Математическое обеспечение САПР

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Московский государственный технологический университет «СТАНКИН»

Кафедра когнитивных технологий проектирования

Реферат на тему:

«Математическое обеспечение САПР»

Выполнила: студентка

                                                                    Принял: д.т.н          

Москва, 2011

Содержание

Введение………………………………………………………………………….… 3

1. Математическое обеспечение САПР……...........................................…….… 4-5

    1.1. Требования к математическому обеспечению…………………………5-8

2. Математическое моделирование объектов и устройств автоматизации

    в САПР ……………………………………………………………………………8

    2.1. Классификация математических моделей….………….…….…………8-10

    2.2 Методика получения математических моделей элементов и устройств

         автоматизации ……………………………………………………………….10-12

Список использованной литературы……………………………………………13

Введение

С начала 80-х годов 20 века, в связи с массовым производством и внедрением персональных компьютеров (ПК), идея системной автоматизации процесса проектирования становится практически осуществимой для проектных организаций любого масштаба: от крупного института до частного бюро. Понятие САПР, с одной стороны, упростилось и зачастую ассоциируется с той или иной компьютерной программой. С другой стороны, проектирование сложных технических объектов возможно лишь в рамках САПР как организационно-технической системы, в основе которой - весь потенциал информационных технологий.

Согласно определению, рекомендуемому ГОСТом, САПР (Система Автоматизированного Проектирования) - это комплекс программно-технических средств автоматизированного проектирования, взаимосвязанных с необходимыми подразделениями проектной организации или коллективом специалистов, выполняющих проектирование.

Таким образом, САПР – система, объединяющая технические средства, математическое и программное обеспечение, параметры и характеристики которых выбирают с максимальным учетом особенностей задач инженерного проектирования и конструирования.

Структурное единство подсистем САПР обеспечивается строгой регламентацией связей между различными видами обеспечения, объединенных общей для данной подсистемы целевой функцией.

Принято выделять 7 видов обеспечения:

– математическое;

– техническое;

– программное;

– информационное;

– лингвистическое;

– методическое;

– организационное;

Рассмотрим более подробно математическое обеспечение.

1. Математическое обеспечение САПР

Основу этого компонента САПР составляют алгоритмы, по которым разрабатывается программное обеспечение САПР и, следовательно, осуществляется процесс автоматизирования проектирования САПР. Элементы МО в САПР чрезвычайно разнообразны. Среди них имеются инвариантные элементы - принципы построения функциональных моделей, методы численного решения алгебраических и дифференциальных уравнений, постановки экстремальных задач, методы поиска экстремума.

Математическое обеспечение (МО) – это совокупность математических методов, математических моделей (ММ), проектируемых объектов, и алгоритмов выполнения проектных процедур.

Применение тех или иных методов зависит от уровня развития САПР, свойств объектов проектирования и характера решаемых задач.

Разработка МО является самым сложным этапом создания САПР, от которого в наибольшей степени зависят производительность и эффективность функционирования САПР в целом. На основе математического обеспечения решаются все задачи в САПР: постановка проблемы, организация вычислительного процесса и диалога человек – ЭВМ, анализ, синтез, техническое проектирование и т.д.

МО любых САПР по назначению и способам реализации делится на две части: специальную часть и инвариантную часть. Первую составляют математические методы и построенные на их основе математические модели, описывающие объекты проектирования или их части или вычисляющие необходимые свойства и параметры объектов. Вторую часть составляет формализованное описание технологии автоматизированного проектирования. В составе любой САПР эти части МО должны органично взаимодействовать.

Способы и средства реализации первой части МО наиболее специфичны в различных САПР и зависят от особенностей процесса проектирования.

Развитие и совершенствование методов в данной части - процесс постоянный. Создание САПР стимулирует эти работы, и прежде всего - в части разработки оптимизационных методов проектирования.

Сложнее обстоит дело с разработкой второй части МО. Формализация процессов автоматизированного проектирования в комплексе оказалась более сложной задачей, чем алгоритмизация и программирование отдельных проектных задач. При решении задач данной части должна быть формализована вся логика технологии проектирования, в том числе логика взаимодействия проектировщиков друг с другом с использованием средств автоматизации. Указанные проблемы решались и решаются в настоящее время эмпирическим путем, главным образом - методом проб и ошибок.

Следовательно, МО САПР должно описывать во взаимосвязи объект, процесс и средства автоматизации проектирования. Для совершенствования МО выделяют два направления работ:

        развитие методов получения оптимальных проектных решений, в том числе ориентированных на автоматизированное проектирование;

        совершенствование и типизацию самих процессов автоматизированного проектирования.

1.1.       Требования к математическому обеспечению

При выборке и разработке моделей, методов и алгоритмов необходимо учитывать требования, предъявляемые к МО в САПР.

Универсальность

Под универсальностью МО понимается его применимость к широкому классу проектируемых объектов. Одно из отличий расчетных методов в САПР от ручных расчетных методов - высокая степень универсальности. Например, в подсистеме структурного проектирования САПР ЭВМ используются модели и алгоритмы, позволяющие исследовать стационарные и нестационарные процессы переработки информации при произвольных входных потоках.

Высокая степень универсальности МО нужна для того, чтобы САПР была применима к любым или большинству объектов, проектируемых на предприятии.

Алгоритмическая надежность

Методы и алгоритмы, не имеющие строгого обоснования, называют эвристическими. Отсутствие четко сформулированных условий применимости приводит к тому, что эвристические методы могут использоваться некорректно. В результате либо вообще не будет получено решение (например, из-за отсутствия сходимости), либо оно будет далеким от истинного. Главная неприятность заключается в том, что в распоряжении инженера может не оказаться данных, позволяющих определить, корректны или нет полученные результаты. Следовательно, возможна ситуация, когда неверное решение будет использоваться в дальнейшем как правильное.

Свойство компонента МО давать при его применении в этих условиях правильные результаты называется алгоритмической надежностью. Степень универсальности характеризуется заранее оговоренными ограничениями, а алгоритмическая надежность - ограничениями, заранее не выявленными и, следовательно, не оговоренными.

Количественной оценкой алгоритмической надежности служит вероятность получения правильных результатов при соблюдении оговоренных ограничений на применение метода. Если эта вероятность равна единице или близка к ней, то говорят, что метод алгоритмически надежен.

Применение алгоритмичности ненадежных методов в САПР нежелательно, хотя и допустимо в случаях, когда неправильные результаты легко распознаются.

С проблемой алгоритмической надежности тесно связана проблема обусловленности математических моделей и задач. О плохой обусловленности говорят в тех случаях, когда малые погрешности исходных данных приводят к большим погрешностям результатов. На каждом этапе вычислений имеются свои промежуточные исходные данные и результаты, свои источники погрешностей. При плохой обусловленности погрешности могут резко возрасти, что может привести как к снижению точности, так и к росту затрат машинного времени.

Точность

Для большинства компонентов МО важным свойством является точность, определяемая по степени совпадения расчетных и истинных результатов. Алгоритмически надежные методы могут давать различную точность. И лишь в тех случаях, когда точность оказывается хуже предельно допустимых значений или решение вообще невозможно получить, говорят не о точности, а об алгоритмической надежности.

В большинстве случаев решение проектных задач характеризуется:

1) совместным использованием многих компонентов МО, что затрудняет определение вклада в общую погрешность каждого из компонентов;

2) векторным характером результатов (например, при анализе находят вектор выходных параметров, при оптимизации - координаты экстремальной точки), т.е. результатом решения является значение не отдельного параметра, а многих параметров.

В связи с этим оценка точности производится с помощью специальных вычислительных экспериментов. В этих экспериментах используются специальные задачи, называемые тестовыми. Количественная оценка погрешности результата решения тестовой задачи есть одна из норм вектора относительных погрешностей: m-норма или l-норма, где l - относительная погрешность определения j-го элемента вектора результатов; m - размерность этого вектора.

Экономичность

а) Затраты машинного времени

Универсальные модели и методы характеризуются сравнительно большим объемом вычислений, растущим с увеличением размерности задач. Поэтому при решении большинства задач в САПР затраты машинного времени (Tм) значительны. Обычно именно Tм являются главным ограничивающим фактором при попытках повысить сложность проектируемых на ЭВМ объектов и тщательность их исследования. Поэтому требование экономичности по Tм - одно из основных требований к МО САПР.

При использовании в САПР многопроцессорных ВС уменьшить время счета можно с помощью параллельных вычислений. В связи с этим один из показателей экономичности МО - его приспособленность к распараллеливанию вычислительного процесса.

В САПР целесообразно иметь библиотеки с наборами моделей и методов, перекрывающими потребности всех пользователей САПР.

б) Используемая память

Затраты памяти являются вторым после затрат машинного времени показателем экономичности МО. Они определяются длиной программы и объемом используемых массивов данных. Несмотря на значительное увеличение емкости оперативной памяти в современных ЭВМ, требование экономичности по затратам памяти остается актуальным. Это связано с тем, что в мультипрограммном режиме функционирования ЭВМ задача с запросом большого объема памяти получает более низкий приоритет и в результате время ее пребывания в системе увеличивается.

Улучшить экономичность по затратам оперативной памяти можно путем использования внешней памяти. Однако частые обмены данными между оперативной памятью и внешней могут привести к недопустимому росту Tм. Поэтому при больших объемах программ и массивов обрабатываемой информации целесообразно использовать МО, допускающее построение оверлейных программных структур и реализующее принципы диакоптической обработки информации.

2. Математическое моделирование объектов и устройств автоматизации в САПР

В САПР используют метод исследования – моделирование.

Моделирование—это исследование объекта путем создания его модели и оперирования ею с целью получения полезной информации об объекте. При математическом моделировании исследуется математическая модель (ММ) объекта.

Математической моделью (ММ) технического объекта называется совокупность математических объектов (чисел, скалярных переменных, векторов, матриц, графов и т. п.) и связывающих их отношений, отражающая свойства моделируемого технического объекта, интересующие инженера - проектировщика.

2.1. Классификация математических моделей

Структурные ММ предназначены для отображения структурных свойств объекта. Различают структурные ММ топологические и геометрические.

а) В топологических ММ отображаются состав и взаимосвязи элементов. Их чаще всего применяют для описания объектов, состоящих из большого числа элементов, при решении задач привязки конструктивных элементов к определенным пространственным позициям (например, задачи компоновки оборудования, размещения деталей, трассировки соединений) или к относительным моментам времени (например, при разработке расписаний, технологических процессов). Топологические модели могут иметь форму графов, таблиц (матриц), списков и т.п.

б) В геометрических ММ отображаются свойства объектов, в них дополнительно к сведениям о взаимном расположении элементов содержатся сведения о форме деталей. Геометрические ММ могут выражаться совокупностью уравнений линий и поверхностей; совокупностью алгебраических соотношений, описывающих области, составляющие тело объекта; графами и списками, отображающими конструкции из типовых конструктивных элементов, и т.п. Геометрические ММ применяют при решении задач конструирования в машиностроении, приборостроении, радиоэлектронике, для оформления конструкторской документации, при задании исходных данных на разработку технологических процессов изготовления деталей.

Функциональные ММ предназначены для отображения физических или информационных процессов, протекающих в объекте при его функционировании или изготовлении. Обычно функциональные ММ представляют собой системы уравнений, связывающих фазовые переменные, внутренние, внешние и выходные параметры.

2. По степени детализации описания в пределах каждого иерархического уровня выделяют полные ММ и макромодели.

Полная модель - эта модель, в которой фигурируют фазовые переменные, характеризующие состояния всех имеющихся межэлементных связей (т.е. состояние всех элементов проектируемого объекта).

Макромодель - ММ, в которой отображаются состояния значительно меньшего числа межэлементных связей, что соответствует описанию объекта при укрупненном выделении элементов.

3. По способу представления свойств объекта функциональные ММ делятся на аналитические и алгоритмические.

Аналитические ММ представляют собой явные выражения выходных параметров как функций входных и внутренних параметров.

Алгоритмические ММ выражают связи выходных параметров с параметрами внутренними и внешними в форме алгоритма.

2.2 Методика получения математических моделей элементов и устройств автоматизации

Использование принципов блочно-иерархического подхода к проектированию структур математических моделей проектируемых объектов позволяет формализовать процесс их написания. Количество иерархических уровней при моделировании определяется сложностью проектируемых объектов и возможностью средств проектирования. Однако иерархические уровни большинства предметных областей можно отнести к одному из трех обобщенных уровней: микро-, макро- и метауровни. На каждом иерархическом уровне проектирования различают понятия математических моделей системы (ММС) и элемента (ММЭ) системы.

В общем случае процедура получения математических моделей элементов и устройств включает в себя следующие операции:

1. Выбор свойств объекта, которые подлежат отражению в модели. Этот выбор основан на анализе возможных применений модели и определяет степень универсальности ММ.
2. Сбор исходной информации о выбранных свойствах объекта. Источниками сведений могут быть опыт и знания инженера, разрабатывающего модель, научно-техническая литература, прежде всего справочная, описания прототипов - имеющихся ММ для элементов, близких по свойствам к исследуемому, результаты экспериментального измерения параметров и т.п.
3. Синтез структуры ММ. Структура ММ - общий вид математических соотношений модели без конкретизации числовых значений фигурирующих в них параметров. Структура модели может быть представлена также в графической форме, например в виде эквивалентной схемы или графа. Синтез структуры - наиболее ответственная и с наибольшим трудом подлежащая формализации операция.

В зависимости от места в иерархии описания математические модели делятся на ММ, относящиеся к микро-, макро- и метауровням.

Особенностью ММ на микроуровне является отражение физических процессов, протекающих в непрерывном пространстве и времени. Типичные ММ на микроуровне - дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧП). В них независимыми переменными являются пространственные координаты и время. С помощью этих уравнений рассчитываются поля механических напряжений и деформаций, электрические потенциалы и напряжения, давления и температуры и т.п. Возможности применения ММ в ДУЧП ограничены отдельными деталями, попытки анализировать с их помощью процессы в многокомпонентных средах, сборочных единицах, электронных схемах не могут быть успешными из-за чрезмерного роста затрат машинного времени и памяти. Общий вид ДУЧП:

     (2.1)

где Z=(t,x1,x2,x3) — вектор независимых переменных; f(Z) — функция, выражающая заданные внешние воздействия на исследуемую среду; L—дифференциальный оператор; φ(Z) —функция, определяемая природой описываемого объекта.

На макроуровне используют укрупненную дискретизацию пространства по функциональному признаку, что приводит к представлению ММ на этом уровне в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ):

                                                        (2.2)

где V—вектор фазовых переменных.

В этих уравнениях независимой переменной является время t, а вектор зависимых переменных составляют фазовые переменные, характеризующие состояние укрупненных элементов дискретизированного пространства. Такими переменными являются силы и скорости в механических системах, напряжения и токи в электрических системах, давления и расходы жидкостей и газов в гидравлических и пневматических системах и т.п. Системы ОДУ являются универсальными моделями на макроуровне, пригодными для анализа как динамических, так и установившихся состояний объектов. Модели для установившихся режимов можно также представить в виде систем алгебраических уравнений. Порядок системы уравнений зависит от числа выделенных элементов объекта. Если порядок системы приближается к 10000, то оперирование моделью становится затруднительным и поэтому необходимо переходить к представлениям на метауровне.

На метауровне в качестве элементов принимают достаточно сложные совокупности деталей. Метауровень характеризуется большим разнообразием типов используемых ММ. Для многих объектов ММ на метауровне по-прежнему представляются системами ОДУ. Однако так как в моделях не описываются внутренние фазовые переменные элементы, а фигурируют только фазовые переменные, относящиеся к взаимным связям элементов, укрупненное представление элементов на метауровне означает получение ММ приемлемой размерности для существенно более сложных объектов, чем размерность ММ на макроуровне. Одним из наиболее общих подходов к анализу объектов на метауровне является функциональное моделирование, развитое для анализа систем автоматического управления. Другим достаточно общим подходом к анализу объектов на метауровне является их представление моделями систем массового обслуживания (СМО). Модели СМО применимы во всех тех случаях, когда исследуемый объект предназначен для обслуживания многих заявок, поступающих в СМО в нерегулярные моменты времени. Особенностью моделей СМО является наличие в них элементов двух различных типов: обслуживающих аппаратов, иначе называемых ресурсами, и заявок, называемых также транзактами.

Список использованной литературы

1.  http://www.hi-edu.ru/e-books/xbook116/01/part-003.htm#i228

2. http://www.intuit.ru/department/hardware/autprpi/10/

3. http://seniga.ru/index.php/uchmat/57-indorcadroad/128--2-.html

4. http://tadviser.ru/a/53807

13