Математическое моделирование как метод познания

Министерство образования  и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное  образовательное учреждение высшего  профессионального образования

«___________________________________________________________»

(______)

 

 

 

Кафедра «_________________________»

 

 

 

 

 

 

Реферат

по дисциплине «История и философия  науки»

на тему «Математическое моделирование  как метод познания»

 

 

 

 

 

Выполнил:

аспирант ______________

 

Проверил:

______________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

____________________________

Содержание

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Моделированием называется замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала с помощью объекта-модели. Таким образом, моделирование может быть определено как представление объекта моделью для получения информации об этом объекте путем проведения экспериментов с его моделью. И. Т. Фролов в работе [1] отмечал, что моделирование означает материальное или мысленное имитирование реально существующей системы путем специального конструирования аналогов (моделей), в которых воспроизводятся принципы организации и функционирования этой системы.

Интерес философии и методологии науки к моделированию был вызван тем значением, котоpое метод моделирования получил в науке, особенно в различных ее технических и естественных разделах. Шиpокое пpименение метода моделиpования в различных научных исследованиях, пpотивоpечия, котоpые пpи этом возникают, требуют глубокого теоpетического осмысления данного метода познания, поисков его места в теоpии познания.

Прообразами современных моделей могут служить, скажем, геометрические представления  античности или, например, пpедставления  Демокpита и Эпикуpа об атомах, их фоpме, и способах соединения, об атомных вихpях и ливнях, объяснения физических свойств pазличных веществ с помощью пpедставления о кpуглых и гладких или кpючковатых частицах, сцепленных между собой.

Математическое моделирование  получило сильное развитие в новое  время, что можно связать с  прогрессом математики и механики. Появляются такие области математического знания, как аналитическая геометрия, дифференциальное и интегральное исчисления, теория вероятности и математическая статистика. Их применение, например, в теоретической механике и различных разделах физики было связано именно с построением умозрительных моделей, описываемых различными геометрическими объектами, функциями, вероятностными пространствами.

К XX веку накопление огромного пласта математического знания позволило строить совершенно новые и лучше отражающие реальность модели, расширило возможности их анализа. Появляется кибеpнетика, которая обнаpужила новые возможности и пеpспективы этого метода в pаскpытии общих закономеpностей и стpуктуpных особенностей систем pазличной физической пpиpоды, пpинадлежащих к pазным уpовням оpганизации матеpии, фоpмам движения. Однако, например, появившаяся в то же время квантовая механика указала на многие тpудности, связанные с моделиpованием.

Современное развитие науки неразрывно связано  с изучением всевозможных сложных  процессов и явлений — физических, химических, биологических, экономических, социальных и других. Происходит значительное увеличение темпов математизации и расширение ее области действия. Различные математические методы широко применяются в науках, казалось бы совершенно от нее далеких, например, в лингвистике, социологии. Это вызвано естественным процессом развития научного знания, который потребовал привлечения нового и более совершенного математического аппарата, проявлением новых разделов математики, а также кибернетики, вычислительной техники и так далее, что значительно увеличило возможности ее применения [2].

Все чаще применяются системы интегральных, дифференциальных, трансцендентных  уравнений и неравенств, которые  не удается решить аналитическими методами в явном виде. Для их решения используют алгоритмы численной математики, для которых характерно получение бесконечной последовательности приближений, сходящейся к конечному результату. В качестве аппроксиманта решения в таком случае используется приближение на каком-то (зачастую, достаточно большом) шаге. С одной стороны, это приводит к совершенствованию численных алгоритмов, повышению их скорости сходимости, с другой — к необходимости использования ЭВМ для выполнения огромного количества расчетов при достижении требуемой точности.

В настоящее время прикладная математика и ЭВМ сильно способствуют ускорению  развития различных отраслей народного  хозяйства, открывают принципиально  новые возможности моделирования  и проектирования сложных систем с выбором оптимальных параметров многофакторных технологических процессов.

ЭВМ обеспечивают процесс математизации  не только естественных и технических, но также общественных и гуманитарных наук. Математическое моделирование  и ЭВМ получают широкое применение в химии, биологии, медицине, социологии, лингвистике и других науках.

За долгие годы методы расчета в  математическом моделировании устоялись, сформировались определённая терминология, алгоритмы. Однако стоит отметить, что  не все задачи и проблемы допускают  алгоритмическое решение. Даже не все  содержательно доказанные теоремы элементарной арифметики, как показал К. Гедель, могут быть получены чисто формальным путем из аксиом, то есть, алгоритмически. Тем более это относится к сложным проблемам естественных, технических, социально-экономических и гуманитарных наук, которые развиваются в постоянном контакте с наблюдениями, экспериментом, производственной и общественной практикой.

 

 

1. Основные  понятия, связанные с моделированием

Сложно найти область человеческой деятельности, в которой в той  или иной степени не использовались бы методы моделирования. Остановимся на философских аспектах моделирования, а точнее общей теории моделирования. [4]

Выработка методологии направлена на упорядочение получения и обработки  информации об объектах, которые существуют вне нашего сознания и взаимодействуют между собой и внешней средой.

В научных исследованиях большую  роль играют гипотезы, то есть определенные предсказания, основывающиеся на небольшом количестве опытных данных, наблюдений, догадок. Проверка гипотез может быть проведена в ходе специально поставленного эксперимента. При формулировании и проверки правильности гипотез большое значение в качестве метода суждений имеет аналогия.

Аналогией называют суждение о каком-либо частном сходстве двух объектов, причем такое сходство может быть существенным и несущественным. Необходимо отметить, что понятия существенности и несущественности сходства или различия объектов условны и относительны. Существенность сходства (различия) зависит от уровня абстрагирования и в общем случае определяется конечной целью проводимого исследования. Современная научная гипотеза создается, как правило, по аналогии с проверенными на практике научными положениями. Таким образом, аналогия связывает гипотезу с экспериментом.

Гипотезы и аналогии, отражающие реальный, объективно существующий мир, должны обладать наглядностью или сводиться к удобным для исследования логическим схемам. Такие логические схемы, упрощающие рассуждения и логические построения или позволяющие проводить эксперименты, уточняющие природу явлений, называются моделями. Другими словами, модель — это объект заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.

Моделированием называется замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала с помощью объекта-модели. Модель — средство познания, главный ее признак — отображение. Теория замещения одних объектов (оригиналов) другими объектами (моделями) и исследование свойств объектов на их моделях называется теорией моделирования.

Определяя гносеологическую роль теории моделирования, то есть ее значение в  процессе познания, выделим то общее, что присуще моделям различных  по своей природе объектов реального  мира. Это общее заключается в  наличии некоторой структуры (статической или динамической, материальной или мысленной), которая подобна структуре данного объекта. В процессе изучения модель выступает в роли относительно самостоятельного псевдообъекта, позволяющего получить при исследовании некоторые знания о самом объекте.

Если результаты моделирования  подтверждаются и могут служить  основой для прогнозирования  процессов, протекающих в исследуемых  объектах, то говорят, что модель адекватна  объекту. При этом адекватность модели зависит от цели моделирования и принятых критериев.

Таким образом, моделирование можно  определить как метод опосредованного  познания, при котором изучаемый  объект-оригинал находится в неком  соответствии с другим объектом-моделью, причем модель способна в том или  ином отношении замещать оригинал на некоторых стадиях познавательного процесса. Стадии познания, на которых происходит такая замена, а также формы соответствия модели и оригинала могут быть различными:

1. Моделирование как познавательный процесс, содержащий переработку информации, поступающей из внешней среды, о происходящих в ней явлениях, в результате чего в сознании появляются образы, соответствующие объектам.

2. Моделирование, заключающееся в построении некоторой системы-модели (второй системы), связанной определенными отношениями подобия с системой-оригиналом (первой системой), причем в этом случае отображение одной системы в другую является средством выявления зависимостей между двумя системами, отраженными в соотношениях подобия, а не результатом непосредственного изучения поступающей информации.

Моделирование — эффективное средство познания природы. Процесс моделирования  предполагает наличие:

· объекта исследования;

· исследователя, перед которым поставлена конкретная задача;

· модели, создаваемой для получения информации об объекте и необходимой для решения поставленной задачи.

По отношению к модели исследователь  является, по сути дела, экспериментатором, только в данном случае эксперимент  проводится не с реальным объектом, а с его моделью. Надо иметь  в виду, что любой эксперимент может иметь существенное значение в конкретной области науки только при специальной его обработке и обобщении. Единичный эксперимент никогда не может быть решающим для подтверждения гипотезы, проверки теории. Следует помнить о том, что критерием истины являются опыт, практика, экспериментальное исследование

 

 

2. Вычислительный  эксперимент

Академик А. А. Самарский, один из основоположников вычислительной математики и математического  моделирования в нашей стране, создатель ведущей школы в  области математического моделирования, понимал под вычислительным экспериментом такую организацию исследований, при которой на основе математических моделей изучаются свойства объектов и явлений, проигрывается их поведение в различных условиях и на основе этого выбирается оптимальный режим [5]. Таким образом, вычислительный эксперимент — это переход от изучения реального объекта к изучению его математической модели. Такой моделью обычно является одно алгебраическое, трансцендентное, дифференциальное, интегральное уравнение или их система. Кроме того, как указывает В. Г. Гусев в [6], поскольку зачастую невозможно абсолютно точное описание влияния всех возможных независимых переменных на процесс функционирования объекта исследования, то модель во многих случаях описывается вероятностно.

Вычислительный эксперимент может быть использован для изучения процессов, экспериментальное исследование которых невозможно или затруднено. Например, в 40–50 годы XX века академик М. В. Келдыш разрабатывал математическое описание космических полетов.

К основным преимуществам вычислительного  эксперимента можно отнести следующие:

• Возможность исследования объекта без изначальной модификации установки или аппарата.
• Возможность исследования каждого фактора в отдельности, в то время, как в реальности они действуют одновременно.
• Возможность исследования нереализуемых на практике процессов.
• Возможность спланировать проведение реального эксперимента, что помогает понять «направление движения» и существенно ускоряет и удешевляет данный процесс. Это преимущество согласуется с мнением Эрнста Маха: «Задача всей и всякой науки — замещение опыта или экономия его воспроизведением и предвосхищением (Vorbildung) фактов в наших мыслях».[7]

Вычислительный эксперимент включает в себя следующие этапы:

• Физическое описание процесса, то есть уяснение закономерности протекаемых явлений.
• Разработка математической модели.
• Алгоритм или метод решения уравнений.
• Разработка программ.
• Проведение расчетов, анализ результатов и оптимизация.

 

3. Построение  математической модели

Математика как наука возникла в связи с необходимостью решения практических задач: измерений на местности, навигации и т. д. Изучение явлений природы неразрывно связано с получением их математического описания — математической модели природного явления — и последующим анализом этой модели.

Математическая модель может возникнуть тремя путями:

1. В результате прямого изучения реального процесса. Такие модели называются феноменологическими.
2. В результате процесса дедукции. Новая модель является частным случаем некоторой общей модели. Такие модели называются асимптотическими.
3. В результате процесса индукции. Новая модель является обобщением элементарных моделей. Такие модели называют моделями ансамблей.

Процесс моделирования начинается с моделирования упрощенного процесса, который с одной стороны отражает основные качественные явления, с другой стороны допускает достаточно простое математическое описание. По мере углубления исследования строятся новые модели, более детально описывающие явление. Факторы, которые считаются второстепенными на данном этапе, отбрасываются. Однако, на следующих этапах исследования, по мере усложнения модели, они могут быть включены в рассмотрение. В зависимости от цели исследования один и тот же фактор может считаться основным или второстепенным.

Математическая модель и реальный процесс не тождественны между собой. Как правило, математическая модель строится с некоторым упрощением и при некоторой идеализации. Она лишь приближенно отражает реальный объект исследования, и результаты исследования реального объекта математическими методами носят приближенный характер. Точность исследования зависит от степени адекватности модели и объекта и от точности применяемых методов вычислительной математики.

Схема построения математических моделей следующая:

1. Выделение параметра или функции, подлежащей исследованию.
2. Выбор закона, которому подчиняется эта величина.
3. Выбор области, в которой требуется изучить данное явление

4. Классификация  математических моделей

Общим свойством всех моделей является их способность отображать действительность. В зависимости от того, какими средствами, при каких условиях, по отношению к каким объектам познания это их общее свойство реализуется, возникает большое разнообразие моделей, а вместе с ним и проблема классификации моделей. В. Т. Иванов приводит следующую классификацию моделей [8]:

1. Модели прогноза или расчетные  модели без управления. Их можно  разделить на стационарные и  динамические.

Основное назначение этих моделей: зная начальное состояние и информацию о поведение на границе, дать прогноз о поведении системы во времени и в пространстве. Такие модели могут быть и стохастическими.

Как правило, модели прогнозирования  описываются алгебраическими, трансцендентными, дифференциальными, интегральными, интегро-дифференциальными уравнениями и неравенствами. Примерами могут служить модели распределения тепла, электрического поля, химической кинетики, гидродинамики.

2. Оптимизационные модели. Их так  же разделяют на стационарные  и динамические. Стационарные модели  используются на уровне проектирования различных технологических систем. Динамические — как на уровне проектирования, так и, главным образом, для оптимального управления различными процессами — технологическими, экономическими и др.

В задачах оптимизации имеется  два направления. К первому относятся детерминированные задачи. Вся входная информация в них является полностью определяемой.

Второе направление относится  к стохастическим процессам. В этих задачах некоторые параметры  носят случайный характер или  содержат элемент неопределенности. Многие задачи оптимизации автоматических устройств, например, содержат параметры в виде случайных помех с некоторыми вероятностными характеристиками.

Задачи отыскания экстремума функции  многих переменных с различными ограничениями  часто называются задачами математического программирования. Задачи математического программирования – одни из важных оптимизационных задач.

В математическом программировании выделяются следующие основные разделы [8]:

• Линейное программирование. Целевая функция линейна, а множество, на котором ищется экстремум целевой функции, задается системой линейных равенств и неравенств.
• Нелинейное программирование. Целевая функция нелинейная и нелинейные ограничения.
• Выпуклое программирование. Целевая функция выпуклая и выпуклое множество, на котором решается экстремальная задача.
• Квадратичное программирование. Целевая функция квадратичная, а ограничения – линейные равенства и неравенства.
• Многоэкстремальные задачи. Задачи, в которых целевая функция имеет несколько локальных экстремумов. Такие задачи представляются весьма проблемными.
• Целочисленное программирование. В подобных задачах на переменные накладываются условия целочисленности.

Как правило, к задачам математического  программирования неприменимы методы классического анализа для отыскания экстремума функции нескольких переменных.

Модели теории оптимального управления — одни из важных в оптимизационных  моделях. Математическая теория оптимального управления относится к одной  из теорий, имеющих важные практические применения, в основном, для оптимального управления процессами.

Различают три вида математических моделей теории оптимального управления [8]. К первому виду относятся дискретные модели оптимального управления. Традиционно  такие модели называют моделями динамического программирования. Широко известен метод динамического программирования Беллмана. Ко второму типу относятся модели, описываемые задачам Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Их часто называют моделями оптимального управления системами с сосредоточенными параметрами. Третий вид моделей описывается краевыми задачами, как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для уравнений в частных производных. Такие модели называют моделями оптимального управления системами с распределенными параметрами.

3. Кибернетические модели. Этот  тип моделей используется для  анализа конфликтных ситуаций.

Предполагается, что динамический процесс определяется несколькими  субъектами, в распоряжении которых  имеется несколько управляющих  параметров. С кибернетической системой ассоциируется целая группа субъектов со своими собственными интересами.

4. Описанные выше классы моделей  не охватывают большого числа  различных ситуаций, таких, которые  могут быть полностью формализированы.  Для изучения таких процессов необходимо включение в математическую модель функционирующего «биологического» звена — человека. В таких ситуациях используется имитационное моделирование, а также методы экспертиз и информационных процедур.

 

 

Заключение

Математическое моделирование  — это мощный метод познания, позволяющий  исследовать многофакторные процессы, причем как в целом, так и вычленяя действие каждого фактора в отдельности, исследовать нереализуемые на практике процессы, планировать проведение реального эксперимента.

Огромное количество типов математических моделей позволяет использовать их в совершенно разных задачах и с совершенно разными целями. Применение математических моделей позволяет относительно легко и экономически эффективно оптимизировать, например, влияние многочисленных факторов на какой-либо процесс, более того, находить возможность управлять течением этого процесса.

Развитие возможностей математического  моделирования и алгоритмов численного анализа позволяет человеку все  глубже проникать в ранее недоступные  области знания.

Повышение эффективности математического  моделирования и численных алгоритмов сказывается и на скорости и правильности решений в различных областях науки, техники, экономики и народного  хозяйства.

Возможность постановки вычислительного  эксперимента на ЭВМ существенно ускорила процесс математизации науки и техники. Расширился круг профессий, для которых математическая грамотность становится необходимой. Благодаря возможности исследования процессов труднодоступных и недоступных для реального экспериментирования математическое моделирование все больше и больше находит свое применение в областях, казалось бы далеких от математики, естественных  и технических наук. Оно широко используется в криминалистике, в лингвистике, в социологии, и этот список можно продолжать и продолжать.

По этим причинам в настоящее  время от специалистов в различных  областях науки и техники требуется  знание многих разделов современной  математики и в первую очередь  владение методами и приемами математического  моделирования и вычислительной математики.

Вычислительная техника наших  дней представляет новые мощные средства для фактического выполнения счетной  работы. Благодаря этому во многих случаях даже стало возможным  отказаться от приближенной трактовки  прикладных вопросов и перейти к решению задач в точной постановке [9]. Это предполагает использование более глубоких специальных разделов математики в математическом моделировании и серьезное владение техникой пользования ЭВМ.

Академик Н. Н. Моисеев указывал на необходимость подготовки к эффективному использованию ЭВМ новых поколений. Он обратил внимание на то, что крупные народнохозяйственные и социально-экономические проблемы могут быть удовлетворительно решены только при условии, что своевременно будут организованы и выполнены исследования междисциплинарного характера, а ЭВМ новых поколений дают подходящую базу для организации и проведения таких исследований.

Академик А.А. Самарский в [5] говорит  о незаменимости математического  моделирования для решения важнейших  проблем научно-технического и социально-экономического прогресса, подчеркивает значение математического моделирования как методологии разработки наукоемких технологий и изделий

Но, к сожалению, как отмечает А. А. Петров в [3], те, от кого зависит распределение ресурсов, еще не осознали, что методы математического моделирования имеют большое народнохозяйственное значение и от их развития во многом зависит судьба социально-экономического и научно-технического прогресса страны. Соответственно нет материальной поддержки исследований, научные кадры не консолидируются на решении ключевых проблем, даже нет понимания, что математическое моделирование превратилось в самостоятельную отрасль науки с собственным подходом к решению проблем, хотя корни его остаются в науках о природе и обществе.

Остается надеяться, что эти  трудности временные, и математическое моделирование получит заслуженное  место и будет играть в решении  важных социально-экономических и  народно хозяйственных проблем  России ту же роль, что и во многих других странах.

 

 

Список использованных источников

1. Фролов И. Т. Гносеологические проблемы моделирования биологических систем / И. Т. Фролов. // Вопросы философии. — 1961. — № 2. — С. 39–51.

2. Кудряшев А. Ф. О математизации научного знания / А. Ф. Кудряшев. // Философские науки. — 1975. — №4 — С. 133–139.

3. Петров А. А. Экономика. Модели. Вычислительный эксперимент / А. А. Петров. — М.: Наука, 1996. — 252 с. — ISBN 5-02-007060-2.

4. Андрюшенко М. Н., Советов Б. Я., Яковлев А. С. Философские основы моделирования сложных систем управления / М. Н. Андрюшенко, Б. Я. Советов, А. С. Яковлев. // Системный подход в технологических науках (Методологические основы): Сборник научных трудов. — 1989. — С. 67–82.

5. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы / А. А. Самарский, А. В. Гулин. — М.: Наука, 1989. — 432 c. — ISBN 5-02-013996-3.

6. Гусев В. Г. Теория и практика планирования многофакторных экспериментов: Учебное пособие / В. Г. Гусев. — Владимир: Изд-во ВлГУ, 2010. — 107 с.

7. Мах Э. Механика. Историко-критический очерк ее развития / Э. Мах. — М.: КомКнига, 2011. — 456 с. — ISBN 978-5-484-01288-6.

8. Иванов В. Т. Математическое моделирование. Модели прогнозирования / В. Т. Иванов. — Уфа, 1988. — 47 с.

9. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики / Б. П. Демидович, И. А. Марон. — М.: Лань, 2006. — 672 с. — ISBN 5-8114-0695-9.