Математическое моделирование в экономике

Математическое моделирование  в экономике

1. Моделирование как метод  научного познания.

Моделирование в научных  исследованиях стало применяться  еще в глубокой древности и  постепенно захватывало все новые  области научных знаний: техническое  конструирование, строительство и  архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и признание практически  во всех отраслях современной науки  принес методу моделирования ХХ в. Однако методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система  понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования  как универсального метода научного познания.

Термин "модель" широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет  множество смысловых значений. Рассмотрим только такие "модели", которые  являются инструментами получения  знаний.

Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его  непосредственное изучение дает новые  знания об объекте-оригинале Под  моделирование понимается процесс  построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с  такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс  моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения  по аналогии, и конструирование научных  гипотез.

Главная особенность моделирования  в том, что это метод опосредованного  познания с помощью объектов-заместителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь  ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает  интересующий его объект. Именно эта  особенность метода моделирования  определяет специфические формы  использования абстракций, аналогий, гипотез, других категорий и методов  познания.

Необходимость использования  метода моделирования определяется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) непосредственно  исследовать или вовсе невозможно, или же это исследование требует  много времени и средств.

Процесс моделирования включает три элемента: 1) субъект (исследователь), 2) объект исследования, 3) модель, опосредствующую  отношения познающего субъекта и  познаваемого объекта.

Пусть имеется или необходимо создать некоторый объект А.

Мы конструируем (материально  или мысленно) или находим в  реальном мире другой объект В - модель объекта А. Этап построения модели предполагает наличие некоторых знаний об объекте-оригинале. Познавательные возможности модели обуславливаются тем, что модель отражает какие-либо существенные черты объекта-оригинала. Вопрос о необходимости и достаточной мере сходства оригинала и модели требует конкретного анализа. Очевидно, модель утрачивает свой смысл как в случае тождества с оригиналом (тогда она перестает быть оригиналом), так и в случае чрезмерного во всех существенных отношениях отличия от оригинала.

Таким образом, изучение одних  сторон моделируемого объекта осуществляется ценой отказа от отражения других сторон. Поэтому любая модель замещает оригинал лишь в строго ограниченном смысле. Из этого следует, что для  одного объекта может быть построено  несколько "специализированных" моделей, концентрирующих внимание на определенных сторонах исследуемого объекта или же характеризующих  объект с разной степенью детализации.

На втором этапе процесса моделирования модель выступает  как самостоятельный объект исследования. Одной из форм такого исследования является проведение "модельных" экспериментов, при которых сознательно  изменяются условия функционирования модели и систематизируются данные о ее "поведении". Конечным результатом  этого этапа является множество  знаний о модели R.

На третьем этапе осуществляется перенос знаний с модели на оригинал - формирование множества знаний S об объекте. Этот процесс переноса знаний проводится по определенным правилам.

Знания о модели должны быть скорректированы с учетом тех  свойств объекта-оригинала, которые  не нашли отражения или были изменены при построении модели. Мы можем  с достаточным основанием переносить какой-либо результат с модели на оригинал, если этот результат необходимо связан с признаками сходства оригинала  и модели. Если же определенный результат  модельного исследования связан с отличием модели от оригинала, то этот результат  переносить неправомерно.

Четвертый этап - практическая проверка получаемых с помощью моделей  знаний и их использование для  построения обобщающей теории объекта, его преобразования или управления им.

Для понимания сущности моделирования  важно не упускать из виду, что моделирование - не единственный источник знаний об объекте. Процесс моделирования "погружен" в более общий процесс познания. Это обстоятельство учитывается  не только на этапе построения модели, но и на завершающей стадии, когда  происходит объединение и обобщение  результатов исследования, получаемых на основе многообразных средств  познания.

Моделирование - циклический  процесс. Это означает, что за первым четырехэтапным циклом может последовать  второй, третий и т.д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются  и уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Недостатки, обнаруженные после первого цикла  моделирования, обусловленные малым  знанием объекта и ошибками в  построении модели, можно исправить  в последующих циклах. В методологии  моделирования, таким образом, заложены большие возможности саморазвития.

2. Особенности применения  метода математического моделирования  в экономике.

Проникновение математики в  экономическую науку связано  с преодолением значительных трудностей. В этом отчасти была "повинна" математика, развивающаяся на протяжении нескольких веков в основном в  связи с потребностями физики и техники. Но главные причины  лежат все же в природе экономических  процессов, в специфике экономической  науки.

Большинство объектов, изучаемых  экономической наукой, может быть охарактеризовано кибернетическим  понятием сложная система.

Наиболее распространено понимание системы как совокупности элементов, находящихся во взаимодействии и образующих некоторую целостность, единство. Важным качеством любой  системы является эмерджентность - наличие таких свойств, которые  не присущи ни одному из элементов, входящих в систему. Поэтому при  изучении систем недостаточно пользоваться методом их расчленения на элементы с последующим изучением этих элементов в отдельности. Одна из трудностей экономических исследований - в том, что почти не существует экономических объектов, которые  можно было бы рассматривать как  отдельные (внесистемные) элементы.

Сложность системы определяется количеством входящих в нее элементов, связями между этими элементами, а также взаимоотношениями между  системой и средой. Экономика страны обладает всеми признаками очень  сложной системы. Она объединяет огромное число элементов, отличается многообразием внутренних связей и  связей с другими системами (природная  среда, экономика других стран и  т.д.). В народном хозяйстве взаимодействуют  природные, технологические, социальные процессы, объективные и субъективные факторы.

Сложность экономики иногда рассматривалась как обоснование  невозможности ее моделирования, изучения средствами математики. Но такая точка  зрения в принципе неверна. Моделировать можно объект любой природы и  любой сложности. И как раз  сложные объекты представляют наибольший интерес для моделирования; именно здесь моделирование может дать результаты, которые нельзя получить другими способами исследования.

Потенциальная возможность  математического моделирования  любых экономических объектов и  процессов не означает, разумеется, ее успешной осуществимости при данном уровне экономических и математических знаний, имеющейся конкретной информации и вычислительной технике. И хотя нельзя указать абсолютные границы математической формализуемости экономических проблем, всегда будут существовать еще неформализованные проблемы, а также ситуации, где математическое моделирование недостаточно эффективно.

3. Особенности экономических  наблюдений и измерений.

Уже длительное время главным  тормозом практического применения математического моделирования  в экономике является наполнение разработанных моделей конкретной и качественной информацией. Точность и полнота первичной информации, реальные возможности ее сбора и  обработки во многом определяют выбор  типов прикладных моделей. С другой стороны, исследования по моделированию  экономики выдвигают новые требования к системе информации.

В зависимости от моделируемых объектов и назначения моделей используемая в них исходная информация имеет  существенно различный характер и происхождение. Она может быть разделена на две категории: о  прошлом развитии и современном  состоянии объектов (экономические  наблюдения и их обработка) и о  будущем развитии объектов, включающую данные об ожидаемых изменениях их внутренних параметров и внешних  условий (прогнозы). Вторая категория  информации является результатом самостоятельных  исследований, которые также могут  выполняться посредством моделирования.

Методы экономических  наблюдений и использования результатов  этих наблюдений разрабатываются экономической  статистикой.

Поэтому стоит отметить только специфические проблемы экономических  наблюдений, связанные с моделированием экономических процессов.

В экономике многие процессы являются массовыми; они характеризуются  закономерностями, которые не обнаруживаются на основании лишь одного или нескольких наблюдений. Поэтому моделирование  в экономике должно опираться  на массовые наблюдения.

Другая проблема порождается  динамичностью экономических процессов, изменчивостью их параметров и структурных  отношений. Вследствие этого экономические  процессы приходится постоянно держать  под наблюдением, необходимо иметь  устойчивый поток новых данных. Поскольку  наблюдения за экономическими процессами и обработка эмпирических данных обычно занимают довольно много времени, то при построении математических моделей  экономики требуется корректировать исходную информацию с учетом ее запаздывания.

Познание количественных отношений экономических процессов  и явлений опирается на экономические  измерения. Точность измерений в  значительной степени предопределяет и точность конечных результатов  количественного анализа посредством моделирования. Поэтому необходимым условием эффектного использования математического моделирования является совершенствование экономических измерителей. Применение математического моделирования заострило проблему измерений и количественных сопоставлений различных аспектов и явлений социально-экономического развития, достоверности и полноты получаемых данных, их защиты от намеренных и технических искажений.

В процессе моделирования  возникает взаимодействие "первичных" и "вторичных" экономических измерителей. Любая модель народного хозяйства  опирается на определенную систему  экономических измерителей (продукции, ресурсов, элементов и т.д.). В то же время одним из важных результатов  народнохозяйственного моделирования  является получение новых (вторичных) экономических измерителей - экономически обоснованных цен на продукцию различных  отраслей, оценок эффективности разнокачественных  природных ресурсов, измерителей  общественной полезности продукции. Однако эти измерители могут испытывать влияние недостаточно обоснованных первичных измерителей, что вынуждает  разрабатывать особую методику корректировки  первичных измерителей для хозяйственных  моделей.

С точки зрения "интересов" моделирования экономики в настоящее  время наиболее актуальными проблемами совершенствования экономических  измерителей являются: оценка результатов  интеллектуальной деятельности (особенно в сфере научно-технических разработок, индустрии информатики), построение обобщающих показателей социально-экономического развития, измерение эффектов обратных связей (влияние хозяйственных и  социальных механизмов на эффективность  производства).

4. Случайность и неопределенность  в экономическом развитии.

Для методологии планирования экономики важное значение имеет  понятие неопределенности экономического развития. В исследованиях по экономическому прогнозированию и планированию различают два типа неопределенности: "истинную", обусловленную свойствами экономических процессов, и "информационную", связанную с неполнотой и неточностью  имеющейся информации об этих процессах. Истинную неопределенность нельзя смешивать  с объективным существованием различных  вариантов экономического развития и возможностью сознательного выбора среди них эффективных вариантов. Речь идет о принципиальной невозможности  точного выбора единственного (оптимального) варианта.

В развитии экономики неопределенность вызывается двумя основными причинами. Во-первых, ход планируемых и управляемых  процессов, а также внешние воздействия  на эти процессы не могут быть точно  предсказуемы из-за действия случайных  факторов и ограниченности человеческого  познания в каждый момент. Особенно характерно это для прогнозирования  научно-технического прогресса, потребностей общества, экономического поведения.

Во-вторых, общего сударственное  планирование и управление не только не всеобъемлющи, но и не всесильны, а наличие множества самостоятельных  экономических субъектов с особыми  интересами не позволяет точно предвидеть результаты их взаимодействий.

Неполнота и неточность информации об объективных процессах и экономическом  поведении усиливают истинную неопределенность.

На первых этапах исследований по моделированию экономики применялись  в основном модели детерминистского типа. В этих моделях все параметры  предполагаются точно известными. Однако детерминистские модели неправильно  понимать в механическом духе и отождествлять  их с моделями, которые лишены всех "степеней выбора" (возможностей выбора) и имеют единственное допустимое решение. Классическим представителем жестко детерминистских моделей  является оптимизационная модель народного  хозяйства, применяемая для определения  наилучшего варианта экономического развития среди множества допустимых вариантов.

В результате накопления опыта  использования жестко детерминистских  моделей были созданы реальные возможности  успешного применения более совершенной  методологии моделирования экономических  процессов, учитывающих стохастику и неопределенность.

Здесь можно выделить два  основных направления исследований.

Во-первых, усовершенствуется  методика использования моделей  жестко детерминистского типа: проведение многовариантных расчетов и модельных  экспериментов с вариацией конструкции  модели и ее исходных данных; изучение устойчивости и надежности получаемых решений, выделение зоны неопределенности; включение в модель резервов, применение приемов, повышающих приспособляемость  экономических решений к вероятным  и непредвидимым ситуациям. Во-вторых, получают распространение модели, непосредственно  отражающие стохастику и неопределенность экономических процессов и использующие соответствующий математический аппарат: теорию вероятностей и математическую статистику, теорию игр и статистических решений, теорию массового обслуживания, стохастическое программирование, теорию случайных процессов.

5. Проверка адекватности  моделей

Сложность экономических  процессов и явлений и другие отмеченные выше особенности экономических  систем затрудняют не только построение математических моделей, но и проверку их адекватности, истинности получаемых результатов.

В естественных науках достаточным  условием истинности результатов моделирования  и любых других форм познания является совпадение результатов исследования с наблюдаемыми фактами.

Категория "практика" совпадает  здесь с категорией "действительность". В экономике и других общественных науках понимаемые таким образом  принцип "практика - критерий истины" в большей степени применим к  простым дескриптивным моделям, используемым для пассивного описания и объяснения действительности (анализа  прошлого развития, краткосрочного прогнозирования  неуправляемых экономических процессов  и т.п.).

Однако главная задача экономической науки конструктивна: разработка научных методов планирования и управления экономикой. Поэтому  распространенный тип математических моделей экономики - это модели управляемых  и регулируемых экономических процессов, используемые для преобразования экономической  действительности. Такие модели называются нормативными. Если ориентировать нормативные  модели только на подтверждение действительности, то они не смогут служить инструментом решения качественно новых социально-экономических  задач.

Специфика верификации нормативных  моделей экономики состоит в  том, что они, как правило, "конкурируют" с другими, уже нашедшими практическое применение методами планирования и  управления. При этом далеко не всегда можно поставить чистый эксперимент  по верификации модели, устранив влияние  других управляющих воздействий  на моделируемый объект.

Ситуация еще более  усложняется, когда ставится вопрос о верификации моделей долгосрочного  прогнозирования и планирования (как дескриптивных, так и нормативных). Ведь нельзя же 10-15 лет и более  пассивно ожидать наступления событий, чтобы проверить правильность предпосылок  модели.

Несмотря на отмеченные усложняющие  обстоятельства, соответствие модели фактам и тенденциям реальной экономической  жизни остается важнейшим критерием, определяющим направления совершенствования  моделей. Всесторонний анализ выявляемых расхождений между действительностью  и моделью, сопоставление результатов  по модели с результатами, полученными  иными методами, помогают выработать пути коррекции моделей.

Значительная роль в проверке моделей принадлежит логическому  анализу, в том числе средствами самого математического моделирования. Такие формализованные приемы верификации  моделей, как доказательство существования  решения в модели, проверка истинности статистических гипотез о связях между параметрами и переменными  модели, сопоставления размерности  величин и т.д., позволяют сузить класс потенциально "правильных" моделей.

Внутрення непротиворечивость предпосылок модели проверяется  также путем сравнения друг с  другом получаемых с ее помощью следствий, а также со следствиями "конкурирующих" моделей.

Оценивая современное  состояние проблемы адекватности математических моделей экономике, следует признать, что создание конструктивной комплексной  методики верификации моделей, учитывающей  как объективные особенности  моделируемых объектов, так и особенности  их познания, по-прежнему является одной  из наиболее актуальных задач экономико-математических исследований.

6. Классификация экономико-математических  моделей

Математические модели экономических  процессов и явлений более  кратко можно назвать экономико-математическими  моделями.

Для классификации этих моделей  используются разные основания.

По целевому назначению экономико-математические модели делятся на теоретико-аналитические, используемые в исследованиях общих  свойств и закономерностей экономических  процессов, и прикладные, применяемые  в решении конкретных экономических  задач (модели экономического анализа, прогнозирования, управления).

Экономико-математические модели могут предназначаться для исследования разных сторон народного хозяйства (в частности, его производственно-технологической, социальной, территориальной структур) и его отдельных частей. При  классификации моделей по исследуемым  экономическим процессам и содержательной проблематике можно выделить модели народного хозяйства в целом  и его подсистем - отраслей, регионов и т.д., комплексы моделей производства, потребления, формирования и распределения  доходов, трудовых ресурсов, ценообразования, финансовых связей и т.д.

Остановимся более подробно на характеристике таких классов  экономико-математических моделей, с  которыми связаны наибольшие особенности  методологии и техники моделирования.

В соответствии с общей  классификацией математических моделей  они подразделяются на функциональные и структурные, а также включают промежуточные формы (структурно-функциональные). В исследованиях на народнохозяйственном уровне чаще применяются структурные  модели, поскольку для планирования и управления большое значение имеют  взаимосвязи подсистем. Типичными  структурными моделями являются модели межотраслевых связей. Функциональные модели широко применяются в экономическом  регулировании, когда на поведение  объекта ("выход") воздействуют путем  изменения "входа". Примером может  служить модель поведения потребителей в условиях товарно-денежных отношений.

Один и тот же объект может описываться одновременно и структурой, и функциональной моделью. Так, например, для планирования отдельной  отраслевой системы используется структурная  модель, а на народнохозяйственном уровне каждая отрасль может быть представлена функциональной моделью.

Выше уже показывались различия между моделями дескриптивными и нормативными. Дискриптивные модели отвечают на вопрос: как это происходит? или как это вероятнее всего  может дальше развиваться?, т.е. они  только объясняют наблюдаемые факты  или дают вероятный прогноз. Нормативные  модели отвечают на вопрос: как это  должно быть?, т.е. предполагают целенаправленную деятельность. Типичным примером нормативных  моделей являются модели оптимального планирования, формализующие тем  или иным способом цели экономического развития, возможности и средства их достижения.

Применение дескриптивного подхода в моделировании экономики  объясняется необходимостью эмпирического  выявления различных зависимостей в экономике, установления статистических закономерностей экономического поведения  социальных групп, изучения вероятных  путей развития каких-либо процессов  при неизменяющихся условиях или  протекающих без внешних воздействий.

Примерами дескриптивных  моделей являются производственные функции и функции покупательского  спроса, построенные на основе обработки  статистических данных.

Является ли экономико-математическая модель дескриптивной или нормативной, зависит не только от ее математической структуры, но от характера использования  этой модели. Например, модель межотраслевого баланса дескриптивна, если она используется для анализа пропорций прошлого периода. Но эта же математическая модель становится нормативной, когда она  применяется для расчетов сбалансированных вариантов развития народного хозяйства, удовлетворяющих конечные потребности  общества при плановых нормативах производственных затрат.

Многие экономико-математические модели сочетают признаки дескриптивных  и нормативных моделей. Типична  ситуация, когда нормативная модель сложной структуры объединяет отдельные  блоки, которые являются частными дескриптивными моделями. Например, межотраслевая  модель может включать функции покупательского  спроса, описывающие поведение потребителей при изменении доходов. Подобные примеры характеризуют тенденцию  эффективного сочетания дескриптивного и нормативного подходов к моделированию  экономических процессов. Дескриптивный  подход широко применяется в имитационном моделировании.

По характеру отражения  причинно-следственных связей различают  модели жестко детерминистские и  модели, учитывающие случайность  и неопределенность. Необходимо различать неопределенность, описываемую вероятностными законами, и неопределенность, для описания которой законы теории вероятностей неприменимы. Второй тип неопределенности гораздо более сложен для моделирования.

По способам отражения  фактора времени экономико-математические модели делятся на статические и  динамические. В статических моделях  все зависимости относятся к  одному моменту или периоду времени. Динамические модели характеризуют  изменения экономических процессов  во времени. По длительности рассматриваемого периода времени различаются  модели краткосрочного (до года), среднесрочного (до 5 лет), долгосрочного (10-15 и более  лет) прогнозирования и планирования. Само время в экономико-математических моделях может изменяться либо непрерывно, либо дискретно.

Модели экономических  процессов чрезвычайно разнообразны по форме математических зависимостей. Особенно важно выделить класс линейных моделей, наиболее удобных для анализа  и вычислений и получивших вследствие этого большое распространение.

Различия между линейными  и нелинейными моделями существенны  не только с математической точки  зрения, но и в теоретико-экономическом  отношении, поскольку многие зависимости  в экономике носят принципиально  нелинейный характер: эффективность  использования ресурсов при увеличении производства, изменение спроса и  потребления населения при увеличении производства, изменение спроса и  потребления населения при росте  доходов и т.п. Теория "линейной экономики" существенно отличается от теории "нелинейной экономики". От того, предполагаются ли множества  производственных возможностей подсистем (отраслей, предприятий) выпуклыми или  же невыпуклыми, существенно зависят  выводы о возможности сочетания  централизованного планирования и  хозяйственной самостоятельности  экономических подсистем.

По соотношению экзогенных и эндогенных переменных, включаемых в модель, они могут разделяться  на открытые и закрытые.

Полностью открытых моделей  не существует; модель должна содержать  хотя бы одну эндогенную переменную. Полностью  закрытые экономико-математические модели, т.е. не включающие экзогенных переменных, исключительно редки; их построение требует полного абстрагирования  от "среды", т.е. серьезного огрубления реальных экономических систем, всегда имеющих внешние связи. Подавляющее  большинство экономико-математических моделей занимает промежуточное  положение и различаются по степени  открытости (закрытости).

Для моделей народнохозяйственного  уровня важно деление на агрегированные и детализированные.

В зависимости от того, включают ли народнохозяйственные модели пространственные факторы и условия или не включают, различают модели пространственные и точечные.

Таким образом, общая классификация  экономико-математических моделей  включает более десяти основных признаков. С развитием экономико-математических исследований проблема классификации  применяемых моделей усложняется. Наряду с появлением новых типов  моделей (особенно смешанных типов) и новых признаков их классификации  осуществляется процесс интеграции моделей разных типов в более  сложные модельные конструкции.

7. Этапы экономико-математического  моделирования

Основные этапы процесса моделирования уже рассматривались  выше. В различных отраслях знаний, в том числе и в экономике, они приобретают свои специфические  черты. Проанализируем последовательность и содержание этапов одного цикла  экономико-математического моделирования.