Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Механика Герца

Санкт–Петербургский Государственный Университет

РЕФЕРАТ

Тема : Механика Герца

Выполнил:

Пенкин Глеб 353 гр.

Санкт-Петербург

2010

ИДЕИ ГЕРЦА В МЕХАНИКЕ

В 1890 г. слава великого электрика Герца достигла апогея; академии Европы оказывали ему всевозможные почести. Все надеялись, что ему предстоят еще многие годы жизни, которые будут столь же блестящими, как и первые годы его деятельности.

К несчастью, болезнь, которая преждевременно унесла Герца, рано настигла его и вскоре замедлила и почти полностью приостановила экспериментальную работу ученого. Он едва успел организовать свою новую лабораторию в Бонне; различные болезни лишили его и нас открытий, которые он обещал там сделать.

Он продолжал служить физическим наукам огромным влиянием, которым он пользовался, советами, которые он давал своим ученикам; но этот период отмечен только одним личным открытием, имевшим, правда, фундаментальное значение, — открытием прохождения алюминия катодными лучами.

Но если он был так жестоко лишен возможности заниматься столь дорогими ему исследованиями, он все же не оставался бездеятельным; если ему изменяли чувства, то у него остался ум, и он использовал его для глубоких размышлений о философии механики. Результаты этих размышлений были опубликованы посмертно. Здесь я хотел бы их резюмировать и кратко обсудить.

Во-первых, Герц критикует обе предлагавшиеся до сих пор основные системы, которые я назову классической и энергетической, и предлагает третью, которую я назову Герцевой.

I. КЛАССИЧЕСКАЯ СИСТЕМА

Определение силы

Первую попытку обобщить механические явления мы назовем классической системой; Герц ее называет великой столбовой дорогой, основные вехи которой обозначены именами — Архимед, Галилей, Ньютон и Лагранж.

В основу этого изложения кладутся понятия пространства, времени, силы и массы. В этой системе сила рассматривается как причина движения, она предшествует движению и независима от него.

Я постараюсь объяснить, по каким причинам Герц не был удовлетворен этим взглядом на вещи.

Прежде всего мы оказываемся перед трудностями, когда хотим дать определение основным понятиям. Что такое масса? Это, — отвечает Ньютон, — произведение объема на плотность. — Лучше было бы сказать, отвечают Томсон и Тэт, что плотность есть количество массы в единице объема. — Что такое сила? Это, — отвечает Лагранж, — причина, которая производит движение тела или которая стремится произвести движение. Это, — скажет Кирхгоф, -произведение массы на у с к о р е н и е. Но тогда почему не сказать, что масса есть количество силы, рассчитанной на единицу ускорения? Эти затруднения непреодолимы.

Когда говорят, что сила есть причина движения — это метафизика, и это определение, если бы пришлось довольствоваться им, оказалось бы совершенно бесплодным. Чтобы определение могло быть полезным, оно должно научить измерять силу; впрочем, этого достаточно, нет никакой необходимости, чтобы оно объясняло, что такое сила в себе, и что она является причиной или следствием движения.

Нужно, следовательно, сначала определить равенство двух сил, Когда можно сказать, что две силы равны? Это, ответим мы, когда приложенные к одной и той же массе, они ей сообщат одно и то же ускорение, или когда, будучи направлены в прямо противоположны в стороны, они окажутся в равновесии. Тем не менее это определение обманчиво. Нельзя отцепить силу, приложенную к телу, чтобы прицепить ее к другому телу, как отцепляют локомотив, чтобы присоединить его к другому поезду. Таким образом, невозможно узнать, какое ускорение сообщит какая-либо сила, приложенная к некоторому другому телу, если бы она была приложена к последнему. Нельзя знать, как будут вести себя две силы, которые направлены не прямо в противоположные стороны, если они будут направлены прямо противоположно.

Это определение стремятся, так сказать, материализовать, когда измеряют силу при помощи динамометра или уравновешивая ее гирей. Две силы F и F', которые я предположу вертикальными и направленными для упрощения снизу вверх, приложены соответственно к двум телам С и С'; я подвешиваю какое-либо тело весом Р сначала к телу С, потом к телу С'; если равновесие будет иметь место в обоих случаях, я сделаю вывод, что обе силы F и F' равны между собой, поскольку они обе равны весу тела Р.

Но уверен ли я, что тело Р сохранило тот же вес, пока я его переносил с первого тела на второе? Далеко не так, напротив, я уверен в обратном; я знаю, что вес меняется от одной точки к другой и что он больше, например, на полюсе, чем на экваторе. Несомненно, разница очень мала и практически я, конечно, не стану ее учитывать; однако безукоризненное определение должно было бы быть математически строгим. Этой строгости не существует. То, что я говорю о весе, применимо, очевидно, к силе пружины динамометра, на изменения показаний которого может влиять температура и множество других обстоятельств.

Это еще не все. Нельзя сказать, что вес тела Р приложен к телу С и прямо уравновешивает силу F. Если что и приложено к телу С, то это действие А тела Р на это тело С; само же тело Р подвержено, с одной стороны, действию собственного веса, а с другой— реакции R тела С на тело Р. В результате, сила F равна силе А, потому что она ее уравновешивает; сила А равна R в силу принципа равенства действия противодействию; наконец, сила R равна весу Р, потому что она уравновешивает эту последнюю. Из этих трех равенств мы выводим, как следствие равенство силы F и веса Р. Мы вынуждены, следовательно, в определение равенства обеих сил вводить сам принцип равенства действия противодействию; в таком случае этот принцип должен рас сматриваться как определение, а не как экспериментальный закон.

Для установления равенства обеих сил мы имеем два правила: равенство двух сил, находящихся в равновесии; равенство действия противодействию. Но, как мы рассмотрели выше, эти два правила недостаточны; мы вынуждены прибегнуть к третьему правилу и допустить, что некоторые силы, как, например, вес тела, являются постоянными по величине и направлению. Но это третье правило, как я сказал, является экспериментальным законом; оно справедливо лишь приблизительно. Оно представляет собой плохое определение.

Итак, мы возвращаемся к определению Кирхгофа: сила равна массе, умноженной на ускорение. На этот «закон Ньютона» перестают, в свою очередь, смотреть как на экспериментальный закон, он становится только определением. Но это определение также недостаточно, потому что мы не знаем, что такое масса. Оно нам позволяет, несомненно, рассчитать отношение двух сил, приложенных к одному и тому же телу в разные моменты; но оно нам ничего не говорит об отношении двух сил, приложенных к двум различным телам. Для его дополнения нужно снова прибегнуть к третьему закону Ньютона (равенство действия противодействию), считая его опять же не экспериментальным законом, а определением. Два тела А и В действуют одно на другое; ускорение тела А, умноженное на массу А, равно действию В на А, так же как произведение ускорения В на его массу равно противодействию тела А телу В. Так как по определению действие равно противодействию, массы А и В находятся в обратном отношении с ускорениями этих двух тел. Таким образом отношение этих двух масс определено и остается проверить опытным путем, постоянно ли это отношение. Это было бы очень хорошо, если бы оба тела А и В существовали одни и не испытывали бы влияния окружающего их мира. Но ничего подобного; ускорение тела А не есть результат только действия на него тела В, но и множество других тел С, D. . . Чтобы применить предыдущее правило, следует разложить ускорение тела А на многие составляющие и выделить, которая из них вызывается действием тела В.

Такое разложение было бы еще возможно, если мы допустим, что действие тела С на А просто прибавляется к действию В на А, считая, что присутствие тела С не влияет на действие В на А или что присутствие тела В не изменяет действие С на А] следовательно, если бы мы предположили, что два каких-либо тела взаимно притягиваются, что они действуют друг на друга по прямой, их соединяющей, и что это действие зависит только от расстояния между ними; одним словом, если бы мы приняли гипотезу центральных сил.

Известно, что для определения масс небесных тел исходят из совершенно другого принципа. Закон тяготения гласит, что притяжение двух тел пропорционально их массам; если r — расстояние между ними, m и m' — их массы, k — постоянная, то их притяжение будет

(kmm')/r²

В таком случае измеряют не массу, отношение силы к ускорению, а тяготеющую массу; не инерцию тела, а его способность притягивать.

Это — непрямой способ, применение которого теоретически не является необходимым. Вполне могло оказаться, что притяжение обратно пропорционально квадрату расстояния, не будучи пропорциональным произведению масс, т. е. что оно равно

f/r²

без того, чтобы

f= kmm'.

Если бы это было так, можно было бы тем не менее путем наблюдения относительных движений небесных тел измерить их массы.

Но имеем ли мы право принять гипотезу центральных сил? Строго ли точна эта гипотеза? Есть ли уверенность, что она никогда не будет опровергнута опытом? Кто осмелится это утверждать? И если мы должны отставить эту гипотезу, все здание, возведенное с такой тщательностью, рухнет.

Мы не имеем больше права говорить о составляющей ускорения тела А, обусловленной действием на него тела В. Мы не имеем никакого средства отделить это ускорение от того, которое вызывается телом С или каким-либо другим телом. Правило для измерения масс становится неприменимым.

Что же остается от принципа равенства действия противодействию? Если гипотеза центральных сил отброшена, этот принцип должен, следовательно, формулироваться следующим образом: геометрическая результирующая всех сил, приложенных к различным телам системы, не подверженной никакому внешнему воздействию, будет равна нулю. Или, другими словами, движение центра тяжести этой системы будет прямолинейным и равномерным.

Вот, казалось бы, способ определения массы; положение центра тяжести зависит, очевидно, от значений, придаваемых массам; надо будет расположить эти значения таким образом, чтобы движение центра тяжести было прямолинейным и равномерным; это будет всегда возможно, если третий закон Ньютона справедлив, и это будет возможно вообще только одним способом.

Но систем, не подверженных внешнему действию, не существует; все части Вселенной испытывают более или менее сильно влияние всех остальных частей. Закон движения центра тяжести строго справедлив только в случае его приложения ко Вселенной в целом.

Но тогда следовало для определения величины масс наблюдать за движением центра тяжести Вселенной. Абсурдность этого следствия легко обнаруживается; нам известны лишь относительные движения; движение центра тяжести Вселенной остается для нас навеки неизвестным.

Не остается ничего, и наши усилия были бесплодными, — мы оказались перед необходимостью прибегнуть к следующему определению, которое, по существу, является признанием нашего бессилия: массы представляют собой коэффициенты, которые удобно вводить в вычисления.

Мы могли бы переделывать наново всю механику, придавая всем массам различные значения. Эта новая механика не была бы в противоречии ни с опытными данными, ни с общими принципами динамики (принципами инерции, пропорциональности сил массам и ускорениям, равенства действия противодействию, прямолинейного и равномерного движения центра тяжести, законом площадей).

Только уравнения этой новой механики были бы менее простыми. Следует условиться: лишь первые члены будут менее простыми, т. е. те, которые мы уже узнали из опыта; может быть возможно изменять массы малых величин, без того чтобы полные уравнения не выиграли и не потеряли в простоте.

Я настаивал на этом обсуждении еще более продолжительное время, чем сам Герц. Я стремился убедительно показать, что Герц не просто искал ссоры с Галилеем и Ньютоном как немец, а наоборот, мы должны сделать вывод, что при помощи классической системы невозможно дать удовлетворительную идею о силе и массе.

Различные возражения

Затем Герц задался вопросом, строго ли справедливы принципы механики. Он говорит, что по мнению многих физиков просто немыслимо, чтобы даже в самых отдаленных данных опыта можно было обнаружить что-либо такое, что было бы в состоянии внести изменения в твердо установленные принципы механики; и тем не менее то, что вытекает из опыта, может быть в свою очередь исправлено опытом.

После сказанного выше эти опасения покажутся излишними. Принципы динамики первоначально казались истинами, установленными экспериментами; но мы были вынуждены пользоваться ими как определениями. Именно по определению — сила равна произведению массы на ускорение; вот принцип, который в дальнейшем остается вне пределов досягаемости для последующих опытов. Также исходя из этого определения — действие равно противодействию.

Но тогда, возразят нам, эти не подлежащие проверке принципы совершенно лишены значения; опыт не может опровергнуть их, но они не могут нас научить ничему полезному; зачем же тогда изучать динамику?

Такой слишком быстрый приговор был бы несправедлив. В природе не существует совершенно изолированной системы, совершенно не подверженной никакому внешнему воздействию, однако существуют почти изолированные системы.

Если наблюдать за такой системой, можно изучить не только относительное движение ее различных частей, одной по отношению к другой, но и движение ее центра тяжести по отношению к другим частям Вселенной. Тогда можно установить, что движение этого центра тяжести — почти прямолинейно и равномерно в соответствии с третьим законом Ньютона.

Это — экспериментально установленная истина, но она не может быть опровергнута опытом, и действительно, что нам даст более точный опыт? Он нам подтвердит, что закон был лишь приблизительно справедлив, но это мы уже знали.

Теперь объясняется, как опыт мог лежать в основе принципов механики и тем не менее никогда не сможет их опровергнуть.

Но вернемся к аргументации Герца. Классическая система неполна, так как все движения, совместимые с принципами динамики, не осуществлены и даже неосуществимы в природе. Действительно, ведь очевидно, что принципы площадей и движения центра тяжести — не единственные законы, которые управляют явлениями природы? Несомненно, было бы неразумно требовать от динамики, чтобы она объединила в одной и той же формуле все законы, которые физика открыла или сможет открыть. Но от этого не делается менее справедливым, что следует считать неполной и недостаточной систему механики, где принцип сохранения энергии обойден молчанием.

Герц считает, что его система содержит все существующие в природе движения, но одновременно она содержит также много других движений, которые не существуют в природе. Система, которая исключала бы эти последние или хотя бы часть из них, лучше отражала бы действительные взаимоотношения и в этом смысле была бы, следовательно, более целесообразной. Такой системой будет, например, энергетическая, о которой мы скажем дальше и в которой основной принцип сохранения энергии вводится совершенно естественно.

Может быть не очень легко поймут, что мешает классической системе просто присоединить этот основной принцип к другим принципам этой системы?

Но Герц задает себе еще другой вопрос. Классическая система дает нам картину внешнего мира. Проста ли эта картина? Сохранены ли в ней несущественные черты, произвольно включенные наряду с существенными? Не являются ли силы, которые мы вынуждены ввести, на самом деле бесполезным механизмом, работающим вхолостую?

На этом столе лежит кусок железа; непредупрежденный наблюдатель решит, что раз нет движения, нет и силы. Как же он ошибется! Физика учит нас, что каждый атом железа притягивается всеми другими атомами Вселенной. Более того, каждый атом железа намагничен и, следовательно, подвержен действию всех магнитов Вселенной. Все электрические токи в мире также действуют на этот атом. Я чуть не забыл электростатические силы, молекулярные силы и т. д.

Если бы какие-либо из этих сил действовали одни, их действие было бы огромно; кусок железа разлетелся бы на осколки. К счастью, действуют все силы и уравновешивают друг друга таким образом, что не происходит ничего. Ваш непредубежденный наблюдатель, который видит только одно — кусок железа в состоянии покоя, заключит, очевидно, что все эти силы существуют только в вашем воображении.

Несомненно, во всех этих предположениях нет ничего абсурдного, но система, которая освободит нас от них, уже этим одним будет лучше нашей.

Невозможно, чтобы важность этого замечания не поразила. Впрочем, чтобы показать, что смысл его не чисто искусственный, мне достаточно напомнить о полемике, имевшей место несколько лет назад между двумя крупнейшими учеными — Гельмгольцем и Бертраном — по поводу взаимодействия токов. Бертран, стремясь перевести на классический язык теорию Гельмгольца, натолкнулся на неразрешимые противоречия. Каждый элемент тока должен был подвергаться действию пары, ,но пара состоит из двух параллельных сил, равных и противоположно направленных. Бертран рассчитал, что каждая из этих двух составляющих должна иметь настолько значительную величину, которая достаточна для разрушения проводника; отсюда он сделал вывод, что эта теория должна быть отброшена. Напротив, Гельмгольц, сторонник энергетической системы, не видел в этом никакой трудности.

Таким образом, по Герцу, классическая система должна быть оставлена: 1) потому, что невозможно дать хорошее определение силы; 2) потому, что она неполна; 3) потому, что она вводит паразитические гипотезы, которые часто способны породить трудности совершенно искусственные, но, тем не менее, настолько большие, что они могут остановить даже лучшие умы.

II. ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА

Различные возражения

Энергетическая система возникла вслед за открытием принципа сохранения энергии. Гельмгольц придал ей определенную форму. Начнем с определения двух величин, играющих основную роль в этой теории. Эти величины: с одной стороны, — кинетическая энергия или живая сила, с другой стороны, — потенциальная энергия.

Все изменения, которым подвергаются тела в природе, управляемы двумя экспериментальными законами.

1. Сумма кинетической и потенциальной энергии — постоянна. Это— принцип сохранения энергии.

2. Если система тел находится в положении А в момент времени t₀ и в положении В в момент времени t₁ — система всегда движется из первого положения во второе таким путем, что среднее значение разности между двумя видами энергии будет иметь наименьшую величину в интервале времени, образуемом моментами t₀ и t₁.

Это и есть принцип Гамильтона, который является одной из форм принципа наименьшего действия. Энергетическая теория имеет следующие преимущества перед классической :

1) она более полная, т. е. принципы сохранения энергии и Гамильтона дают нам больше, чем основные принципы классической теории, и исключают некоторые движения, неосуществляемые в природе, но совместимые с классической теорией;

2) она нас освобождает от атомной гипотезы, которую было почти невозможно избежать в классической теории.

Но она вызывает в свою очередь новые трудности; прежде чем говорить о возражениях Герца, я остановлюсь на двух возражениях, пришедших мне в голову.

Определения обоих видов энергии вызвали бы трудности, почти такие же, как и определение силы и массы в первой системе. Тем не менее их было бы преодолеть легче, по крайней мере в самых простых случаях.

Представим себе изолированную систему, состоящую из некоторого числа материальных точек; предположим, что эти точки подвержены действию сил, зависящих только от взаимного расположения и расстояний между ними и не зависящих от их скоростей. В силу принципа сохранения энергии в этой системе должна существовать силовая функция.

В этом простом случае формулировка принципа сохранения энергии исключительно проста. Некоторая величина, доступная проверке опытом, должна оставаться постоянной. Эта величина и есть сумма двух членов; первый зависит только от положения материальных точек и не зависит от их скоростей; второй пропорционален квадрату этих скоростей. Такое разложение может быть произведено только одним способом.

Первый из этих членов, который я обозначу через U, и будет потенциальной энергией; второй, который я обозначу через Т, будет кинетической энергией.

Очевидно, что если (U + Т)—константа, то какая-либо функция (Т+U) есть тоже постоянная

Ф (T + U).

Но эта функция Ф (Т + U ) не будет суммой двух членов: одного, не зависящего от скоростей, и другого, пропорционального квадрату этих скоростей. Среди, функций, которые остаются постоянными, только одна обладает этим свойством — это Т + U (или линейная функция Т+U, что ничего не меняет, потому что эта линейная функция всегда может быть приведена к Т+ U при помощи замены единицы и начала). Тогда это будет то, что мы назовем энергией; первый член будет потенциальной энергией, а второй—энергией кинетической. Определение обоих видов энергии может быть, следовательно, доведено до конца без всякой двусмысленности.

Так же дело обстоит с определением масс. Кинетическая энергия или живая сила выражается очень просто при помощи масс и относительных скоростей всех материальных точек по отношению к одной из них. Эти относительные скорости доступны наблюдению, и когда мы будем иметь выражение кинетической энергии в функции от этих относительных скоростей, коэффициенты при этом рассеянии дадут нам массы.

Таким образом, в этом простом случае можно без затруднения определить основные понятия. Но трудности возникают снова в более сложных случаях и, например, в том случае, если силы, вместо того чтобы зависеть только от расстояний, зависят также от скоростей. Так, Вебер полагает, что взаимодействие двух молекул электричества зависит не только от расстояния между ними, но и от скорости и ускорения. Если бы материальные точки взаимно притягивались по аналогичному закону, II зависело бы от скорости и могло содержать член, пропорциональный квадрату скорости.

Среди членов, пропорциональных квадратам скоростей, как выделить относящиеся к Т или U? Каким образом, следовательно, различить обе части энергии?

Более того, как определить собственно энергию? У нас больше нет никаких оснований брать в качестве ее определения выражение T + U чем любую другую функцию от Т+U, когда исчезло свойство, характеризующее Т + U, быть суммой двух

членов, имеющих особую форму.

Но это еще не все; нужно учитывать не только собственно механическую энергию, но и другие формы энергии: тепло, химическую энергию, электрическую энергию и т. д. Принцип сохранения энергии должен быть записан так:

где Т представляет воспринимаемую кинетическую энергию, XI — потенциальную энергию положения, зависящую только от положения тел, Q —внутримолекулярную энергию в термической, химической или электрической форме. Все шло бы хорошо, если бы эти три члена были абсолютно четко различимы, если бы Т было пропорционально квадрату скоростей, U—независимо от этих скоростей и от состояния тела, Q — независимо от скоростей и положений тела и зависимо только от его внутреннего состояния.

Выражение энергии могло бы быть разложено только одним способом на три члена такой формы.

Но это не так. Рассмотрим наэлектризованные тела: электростатическая энергия, вызванная их взаимодействием, будет зависеть, очевидно, от их заряда, т. е. от их состояния, но она будет также зависеть и от их положения. Если эти тела будут в движении, они будут взаимодействовать электродинамически, а электродинамическая энергия будет зависеть не только от их состояния и положения, но и от их скоростей.

Мы, следовательно, не имели больше никакого способа для различения членов, которые должны входить в Т, U и Q, и никакого способа разделить три составляющие полной энергии. Если (Т +U+Q) — постоянна, то то же самое имеет место и для любой функции ф(Т +I +Q).

Если (Т +U+Q) будет иметь особую форму, рассмотренную мною выше, то этой неопределенности не получится среди функций ср (Т +U+Q), остающихся постоянными, найдется только одна, которая будет иметь особую форму, и именно ее я условлюсь называть энергией.

Но, как я уже сказал, это не строго так; среди функций, остающихся постоянными, нет таких, которые могут строго подходить к этой особой форме; как же с этого момента выбирать ту, которая должна называться энергией? У нас нет ничего, в этом выборе руководствоваться нечем.

У нас остается только одна формулировка для принципа сохранения энергии: имеется что-то, что остается постоянным. В такой форме она оказывается в свою очередь недосягаемой для проверки опытами и сводится, к своего рода тавтологии. Ясно, что если мир управляется законами, будут иметь место какие-то величины, которые останутся постоянными. Как принципы Ньютона, и по аналогичной причине, принцип сохранения энергии, основанный на опыте, не сможет быть им отменен. Это обсуждение показывает, что переход от классической системы к системе энергетической является прогрессом, но одновременно оно показало, что этот прогресс недостаточен.

Другое возражение мне кажется еще более серьезным: принцип наименьшего действия применим к обратимым явлениям, но он совершенно неудовлетворителен в случае необратимых явлений. Попытка Гельмгольца распространить его на такого рода явления не удалась и не могла удасться; в этом смысле все еще надо сделать в будущем.

Наиболее подробно Герц развивает другие возражения, имеющие почти метафизический характер. Если энергия, так сказать, материализована, она должна быть всегда положительна. Однако имеются случаи, когда трудно избежать рассмотрения отрицательной энергии. Рассмотрим, например, вращающийся вокруг Солнца Юпитер; общая энергия будет выражена так: