла бы исходное число.

Чтобы правильно подобрать кратное число нужно было знать следующую таблицу значений:

1 × 2 = 2 2 × 2 = 4 4 × 2 = 8 8 × 2 = 16 16 × 2 = 32

Пример разложения числа 25:

• Кратный множитель для числа «25» - это 16.
• 25 – 16 = 9,
• Кратный множитель для числа «9» - это 8,
• 9 – 8 = 1,
• Кратный множитель для числа «1» - это 1,
• 1 – 1 = 0

Таким образом «25» - это сумма  трех слагаемых: 16, 8 и 1.

Пример:

Умножим «13» на «238»:

Известно, что 13 = 8 + 4 + 1. Каждое из этих слагаемых нужно умножить на 238. Получаем: 13 × 238 = (8 + 4 + 1) × 238 = 8 × 238 + 4 × 238 + 1 × 238 = 3094.

 
Математика древней  Индии

Индийцы изобрели числительные, немецкий филолог  Шлегель отмечает, что "десятичная система счисления, являющаяся наряду с письменностью одним из важнейших  достижений человечества, с общего согласия авторитетных историков признана изобретением индийцев".

Крупнейший  индолог  Моньяр Вилльямс в своей  книге "Мудрость индийцев" признает, что "у них (индийцев) арабы почерпнули не только первые представления об алгебраическом анализе, но и те цифры и десятичную систему, которые используются теперь во всем мире".

Другой  английский исследователь Хантер отмечает, что "им (индийцам) мы обязаны изобретением чисел десятичной шкалы, и индийские  цифры от 1 до 9 являются сокращенными формами начальных букв самих числительных, а ноль представляет собой первую букву санскритского слова "шунья", что значит "пустота". Арабы заимствовали их у индийцев и способствовали их распространению в Европе.

Индийская нумерация (способ записи чисел) изначально была изысканной. В санскрите были средства для именования чисел до 10⁵⁰. Для цифр сначала использовалась сиро-финикийская система, а с VI века до н. э. — написание «брахми», с отдельными знаками для цифр 1-9. Несколько видоизменившись, эти значки стали современными цифрами, которые мы называем арабскими, а сами арабы — индийскими

Открытия  древних индийцев в области точных наук повлияли на развитие арабской и ирано-персидской науке. Почетное место в истории математики занимает ученый Арьяпхата, живший в V- начале VI века н. э.   

Почетное  место в истории математики занимает ученый Арьяпхата, живший в V- начале VI века н.э. Ученый знал значение “пи”, предложил оригинальное решение линейного уравнения. Более развита была алгебра, а понятия “цифра”, “синус”, “корень” впервые появились именно в Древней Индии. Достижения древнеиндийских математиков превзошли то, что было сделано в этих областях знаний в Древней Греции. В Индии употреблялся знак, обозначающий 0. В Индии был создан своеобразный солнечный календарь. Год состоял из 360 дней.

Алгебра. Древние индийцы умели решать квадратные уравнения и были знакомы с иррациональными числами и извлечением корней. Алгебра развивалась вместе с астрономией, следовательно, можно заключить, что она существовала еще в 3000-2500 г. до н.э.

Мудрец  Бхаскарачарья написал книгу "Сиддханта  сиромани" ("Основополагающие принципы"), содержащую трактаты по алгебре и арифметике. Его деление круга примечательно детальным анализом: 60 викальпа (секунд) = 1 кала (минута) 60 кала = 1 бхага (градус) 30 бхага = 1 раси (время зенита одного из зодиакальных знаков, т.е. европейский месяц) 12 раси = 1 бхагана (оборот, цикл) Арьябхата и Бхаскарачарья были выдающимися учеными того времени. Как пишет английский математик Лесбридж, Бхаскарачарье "были известны математические действия очень близкие дифференциальному исчислению современных европейских математиков".

Рис.От этих индийских значков произошли современные цифры (начертание I века н. э.)

Математика древнего Китая

Культура Древнего Китая  развивалась в долине реки Хуанхэ примерно в то же время, что и культура первых цивилизаций Ближнего Востока — месопотамской и египетской. Китайские историки считают датой возникновения первой китайской цивилизации ХХVIII век до н.э., когда начали править «пять совершенно мудрых государей древности»  и возникла впервые собственно китайская этническая общность и государственность.

Показателем  общего  подъема  культуры  Древнего  Китая  эпохи  Чжаньго  было  также развитие  научных знаний, прежде всего математики. Прогресс в этой области науки определяется ее прикладным характером. Престиж математики в Китае был высок. Каждый чиновник, чтобы получить назначение на пост, сдавал, помимо прочих, и экзамен по математике, где обязан был показать умение решать задачи из классических сборников.

Составленный во II в. до н. э. трактат «Математика в девяти книгах» подобно «Началам» Евклида  содержит компендиум математических  знаний, накопленных предшествующими  поколениями  ученых. В этом  трактате зафиксированы правила действий с дробями, пропорции и профессии, теорема Пифагора, применение подобия прямоугольных треугольников, решение системы линейных уравнений и многое другое. «Математика в девяти книгах» была  своего  рода  руководством  для землемеров,  астрономов,  чиновников  и т.  д. Для исследователя истории Древнего Китая эта книга помимо своего чисто научного значения ценна  тем,  что  в  ней  нашли  отражение  реалии  ханьской  эпохи:  цены  на  различные товары,  показатели урожайности земледельческих культур и т. д.

Рис.Математика в девяти книгах (начало)

В I—V вв. н. э. китайцы уточняют число п.

В это время китайцам уже было известно многое, в том числе:

• вся базовая арифметика (включая нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного);
• действия с дробями и пропорции;
• действия с отрицательными числами (фу), которые трактовали как долги;
• решение квадратных уравнений.

Был даже разработан метод фан-чэн (方程) для решения систем произвольного числа линейных уравнений — аналог классического европейского метода Гаусса. Численно решались уравнения любой степени — способом тянь-юань (天元术), напоминающим метод Руффини-Горнера для нахождения корней многочлена.

С  развитием  математики  были  тесным  образом  связаны  значительные  достижения  древних  китайцев  в области  астрономии  и  календаря.  В «Исторических  записках»  Сыма Цяня  одна  из  глав  раздела «Трактаты» специально  посвящена проблемам небесных  светил. Аналогичная глава содержится  и в «Ханьской  истории» Бань  Гу,  где приводятся  названия  118  созвездий (783  звезды). 

В 104 г. до н. э. было вычислено, что продолжительность года составляет 365,25 дня. Принятый в этом году календарь использовался вплоть до 85 г. н. э. По этому календарю год состоял из 12 месяцев; дополнительный месяц добавлялся в високосном году, который устанавливался один раз в три года.

Солнечно-лунный  календарь  древних  китайцев  был  приспособлен  к  нуждам  сельскохозяйственного  производства. Календарю уделялось  значительное внимание в тех научных  трактатах, которые обобщали важнейшие  достижения земледельческой техники.

Математика древнего Вавилона

Источником наших знаний о вавилонской цивилизации служат хорошо сохранившиеся глиняные таблички, покрытые т.н. клинописными текстами, которые  датируются от 2000 г. до н.э. и до 300 г. н.э.

Математика на клинописных  табличках в основном была связана  с ведением хозяйства. Арифметика и  нехитрая алгебра использовались при  обмене денег и расчетах за товары, вычислении простых и сложных  процентов, налогов и доли урожая, сдаваемой в пользу государства, храма или землевладельца. Многочисленные арифметические и геометрические задачи возникали в связи со строительством каналов, зернохранилищ и другими  общественными работами.

Рис.Вавилонская табличка вычислением 

Очень важной задачей математики был расчет календаря, поскольку  календарь использовался для  определения сроков сельскохозяйственных работ и религиозных праздников. Деление окружности на 360, а градуса  и минуты - на 60 частей берут начало в вавилонской астрономии. Вавилоняне создали и систему счисления, использовавшую для чисел от 1 до 59 основание 10.

Вавилоняне составили  таблицы обратных чисел (которые  использовались при выполнении деления), таблицы квадратов и квадратных корней, а также таблицы кубов  и кубических корней.

Около 700 г. до н.э. вавилоняне стали применять математику для исследования движений Луны и планет. Это позволило им предсказывать положения планет, что было важно как для астрологии, так и для астрономии.

В геометрии вавилоняне знали  о таких соотношениях, например, как пропорциональность соответствующих  сторон подобных треугольников. Им была известна теорема Пифагора и то, что угол, вписанный в полуокружность, будет только прямой. Они располагали  также правилами вычисления площадей простых плоских фигур, в том  числе правильных многоугольников, и объемов простых тел. Число  “пи” вавилоняне считали равным 3.

Ни вавилонская, ни египетская математики не располагали общими методами - весь свод математических знаний представлял  собой скопление эмпирических формул и правил. Математика, которая решала в Вавилонии ряд практических задач, существенных для измерения полей, создания построек и ирригационных сооружений и т. п., оказалась более свободной от влияния религиозных представлений и смогла достигнуть в храмовых школах Вавилонии наибольших успехов. В одном вопросе вавилонская математическая наука стояла даже несколько выше позднейшей древнегреческой, а именно в вопросе написания всех мыслимых чисел минимальным количеством цифровых знаков. В вавилонской математике, как и в современной, был осуществлён принцип, согласно которому одна и та же цифра имеет различную числовую значимость в зависимости от места, занимаемого ею в числовом контексте (позиционная система). Однако в Вавилонии, наследнице культуры Шумера, числовая система покоилась не на десятичной основе, а на шестидесятеричной. Вавилонская числовая система продолжает жить и в наше время в делении часа на 60 минут, минуты на 60 секунд, а также в делении окружности на 360 градусов. 
          Вавилонские писцы решали планиметрические задачи, используя свойства прямоугольных треугольников, сформулированные впоследствии и виде так называемой пифагоровой теоремы, а в стереометрии решали такую сложную задачу, как измерение объёма усечённой пирамиды. Доказано, что вавилонские математики являлись основоположниками алгебры, поскольку они решали в некоторых случаях уравнения с тремя неизвестными. Они могли также в ряде случаев извлекать не только квадратные, но и кубические корни.

 Вавилоняне писали клинописными значками на глиняных табличках, которые в немалом количестве дошли до наших дней (более 500 тыс., из них около 400 связаны с математикой). Поэтому мы имеем довольно полное представление о математических достижениях учёных Вавилонского государства. Отметим, что корни культуры вавилонян были в значительной степени унаследованы от шумеров — клинописное письмо, счётная методика и т. п.

математический  геометрический древнеегипетский число

Рис.Вавилонские цифры

Вавилонская расчётная техника  была намного совершеннее египетской, а круг решаемых задач существенно шире. Есть задачи на решение уравнений второй степени, геометрические прогрессии. При решении применялись пропорции, средние арифметические, проценты. Методы работы с прогрессиями были глубже, чем у египтян. Линейные и квадратные уравнения решались ещё в эпоху Хаммурапи; при этом использовалась геометрическая терминология (произведение ab называлось площадью, abc — объёмом, и т. д.). Многие значки для одночленов были шумерскими, из чего можно сделать вывод о древности этих алгоритмов; эти значки употреблялись, как буквенные обозначения неизвестных в нашей алгебре. Встречаются также кубические уравнения и системы линейных уравнений. Венцом планиметрии была теорема Пифагора, известная ещё в эпоху Хаммурапи.

Математика шумер

Практические потребности  способствовали возникновению и развитию математических знаний. Эти потребности возникали и в производстве, и в строительстве, и в торговле. Так, в сельском хозяйстве требовалось определять размеры площадей полей; для орошения полей в некоторых случаях требовалось сооружение водоподъемных машин, при котором приходилось делать расчеты не только арифметического, но также геометрического и механического порядка; изготовление плугов, лопат, кос и другого мелкого сельскохозяйственного инвентаря также требовало математических расчетов. Кроме указанных выше потребностей приходилось сооружать плотины и каналы, для чего также были необходимы математические и механические расчеты.

Далее, уже в шумерскую  эпоху существовала внутренняя и  внешняя торговля, достигшая особо  широкого развития в Древневавилонском  царстве. В эту эпоху из Вавилонии вывозились соль, хлеб, шерсть и масло, а ввозились самые разнообразные товары — золото, серебро, медь, свинец, бронза, железо, драгоценные камни, асфальтовая смола, кипарисовое дерево, растительное масло, лошади и рабы. Наконец, еще в шумерскую эпоху велось крупное строительство дворцов и храмов, развившееся далее в Древневавилонском царстве. При строительстве дворцов, храмов и других сооружений требовалось определять точные размеры их площади и высоты, при купле и продаже требовалось определять вес и количество покупаемых или продаваемых товаров. Все эти потребности постепенно привели к созданию систем счисления, с течением времени все улучшавшихся.

В результате многовекового  развития и улучшения систем счисления  укрепилась шестидесятеричная система  счисления (1, 60, 360), допускающая применение также подсобных десятикратных  делений (10, 600, 3600). За основание в Шумерской системе берется не 10, а 60, но затем это основание странным образом заменяется числом 10, затем, 6, а затем снова на 10 и т.д. И таким образом, позиционные числа выстраиваются в следующий ряд:

1, 10, 60, 600, 3600, 36 000, 216 000, 2 160 000, 12 960 000.

Эта громоздкая шестидесятеричная  система позволяла шумерам вычислять  дроби и перемножать числа  до миллионов, извлекать корни и  возводить в степень. Во многих отношениях эта система даже превосходит  применяющуюся нами в настоящее  время десятичную систему. Во-первых, число 60 имеет десять простых делителей, в то время как 100 — всего 7. Во-вторых, это единственная система, идеально подходящая для геометрических вычислений, и именно этим объясняется то, что  она продолжает применяться и  в наше время  отсюда, например, деление круга на 360 градусов.

Мы редко осознаем, что не только нашей геометрией, но также и современному способу исчисления времени мы обязаны  шумерской системе счисления  с шестидесятеричным основанием. 

Наличие этих последних делений показывает, что первоначальной системой счисления у шумеров была естественная десятеричная система, по числу пальцев на руках; она же лежит и в основе древнейшей пятидневной недели. Шестидесятеричная система, несомненно, была введена искусственно, вероятно, в связи с теми «священными» числовыми категориями, какие были получены при выработке системы счета времени.

Рис.Шумерская система счисления

Из дошедших до нас математических текстов II и начала I тыс. мы узнаем о  достигнутом тогда уровне математических знаний. В учебных таблицах по математике встречаются вычисления и задачи на четыре основных арифметических правила (сложение, вычитание, умножение и деление). Кроме того, вавилонянам было известно возвышение в квадратную степень и извлечение квадратного корня; но определенной даты последнего открытия мы установить не можем. Шумеры знали и применяли принцип золотого сечения, использовали числа Фибоначчи, обладали знаниями современного уровня по химии, фитотерапии и астрономии.

Некоторых успехов уже  в древневавилонскую эпоху достигла также геометрия. Из эпохи III династии Ура дошла до нас табличка с  планом поля, на котором для производства измерения площади последнее  было разделено на четыре прямоугольника, семь треугольников и четыре трапеции; на оборотной стороне таблички дается вычисление площади поля на основании  сложения площадей прямоугольников, треугольников  и трапеций. Для практического обучения геометрии и геодезии в эпоху Хаммурапи составлялись сборники задач.

Заключение

Во всей математике Древнего Востока мы нигде не находим никакой  попытки дать то, что мы называем доказательством. Нет никаких доводов, мы имеем только предписания в  виде правил: «делай то-то, делай так-то». Мы не знаем, как там были получены теоремы, например, как вавилонянам  стала известна теорема Пифагора. Было сделано несколько попыток  объяснить, как египтяне и вавилоняне получали свои результаты, но все они  являются только предположениями. Нам, воспитанным на строгих выводах  Евклида, весь этот восточный способ рассуждения кажется на первый взгляд странным и крайне неудовлетворительным. Но такое впечатление исчезает, когда  мы уясняем себе, что большая часть  математики, которой мы обучаем современных  инженеров и техников, все еще  строится по принципу «делай то-то и  делай так-то», без большого стремления к строгости доказательств. Алгебру  во многих средних школах все еще  изучают не как дедуктивную науку, а скорее как набор правил. Видимо, восточная математика никогда не могла освободиться от тысячелетнего  влияния технических проблем  и проблем управления, для пользы которых она и была создана