Математика Древнего Египта

Содержание 

Введение..................................................................................................................................3

Математика Древнего Египта................................................................................................4

Математические  папирусы....................................................................................................5

Папирус Ринда (Ахмеса)........................................................................................................6

Московский математический папирус..................................................................................7

Задачи папирусов....................................................................................................................7

Заключение..............................................................................................................................9

Список использованной литературы..................................................................................10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       Введение

       „Математика ум в порядок приводит”

       М. Ломоносов 

       Математика - (греч. mathematike,  от mathema — знание, наука) – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.  Она объединяет комплекс дисциплин: арифметика (теория чисел), алгебра, геометрия, математический анализ (дифференциальное исчисление и интегральное исчисление), теория множеств, теория вероятностей и многое другое.

       Математика  характеризуется:

       а) высокой степенью абстрактности ее понятий (точки - без размеров, линии - без толщины, множества любых предметов и т.п.);

       б) высокой степенью их общности (например, в алгебре буква обозначает любое  число, в математической логике рассматриваются  произвольные высказывания и т.п.).

       Абстрактность и общность понятий математики позволяют  один и тот же математический аппарат  применять в различных науках.

       История развития математики - это не только история развития математических идей, понятий и направлений, но это  и история взаимосвязи математики с человеческой деятельностью, социально-экономическими условиями различных эпох.

       Становление и развитие математики как науки, возникновение ее новых разделов тесно связано с развитием  потребностей общества в измерениях, контроле, особенно в областях аграрной, промышленной и налогообложения. Первые области применения математики были связаны с созерцанием звезд и земледелием. Изучение звездного неба позволило проложить торговые морские пути, караванные дороги в новые районы и резко увеличить эффект торговли между государствами. Обмен товарами приводил к обмену культурными ценностями, к развитию толерантности как явления, лежащего в основе мирного сосуществования различных рас и народов. Понятие числа всегда сопровождалось и нечисловыми понятиями. Например, один, два, много… Эти нечисловые понятия всегда ограждали сферу математики. Математика придавала законченный вид всем наукам, где она применялась.

       С развитием культуры  появились  простейшие понятия арифметики натуральных  чисел. Постепенно вырабатываются выполнения четырёх арифметических действий (сложение, вычитание, умножение и деление). Появились потребности измерения количества зерна, длины дороги и т. п.

       Таким образом складывается  древнейшая математическая наука — арифметика. Измерение площадей и объёмов вызывают развитие зачатков геометрии.

       Эти процессы шли у многих народов  в значительной мере независимо и  параллельно. Особенное значение для  дальнейшего развития науки имело  накопление арифметических и геометрических знаний в Египте.

       Далее мы рассмотрим, как проходило развитие математики в Древнем Египте и почему возрастала потребность передачи знаний из поколения в поколение. 
 
 
 

       Математика  Древнего Египта 

       Древние египтяне были замечательными математиками и инженерами. Египтяне использовали математику, чтобы вычислять вес тел, площади посевов и объемы зернохранилищ, размеры податей и количество камней, требуемое для возведения тех или иных сооружений. Так же математика применялась для определения количества зерна, необходимого для приготовления заданного числа кружек пива, а также для решения более сложных задач, связанных с различием в сортах зерна; для этих случаев вычислялись переводные коэффициенты.

       Но  главной областью применения математики была астрономия, точнее расчеты, связанные  с календарем. Календарь использовался для определения дат религиозных праздников и предсказания ежегодных разливов Нила. Однако уровень развития астрономии в Древнем Египте намного уступал уровню ее развития в Вавилоне.

       Древнеегипетская  письменность основывалась на иероглифах. Система счисления того периода также уступала вавилонской. Египтяне пользовались непозиционной десятичной системой, в которой числа от 1 до 9 обозначались соответствующим числом вертикальных черточек, а для последовательных степеней числа 10 вводились индивидуальные символы. Последовательно комбинируя эти символы, можно было записать любое число. С появлением папируса возникло, так называемое, иератическое письмо – скоропись, способствовавшее, в свою очередь, появлению новой числовой системы. Для каждого из чисел от 1 до 9 и для каждого из первых девяти кратных чисел 10, 100 и т.д. использовался специальный опознавательный символ. Дроби записывались, в виде числителем, равным единице. С такими дробями египтяне арифметические операции, но процедура таких вычислении оставалась очень громоздкой.

       Геометрия, у египтян, сводилась к вычислениям площадей прямоугольников, треугольников,  трапеций, круга, а также формулам вычисления объемов некоторых тел. Надо сказать, что математику, которую египтяне использовали при строительстве пирамид, была простой и примитивной.

       Площади прямоугольников, треугольников и  трапеций вычислялись по точным правилам, площадь произвольного четырехугольника — по приближенному правилу, как  произведение полусумм пар противоположных сторон а, с и b, d, т. е. S= a+b 2 b+d 2 .  Этот прием распространялся и на треугольники при d = 0. Все такие задачи возникли из практики землемерия. Не было термина «сторона» фигуры и самого термина «фигура» — говорили о поле, об участке с границами или с «шириной» и «длиной».

       При вычислении площади круга египтяне пользовались довольно хорошим приближением, полагая ее равной квадрату со стороной в 8/9 диаметра: S= ( 8 9 d ) 2 .

       Египтяне  вычисляли объемы многих тел: куба, параллелепипеда, призмы, цилиндра — как произведение площади основания на высоту. Следует отметить, что такие расчеты производились в задачах на обмер зерна в амбарах, имеющих эти формы, и главное внимание уделялось переводу мер емкости сыпучих тел в геометрические меры объема и обратно.

       Самым удивительным в геометрии египтян  было правило для определения  объема усеченной пирамиды, которое  можно выразить формулой V=( a 2 +ab+ b 2 ) h 3 ,  где a и b — стороны квадратных оснований пирамиды, h — ее высота.

       Как мы видели, в древнем Египте математика представляла собой совокупность знаний, еще не расчленившуюся на арифметику, алгебру, геометрию и выступающую прежде всего как собрание правил для численного решения простейших арифметических, алгебраических и геометрических задач. Проблемы, стоявшие перед египтянами, были главным образом практические. Но наряду с этим еще в начале II тысячелетия до н. э. шла интенсивная работа творческой мысли, задачи обобщались и начинали принимать более абстрактный характер. При исследовании отдельных проблем вырабатываются приемы геометрических и арифметико-алгебраических преобразований, которые, как и проверка решений, уже предвещали дальнейший рост этих составных частей математической дедукции. Математика древнего Египта оказала несомненное влияние на последующие судьбы науки.

       Задачи  и решения, приведенные в папирусах, сформулированы чисто рецептурно, без  каких бы то ни было объяснений. Египтяне имели дело только с простейшими типами квадратных 
уравнений и арифметической и геометрической прогрессиями, а потому и те общие правила, 
которые они смогли вывести, были также самого простейшего вида. Ни вавилонская, ни 
египетская математики не располагали общими методами; весь свод математических знаний

представлял собой  скопление эмпирических формул и  правил. 
 
 

       Математические папирусы 

       В те времена бумаги еще нигде не было. В Месопотамии писали, например, на табличках из сырой глины, которые  потом обжигали. В некоторых странах  писали на пергаменте. Египтяне же изобрели дешевый и удобный писчий материал, по своим качествам очень близкий к бумаге - листы из папируса, которые можно было склеивать в свитки любой длины. Ученые долгие годы пытались разгадать секрет древних мастеров. Он должен был быть простым, так как папируса требовалось много.

       Папирус раньше обильно рос в болотистых районах Нижнего Египта, где теперь его нет. Он играл в Египте огромную роль: из него изготовляли веревки, корзины, картонаж, плетенки, лодки и т.д., но главная ценность - изготовление материала для письма. Папирус рос очень быстро, давая новые побеги круглый год. По берегам Нила были густые заросли папируса высотой до 2 - 3 метров.

       Собирали  папирус ранним утром, затем отвозили в мастерскую. Привезенные стебли складывали на землю и, прежде чем  палящее солнце успевало подсушить  их, быстро нарезали набольшие куски. Затем мастера специальными ножами осторожно сдирали зеленую кожицу со стеблей, обнажая мягкую белую сердцевину. Теперь сердцевину надо было разрезать вдоль на несколько тонких полосок, но очень точно и осторожно. На ровном специальном столе полоски укладывали в ряд, слегка внахлест, на кусок плотной ткани, тщательно подгоняя друг к другу. Поверх первого ряда, поперек него, клали второй, точно такой же ряд полосок. Все это окрывалось тонкой материей хорошо впитывающей влагу, и в течение часа или двух работники непрерывно колотили по ней деревянными молотками, стараясь ничего не сдвинуть с места. Затем они осторожно клали на ткань легкий пресс и оставляли на несколько часов. За это время сок, выступивший из папируса, крепко склеивал полоски, и они превращались в сплошной лист тонкой белой бумаги. Когда лист просыхал, его аккуратно нарезали на куски и склеивали в полосы разной длины, обычно от метра до двух, но нередко хозяин мастерской получал заказы и на очень большие папирусы – до двадцати метров. Папирус разглаживали круглыми гладкими камнями или лопаточками из слоновой кости, чтобы тростниковое перо могло легко двигаться по нему, сворачивали в трубочки и перевязывали шнурами. На следующий день его везли на продажу.

       Папирус берегли: часто старые записи аккуратно смывались, листок высушивался, и затем опять использовался. Когда листок папируса исписывали до конца, к нему подклеивали другой. Книга получалась все длиннее. Для хранения ее сворачивали в свиток. Некоторые книги получались до сорока метров.

       Источниками для изучения древнеегипетских математических знаний являются два папируса - папирус  Ринд, (Лондон, Британский музей) и Московский математический папирус (Москва, ГМИИ им. А.С.Пушкина). Оба - копии более  ранних текстов: папирус Ринда был переписан в XVIII династию с оригинала эпохи Среднего царства; Московский папирус, датируемый временем правления фараонов XII династии, отражает еще более ранний документ. Эти памятники трудно назвать научными трактатами в нашем понимании данного определения, ибо они не содержат свойственного современным работам осмысления теоретических проблем, таких как анализ или доказательство правильности того или иного решения. Напротив, в них даны условия разнообразных практических задач - измерения площади поля, вместимости амбара, раздел имущества и т.д. (в папирусе Ринда их 80, в Московском - 25).

       Вслед за условием задачи следует алгоритм решения и указан правильный ответ. Можно предположить, что эти папирусы были учебными пособиями по выполнению определенных операций.

       Математические  папирусы показывают высочайшие достижения  Древнего Египта в области математического  знания. Однако они не дают представления  о степени осмысления этого знания самими египтянами – интересовало ли их теоретическое развитие математики или же они заботились только о ее практическом применении? Кроме того, нет неоспоримых доказательств, что пропорции архитектурных сооружений, таких как пирамиды, не были результатом богатого опыта и чутья строителей, а заранее просчитывались. Но одно, несомненно: за тысячу лет до Архимеда и Пифагора египтяне открыли и успешно применяли на практике законы, вошедшие в сокровищницу античной, а затем и мировой математической мысли.

       Таким образом, основные сведения о древнеегипетской математике у нас относятся к  одной эпохе, и мы не можем составить  представление о развитии математики в данной цивилизации на протяжении ее истории. У нас нет почти  никаких известий о математических знаниях Раннего и Древнего царств. Сохранились только числовые записи да рисунки на каменных плитах и стенах, свидетельствующие, что художники умели изображать предметы в уменьшенном масштабе с помощью квадратных сеток. Остается также открытым вопрос, что происходило в области математики в эпоху Нового царства, т.к. никаких математических документов от этих времен не имеется. Не дошли они и от последующих столетий, отмеченных великолепным взлетом литературы и искусств, идеологической борьбой в области религии, прогрессом медицины, дальними морскими и сухопутными экспедициями, а в астрономии — появлением изображений звездных карт на потолках гробниц. Правда, полагают, судя по некоторым отрывкам, что математика мало изменилась с тех пор, как были составлены Московский папирус и папирус Ринда.

       Рассмотрим  более подробно 2 папируса, составляющих основу Древнеегипетской математики. 
 
 

     Математический  папирус Ринда (Ахмеса) 

     Математический  папирус Ахмеса (также известен как  папирус Ринда или папирус  Райнда) — древнеегипетское учебное руководство по арифметике и геометрии периода Среднего царства, переписанное ок. 1650 до н. э. писцом по имени Ахмес на свиток папируса длиной 5,25 м. и шириной 33 см.

       Папирус Ахмеса был обнаружен в 1858 и часто  называется папирусом Райнда по имени его первого владельца. В 1870 папирус был расшифрован, переведён и издан. Ныне большая часть рукописи находится в Британском музее в Лондоне, а вторая часть — в Нью-Йорке.

       Папирус Ахмеса включает условия и решения 84 задач прикладного характера и является наиболее полным египетским задачником, дошедшим до наших дней. При решении этих задач производятся действия с дробями, вычисляются площади прямоугольника, треугольника, трапеции и круга, объёмы параллелепипеда, цилиндра, размеры пирамид. Имеются также задачи на пропорциональное деление, а при решении одной задачи находится сумма геометрической прогрессии.

       Установлено, что оригинал, с которого был переписан  папирус Ахмеса, относится ко второй половине XIX века до н. э.; имя его  автора неизвестно. Отдельные исследователи предполагают, что он мог быть составлен на основании ещё более древнего текста III тысячелетия до н. э.

       Во  вступительной части папируса Райнда объясняется, что он посвящён «совершенному  и основательному исследованию всех вещей, пониманию их сущности, познанию их тайн». Все задачи, приведённые в тексте, имеют в той или другой степени практический характер и могли быть применены в строительстве, размежевании земельных наделов и других сферах жизни и производства. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и аликвотными дробями, пропорциональное деление, нахождение отношений. Для решения многих из них вырабатывались общие правила.

       Вместе  с тем, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что математика в Древнем Египте переросла исключительно практическую стадию и приобрела теоретический характер. Так, египетские математики умели брать корень и возводить в степень, были знакомы с арифметической и геометрической прогрессией (одна из задач папируса Ахмеса сводится к нахождению суммы членов геометрической прогрессии). Множество задач, сводящихся к решению уравнений (в том числе квадратных) с одним неизвестным, связаны употреблением специального иероглифа «куча» (аналога латинского x, традиционно употребляемого в современной алгебре) для обозначения неизвестного, что указывает на оформление зачатков алгебры.

       Папирус Райнда, как и Московский математический папирус, показывает, что древние  египтяне с лёгкостью справлялись с измерением площади треугольника и относительно точно определяли приближение числа  ≈ 3,16 ((16/9)²), тогда как на всём Древнем Ближнем Востоке оно считалось равным трём. Однако папирус свидетельствует и о недостатках египетской математики. Например, площадь произвольного четырёхугольника в них вычисляется перемножением полусумм длин двух пар противоположных сторон, тогда как равенство в таком случае имеет место только в прямоугольнике. Кроме того, обращает на себя внимание и то обстоятельство, что египетский математик пользуется только аликвотными дробями (вида 1/n, где n — натуральное число) и дробью 2/3. В других случаях дробь вида m/n заменялась произведением числа m и аликвотной дроби 1/n, что зачастую усложняло вычисления, хотя в отдельных случаях могло и облегчить их. 
 
 

       Московский  математический папирус  

       Московский  математический папирус («математический  папирус Голенищева») — один из древнейших известных современности математических текстов. Он был составлен около 1850 до н. э., следовательно, превосходит по древности другой знаменитый древнеегипетский текст, посвящённый разрешению математических задач, — Папирус Ринда (или Папирус Ахмеса), написанный ок. 1650 до н. э., то есть Московский примерно на 200 лет его старше.

       Первым  владельцем этого папируса был один из основателей русской египтологии Владимир Семёнович Голенищев. Ныне «папирус Голенищева» находится в Музее изобразительных искусств им. А. С. Пушкина в Москве. Основываясь на способе написания курсивного иератического текста, специалисты предполагают, что он принадлежит ко времени правления XI династии (Аменемхетов-Сенусертов) периода Среднего царства Древнего Египта. Возможно, Московский математический папирус был написан при фараоне Сенусерте III или Аменемхете III.

       Длина Московского математического папируса составляет 5,40 м, а его ширина от 4 до 7 см. Весь текст папируса в 1930 был разбит основателем марксистской школы исследователей Древнего Востока в СССР Василием Васильевичем Струве на 25 задач, к каждой из которых составитель привёл решение. Большинство задач Московского математического папируса посвящены практическим проблемам, связанным с применением геометрии. 
 
 

       Задачи  математических папирусов 

       Среди задач математических папирусов  можно выделить чисто алгебраические (№ 24-28 папируса Ринда и №1,19 и 25 Московского папируса), показывающие, что египтяне могли решать линейные уравнения с одной неизвестной х, называемой «куча» (типа ах + bx+...+cx =d), а также возводить в степень и извлекать корень. 
     Папирус Ринда содержит задачи на вычисление геометрической (№79) и арифметической  прогрессии: «Тебе сказано разделить 10 "хекат" ячменя между 10 людьми так, чтобы разница между каждым человеком и его соседом составляла 1/8 «хекат» ячменя. Средняя доля есть 1/16 «хекат». Возьми 1 из 10, остаток есть 9. Составь половину разницы - это есть 1/16 «хекат». Приложи ее к средней доле. Теперь ты должен высчитать для каждого лица по 1/8 «хекат», пока не достигнешь конца» (Ринд, №64).

       Египтяне  также решали и геометрические задачи - вычисляли площадь треугольника, прямоугольника, круга и даже поверхности шара. Они рассчитали число П - отношение 
длины окружности к диаметру - с точностью до 0,6% (3,16 вместо 3,14).

       Математические  папирусы являются свидетельством знакомства египтян со стереометрией. Описаны способы вычисления объема цилиндра, призмы и пирамиды: «Если тебе называют усеченную пирамиду 6 локтей в высоту, 4 - в нижней стороне, 2 - в верхней, вычисляй с 
четырех. Возводя их в квадрат, получаешь 16. Удвой 4, получишь 8. Сложи 16 с этими 8 и с 
этими 4. Получается 28. Вычисли 1/3 от 6. Получается 2. Вычисли 28 2 раза. Получается 56. 
Смотри! Он есть 56. Ты нашел правильно» (Московский папирус).

       Кроме того, в одной из задач правильно  вычисляется объем усечённой  пирамиды с квадратным основанием. В другой задаче содержится самый ранний в математике пример определения площади кривой поверхности: вычисляется боковая поверхность корзины, т.е. полуцилиндра, высота которого равна диаметру основания.

       При изучении содержания математических папирусов  обнаруживается следующий уровень математических знаний древних египтян.

       Ко  времени написания этих документов уже сложилась определённая система  счисления:  
десятичная иероглифическая. Алгоритмические числа записывались комбинациями узловых 
чисел. С помощью этой системы египтяне справлялись со всеми вычислениями в которых 
употребляются целые числа. Что касается дробей, то египтяне создали специальный аппарат 
опиравшийся на понимание дроби только как доли единицы.

       Сложились также определённые приёмы производства математических операций с целыми числами и дробями. Общей для всей вычислительной техники египтян является её аддитивный характер, при котором все процедуры по возможности сводятся к сложению.

       При умножении, например, преимущественно  используется способ постепенного удвоения одного из сомножителей и складывания подходящих частных произведений.

       При делении также используется процедура  удвоения и последовательного деления  пополам Деление, по-видимому, было самой трудной математической операцией для египтян. Здесь наблюдается самое большое разнообразие приёмов. Так, иногда в качестве промежуточного действия применялось нахождение двух третей или одной десятой доли числа и т.п.

       При сложении дробей, имеющих разные знаменатели, египтяне использовали умножение их на вспомогательные числа. Способы подбора этих вспомогательных чисел не дают, однако, права судить об этом приёме как о единообразном процессе, адекватном способу приведения дробей к общему знаменателю. Исторические реконструкции во многом ещё спорны и не подтверждены достаточным количеством фактов.

       Материалы, содержащиеся в папирусах, позволяют  утверждать, что за 20 веков до нашей  эры в Египте начали складываться элементы математики как науки. Эти  элементы ещё только начинают выделяться из практических задач, целиком подчинены их содержанию. Техника вычислений ещё примитивна, методы решения задач не единообразны. Однако материалов, которые позволяли бы судить о развитии математики в Египте, ещё недостаточно.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 Заключение

       Практические задачи измерения земельных участков после разлива Нила, учета и распределения собранного урожая, сложных расчетов при строительстве храмов, гробниц и дворцов способствовали успехам математики. Египтяне использовали математику, чтобы вычислять вес тел, площади посевов и объемы зернохранилищ, размеры податей и количество камней, требуемое для возведения тех или иных сооружений. Наше знание древнеегипетской математики основано главным образом на двух папирусах, датируемых примерно 1700 до н.э. Излагаемые в этих папирусах математические сведения восходят к еще более раннему периоду – ок. 3500 до н.э. – это папирус Ринда, содержащий 84 задачи и Московский математический папирус, содержащий 25 задач. Задачи и решения, приведенные в папирусах, сформулированы чисто рецептурно, без каких бы то ни было объяснений. Египтяне имели дело только с простейшими типами квадратных уравнений и арифметической и геометрической прогрессиями, а потому и те общие правила, которые они смогли вывести, были также самого простейшего вида.

       Геометрия у египтян сводилась к вычислениям  площадей прямоугольников, треугольников, трапеций, круга, а также формулам вычисления объемов некоторых тел. Надо сказать, что математика, которую  египтяне использовали при строительстве  пирамид, была простой и примитивной.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       Список  использованной литературы 

1. Бобынин В.В. Математика древних египтян (по папирусу Ринда). М., 1882.
2. Ван дер Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука: Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. М.: Физматгиз, 1959. (Репринт: М.: УРСС, 2007)
3. Виленкин Н. Я. О вычислении объёма усечённой пирамиды в Древнем Египте. Историко-математические исследования, вып. 28, 1985.
4. Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в Древнем мире. М.: Наука, 1967.
5. Ж. Дьёдонне. Современное развитие математики // сборник переводов «Математика», 1966, т. 10, № 3, с. 3–11.
6. Раик А.Е. Очерки по истории математики в древности. Саранск, Мордовское гос. изд-во, 1977.
7. Рыбников К.А.. История математики. М.: Наука, 1994.
8. Самарский А.А.. Математическое моделирование. М.: Наука, 1986.
9. Столл Р.Р.. Множество, Логика, Аксиоматическая теория. М.: Просвещение, 1968.
10. Стройк Д.Я.. Краткий очерк истории математики. М.: Наука, Физматлит, 1990.
11. С. Улам. Беспорядочные размышления о математике и науке // глава из книги «Приключения математика» (Ижевск, РХД, 2001).
12. Юшкевич А.П.. Математика в ее истории. М.: Наука, 1996.