Математическое моделирование как философская проблема

Введение

В развитии различных областей человеческой деятельности математика оказывала и оказывает существенное влияние. Ее роль складывалась исторически  и зависела от двух факторов: степени  развития математических понятий и  математического аппарата, а также  степени зрелости знания об изучаемом  объекте.

Математические понятия  в процессе своего возникновения  как бы впитывают в себя существенные свойства предметов и явлений  и их отношений в виде существующих математических законов и структур. В результате свойства чувственно-конкретных предметов и явлений концентрированно отражаются в конкретных математических понятиях и структурах.

Дальнейшее развитие математических понятий и теорий происходит на базе уже существующих математических объектов. Этот процесс характеризуется многократным абстрагированием, идеализацией и обобщением. Математические объекты и теории не только обретают чувственно абстрактность, но и универсальную всеобщность  и широкую применимость. В процессе применения математики осуществляется восхождение от абстрактного к конкретному.

Структуры «мира математического» успешно применяются для анализа  «мира экспериментального», ибо  первый является идеально-абстрактной, обобщенной и логически более  совершенной картиной второго. Возникновение  новых математических структур и  нового математического аппарата (например, аппарата математической физики, в  связи с необходимостью глубокого  изучения различных физических, гидродинамических, механических и других процессов  и явлений) сопровождается проникновением нашего сознания в более глубокие структурные уровни, материи. Это  и дало Г. Вейлю основание заметить, что «развитие математики до известной  степени дублируется в физике переходом от классической к квантовой  механике»[1].

Современное развитие науки  характеризуется потребностью сложного изучения всевозможных сложных процессов  и явлений – физических, химических, биологических, экономических, социальных и других. Происходит значительное увеличение темпов математизации и  расширение ее области действия. Теории математики широко применяются в  других науках, казалось бы совершенно от нее далеких – лингвистике, юриспруденции. Это вызвано естественным процессом развития научного знания, который потребовал привлечения  нового и более совершенного математического  аппарата, проявлением новых разделов математики, а также кибернетики, вычислительной техники и так  далее, что значительно увеличило  возможности ее применения[2].

Более точное математическое описание процессов и явлений, вызванное  потребностями современной науки, приводит к появлению сложных  систем интегральных, дифференциальных, интегральных, трансцендентных уравнений  и неравенств, которые не удается  решить аналитическими методами в явном  виде. Для решения таких задач  приходится прибегать к вычислительным алгоритмам, использовать какие-либо бесконечные  процессы, сходящиеся к конечному  результату. Приближенное решение задачи получается при выполнении определенного  числа шагов.

Развитие ЭВМ стимулировало  более интенсивное развитие вычислительных методов, создало предпосылки решения  сложных задач науки, техники, экономики. Широкое применение при решении  таких задач получили методы прикладной математики и математического моделирования.

В настоящее время прикладная математика и ЭВМ являются одним  из определяющих факторов научно-технического прогресса. Они способствуют ускорению  развития ведущих отраслей народного  хозяйства, открывают принципиально  новые возможности моделирования  и проектирования сложных систем с выбором оптимальных параметров технологических процессов.

ЭВМ обеспечивает интенсивный  процесс математизации не только естественных и технических, но также  общественных и гуманитарных наук. Математическое моделирование и  ЭВМ получают широкое применение в химии, биологии, медицине, психологии, лингвистике и этот список можно  продолжать и продолжать.

В реферате предпринята попытка  рассмотреть философские аспекты  математического моделирования  как метода познания окружающего  мира. В первой части исследованы  общие вопросы математического  моделирования. Определяются и обосновываются понятия моделирование, вычислительный эксперимент, математическая модель и  математическое моделирование, приводится классификация математических моделей. Во второй и третьей частях рассматривается  применение математического моделирования  в различных отраслях человеческого  знания и деятельности. Вторая часть  посвящена вопросам кибернетики, моделирования  мысленной деятельности человека. Поднимаются  вопросы искусственного интеллекта, модели искусственного нейрона, нейросетевых технологий. Третья часть затрагивает  вопросы математического моделирования  применительно к к исследованиям  экономических систем, в частности  вопросы имитационного моделирования.

Общие положения  математического моделирования

Моделирование как  метод научного познания.

Растущий интерес философии  и методологии познания к теме моделирования был вызван тем  значением, которое метод моделирования  получил в современной науке, и в особенности в физике, химии, биологии, кибернетике, не говоря уже  о многих технических науках.

Однако моделирование  как специфическое средство и  форма научного познания не является изобретением XIX или XX века. Достаточно указать на представления Демокрита  и Эпикура об атомах, их форме, и  способах соединения, об атомных вихрях и ливнях, объяснения физических свойств  различных веществ с помощью  представления о круглых и  гладких или крючковатых частицах, сцепленных между собой. Эти представления  являются прообразами современных  моделей, отражающих ядерно-электронное  строение атома вещества.

В настоящее время нельзя назвать область человеческой деятельности, в которой в той или иной степени не использовались бы методы моделирования. Остановимся на философских  аспектах моделирования, а точнее общей  теории моделирования[3].

Методологическая основа моделирования заключается в  следующем. Все то, на что направлена человеческая деятельность, называется объектом (лат. objectum – предмет). Выработка  методологии направлена на упорядочение получения и обработки информации об объектах, которые существуют вне  нашего сознания и взаимодействуют  между собой и внешней средой.

В научных исследованиях  большую роль играют гипотезы, то есть определенные предсказания, основывающиеся на небольшом количестве опытных  данных, наблюдений, догадок. Быстрая  и полная проверка гипотез может  быть проведена в ходе специально поставленного эксперимента. При  формулировании и проверки правильности гипотез большое значение в качестве метода суждений имеет аналогия.

Аналогией называют суждение о каком либо частном сходстве двух объектов, причем такое сходство может быть существенным и несущественным. Необходимо отметить, что понятия  существенности и несущественности сходства или различия объектов условны  и относительны. Существенность сходства (различия) зависит от уровня абстрагирования  и в общем случае определяется конечной целью проводимого исследования. Современная научная гипотеза создается, как правило, по аналогии с проверенными на практике научными положениями. Таким  образом, аналогия связывает гипотезу с экспериментом.

Гипотезы и аналогии, отражающие реальный, объективно существующий мир, должны обладать наглядностью или сводится к удобным для исследования логическим схемам. Такие логические схемы, упрощающие рассуждения и логические построения или позволяющие проводить эксперименты, уточняющие природу явлений, называются моделями. Другими словами модель (лат. modulus - мера) – это объект заместитель  объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.

Моделированием называется замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала  с помощью объекта-модели. Таким  образом, моделирование может быть определено как представление объекта  моделью для получения информации об этом объекте путем проведения экспериментов с его моделью. И.Т. Фролов отмечал, что «моделирование означает материальное или мысленное  имитирование реально существующей системы путем специального конструирования  аналогов (моделей), в которых воспроизводятся  принципы организации и функционирования этой системы»[4]. Здесь в основе мысль, что модель средство познания, главный ее признак - отображение. Теория замещения одних объектов (оригиналов) другими объектами (моделями) и исследование свойств объектов на их моделях называется теорией моделирования.

Определяя гносеологическую роль теории моделирования, то есть ее значение в процессе познания, необходимо, прежде всего, отвлечься от имеющегося в науке и технике многообразия моделей и выделить то общее, что  присуще моделям различных по своей природе объектов реального  мира. Это общее заключатся в наличии  некоторой структуры (статической  или динамической, материальной или  мысленной), которая подобна структуре  данного объекта. В процессе изучения модель выступает в роли относительно самостоятельного квазиобъекта, позволяющего получить при исследовании некоторые  знания о самом объекте.

Если результаты моделирования  подтверждаются и могут служить  основой для прогнозирования  процессов, протекающих в исследуемых  объектах, то говорят, что модель адекватна  объекту. При этом адекватность модели зависит от цели моделирования и  принятых критериев.

Обобщенно моделирование  можно определить как метод опосредованного  познания, при котором изучаемый  объект-оригинал находится в неком  соответствии с другим объектом-моделью, причем модель способна в том или  ином отношении замещать оригинал на некоторых стадиях познавательного  процесса. Стадии познания, на которых  происходит такая замена, а также  формы соответствия модели и оригинала  могут быть различными:

Моделирование как познавательный процесс, содержащий переработку информации, поступающей из внешней среды, о  происходящих в ней явлениях, в  результате чего в сознании появляются образы, соответствующие объектам.

Моделирование, заключающееся  в построении некоторой системы-модели (второй системы), связанной определенными  отношениями подобия с системой-оригиналом (первой системой), причем в этом случае отображение одной системы в  другую является средством выявления  зависимостей между двумя системами, отраженными в соотношениях подобия, а не результатом непосредственного  изучения поступающей информации.

Следует отметить, что с  точки зрения философии моделирование  – эффективное средство познания природы. Процесс моделирования  предполагает наличие:

объекта исследования;

исследователя, перед которым  поставлена конкретная задача;

модели, создаваемой для  получения информации об объекте  и необходимой для решения  поставленной задачи.

По отношению модели исследователь  является, по сути дела, экспериментатором, только в данном случае эксперимент  проводится не с реальным объектом, а с его моделью. Надо иметь  в виду, что любой эксперимент  может иметь существенное значение в конкретной области науки только при специальной его обработке  и обобщении. Единичный эксперимент  никогда не может быть решающим для  подтверждения гипотезы, проверки теории. Следует помнить о том, что  критерием истины являются опыт, практика, экспериментальное исследование.

Вычислительный эксперимент, его определение и основные этапы.

Академик А. А. Самарский, один из основоположников вычислительной математики и математического моделирования  в нашей стране, создатель ведущей  школы в области математического  моделирования, понимал под вычислительным экспериментом такую организацию  исследований, при которой на основе математических моделей изучаются  свойства объектов и явлений, проигрывается  их поведение в различных условиях и на основе этого выбирается оптимальный  режим[5]. Другими словами, вычислительный эксперимент предполагает переход от изучения реального объекта к изучению его математической модели. Такой моделью, как правило, является одно или несколько уравнений. Более строго математические модели будут определены ниже.

Впервые вычислительный эксперимент  начал использоваться для изучения таких процессов, экспериментальное  исследование которых невозможно или  затруднено. Например, в 40-50 годы XX столетия академик М.В. Келдыш разрабатывает  математическое описание космических  полетов.

К основным преимуществам  вычислительного эксперимента можно  отнести следующие:

Возможность исследования объекта  без модификации установки или  аппарата.

Возможность исследования каждого  фактора в отдельности, в то время  как в реальности они действуют  одновременно.

Возможность исследования нереализуемых  на практике процессов.

Вычислительный эксперимент  включает в себя следующие этапы (см. рисунок 1):

Физическое описание процесса, то есть уяснение закономерности протекаемых  явлений.

Разработка математической модели.

Алгоритм или метод  решения уравнений.

Разработка программ.

Проведение расчетов, анализ результатов и оптимизация.

Тем самым основу вычислительного  эксперимента составляет триада: модель – алгоритм - программа. Опыт решения  крупных задач показывает, что  метод математического моделирования  и вычислительный эксперимент соединяют  в себе преимущества традиционных теоретических  и экспериментальных методов  исследования.

Стоит заметить, что на практике результаты первых расчетов, как правило, весьма далеки от реальных. Поэтому  происходит постоянное усовершенствование алгоритма, уточнение математической модели до совпадения с какими-то тестовыми  или контрольными данными. Этот этап, называемый идентификацией математической модели, всегда присутствует в вычислительном эксперименте. Поэтому нельзя говорить об одной модели любого явления. Всегда существует иерархия математических моделей, начиная от простых и кончая более  сложными. Следует выбирать некоторый  уровень сложности модели, соответствующей  данной конкретной задаче.

Понятие математического  моделирования как методологии  научных исследований

Под математическим моделированием, в узком смысле слова, понимают описание в виде уравнений и неравенств реальных физических, химических, технологических, биологических, экономических и других процессов. Для того чтобы использовать математические методы для анализа и синтеза различных процессов, необходимо уметь описать эти процессы на языке математики, то есть описать в виде системы уравнений и неравенств.

Как методология научных  исследований математическое моделирование  сочетает в себе опыт различных отраслей науки о природе и обществе, прикладной математики, информатики  и системного программирования для  решения фундаментальных проблем. Математическое моделирование объектов сложной природы – единый сквозной цикл разработок от фундаментального исследования проблемы до конкретных численных расчетов показателей  эффективности объекта. Результатом  разработок бывает система математических моделей, которые описывают качественно  разнородные закономерности функционирования объекта и его эволюцию в целом  как сложной системы в различных  условиях. Вычислительные эксперименты с математическими моделями дают исходные данные для оценки показателей  эффективности объекта. Поэтому  математическое моделирование как  методология организации научной  экспертизы крупных проблем незаменимо при проработке народнохозяйственных решений. (В первую очередь это  относится к моделированию экономических  систем[6]).

По своей сути математическое моделирование есть метод решения  новых сложных проблем, поэтому  исследования по математическому моделированию  должны быть опережающими. Следует  заранее разрабатывать новые  методы, готовить кадры, умеющие со знанием дела применять эти методы для решения новых практических задач.

Математическая модель может  возникнуть тремя путями:

В результате прямого изучения реального процесса. Такие модели называются феноменологическими.

В результате процесса дедукции. Новая модель является частным случаем  некоторой общей модели. Такие  модели называются асимптотическими.

В результате процесса индукции. Новая модель является обобщением элементарных моделей. Такие модели называют моделями ансамблей.

Процесс моделирования начинается с моделирования упрощенного  процесса, который с одной стороны  отражает основные качественные явления, с другой стороны допускает достаточно простое математическое описание. По мере углубления исследования строятся новые модели, более детально описывающие  явление. Факторы, которые считаются  второстепенными на данном этапе, отбрасываются. Однако, на следующих этапах исследования, по мере усложнения модели, они могут  быть включены в рассмотрение. В  зависимости от цели исследования один и тот же фактор может считаться  основным или второстепенным.

Математическая модель и  реальный процесс не тождественны между  собой. Как правило, математическая модель строится с некоторым упрощением и при некоторой идеализации. Она лишь приближенно отражает реальный объект исследования, и результаты исследования реального объекта  математическими методами носят  приближенный характер. Точность исследования зависит от степени адекватности модели и объекта и от точности применяемых методов вычислительной математики.

Схема построения математических моделей следующая:

Выделение параметра или  функции, подлежащей исследованию.

Выбор закона, которому подчиняется  эта величина.

Выбор области, в которой  требуется изучить данное явление.

Классификация математических моделей

Существуют всевозможные классификации математических моделей. Выделяют линейные и нелинейные модели, стационарные и динамические, модели, описываемые алгебраическими, интегральными  и дифференциальными уравнениями, уравнениями в частных производных. Можно выделять классы детерминируемых  моделей, вся информация в которых  является полностью определяемой, и  стохастических моделей, то есть зависящих  от случайных величин и функций. Так же математические модели различают  по применению к различным отраслям науки.

Рассмотрим следующую  классификацию математических моделей[7]. Все математические модели разобьем условно на четыре группы.

I. Модели прогноза или  расчетные модели без управления. Их можно разделить на стационарные  и динамические.

Основное назначение этих моделей: зная начальное состояние  и информацию о поведение на границе, дать прогноз о поведении системы  во времени и в пространстве. Такие  модели могут быть и стохастическими.

Как правило, модели прогнозирования  описываются алгебраическими, трансцендентными, дифференциальными, интегральными, интегро-дифференциальными  уравнениями и неравенствами. Примерами  могут служить модели распределения  тепла, электрического поля, химической кинетики, гидродинамики.

II. Оптимизационные  модели

Их так же разбивают  на стационарные и динамические. Стационарные модели используются на уровне проектирования различных технологических систем. Динамические – как на уровне проектирования, так и, главным образом, для оптимального управления различными процессами –  технологическими, экономическими и  др.

В задачах оптимизации  имеется два направления. К первому  относятся детерминированные задачи. Вся входная информация в них  является полностью определяемой.

Второе направление относится  к стохастическим процессам. В этих задачах некоторые параметры  носят случайный характер или  содержат элемент неопределенности. Многие задачи оптимизации автоматических устройств, например, содержат параметры  в виде случайных помех с некоторыми вероятностными характеристиками.

Методы отыскания экстремума функции многих переменных с различными ограничениями часто называются методами математического программирования. Задачи математического программирования – одни из важных оптимизационных  задач.

В математическом программировании выделяются следующие основные разделы[8]:

Линейное программирование. Целевая функция линейна, а множество, на котором ищется экстремум целевой  функции, задается системой линейных равенств и неравенств.

Нелинейное программирование. Целевая функция нелинейная и  нелинейные ограничения.

Выпуклое программирование. Целевая функция выпуклая и выпуклое множество, на котором решается экстремальная  задача.

Квадратичное программирование. Целевая функция квадратичная, а  ограничения – линейные равенства  и неравенства.

Многоэкстремальные задачи. Задачи, в которых целевая функция  имеет несколько локальных экстремумов. Такие задачи представляются весьма проблемными.

Целочисленное программирование. В подобных задачах на переменные накладываются условия целочисленности.

Как правило, к задачам  математического программирования неприменимы методы классического  анализа для отыскания экстремума функции нескольких переменных.

Модели теории оптимального управления – одни из важных в оптимизационных  моделях. Математическая теория оптимального управления относится к одной  из теорий, имеющих важные практические применения, в основном, для оптимального управления процессами.

Различают три вида математических моделей теории оптимального управления[9]. К первому виду относятся дискретные модели оптимального управления. Традиционно такие модели называют моделями динамического программирования. Широко известен метод динамического программирования Беллмана. Ко второму типу относятся модели, описываемые задачам Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Их часто называют моделями оптимального управления системами с сосредоточенными параметрами. Третий вид моделей описывается краевыми задачами, как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для уравнений в частных производных. Такие модели называют моделями оптимального управления системами с распределенными параметрами.

III. Кибернетические  модели

Этот тип моделей используется для анализа конфликтных ситуаций.

Предполагается, что динамический процесс определяется несколькими  субъектами, в распоряжении которых  имеется несколько управляющих  параметров. С кибернетической системой ассоциируется целая группа субъектов  со своими собственными интересами.

IV. Вышеописанные типы  моделей не охватывают большого  числа различных ситуаций, таких,  которые могут быть полностью  формализированы. Для изучения  таких процессов необходимо включение  в математическую модель функционирующего  «биологического» звена – человека. В таких ситуациях используется  имитационное моделирование, а  также методы экспертиз и информационных  процедур.

О кибернетическом моделировании  и моделировании мыслительной деятельности человека.

Особенности кибернетического моделирования.

Кибернетика (от греческого kybernetike – искусство управления) –  наука о самоуправляющихся машинах, в частности о машинах с  электронным управлением[10]. Основатель ее, американский ученый Норберт Винер, в 1948 показал, что человеческий мозг действует наподобие электронных вычислительных машин с двоичной системой исчисления. Можно определить кибернетику как науку, изучающую системы любой природы, способные воспринимать, хранить и перерабатывать информацию для целей управления.[11]Понятия кибернетическое моделирование, искусственный интеллект, нейроматематика, о которых речь пойдет ниже, тесно связаны с математическим моделированием и не мыслимы без него. Кибернетика широко пользуется методом математического моделирования и стремится к получению конкретных результатов, позволяющих анализировать и синтезировать изучаемые системы.

В современном научном  знании весьма широко распространена тенденция построения кибернетических  моделей объектов самых различных  классов. К.Б. Батороев писал, что «кибернетический этап в исследовании сложных систем ознаменован существенным преобразованием  «языка науки», характеризуется возможностью выражения основных особенностей этих систем в терминах теории информации и управления. Это сделало доступным  их математический анализ».[12]

Кибернетическое моделирование  используется и как общее эвристическое  средство, и как искусственный  организм, и как система-заменитель, и в функции демонстрационной. Использование кибернетической  теории связи и управления для  построения моделей в соответствующих  областях основывается на максимальной общности ее законов и принципов: для объектов живой природы, социальных систем и технических систем.

Широкое использование кибернетического моделирования позволяет рассматривать  этот «логико-методологический» феномен  как неотъемлемый элемент «интеллектуального климата» современной науки». В этой связи говорят об особом «кибернетическом стиле мышления», о «кибернетизации» научного знания. С кибернетическим  моделированием связываются возможные  направления роста процессов  теоризации различных наук, повышение  уровня теоретических исследований. Рассмотрим некоторые примеры, характеризующие  включение кибернетических идей в другие понятийные системы.

Анализ биологических  систем с помощью кибернетического моделирования обычно связывают  с необходимостью объяснения некоторых  механизмов их функционирования (ниже рассмотрим моделирование психической  деятельности человека). В этом случае система кибернетических понятий  и принципов оказывается источником гипотез относительно любых самоуправляемых  систем, т.к. идеи связей и управления верны для этой области применения идей, новые классы факторов.

Характеризуя процесс  кибернетического моделирования[13], обращают внимание на следующие обстоятельства. Модель, будучи аналогом исследуемого явления, никогда не может достигнуть степени сложности последнего. При построении модели прибегают к известным упрощениям, цель которых - стремление отобразить не весь объект, а с максимальной полнотой охарактеризовать некоторый его «срез». Задача заключается в том, чтобы путем введения ряда упрощающих допущений выделить важные для исследования свойства. Создавая кибернетические модели, выделяют информационно-управленческие свойства. Все иные сторон этого объекта остаются вне рассмотрения.