Математика и естествознание

    1.

    Известно, что еще в древние времена  математике придавалось большое  значение. Девиз первой академии –  платоновской академии – «Не знающие  математики сюда не входят» - ярко свидетельствует  о том, насколько высоко ценили математику на заре науки, хотя в те времена  основным предметом науки была философия.

    Простейшие  в современном понимании математические начала, включающие элементарный арифметический счет и простейшие геометрические измерения, служат отправной точкой естествознания.

    «Тот, кто хочет решить вопросы естественных наук без помощи математики, ставит неразрешимую задачу. Следует измерять то, что измеримо, и делать измеримым  то, что таковым не является», - утверждал  выдающийся итальянский физик и  астроном, один из основоположников естествознания Галилео Галилей (1564-1642).

    Математика  интенсивно развивалась в античности. Поворотным событием для дальнейшего  развития научного знания стала работа Евклида <Начала>, где впервые  применялись доказательства. Эта  математическая система была преподнесена как идеальная версия того, что  составляло содержание реального мира. Значительно расширили математическое знание греки Александрийского периода: Аполлоний (<Конические сечения>), Гиппарх, Менелай, Птолемей, Диофант (<Арифметика>) и т.д.

    В средневековой Европе главенствующую роль заняла теологическая ветвь  науки, а исследование природы любыми средствами, в том числе математическими, трактовалось как предосудительное занятие. Центр научной мысли  переместился в Индию, а несколько  позже - в арабские страны. В Индии  того времени вводятся в широкое  употребление десятичная позиционная  система счисления и нуль для  обозначения отсутствия единиц данного  разряда, зарождается алгебра. В  арабской культуре сохранялись математические знания древнего мира и Индии. Конец  Средневековья (XV в.) в арабских странах  отмечен деятельностью Улугбека, который при своем дворе в  Самарканде создал обсерваторию, собрал более 100 ученых и организовал долго  остававшиеся непревзойденными астрономические  наблюдения, вычисление математических таблиц и т.п.

    В XVII в. начинается новый период во взаимоотношениях математики и естествознания. Многие отрасли естествознания начинают базироваться на применении экспериментально-математических методов. В результате появляется уверенность  в том, что научность (истинность, достоверность) знания определяется степенью его математизации. Так, Г. Галилей  утверждал, что книга природы  написана на языке математики, а  согласно И. Канту, в каждом знании столько  истины, сколько есть математики. Логическая стройность, строго дедуктивный характер построений, общеобязательность выводов  создали математике славу образца  научного знания.

    Противоположного  мнения о роли математики для раскрытия  качественных особенностей придерживался  великий писатель, мыслитель и  естествоиспытатель И.В. Гёте, который воспринимал неживую природу и все живое (включая человека) как единое целое и придавал большое значение интуиции и опыту. Гёте считал, что световые и другие природные явления должны наблюдаться в их естественном виде, так как эксперимент и количественный анализ мало помогают в понимании подлинной их сущности: он полагал, что эта сущность познается только непосредственным опытом и интуицией.

    В XIX в. с резкой критикой экспериментального изучения явлений природы выступил А. Шопенгауэр. Он не только поддерживал  подход Гёте, но и вообще отрицал  какую-либо пользу от применения математического  языка к изучению природы. Даже сами математические доказательства Шопенгауэр называл <мышеловки>, считая, что  они не дают истинного представления  о реальных процессах.

    Многие  выдающиеся ученые XX в., в особенности  физики, говорили о значении математики как важнейшего средства для точного  выражения научной мысли. Н. Бор  указывал на огромную роль математики в развитии теоретического естествознания и говорил, что математика - это  не только наука, но и язык науки. Р. Фейнман отмечал, что математика - это язык плюс мышление, как бы язык и логика вместе. Однако в то же время  он считал, что такой науки, как  математика, не существует.

    Различные варианты тезиса Шопенгауэра о том, что математика не способствует, а  затемняет понимание реальных явлений, характерны и для наших дней. Так, иногда противопоставляют объяснение явлений их пониманию, полагая, что  количественный язык и методы математики в лучшем случае содействуют объяснению явлений неорганической природы, но не могут дать ничего ценного в  понимании процессов культурно-исторической и духовной жизни. При этом понимание  рассматривается как чисто интуитивная  деятельность мышления, вследствие чего отрицается возможность использовать для его анализа логико-рациональные, в том числе математические, средства исследования. В настоящее время  к применению количественного языка  математики особенно критически настроены  ученые, занимающиеся исследованием  сложных биологических, психических  и социальных процессов и привыкшие  больше доверять опыту и интуиции, чем их математическому анализу.

    Математика  как специфический  язык естествознания:

    Как бы то ни было, естествознание все шире использует математический аппарат  для объяснения природных явлений.Можно выделить несколько направлений математизации естествознания:

    О количественный анализ и количественная формулировка качественно установленных  фактов, обобщений и законов конкретных наук;

    О построение математических моделей (об этом несколько позже) и даже создание таких направлений, как математическая физика, математическая биология и  т.д.;

    О построение и анализ конкретных научных  теорий, в частности их языка.

    Рассмотрим  математику как специфический язык науки, отличающийся от естественного  языка, где, как правило, используют понятия, которые характеризуют  определенные качества вещей и явлений (поэтому их часто называют качественными). Именно с этого начинается познание новых предметов и явлений. Следующий  шаг в исследовании свойств предметов и явлений - образование сравнительных понятий, когда интенсивность какого-либо свойства отображается с помощью чисел. Наконец, когда интенсивность свойства или величины может быть измерена, т.е. представлена в виде отношения данной величины к однородной величине, взятой в качестве единицы измерения, тогда возникают количественные, или метрические, понятия.

    Регресс в научном познании часто связан с введением именно количественных понятий и созданием количественного языка, которые и исторически, и логически возникают на основе языка качественных описаний. Количественный язык выступает как дальнейшее развитие, уточнение и дополнение обычного, естественного языка, опирающегося на качественные понятия. Таким образом, количественные и качественные методы исследования не исключают, а скорее дополняют друг друга. Известно, что количественные понятия и язык использовались задолго до того, как возникло экспериментальное естествознание. Однако только после появления последнего они начинают применяться вполне сознательно и систематически. Язык количественных понятий наряду с экспериментальным методом исследования впервые успешно использовал Г. Галилей.

    Все это показывает, что в любом  процессе научного познания существует тесная взаимосвязь между языком качественных описаний и количественным математическим языком. Эта взаимосвязь  конкретно проявляется в сочетании  и взаимодействии естественно-научных и математических методов исследования. Чем лучше мы знаем качественные особенности явлений, тем успешнее можем использовать для их анализа количественные математические методы исследования, а чем более совершенные количественные методы применяются для изучения явлений, тем полнее познаются их качественные особенности.

    Математика  в естествознании:

    - играет роль универсального языка,  специально предназначенного для  лаконичной точной записи различных  утверждений. Конечно, все, что  можно описать языком математики, поддается выражению на обычном  языке, но тогда изъяснение  может оказаться чересчур длинным  и запутанным;

    - служит источником моделей, алгоритмических  схем для отображения связей, отношений и процессов, составляющих  предмет естествознания. С одной  стороны, любая математическая  схема или модель - это упрощающая  идеализация исследуемого объекта  или явления, а с другой - упрощение  позволяет ясно и однозначно  выявить суть объекта или явления.

    Поскольку в математических формулах и уравнениях отражены некие общие свойства реального  мира, они повторяются в разных его областях. На этом свойстве построен такой своеобразный метод естественно-научного познания, как математическая гипотеза, когда к готовым математическим формам пытаются подобрать конкретное содержание. Для этого в подходящее уравнение из смежных областей науки подставляют величины другой природы, а затем производят проверку на совпадение с характеристиками исследуемого объекта. Эвристические возможности этого метода достаточно велики. Так, с его помощью были описаны основные законы квантовой механики: Э. Шрёдингер, приняв волновую гипотезу движения элементарных частиц, нашел уравнение, которое формально не отличается от уравнения классической физики колебаний нагруженной струны, дал его членам совершенно иную интерпретацию (квантово-механическую). Это позволило Шрёдингеру получить волновой вариант квантовой механики.

    Приложение  математики к разным отраслям естествознания:

    Приложения  математики весьма разнообразны. По мнению акад. А.Н. Колмогорова, область применения математического метода принципиально  не ограничена. В то же время роль и значение математического метода в различных отраслях естествознания неодинаковы. Дело в том, что математические методы применимы для объектов и явлений, обладающих качественной однородностью и вследствие этого количественно и структурно сравнимых. Именно со сложностью выявления качественной однородности групп объектов и явлений связана трудность получения математических формул и уравнений для объектов естествознания. Чем более сложными и качественно различными являются природные объекты и явления, тем труднее их сравнивать количественно, т.е. тем труднее они поддаются математизации.

    Математический  метод полностью господствует в  небесной механике, в частности в  учении о движении планет. Имеющий  очень простое математическое выражение  закон всемирного тяготения почти  полностью определяет изучаемый  здесь круг явлений. Каждый результат, полученный на основе математического  метода, с высокой точностью подтверждается в действительности.

    В физике тоже велика роль математического  метода. Почти не существует области  физики, не требующей употребления развитого математического аппарата. Основная трудность исследования заключается  не в применении математической теории, а в выборе предпосылок для  математической обработки и в  истолковании результатов, полученных математическим путем.

    В химии для исследования закономерностей  также широко используются математические методы. Это возможно потому, что  при всем различии свойств химических элементов все они обладают и  общей характеристикой - атомным  весом. Сравнение элементов по этому  признаку позволило Д.И. Менделееву построить Периодическую систему  элементов. На выделении общих свойств  химических веществ и соединений обычно и основывается применение математических методов в химии.

    В биологических науках и науках о  Земле математические методы часто  играют подчиненную роль вследствие множества специфических свойств  изучаемых здесь систем. Это затрудняет поиски качественной однородности среди  них и соответственно математизацию  этих наук. Однако и здесь есть высоко-математизированные отрасли, опирающиеся на изучение физических основ природных явлений (геофизика, биофизика и т.д.).

    Таким образом, роль математизации в современном  естествознании очень велика, и нередко  новая теоретическая интерпретация  какого-либо явления в естествознании считается полноценной, если удается  создать математический аппарат, отражающий основные его закономерности. Однако не следует думать, что все естествознание в итоге будет сведено к  математике. Построение различных формальных систем, моделей, алгоритмических схем - лишь одна из сторон развития научного знания, а естествознание развивается прежде всего как содержательное знание. Не удается формализовать сам процесс выдвижения, обоснования и опровержения гипотез, научную интуицию. Глубина объяснения и достоверность предсказания зависят в первую очередь от тех конкретных посылок, на которые они опираются, и математизация не может восполнить пробел в отсутствии такого рода посылок. Знаменитый естествоиспытатель Т. Гексли говорил, что математика, подобно жернову, перемалывает то, что под него засыпают, и, как, засыпав лебеду, вы не получите пшеничной муки, так, исписав целые страницы формулами, вы не получите истины из ложных предположений. А по мнению известного математика акад. Ю.А. Митропольского, применение математики к другим наукам имеет смысл только в единении с глубокой теорией конкретного явления, иначе можно сбиться на простую игру за которой нет реального содержания.

    Логическая  стройность, строго дедуктивный характер построений, общеобязательность выводов  математики создали ей славу образца  научного знания. «Выгоды»   естествознания   от   использования   математики многообразны. Во многих случаях математика  играет роль  универсального языка естествознания, специально предназначенного для лаконичной точной записи различных утверждений. Точность есть выражение однозначности, исключающее вариантность, разброс значений, неопределенность. Этим и отличаются математические знаки - символы, обозначающие объекты и операции математики.

    2.

    До 20 века пространство считалось плоским, время понималось абсолютным. Название “теория относительности” возникло из наименования основного принципа (постулата), положенного Пуанкаре и  Эйнштейном в основу из всех теоретических  построений новой теории пространства и времени. Содержанием теории относительности  является физическая теория пространства и времени, учитывающая существующую между ними взаимосвязь геометрического  характера. К началу 20 века у физиков, строивших теорию оптических и электромагнитных явлений по аналогии с теорией  упругости, сложилось ложное представление  о необходимости существования абсолютной неподвижной системы отсчета, связанной с электромагнитным эфиром. Зародилось, таким образом, представление об абсолютном движении относительно системы, связанной с эфиром, представление, противоречащее более ранним воззрениям классической механики (принцип относительности Галилея). Опыты Майкельсона и других физиков опровергли эту теорию “неподвижного эфира” и дали основание для формулировки противоположного утверждения, которое и получило название “принципа относительности”. Так это название вводится и обосновывается в первых работах Пуанкаре и Эйнштейна. Общая теория относительности (ОТО) — современная теория тяготения, связывающая его с кривизной четырехмерного пространства-времени. В своем, так сказать, классическом варианте теория тяготения была создана Ньютоном еще в XVII веке и до сих пор верно служит человечеству. Она вполне достаточна для многих, если не для большинства, задач современной астрономии, астрофизики, космонавтики. Между тем ее принципиальный внутренний недостаток был ясен еще самому Ньютону. Это теория с дальнодействием: в ней гравитационное действие одного тела на другое передается мгновенно, без запаздывания. Что же касается ОТО, то все ее основополагающие элементы были созданы Эйнштейном. В последнем этапе создания ОТО принял участие Гильберт. Специальная теория относительности (СТО) - фундаментальная физическая теория пространственно-временных свойств всех физических процессов. Основой СТО явились представления о свойствах пространства, времени и движения, разработанные в классической механике Галилеем и Ньютоном, но углублённые и в ряде положений существенно изменённые и дополненные Эйнштейном в связи с теми экспериментальными фактами, которые были обнаружены в физике к концу XIX столетия при изучении электромагнитных явлений. Специальная теория относительности (СТО) наряду с предположением о том, что a) пространство - трёхмерно, однородно и изотропно, (что означает, что в пространстве нет выделенных мест и направлений) б) время - одномерно и однородно, (нет выделенных моментов времени) использует следующие два основополагающие принципа: 1. Никакими физическими опытами внутри замкнутой физической системы нельзя определить, покоится ли эта система или движется равномерно и прямолинейно (относительно системы бесконечно удаленных тел). Этот принцип называют принципом относительности Галилея - Эйнштейна, а соответствующие системы отсчёта - инерциальными. 2. Существует предельная скорость (мировая константа c) распространения физических объектов и воздействий, которая одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Со скоростью c распространяется свет в вакууме. ОТО — завершенная физическая теория. Она завершена в том же смысле, что и классическая механика, классическая электродинамика, квантовая механика. Подобно им, она дает однозначные ответы на физически осмысленные вопросы, дает четкие предсказания для реально осуществимых наблюдений и экспериментов. Однако, как и всякая иная физическая теория, ОТО имеет свою область применимости. Так, вне этой области лежат сверхсильные гравитационные поля, где важны квантовые эффекты. Законченной квантовой теории гравитации не существует. ОТО — удивительная физическая теория. Она удивительна тем, что в ее основе лежит, по существу, всего один экспериментальный факт, к тому же известный задолго до создания ОТО (все тела падают в поле тяжести с одним и тем же ускорением). Удивительна тем, что она создана в большой степени одним человеком. СТО возникла больше для решения специальных задач и никоим образом не противоречит принципам ОТО. Она лишь дополнение реального состояния науки с точки зрения потребности современной физики и естествознания. Релятивизм не мертв, он лишь отражение состояния научно-технической мысли того времени.

1. Главные выводы  общей теории относительности:

    1.1 Принцип эквивалентности и геометризация  тяготения:

    Факт  этот по существу был установлен еще  Галилеем. Он хорошо известен каждому  успевающему старшекласснику: все  тела движутся в поле тяжести (в отсутствие сопротивления среды) с одним  и тем же ускорением, траектории всех тел с заданной скоростью  искривлены в гравитационном поле одинаково. Благодаря этому, в свободно падающем лифте никакой эксперимент не может обнаружить гравитационное поле. Иными словами, в системе отсчёта, свободно движущейся в гравитационном поле, в малой области пространства-времени  гравитации нет. Последнее утверждение - это одна из формулировок принципа эквивалентности.

    Данное  свойство поля тяготения отнюдь не тривиально. Достаточно вспомнить, что  в случае электромагнитного поля ситуация совершенно иная. Существуют, например, подзаряженные, нейтральные  тела, которые электромагнитного  поля вообще не чувствуют. Так вот, гравитационно-нейтральных  тел нет, не существует ни линеек, ни часов, которые не чувствовали бы гравитационного поля. Эталоны привычного евклидова пространства меняются в поле тяготения.

    Геометрия нашего пространства оказывается неевклидовой.

    1.2 Классические опыты по проверке  ОТО:

    Гравитационное  поле влияет на движение не только массивных  тел, но и света. В частности, фотон, распространяясь в поле Земли  вверх, совершает работу против силы тяжести и поэтому теряет энергию. Как известно, энергия фотона пропорциональна  его частоте, которая, естественно, тоже падает. Этот эффект - красное смещение - был предсказан Эйнштейном еще  в 1907 году. Нетрудно оценить его величину. Работа против силы тяжести, очевидно, пропорциональна gh, где g - ускорение свободного падения, а h - высота подъема. Произведение gh имеет размерность квадрата скорости.

    При g?103 см/с2, h~103 см относительное смещение ничтожно мало ~10-15. Неудивительно, что экспериментально красное смещение удалось наблюдать лишь спустя полвека, с появлением техники, использующей эффект Мёссбауэра. Это сделали Паунд и Ребка.

    Еще один эффект, предсказанный Эйнштейном на заре ОТО, - отклонение луча света в поле Солнца. Для луча света, проходящего вблизи поверхности Солнца, угол отклонения равен 1,75".

    Первая  мировая война воспрепятствовала  проверке. И только во время солнечного затмения 1919 года измерения, проведенные  группой Эддингтона, подтвердили  последнее предсказание. Это был  подлинный триумф молодой общей  теории относительности.

    И наконец, к числу классических тестов ОТО относится также вращение перигелия орбиты Меркурия. Замкнутые эллиптические орбиты - это специфика нерелятивистского движения в притягивающем потенциале 1/r. Неудивительно, что в ОТО орбиты планет незамкнуты. Малый эффект такого рода удобно описывать как вращение перигелия эллиптической орбиты. Задолго до появления ОТО астрономы знали, что перигелий орбиты Меркурия поворачивается за столетие примерно на 6000". Поворот этот в основном объяснялся гравитационными возмущениями движения Меркурия со стороны других планет Солнечной системы. Оставался, однако, неустранимый остаток - около 40" в столетие. В 1915 году Эйнштейн объяснил это расхождение в рамках ОТО. Аккуратный расчет при радиусе орбиты Меркурия R?0.6.108 км дает 43" в столетие, снимая таким образом существовавшее расхождение. Ясно, кстати, чем выделяется в этом отношении Меркурий: это планета, ближайшая к Солнцу, планета с наименьшим радиусом орбиты R. Поэтому вращение перигелия орбиты у нее максимально.

    1.3 Черные дыры:

    Однако  роль ОТО отнюдь не сводится к исследованию малых поправок к обычной ньютоновской гравитации. Существуют объекты, в которых эффекты ОТО играют ключевую роль, важны стопроцентно. Это так называемые черные дыры.

    Еще в XVIII веке Митчел и Лаплас независимо друг от друга заметили, что могут существовать звезды, обладающие совершенно необычным свойством: свет не может покинуть их поверхность. Рассуждение выглядело примерно так. Тело, обладающее радиальной скоростью v, может покинуть поверхность звезды радиусом R и массой M при условии, что кинетическая энергия этого тела mv²/2 превышает энергию притяжения GMm/R, т.е. при v² > 2GM/R. Применение последнего неравенства к свету (как мы теперь понимаем, совершенно не обоснованное) приводит к выводу: если радиус звезды меньше чем 2GM/v² то свет не может покинуть ее поверхность, такая звезда не светит! Последовательное применение ОТО приводит к такому же выводу, причем, поразительно, правильный критерий количественно совпадает с наивным, необоснованным.

    Черная  дыра - вполне естественное название для  такого объекта. Свойства его весьма необычны. Черная дыра возникает, когда  звезда сжимается настолько сильно, что усиливающееся гравитационное поле не выпускает во внешнее пространство ничего, даже свет. Поэтому из черной дыры не выходит никакая информация.

    Занятно выглядит падение пробного тела на черную дыру. По часам бесконечно удаленного наблюдателя это тело достигает  гравитационного радиуса лишь за бесконечное время. С другой стороны, по часам, установленным на самом  пробном теле, время этого путешествия  вполне конечно.

    Многочисленные  результаты астрономических наблюдений дают серьезные основания полагать, что черные дыры - это не просто игра ума физиков-теоретиков, а реальные объекты, существующие по крайней мере в ядрах галактик.

    1.4 Пульсар PSR 1913+16 и гравитационные  волны:

    Нобелевская премия по физике за 1993 год была присуждена Халсу и Тейлору за исследование пульсара PSR 1913+16 (буквы PSR означают пульсар, а цифры относятся к координатам на небесной сфере: прямое восхождение 19h13h, склонение +16⁰). Исследование свойств излучения этого пульсара показало, что он является компонентом двойной звезды. Иными словами, у него есть компаньон, и обе звезды вращаются вокруг общего центра масс. Расстояние между этим пульсаром и его компаньоном составляет всего 1,8 * 10⁶ км. Если бы невидимый компаньон был обычной звездой с характерным радиусом ?10⁶ км, то наблюдались бы, очевидно, затмения пульсара. Однако ничего подобного не происходит. Подробный анализ наблюдений показал, что невидимый компонент - это не что иное, как нейтронная звезда.

    Существование нейтронных звезд было предсказано  теоретически еще в 30 - е годы. Они  образуются в результате бурного  гравитационного сжатия массивных  звезд, сопровождающегося взрывом  сверхновых. После взрыва давление в оставшемся ядре массивной звезды продолжает нарастать, электроны с  протонами сливаются (с испусканием  нейтрино) в нейтроны. Образуется очень  плотная звезда с массой, несколько  большей массы Солнца, но очень  малого размера, порядка 10 - 15 км, не превышающего размер астероида. Несомненно, наблюдение нейтронных звезд уже само по себе является выдающимся открытием.

    Кроме того, тщательное исследование движения этой двойной звезды дало новое подтверждение  предсказания ОТО, касающегося незамкнутости эллиптических орбит. Поскольку гравитационные поля в данной системе очень велики, периастр орбиты вращается несравненно быстрее, чем перигелий орбиты Меркурия, он поворачивается на 4,20 в год. Изучение этого и других эффектов позволило также определить с высокой точностью массы пульсара и нейтронной звезды. Они равны, соответственно, 1,442 и 1,386 массы Солнца. Но и это далеко не все.

    Еще в 1918 году Эйнштейн предсказал на основе ОТО существование гравитационного излучения. Хорошо известно, что электрически заряженные частицы, будучи ускоренными, излучают электромагнитные волны. Аналогично, массивные тела, двигаясь с ускорением, излучают гравитационные волны - рябь геометрии пространства, распространяющуюся тоже со скоростью света.

    Гравитационные  волны, однако, отнюдь не игра ума и  математическая абстракция. Это в  принципе наблюдаемое физическое явление. Так, например, стержень, находящийся  в поле гравитационной волны, испытывает деформации, меняющиеся с ее частотой. Увы, оговорка "в принципе" отнюдь не случайна: масса любого объекта  на Земле настолько мала, а движение его столь медленно, что генерация  гравитационного излучения в  земных условиях совершенно ничтожна, не видно сколько-нибудь реального  способа зарегистрировать такое  излучение. Существует ряд проектов создания детекторов гравитационного  излучения от космических объектов. Однако и здесь реальных результатов  до сих пор нет.

    Следует также сказать, что, хотя плотность  энергии гравитационного поля в  любой точке можно по своему желанию  обратить в ноль выбором подходящей системы координат, полная энергия  этого поля во всем объеме, полный его  импульс имеют совершенно реальный физический смысл (конечно, если поле достаточно быстро убывает на бесконечности). Столь  же наблюдаемой, хорошо определенной величиной  является и потеря энергии системой за счет гравитационного излучения.

    Все это имеет самое прямое отношение  к пульсару PSR 1913+16. Эта система  также должна излучать гравитационные волны. Их энергия в данном случае огромна, она сравнима с полной энергией излучения Солнца. Впрочем, даже этого  недостаточно, чтобы непосредственно  зарегистрировать эти волны на Земле. Однако энергия гравитационных волн может черпаться только из энергии  орбитального движения звезд. Падение  последней приводит к уменьшению расстояния между звездами. Так вот, тщательные измерения импульсов радиоизлучения от пульсара PSR 1913+16 показали, что расстояние между компонентами этой двойной звезды уменьшается на несколько метров в год в полном согласии с предсказанием ОТО. Любопытно, что потеря энергии двойной звездой за счет гравитационного излучения была впервые рассчитана Ландау и Лифшицем, они поместили этот расчет в качестве учебной задачи в первое издание своей замечательной книги - "Теория поля", которая вышла в 1941 году.

    1.5 Гравитационные линзы и коричневые  карлики: