Математическое моделирование социально-экономических процессов и явлений

 

 

 

Реферат по математике на тему:

 

Математическое  моделирование социально-экономических процессов и явлений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва 2014г.

Оглавление.

1. Введение.

2. Понятие математического моделирования и модели.

3. Особенности экономических наблюдений и измерений.

4. Основные этапы построения математической модели.

5. Пример построения математической модели.

6. Общая математическая модель динамики

7. Заключение.

8. Список литературы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Введение.

Модель представляет собой отображение объекта, системы или идеи в форме, отличной от оригинала. С помощью модели воспроизводятся существенные признаки явления или системы и не учитываются второстепенные, несущественные. В деятельности человека построение моделей играет большую роль. Всякое познание - это уже моделирование, так как в коре головного мозга с помощью комплекса клеток изображается в идеальном виде исследуемый объект. Модели могут быть физическими, аналоговыми и математическими. Они могут быть представлены в виде графиков, рисунков, математических соотношений, макетов, различного рода механических, электрических и прочих устройств.

Математическое моделирование экономических процессов, тесно связанное с компьютеризацией, в последние десятилетия является наиболее быстро развивающимся направлением экономической науки и ее важнейших приложений.

В нашей стране экономико-математические исследования прошли ряд этапов. В начале 20-х годов был составлен первый в -мире баланс народного хозяйства на 1923-24 хозяйственный год, проведен ряд исследований по моделированию процессов расширенного воспроизводства и применению математической статистики в изучении хозяйственной конъюнктуры и в прогнозировании. В 1938-39 гг. академик Л.В.Канторович в результате анализа ряда проблем организации и планирования производства сформулировал новый класс условно-экстремальных задач и предложил методы их решения. Так было положено начало новой области прикладной математики -линейному программированию. Большой вклад в развитие экономико-математического моделирования внесли и советские экономисты-математики, такие как В.С.Немчинов, В.В.Новожилов , Н.П.Федоренко, А.Г.Аганбегян и др.Ускорение темпов математизации в экономике объясняется сложностью экономических систем, анализ которых невозможен без точных методов. Кроме того, экономика в основном оперирует количественными характеристиками, что позволяет использовать количественные методы. Отличительной чертой исследований практических экономических задач с помощью математических моделей является то, что в этом случае эксперимент проводится с моделью, а не в реальном мире. Появляется возможность опробовать и экспериментально проверить альтернативные варианты решения проблемы и с помощью математических процедур выбрать лучшие из них, что дает значительный экономический эффект. Область возможного применения экономико-математических методов чрезвычайно велика и постоянно расширяется. Однако область фактического применения в практике намного скромнее. Главная трудность заключается в сложности моделирования экономических процессов и явлений. Большинство объектов, изучаемых экономической наукой, может быть охарактеризовано кибернетическим понятием «сложная система». Сложность системы определяется числом элементов, входящих в нее, и характером взаимосвязей между ними. При изучении систем недостаточно, а иногда и невозможно, пользоваться методом расчленения их на элементы с последующим изучением этих элементов, поскольку часто система обладает такими свойствами, которыми не обладает ни один ее элемент в отдельности. Кроме того, моделирование существенно усложняется еще и тем, что экономика охватывает не только производственные процессы, но и производственные отношения. В экономико-математических исследованиях применяется разнообразный математический аппарат как общий (линейная алгебра, математический анализ, теория вероятностей, математическая статистика), так и специальный, разработанный для экономических исследований (линейное и динамическое программирование, теория игр, теория массового обслуживания и др.).

 

 

2. Понятие математического моделирования и модели

 

 Для начала, разберемся, что такое «математическое моделирование» когда оно появилось и чем служит.

Итак, с середины XX в. в самых различных областях человеческой деятельности стали широко применять математические методы и ЭВМ. Возникли такие новые дисциплины, как «математическая экономика», «математическая химия», «математическая лингвистика» и т. д., изучающие математические модели соответствующих объектов и явлений, а также методы исследования этих моделей.

Модель – это мысленно представляемая или материально реализованная система, которая, отображая или воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что ее изучение дает новую информацию об этом объекте.

Математическая модель — это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на языке математики. Основная цель моделирования — исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений. Однако моделирование — это еще и метод познания окружающего мира, дающий возможность управлять им.

Математическое моделирование и связанный с объектом компьютерный эксперимент незаменимы в тех случаях, когда натурный эксперимент невозможен или затруднен по тем или иным причинам.

В процессе исследования объекта часто бывает нецелесообразно или даже невозможно иметь дело непосредственно с этим объектом. Удобнее бывает заменить его другим объектом, подобным данному в тех аспектах, которые важны в данном исследовании. В общем виде модель можно определить как условный образ (упрощенное изображение) реального объекта (процесса), который создается для более глубокого изучения действительности. Метод исследования, базирующийся на разработке и использовании моделей, называется моделированием. Например, нельзя поставить натурный эксперимент в истории, чтобы проверить, «что было бы, если бы...» Невозможно проверить правильность той или иной космологической теории. В принципе возможно, но вряд ли разумно, поставить эксперимент по распространению какой-либо болезни, например чумы, или осуществить ядерный взрыв, чтобы изучить его последствия. Так же как, модель самолета продувают в аэродинамической трубе, вместо того, чтобы испытывать настоящий самолет – это дешевле. При теоретическом исследовании атомного ядра физики представляют его в виде капли жидкости, имеющей поверхностное натяжение, вязкость и т.п. Необходимость моделирования обусловлена сложностью, а порой и невозможностью прямого изучения реального объекта (процесса). Однако все это вполне можно сделать на компьютере, построив предварительно математические модели изучаемых явлений. Значительно доступнее создавать и изучать прообразы реальных объектов, т.е. модели. Можно сказать, что теоретическое знание о чем-либо, как правило, представляет собой совокупность различных моделей. Эти модели отражают существенные свойства реального объекта (процесса), хотя на самом деле действительность значительно содержательнее и богаче.

Познавательные возможности модели обуславливаются тем, что модель отражает какие-либо существенные черты объекта-оригинала. Вопрос о необходимости и достаточной мере сходства оригинала и модели требует конкретного анализа. Очевидно, модель утрачивает свой смысл как в случае тождества с оригиналом (тогда она перестает быть оригиналом), так и в случае чрезмерного во всех существенных отношениях отличия от оригинала.

Таким образом, изучение одних сторон моделируемого объекта осуществляется ценой отказа от отражения других сторон. Поэтому любая модель замещает оригинал лишь в строго ограниченном смысле. Из этого следует, что для одного объекта может быть построено несколько «специализированных» моделей, концентрирующих внимание на определенных сторонах исследуемого объекта или же характеризующих объект с разной степенью детализации.

Подобие между моделируемым объектом и моделью может быть физическое, структурное, функциональное, динамическое, вероятностное и геометрическое. При физическом подобии объект и модель имеет одинаковую или сходную физическую природу. Структурное подобие предполагает наличие сходства между структурой объекта и структурой модели. При выполнении объектом и моделью под определенным воздействием сходных функций наблюдается функциональное подобие. При наблюдении за последовательно изменяющимися состояниями объекта и модели отмечается динамическое подобие. Вероятностное подобие отмечается при наличии сходства между процессами вероятностного характера в объекте и модели. Геометрическое подобие имеет место при сходстве пространственных характеристик объекта и модели.

На сегодняшний день общепризнанной единой классификации моделей не существует. Однако из множества моделей можно выделить словесные, графические, физические, экономико-математические и некоторые другие типы моделей.

Словесная или монографическая модель представляет собой словесное описание объекта, явления или процесса. Очень часто она выражается в виде определения, правила, теоремы , закона или их совокупности.

Графическая модель создается в виде рисунка, географической карты или чертежа. Например, зависимость между ценой и спросом может быть выражена в виде графика, на оси ординат, которого отложен спрос (D), а на оси абсцисс – цена (Р). Кривая нам наглядно иллюстрирует, что с ростом цены спрос падает, и наоборот. Конечно, данную зависимость можно выразить и словесно, но графически она намного нагляднее (рис. 1.1).

                                       

 

Рис. 1.1. Графическая модель, отображающая зависимость между спросом и ценой

 

Физические или вещественные модели создаются для конструирования пока еще несуществующих объектов. Создать модель самолета или ракеты для проверки ее аэродинамических свойств значительно проще и экономически целесообразнее, чем изучать эти свойства на реальных объектах.

При моделировании используется аналогия между объектом – оригиналом и его моделью. Аналогии бывают следующими:

1)внешняя аналогия (модель самолета, корабля, микрорайона, выкройка);

2)структурная аналогия (водопроводная сеть и электросеть моделируются с помощью графов, отражающих все связи и пересечения, но не длины отдельных трубопроводов);

3)динамическая аналогия (по поведению системы) – маятник моделирует электрический колебательный контур.

Математические модели относятся ко второму и третьему типу. Смысл математического моделирования заключается в том, что эксперименты проводятся не с реальной физической моделью объекта, а с его описанием. Для них свойственно то, ячто они реализуются с использованием информационных технологий. Содержанием любой экономико-математической модели является выраженная в формально-математических соотношениях экономическая сущность условий задачи и поставленной цели. В модели экономическая величина представляется математическим соотношением, но не всегда математическое соотношение является экономическим. «Экономико-математическая модель представляет собой концентрированное выражение общих взаимосвязей и закономерностей экономического явления в математической форме» (академик В.С. Немчинов).

Экономико-математические модели отражают наиболее существенные свойства реального объекта или процесса с помощью системы уравнений. Единой классификации экономико-математических моделей также не существует, хотя можно выделить наиболее значимые их группы в зависимости от признака классификации.

По степени агрегирования объектов моделирования различают модели:

• микроэкономические;

• одно-, двухсекторные (одно-, двухпродуктовые);

• многосекторные (многопродуктовые);

• макроэкономические;

• глобальные.

По учету фактора времени модели подразделяются на:

• статические;

• динамические.

В статических моделях экономическая система описана в статике, применительно к одному определенному моменту времени. Это как бы снимок, срез, фрагмент динамической системы в какой-то момент времени. Динамические модели описывают экономическую систему в развитии.

По цели создания и применения различают модели:

• балансовые;

• эконометрические;

• оптимизационные;

• сетевые;

• систем массового обслуживания;

• имитационные (экспертные).

В балансовых моделях отражается требование соответствия наличия ресурсов и их использования.

Параметры эконометрических моделей оцениваются с помощью методов математической статистики. Наиболее распространены эконометрические модели, представляющие собой системы регрессионных уравнений. В данных уравнениях отражается зависимость зависимых переменных от независимых переменных. Данная зависимость в основном выражается через тренд (длительную тенденцию) основных показателей моделируемой экономической системы. Эконометрические модели используются для анализа и прогнозирования конкретных экономических процессов с использованием реальной статистической информации.

Оптимизационные модели позволяют найти из множества возможных (альтернативных) вариантов наилучший вариант производства, распределения или потребления. Ограниченные ресурсы при этом будут использованы наилучшим образом для достижения поставленной цели.

Сетевые модели наиболее широко используются в управлении проектами. Сетевая модель отображает комплекс работ и событий и их взаимосвязь во времени. Обычно сетевая модель предназначена для выполнения работ в такой последовательности, чтобы сроки выполнения проекта были минимальными. В этом случае ставится задача нахождения критического пути. Однако существуют и такие сетевые модели, которые ориентированы не на критерий времени, а, например, на минимизацию стоимости работ.

Модели систем массового обслуживания создаются для минимизации затрат времени на ожидание в очереди и времени простоев каналов обслуживания.

Имитационная модель наряду с машинными решениями содержит блоки, где решения принимаются человеком. Вместо непосредственного участия человека в принятии решений может выступать база знаний. В этом случае персональный компьютер, специализированное программное обеспечение, база данных и база знаний образуют экспертную систему. Экспертная система предназначена для решения одной или ряда задач методом имитации действий человека, эксперта в данной области.

По учету фактора неопределенности модели подразделяются на:

• детерминированные (с однозначно определенными результатами);

• стохастические (с различными, вероятностными результатами).

По типу математического аппарата различают модели:

• линейного и нелинейного программирования;

• корреляционно-регрессионные;

• матричные;

• сетевые;

• теории игр;

• теории массового обслуживания и т.д.

 

3. Особенности экономических наблюдений и измерений.

Уже длительное время главным тормозом практического применения математического моделирования в экономике является наполнение разработанных моделей конкретной и качественной информацией. Точность и полнота первичной информации, реальные возможности ее сбора и обработки во многом определяют выбор типов прикладных моделей. С другой стороны, исследования по моделированию экономики выдвигают новые требования к системе информации.

В зависимости от моделируемых объектов и назначения моделей используемая в них исходная информация имеет существенно различный характер и происхождение. Она может быть разделена на две категории: о прошлом развитии и современном состоянии объектов (экономические наблюдения и их обработка) и о будущем развитии объектов, включающую данные об ожидаемых изменениях их внутренних параметров и внешних условий (прогнозы). Вторая категория информации является результатом самостоятельных исследований, которые также могут выполняться посредством моделирования.

Методы экономических наблюдений и использования результатов этих наблюдений разрабатываются экономической статистикой. Поэтому стоит отметить только специфические проблемы экономических наблюдений, связанные с моделированием экономических процессов.

В экономике многие процессы являются массовыми; они характеризуются закономерностями, которые не обнаруживаются на основании лишь одного или нескольких наблюдений. Поэтому моделирование в экономике должно опираться на массовые наблюдения.

Другая проблема порождается динамичностью экономических процессов, изменчивостью их параметров и структурных отношений. Вследствие этого, экономические процессы приходится постоянно держать под наблюдением, необходимо иметь устойчивый поток новых данных. Поскольку наблюдения за экономическими процессами и обработка эмпирических данных обычно занимают довольно много времени, то при построении математических моделей экономики требуется корректировать исходную информацию с учетом ее запаздывания.

Познание количественных отношений экономических процессов и явлений опирается на экономические измерения. Точность измерений в значительной степени предопределяет и точность конечных результатов количественного анализа посредством моделирования. Поэтому необходимым условием эффектного использования математического моделирования является совершенствование экономических измерителей. Применение математического моделирования заострило проблему измерений и количественных сопоставлений различных аспектов и явлений социально-экономического развития, достоверности и полноты получаемых данных, их защиты от намеренных и технических искажений.

В процессе моделирования возникает взаимодействие «первичных» и «вторичных» экономических измерителей. Любая модель народного хозяйства опирается на определенную систему экономических измерителей (продукции, ресурсов, элементов и т.д.). В то же время одним из важных результатов народнохозяйственного моделирования является получение новых (вторичных) экономических измерителей – экономически обоснованных цен на продукцию различных отраслей, оценок эффективности разнокачественных природных ресурсов, измерителей общественной полезности продукции. Однако эти измерители могут испытывать влияние недостаточно обоснованных первичных измерителей, что вынуждает разрабатывать особую методику корректировки первичных измерителей для хозяйственных моделей.

 

4. Основные этапы построения математической модели.

Чтобы воспользоваться математической моделью для конкретной производственно-экономической ситуации, следует применить информационную технологию. Информационная технология позволяет безошибочно выделить из множества реальных производственно-экономических ситуаций именно ту, которая полностью соответствует конкретным обстоятельствам. Эта технология состоит из следующих восьми этапов.

Этап 1. ВЫБОР ОБЪЕКТА МОДЕЛИРОВАНИЯ (например: склад готовой продукции; организация выпуска новой продукции или системы транспортных перевозок и т.п.).

Этап 2. АНАЛИЗ ПРОБЛЕМНОЙ СИТУАЦИИ, сложившейся в рассматриваемом объекте моделирования. Например, для нормального функционирования склада готовой продукции необходимо увязать скорость потребления продукции со временем поставки и размерами складских площадей, оборотными средствами, которые всегда оказываются ограниченными.

Этап 3. ТИП И ЧИСЛО НЕНАБЛЮДАЕМЫХ ПАРАМЕТРОВ (отыскиваемых значений ЦФ и основных переменных X j), определение которых позволит выбрать обоснованное управление конкретного экономического объекта.

Этап 4. ТИП И ЧИСЛО НАБЛЮДАЕМЫХ ПАРАМЕТРОВ (задаваемых значений правых частей ограничений b[i], коэффициентов затрат a[ij] , граничных условий для отыскиваемых переменных.

Этап 5. УСЛОВИЕ АДЕКВАТНОСТИ, то есть уверенность в том, что математическая модель экономического объекта полностью (или в главных чертах) характеризует его действительное оптимальное функционирование. Обычно адекватность ставится в зависимость от численного значения критерия оптимальности (или нескольких таких критериев при многокритериальной оптимизации).

Этап 6. ИСПОЛЬЗУЕМЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ, соответствующий конкретному математическому описанию производственно-экономической ситуации. (Например, аналитические связи между основными параметрами движения запасов).

Этап 7. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ экономического объекта: оптимальных значений основных переменных и целевой функции. Эти значения составляют основу экономического анализа конкретного объекта, за которым следуют выводы.

Этап 8. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ. По результатам оптимальных значений и сделанных на этапе 7 выводов принимается решение по управлению экономическим объектом.

Можно сделать вывод, что для понимания сущности моделирования важно не упускать из виду, что моделирование – не единственный источник знаний об объекте. Процесс моделирования «погружен» в более общий процесс познания. Это обстоятельство учитывается не только на этапе построения модели, но и на завершающей стадии, когда происходит объединение и обобщение результатов исследования, получаемых на основе многообразных средств познания.

Моделирование – циклический процесс. Это означает, что за первым восьмиэтапным циклом может последовать второй, третий и т.д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Недостатки, обнаруженные после первого цикла моделирования, обусловленные малым знанием объекта и ошибками в построении модели, можно исправить в последующих циклах. В методологии моделирования, таким образом, заложены большие возможности саморазвития.

По мере развития и усложнения экономико-математического моделирования его отдельные этапы обособляются в специализированные области исследований, усиливаются различия между теоретико-аналитическими и прикладными моделями, происходит дифференциация моделей по уровням абстракции и идеализации.

Теория математического анализа моделей экономики развилась в особую ветвь современной математики – математическую экономику. Модели, изучаемые в рамках математической экономики, теряют непосредственную связь с экономической реальностью; они имеют дело с исключительно идеализированными экономическими объектами и ситуациями. При построении таких моделей главным принципом является не столько приближение к реальности, сколько получение возможно большего числа аналитических результатов посредством математических доказательств. Ценность этих моделей для экономической теории и практики состоит в том, что они служат теоретической базой для моделей прикладного типа.

Довольно самостоятельными областями исследований становятся подготовка и обработка экономической информации и разработка математического обеспечения экономических задач (создание баз данных и банков информации, программ автоматизированного построения моделей и программного сервиса для экономистов-пользователей). На этапе практического использования моделей ведущую роль должны играть специалисты в соответствующей области экономического анализа, планирования, управления. Главным участком работы экономистов-математиков остается постановка и формализация экономических задач и синтез процесса экономико-математического моделирования.

5. Пример построения математической модели.

Математическая модель экономического объекта - это его отображение в виде совокупности уравнений, неравенств, логических отношений, графиков. Такое отображение объединяет группы отношений элементов изучаемого объекта в аналогичные отношения элементов модели. Иными словами, модель - это условный образ объекта, построенный для упрощения его исследования. Предполагается, что изучение модели дает новые знания об объекте, либо позволяет определить наилучшие решения в той или иной ситуации. Для описания основных видов элементов экономической модели рассмотрим конкретную ситуацию и построим соответствующую ей модель. Пусть имеется фирма, выпускающая несколько видов продукции. В процессе производства используются три вида ресурсов: оборудование, рабочая сила и сырье; эти ресурсы однородны, количества их известны и в данном производственном цикле увеличены быть не могут. Задан расход каждого из ресурсов на производство единицы продукции каждого вида. Заданы цены продуктов. Нужно определить объемы производства с целью максимизации стоимости произведенной продукции (или, в предположении, что вся она найдет сбыт на рынке - общей выручки от реализации).Для решения поставленной задачи нужно построить математическую модель, наполнить ее информацией, а затем провести по ней необходимые расчеты. Вначале при построении модели нужно определить индексы, экзогенные и эндогенные переменные и параметры. В нашей задаче свой индекс должен иметь каждый вид продукции (пусть это индекс i, меняющийся от 1 до n), а также вид ресурсов (если мы обозначаем их одной переменной; пусть в нашей задаче ресурсы обозначены разными переменными). Далее опишем экзогенные переменные - те, которые задаются вне модели, т.е. известные заранее, и параметры - это коэффициенты уравнений модели. Часто экзогенные переменные и параметры в моделях не разделяют. В рассматриваемой задаче заданы экзогенные переменные - имеющиеся количества оборудования К, рабочей силы L и сырья R; заданы параметры - коэффициенты их расхода на единицу i -й продукции k i, l i и r i, соответственно. Цены продуктов р i также известны. Далее вводятся обозначения для эндогенных переменных - тех, которые определяются в ходе расчетов по модели и не задаются в ней извне. В нашем случае - это неизвестные объемы производства продукции каждого i-го вида; обозначим их i. Закончив описание переменных и параметров, переходят к формализации условий задачи, к описанию ее допустимого множества и целевой функции (если таковая имеется). В нашей задаче допустимое множество - это совокупность всех вариантов производства, обеспеченных имеющимися ресурсами. К этим ограничениям по ресурсам добавляются требования неотрицательности переменных х i больше либо равно нулю. Если бы какой-то ресурс нужно было израсходовать полностью (например, полностью занять всю рабочую силу), соответствующее неравенство превратилось бы в уравнение. Это сузило бы допустимое множество и, возможно, исключило бы из него первоначально наилучшее решение. Если модель является оптимизационной (а данная модель такова), то наряду с ограничениями должна быть выписана целевая функция, т.е. максимизируем или минимизируемся величина, отражающая интересы принимающего решение субъекта. Поставленная задача далеко не всегда хорошо описывает ситуацию и соответствует задачам лица, принимающего решение (ЛПР). В действительности, по крайней мере:

1) ресурсы до  некоторой степени взаимозаменяемы;

2) затраты ресурсов  не строго пропорциональны выпуску (есть постоянные затраты, не связанные  с объемом выпуска; предельные  затраты меняются);

3) объемы ресурсов  не строго фиксированы, они могут  покупаться и продаваться, браться  или сдаваться в аренду;

4) внутри каждого  вида ресурсов можно выделить  составляющие, функционально или  качественно различные, в той  или иной мере заменяющие или  дополняющие друг друга и по-разному  влияющие на объем выпуска;

5) цена продукта  может зависеть от объема его  реализации, то же касается цены  ресурса;

6) фирма может  использовать одну из конечного  набора технологий (или сочетание  нескольких таких технологий), характеризующихся  определенными сочетаниями используемых  ресурсов;

7) различные  единицы получаемой прибыли могут  иметь разную ценность для  лица, принимающего решение (что  обусловлено, например, особенностями  налоговой системы);

8) интересы и  предпочтения субъекта не ограничиваются  максимизацией объема прибыли, поэтому  целевая функция должна учитывать  и другие количественные и  качественные показатели;

9) для субъекта  реально решаемая задача не  ограничивается одним моментом  или периодом времени, важны динамические  взаимосвязи;

10) на ситуацию  могут воздействовать случайные  факторы, которые необходимо принять  во внимание.

Многие разделы экономической теории посвящены изучению, описанию и моделированию перечисленных аспектов на различных уровнях хозяйственной деятельности, с той или иной степенью детализации и в различных сочетаниях. Следует различать математическую структуру модели и ее содержательную интерпретацию. Рассмотрим следующие два простых примера.

Пример 1. Пусть требуется определить, какую сумму следует положить в банк при заданной ставке процента (20% годовых), чтобы через год получить $12000?

Вводя формальные обозначения для величин, фигурирующих в задаче:

начальная сумма денег – M0,

конечная сумма денег – М1,

ставка процента - R

Записывая соотношение между ними, найдем требуемую величину из решения основного уравнения модели.

Пример 2. Пусть требуется определить, каков был объем выпуска продукции завода, если в результате технического перевооружения средняя производительность труда увеличилась на 20%, и завод стал выпускать 12000 единиц продукции.