Оглавление

 

Введение

 

     Предметом изучения дисциплины являются количественные характеристики экономических процессов, протекающих в промышленном производстве, изучение их взаимосвязей на основе экономико-математических методов и моделей. Эти модели линейного и нелинейного программирования, модели исследования операций, модели массового обслуживания.

     Основным  понятием является понятие математической модели. В общем случае слово модель – это отражение реального объекта. Такое отражение объекта может быть представлено схемой, эскизом, фотографией, моделью описательного характера в виде графиков и таблиц и т.д. Математическая модель – это система математических уравнений, неравенств, формул и различных математических выражений, описывающих реальный объект, составляющие его характеристики и взаимосвязи между ними. Процесс построения математической модели называют математическим моделированием. Моделирование и построение математической модели экономического объекта позволяют свести экономический анализ производственных процессов к математическому анализу и принятию эффективных решений.

               Итак, для принятия эффективных  решений в планировании и управлении производством необходимо экономическую сущность исследуемого экономического объекта формализовать экономико-математической моделью, т.е. экономическую задачу представить математически в виде уравнений, неравенств и целевой функции на экстремум (максимум или минимум) при выполнении всех условий на ограничения и переменные. 

     1. Основные понятия  моделирования

     1.1.   Общие понятия  и определение  модели

 

     Содержанием  любой экономико-математической  модели является выраженная в формально-математических соотношениях экономическая сущность условий задачи и поставленной цели. В модели экономическая величина представляется математическим соотношением, но не всегда математическое соотношение является экономическим. Описание экономических условий математическими соотношениями – результат того, что модель устанавливает связи и зависимости между экономическими параметрами или величинами.

     По  содержанию различают экономико-математические и  экономико-статистические модели. Различие между ними состоит в  характере функциональных зависимостей, связывающих их величины. Так, экономико-статистические модели связаны с показателями, сгруппированными различными способами. Статистические модели устанавливают зависимость между показателями и определяющими их факторами в виде линейной и нелинейной функции. Экономико-математические модели включают в себя систему ограничений, целевую функцию.

     Система ограничений  состоит из отдельных  математических уравнений или неравенств, называемых балансовыми уравнениями  или неравенствами.

     Целевая функция связывает между собой различные величины модели. Как правило, в качестве цели выбирается экономический показатель (прибыль, рентабельность, себестоимость, валовая продукция и т.д.). Поэтому целевую функцию иногда называют экономической, критериальной. Целевая функция – функция многих переменных величин и может иметь свободный член.

     Критерии  оптимальности – экономический  показатель, выражающийся при помощи целевой функции через другие экономические показатели. Одному и  тому же критерию оптимальности могут соответствовать несколько разных, но эквивалентных целевых функций. Модели с одной и той же системой ограничений могут иметь различные критерии  оптимальности и различные целевые функции.

     Решением  экономико-математической модели, или  допустимым планом называется набор значений неизвестных, который удовлетворяет ее системе ограничений. Модель имеет множество решений, или множество допустимых планов, и среди них нужно найти единственное, удовлетворяющее системе ограничений и целевой функции. Допустимый план, удовлетворяющий целевой функции, называется оптимальным. Среди допустимых планов, удовлетворяющих целевой функции, как правило, имеется единственный план, для которого целевая функция и критерий оптимальности имеют максимальное или минимальное значение. Если модель задачи имеет множество оптимальных планов, то для каждого из них значение целевой функции одинаково.

     Если  экономико-математическая модель задачи линейна, то оптимальный план достигается  в крайней точке области изменения  переменных величин системы ограничений. В случае нелинейной модели оптимальных планов и оптимальных значений целевой функции может быть несколько. Поэтому необходимо определять экстремальные планы и экстремальные значения целевой функции. План, для которого целевая функция модели имеет экстремальное значение, называют экстремальным планом, или экстремальным решением.

     Для нелинейных моделей иногда существуют экстремальные значения целевой  функции, а для линейных моделей  экстремальных планов и экстремальных  значений целевой функции быть не может.

     Таким образом, для принятия оптимального решения любой экономической  задачи необходимо построить ее экономико-математическую модель, по структуре включающую в  себе систему ограничений, целевую  функцию, критерий оптимальности и  решение.

     Методика  построения экономико-математической модели состоит в том, чтобы экономическую  сущность задачи представить математически, используя различные символы, переменные и постоянные величины, индексы и  другие обозначения.

     Все условия задачи необходимо записать в виде уравнений или неравенств. Поэтому, в первую очередь необходимо определить систему переменных величин, которые могут для конкретной задачи обозначить искомый объем производства продукции на предприятии, количество перевозимого груза поставщиками конкретным потребителям. 

 

     2. Методы линейного программирования

     2.1. Общая и типовая  задача в линейном  программировании

 

     Оптимизационная задача – это экономико-математическая задача, которая состоит в нахождении оптимального (максимального или  минимального) значения целевой функции, причем значения переменных должны принадлежать некоторой области допустимых значений.

     В самом общем виде задача математически  записывается так:

     U = f(X) ® max; X Î W, 

     Где X = (Х1, Х2,…, Хn);

     W – область допустимых значений переменных Х1, Х2,…, Хn;

     f(X) – целевая функция.

     Для того, чтобы решить задачу оптимизации, достаточно найти ее оптимальное  решение, т.е. указать X() Î W такое, что f(X()) ³ f(X), при любом X Î W, или для случая минимизации - что f(X()) ≤ f(X), при любом X Î W.

     Оптимизационная задача является неразрешимой, если она  не имеет оптимального решения. В  частности, задача максимизации будет  неразрешима, если целевая функция  f(X) не ограничена сверху на допустимом множестве W.

     Методы  решения оптимизационных задач зависят как от вида целевой функции f(X), так и от строения допустимого множества W. Если целевая функция в задаче является функцией n переменных, то методы решения называют методами математического программирования.

     В математическом программировании принято выделять следующие основные задачи в зависимости от вида целевой функции f(X) и от области W:

• задачи линейного программирования, если f(X) и W линейны;
• задачи целочисленного программирования, если ставится условие целочисленности переменных Х1, Х2,…, Хn;
• задачи нелинейного программирования, если форма f(X) носит нелинейный характер.

     2.2. Задачи линейного  программирования

     Задачей линейного программирования называется задача исследования операций, математическая модель которой имеет вид:

     f(X) = å СjXj ® max(min);

     å aij xj = bi,  iÎI,  IÍM = {1, 2,…m};

     å aij xj £ bi, iÎM;

     Xj³0, jÎJ, JÍN =  {1, 2,…n}.

     При этом система линейных уравнений  и неравенств, определяющая допустимое множество решений задачи W, называется системой ограничений задачи линейного программирования, а линейная функция f(X) называется целевой функцией или критерием оптимальности.

     Любую задачу линейного программирования можно свести к задаче линейного  программирования в канонической форме. Для этого в общем случае нужно  уметь сводить задачу максимизации к задаче минимизации; переходить от ограничений неравенств к ограничениям равенств и заменять переменные, которые не подчиняются условию неотрицательности.  Максимизация некоторой функции эквивалентна минимизации той же функции, взятой с противоположным знаком, и наоборот.

     Правило приведения задачи линейного программирования к каноническому виду состоит  в следующем:

     1) если в исходной задаче требуется  определить максимум линейной  функции, то следует изменить  знак и искать минимум этой  функции;

     2) если в ограничениях правая  часть отрицательна, то следует  умножить это ограничение на -1;

     3) если среди ограничений имеются  неравенства, то путем введения  дополнительных неотрицательных  переменных они преобразуются  в равенства;

     4) если некоторая переменная Хk не имеет ограничений по знаку, то она заменяется (в целевой функции и во всех ограничениях) разностью между двумя новыми неотрицательными переменными::

     Xk = X`k – Xl, где l – свободный индекс, X`k ³ 0, Xk ³ 0.

 

      3. Построение  регрессионных моделей

 

       Смысл регрессионного анализа  – построение функциональных  зависимостей между двумя группами  переменных величин Х₁, Х₂, … Х_р и Y. При этом речь идет о влиянии переменных Х (это будут аргументы функций) на значения переменной Y (значение функции). Переменные Х мы будем называть факторами, а Y – откликом.

     Сегодня мы разберем наиболее простой случай – установление зависимости одного отклика y от одного фактора х. Такой  случай называется парной (простой) регрессией.

     3.1. Построение модели

 

     Этап 1. Исходные данные: заранее известные (экспериментальные, наблюденные) значения фактора х_i – экзогенная переменная и соответствующие им значения отклика y_i, (i = 1,…,n) - эндогенная переменная;

     Активный  и пассивный эксперимент.

     Выборочные  характеристики – позволяют кратко охарактеризовать выборку, т. е., получить ее модель, хотя и очень грубую:

     а) среднее арифметическое:

     

     Среднее арифметическое – это «центр», вокруг которого колеблются значения случайной  величины.

     Пример: средняя продолжительность жизни  в России и США

     б) дисперсия:

     Отклонение  от среднего: - характеризует лишь «разброс» конкретной, отдельно взятой величины х_i. Если мы захотим получить более полную информацию, нам придется выписать такие отклонения для всех х, т. е., получить такой же ряд чисел, как и исходная выборка.

     Можно попытаться усреднить все отклонения, но «среднее арифметическое отклонений от среднего арифметического» имеет  особенность:

     

     Эта величина обнуляется из-за того, что отрицательные значения отклонений и положительные взаимно погашаются.

     Чтобы избежать этого, возведем их в квадрат, получив так называемую выборочную дисперсию:

     

     Выборочная  дисперсия характеризует разброс (вариацию) элементов выборки вокруг их среднего арифметического. Важно иметь в виду, что сами элементы выборки и их дисперсия имеют разные порядок: если элементы выборки измеряются в метрах, то дисперсия – в квадратных метрах.

     Стандартное отклонение:

     Полезное  свойство дисперсии:

     

     

     Т. о.

     Характеристики  генеральной совокупности:

     математическое  ожидание М(Х)

     дисперсия D(X)

     Несмещенная оценка дисперсии:

     

     Для простоты, мы будем использовать смещенную оценку – выборочную дисперсию – при достаточно больших n они практически равны.

     Этап 2. Постановка задачи: предположим, что  значение каждого отклика y_i как бы состоит из двух частей:

     - во-первых, закономерный результат  того, что фактор х принял конкретное значение х_i;

     - во-вторых, некоторая случайная компонента e_i, которая никак не зависит от значения х_i.

     Таким образом, для любого i = 1,…,n

     y_i = f(x_i) + e_i

     Смысл случайной величины (ошибки) e:

     а) внутренне присущая отклику у изменчивость;

     б) влияние прочих, не учитываемых в  модели факторов;

     в) ошибка в измерениях

     Этап 3. Предположения о характере регрессионной  функции

     Возможный вид функции f(x_i)

     - линейная:

     - полиномиальная 

     - степенная:

     - экспоненциальная:

     - логистическая: 

     Методы  подбора вида функции:

     - графический

     - аналитический

     Этап 4. Оценка параметров линейной регрессионной  модели

     1. Имея два набора значений: x₁, x₂, …, x_n и y₁, y₂, …, y_n, предполагаем, что между ними существует взаимосвязь вида:

     y_i = a + bx_i + e_i

     т. н. функция регрессии

     Истинные  значения параметров функции регрессии  мы не знаем, и узнать не можем.

     Задача: построить линейную функцию:

     ŷ_i = a + bx_i

     так, чтобы вычисленные значения ŷ_i(x_i) были максимально близки к экспериментальным у_i (иначе говоря, чтобы остатки (ŷ_i - y_i) были минимальны).

     Экономическая интерпретация коэффициентов:

     a – «постоянная составляющая»  отклика, независимая от фактора

     b – степень влияния фактора  на отклик (случаи отрицательного)

     2. Метод наименьших квадратов (МНК):

     

     подставим в задачу формулу:

     

     

       

     В данном случае у нас a и b – переменные, а х и у – параметры. Для  нахождения экстремума функции, возьмем  частные производные по a и b и приравняем их к нулю.

     

     

     Получили  систему из двух линейных уравнений. Разделим оба на 2n:

      

     

     Из  первого уравнения выразим неизвестную  а:

     

     и подставим это выражение во второе уравнение:

      

     

     

     

     

     

     Построив  оценки a и b коэффициентов a и b, мы можем рассчитать т. н. «предсказанные», или «смоделированные» значения ŷ_i = a + bx_i и их вероятностные характеристики – среднее арифметическое и дисперсию.

     Несложно  заметить, что оказалось . Так должно быть всегда:

     

     Кроме того, вычислим т. н. случайные остатки и рассчитаем их вероятностные характеристики.

     Оказалось, . Это также закономерно:

     

     Таким образом, дисперсия случайных остатков будет равна:

     

     Мы  произвели вычисления, и построили регрессионное уравнение, позволяющее нам построить некую оценку переменной у (эту оценку мы обозначили ŷ). Однако, если бы мы взяли другие данные, по другим областям (или за другой период времени), то исходные, экспериментальные значения х и у у нас были бы другими и, соответственно, а и b, скорее всего, получились бы иными.

     Вопрос: насколько хороши оценки, полученные МНК, иначе говоря, насколько они  близки к «истинным» значениям a и b?

     Этап 5. Исследование регрессионной модели

     1. Теснота связи между фактором и откликом

     Мерой тесноты связи служит линейный коэффициент  корреляции:

         

     -1 £ r_xy £ 1     

     Отрицательное значение КК означает, что увеличение фактора приводит к уменьшению отклика  и наоборот:

     

     

     2. Доля вариации отклика у, объясненная  полученным уравнением регрессии  характеризуется коэффициентом  детерминации R². Путем математических преобразований можно выразить:

     

     где – оценка дисперсии случайных  остатков в модели,

     Таким образом, R² – это доля дисперсии у, объясненной с помощью регрессионного уравнения в дисперсии фактически наблюденного у.

     Очевидно:

     0 £ R² £ 1

 

      4. Некоторые  сведения теории  вероятностей

     4.1. Математическое ожидание, дисперсия

     Дискретной  называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определёнными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

     Математическим  ожиданием дискретной случайной  величины называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятность.

      ,

     где Х – случайная величина, - значения, вероятности которых соответственно равны .

     Математическое  ожидание приближённо равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

     Дисперсией (рассеянием) случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического  ожидания: .

     Средним квадратичным отклонением случайной  величины Х называют квадратный корень из дисперсии: .

 

      5. Метод наименьших квадратов для однофакторной линейной регрессии

 

     Линейная  регрессия находит широкое применение в эконометрике в виде четкой эконометрической интерпретации ее параметров. Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида: 

     Ŷ = а + bx или Ŷ = a + bx + ε; 

     Уравнение вида Ŷ = а + bx позволяет по заданным значениям фактора x иметь теоретические значения результативного признака, подставляя в него фактические значения фактора X. На графике теоретические значения представляют линию регрессии. 

       
 
 
 
 

       

     Рисунок 1 – Графическая оценка параметров линейной регрессии 

     Построение  линейной регрессии сводится к оценке ее параметров – а и b. Оценки параметров линейной регрессии могут быть найдены разными методами. Можно обратится к полю корреляции и, выбрав на графике две точки, провести через них прямую линию. Далее по графику можно определить значения параметров. Параметр a определим как точку пересечения линии регрессии с осью OY, а параметр b оценим, исходя из угла наклона линии регрессии, как dy/dx, где dy – приращение результата y, а dx – приращение фактора x, т.е. Ŷ = а + bx.

     Классический  подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов(МНК).

     МНК позволяет получить такие оценки параметров a и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака (y) от расчетных (теоретических) минимальна: 

     ∑(Y_i – Ŷ _xi)² → min 

     Иными словами, из всего множества линий  линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и  этой линией была бы минимальной. 

     ε_i = Y_i – Ŷ _xi. 

     следовательно ∑ε_i² → min

       
 
 
 
 
 
 

      Рисунок 2 –  Линия регрессии с минимальной  дисперсией остатков 

     Чтобы найти минимум функции, надо вычислить  частные производные по каждому  из параметров a и b и приравнять их к нулю.

     Обозначим ∑ε_i² через S, тогда

     S = ∑ (Y –Ŷ _xi)² =∑(Y-a-bx)²; 

     Дифференцируем данное выражение, решаем систему нормальных уравнений, получаем следующую формулу расчета оценки параметра b: 

     b = (ух – у•x)/(x²-x²). 

     Параметр  b называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу. Например, если в функции издержек Ŷ = 3000 + 2x (где x – количество единиц продукции, у – издержки, тыс. грн.) с увеличением объема продукции на 1 ед. издержки производства возрастают в среднем на 2 тыс. грн., т.е. дополнительный прирост продукции на ед. потребует увеличения затрат в среднем на 2 тыс. грн.