Метод геометрических преобразований в школьном математическом образований в 1964-1985 гг

Федеральное агентство по образованию  ГОУ ВПО

Нижегородский государственный Педагогический Университет

Метод геометрических преобразований в школьном математическом образований в 1964-1985 гг.

(Колмогоровская реформа) 

Выполнил:      

Антонов А.И.

Проверила:         доктор педагогических наук,

профессор  Иванова Т.А.

2011

Введение

В современном школьном обучении все более усиливается тенденция  гуманизации образования, которая  в области методики обучения математике понимается как направленность всего  учебно-воспитательного процесса на личность учащегося.  В решении задачи всестороннего развития личности учащегося широкие возможности предоставляет такой раздел математики как геометрия, которая в силу своей специфики отражения реальной действительности глубоко сочетает логику и наглядность, общее и частное, абстрактное и конкретное. Геометрия как учебный предмет способствует развитию не только рациональных психологических функций человека, к которым относится мышление, но и иррациональных - ощущения и интуиции.

Однако в современной школе геометрия часто становится непреодолимым барьером для учащихся. Традиционный курс геометрии имеет как свои достоинства, так и недостатки. К числу последних можно отнести преобладание в традиционном обучении аналитических методов, наличие непосильных для понимания учеников скрупулезных доказательств очевидных вещей, тогда как логическое мышление школьников, особенно к началу изучения геометрии, развито недостаточно, а образное мышление не окончательно упорядочено. Все это создает проблему необходимости разработки методов обучения геометрии, сочетающих наглядность, практическую конструктивную деятельность и словесно-логический анализ. В то же время курс геометрии в духе Евклида в полной мере не отражает достижений математики. Подобные проблемы интересовали ученых и педагогов давно. В 50-60-е годы 20 века во всем мире зазвучали призывы к реформированию школьного математического образования, и, в частности, преподавания геометрии. 

Новый курс геометрии предлагалось строить на основе теоретико-множественного подхода, с применением соответствующей  терминологии и символики. Важнейшим  понятием в школьном курсе геометрии  становилось понятие геометрического  преобразования. Создание теории геометрических преобразований связано с именем немецкого математика Ф. Клейна. По Клейну, геометрия – это наука, изучающая свойства фигур, сохраняющиеся  при преобразованиях некоторой  группы преобразований. Например, евклидова  геометрия изучает свойства фигур, которые сохраняются при движениях, аффинная геометрия  - свойства фигур, сохраняющиеся при аффинных преобразованиях  и т.д. Такой групповой подход позволил сформировать единую точку  на различные геометрии и позволил получить множество новых результатов.

По мнению многих ученых и педагогов, ратовавших за реформу  школьного математического преобразования, геометрические преобразования не только могли стать мощным средством  решения задач и доказательства теорем, но и способствовали реализации внутренней связи курсов алгебры  и геометрии. Еще Ф. Клейн, создатель  математической теории геометрических преобразований, подчеркивал связь  между понятием преобразования и  функции. По сути, геометрические преобразования и числовая функция являются двумя моделями общего понятия функции, и имеется возможность прослеживать связь между двумя основными понятиями.

В нашей стране период реформирования школьного математического образования  получил название «колмогоровской реформы» (1964-1985 гг.) по имени её главного идеолога и разработчика  - выдающегося математика А.Н. Колмогорова. Ведущими целями реформы были, как и на Западе, сближение школьной математики с математикой-наукой и строгое логическое упорядочение курса на основе теоретико-множественных представлений. Курс геометрии подвергся серьезной переработке. В учебном пособии по геометрии, разработанным А. Н. Колмогоровым, А. Ф. Семеновичем и Р. С. Черкасовым, все основные вопросы предлагалось изучать на основе понятия геометрического преобразования.

Однако, по сути, реформа  школьного образования в нашей  стране, провалилась, хотя некоторые  идеи её разработчиков нашли применение и в современных курсах математики. Одной из таких идей является идея геометрического преобразования.

Цель данной работы –  изучить применение метода геометрических преобразований к построению школьного  курса геометрии в период реформы  математического образования в 1964 – 1987 гг., исследовать значение метода геометрических преобразований и различные  подходы к его введению в школьном курсе геометрии и то, как групповой  подход к геометрии, предложенный Клейном, реализуется в школьной программе  времен реформы и современных  программах и учебниках.

Актуальность настоящего исследования состоит в том, что:

• до сих пор неясно место темы «Геометрические преобразования» в школьном курсе геометрии;
• геометрические преобразования традиционно являются трудной для обучаемых темой, и исследование реализации идей разработчиков реформы может оказаться полезным для модернизации современных методик изучения этой темы;
• существует необходимость разработки теоретических основ обучения методу элементарных геометрических преобразований в процессе методической подготовки будущих учителей математики в рамках курсов методики преподавания математики, элементарной геометрии и геометрии  и потому в работе много внимания уделяется научному базису данной темы.
• геометрические преобразования лежат в основе выдвинутого Ф. Клейном принципа, позволяющего всё разнообразие геометрий понять с единой точки зрения и реализуют связь школьного курса математики с математической наукой;
• геометрические преобразования и числовая функция являются двумя моделями общего понятия функции, и имеется возможность прослеживать связь между двумя основными понятиями - функции и преобразования плоскости, т. е. связь алгебры с геометрией.

Принимая во внимание все  выше изложенное, сформулируем задачи данного исследования:

• обозначить основные идеи реформирования школьного  математического образования и рассмотреть реализацию этих идей в программах и учебных пособиях того времени, в частности выявить роль темы «Геометрические преобразования» в курсе геометрии;
• рассмотреть теоретический базис темы «Геометрические преобразования» и выделить её значение для математической науки в целом;
• выявить, какую роль выполняют в современном курсе геометрии геометрические преобразования и как идеи, заложенные разработчиками реформы, реализуются в сегодняшних программах и учебниках.

Задачи исследования, сформулированные выше, определяют структуру данной работы.

Многие педагоги и ученые занимались проблемой изучения преобразований в школе. Среди них - академики А.Д. Александров, А.Н. Колмогоров, А.В. Погорелов и др., а также известные математики и методисты JI.C. Атанасян, В.Т. Базылев, И.М. Яглом, Ю.М. Колягин, Г.И. Саранцев, Р.С. Черкасов и др. Изучение и анализ работ указанных авторов, научно-методической литературы, трудов по истории математики, оказали помощь в решении задач данного исследования.

О колмогоровской реформе школьного математического образования (1964-1985 гг.)

Как и рубеж 19-20 веков, 50-60-е  годы 20 века характеризуются движением  за реформу математического образования  во всем мире. В это время активизировалась деятельность Международной комиссии по народному образованию. Вопросы  школьного математического образования  стали обсуждаться на международных  математических конгрессах. Основная идея этого движения, также как  и предыдущего, заключалась в  сближении школьного курса математики с математикой-наукой и её новыми достижениями.  В 1954 г. на математическом конгрессе в Амстердаме комиссия предложила участникам доклад о радикальной  реформе школьной математики. Было предложено положить в основу ее построения понятия множества, преобразования и структуры; модернизировать математическую терминологию и символику, существенно  сократить многие традиционные разделы  элементарной математики.

На 60-е годы пришелся пик известности группы французских математиков, выступавших под псевдонимом Н. Бурбаки. Н. Бурбаки показали, что все разнообразные (и казалось бы, автономные) разделы математики (или различные математические дисциплины) суть ветви одного и того же «математического дерева», корнями которого являются так называемые математические структуры (всего было выделено три типа структур - алгебраические, топологические, порядковые). Н. Бурбаки определили математику как науку о математических структурах и их моделях. Они считали, что курс математики средней школы необходимо строить, начиная с основ, по возможности аксиоматически. Так как в основе самой математики (как науки о структурах и их моделях) лежит теория множеств, то курсы алгебры и геометрии следует строить на теоретико-множественной основе, максимально используя логико-математическую терминологию и символику. При этом целесообразно начинать там, где это возможно, с понятий более общих и лишь потом переходить к их конкретизации. Ведущим методом изложения курса математики (и его изучения) должен был стать, по их мнению, дедуктивный метод. Основное внимание должно было быть уделено ведущим математическим понятиям: множеству, числу, функции (преобразованию), уравнению и неравенству, вектору. Главное же заключалось не столько в номенклатуре основных математических понятий (все эти понятия изучались в школьном курсе математики и раньше), сколько в современности их трактовки и в научной строгости определений. Повышение научного уровня школьного курса математики стало ведущим лозунгом неореформаторов.

Параллельно с работами Н. Бурбаки были опубликованы работы группы швейцарских психологов, руководимой Ж. Пиаже, – о структурах мышления, являющихся прямым аналогом математических структур, выявленных Н. Бурбаки в фундаменте математики-науки. На этом своеобразном стыке математики и психологии мышления возникла относительно новая педагогическая идея: у ребенка следует прежде всего развивать мышление, причем абстрактное. Содержание обучения служит в этом случае лишь попутным средством формирования умственной деятельности ребенка, и потому систематичность его изучения особого значения не имеет. Был признан наиболее эффективным так называемый метод открытий, когда ребенок, оперируя со специальным дидактическим материалом, самостоятельно обнаруживал те или иные математические факты. Математическое мышление рассматривалось Пиаже как композиция элементарных мыслительных структур, а условием их формирования являлось изучение математических структур.

Идеи неореформаторов с начала 70-х годов стали активно внедряться в школьную практику некоторых европейских стран (прежде всего Франции, Англии, Бельгии), в школах США и Канады. Реформы математического образования стали пропагандироваться не только через научно-методические разработки и журналы, но и через массовую печать.

Постепенно в мире выделилось два основных направления реформы  школьного образования. Первое направление  – радикальное, в духе Н. Бурбаки. Ярким его представителем его  был бельгийский математик Ж. Поппи. Его курс математики был построен на базе общих теоретико-множественных положений без деления на алгебру и геометрию. В учебнике вводятся такие понятия как множество, соответствие, граф, группа. Центральным понятием было понятие векторного пространства. Подобных взглядов придерживался и французский математик Ж. Дьедале. Его методическая установка заключалась в полном отказе от евклидовых традиций и отождествлении элементарной геометрии с линейной алгеброй.

Второе направление реформирования школьного математического образования  было умеренным (СССР, Польша, США. Англия и др.). Сторонники этого подхода также строили курс математики на теоретико-множественной основе.

В нашей стране первые попытки  модернизировать существовавшую систему  обучения математике стали предприниматься  с начала 60-х годов XX столетия. Именно в то время начали появляться некоторые экспериментальные учебники. Например, учебник арифметики для V–VI классов И.К. Андронова и В.М. Брадиса (построенный на теоретико-множественной основе), учебники Р.С. Черкасова, А.И. Маркушевича и др. по алгебре для старших классов (в которых была попытка ввести в школу элементы высшей математики), учебник геометрии В.Г. Болтянского и И.М. Яглома (построенный на идее геометрических преобразований) и др.

В 1964 году была создана Комиссия по реформе среднего образования при АН СССР и АПН СССР. Ее математическую секцию возглавили академики А.Н. Колмогоров и А.И. Маркушевич – активные сторонники реформы и непременные участники всех международных конференций по математическому образованию конца 60-х начала 70-х годов. Прошедший в 1966 г. Математический конгресс дал резкий толчок к ускорению реформы в нашей стране. Появились переводы работ Н. Бурбаки и Ж. Пиаже на русский язык; популярные брошюры о новой математике и новой психологии; статьи в педагогических журналах.

В 1966 г. был опубликован первый вариант новой программы по математике для 4–10 классов; в 1967 г. – второй ее вариант, который был опубликован в журнале «Математика в школе» для широкого обсуждения. В 1968 г. новая программа была уже официально утверждена Министерством просвещения СССР. По этой программе была начата спешная работа по написанию новых учебников. Программой было предусмотрено коренное изменение идеологии и содержания обучения математике. Массовое обучение началось с 1969 года.

Основная цель реформы  состояла в том, чтобы интенсифицировать  преподавание, приблизив его к  проблемам, которые рассматривались  математиками не в древности, а в  исторические периоды, более близкие  к современности. В частности, предполагалось завершить курс математики рассмотрением  дифференциального и интегрального  исчислений и теории вероятностей.

В то время развитие техники  в СССР находилось на таком уровне, когда требовалось много инженеров, умеющих рассчитывать параметры  космических объектов и других высокотехнологичных  изделий. Математиков катастрофически  не хватало, вычислительная техника  только создавалась. В то время был  популярен тезис, что «ценность  каждого культурного человека как  работника определяется тем, насколько  он знает высшую математику, и, прежде всего, дифференциальное и интегральное исчисление». Так что стремление найти царскую тропу в математике было продиктовано высшими соображениями о нуждах государства. Поэтому лозунг «Скорей к анализу!», хотя и не звучал физически, но практически владел умами многих людей и, прежде всего, умами профессиональных математиков и учителей математики.

А подобраться к анализу  иначе, как через теорию множеств было никак невозможно, поскольку  весь анализ основан именно на теории множеств. Поэтому первоначально все соглашались с тем, надо начинать реформу с введения в школу элементов теории множеств.

В статье «Новые программы  и некоторые основные вопросы  усовершенствования курса математики в средней школе» А.Н. Колмогоров дал обстоятельную характеристику обновленного курса школьной математики. Эта статья отражает и главную  идею реформы: курс математики должен строиться на основе специфических  для математики общих принципов, понятий и закономерностей, которые  с единых позиций и с должной  научной строгостью позволяют изложить весь материал. В качестве такой  общей идеи и был выбран теоретико-множественный  подход.

А.Н. Колмогоров подчеркивал, что основной задачей разработчики новых программ считали достижение идейной стройности курса математики, основываясь на трех основополагающих принципах:

• Всюду, где это возможно, учащихся надо прямыми путями вести к современным и рациональным методам решения проблем и задач. Именно этой идеей руководствовались составители программ, рекомендуя раннее введение алгебраической символики при записи общих формул решения типовых задач и при решении уравнений. По этой же причине предлагалось раннее введение отрицательных чисел.
• Переход к новому кругу идей должен быть по возможности мотивирован понятным для учащихся способом.
• Каждое направление работы учащегося, будучи начато, должно быть доведено до тех минимальных результатов, которые его действительно оправдывают. Школа не должна заниматься наполнением памяти учащихся заготовками, которые в школьном курсе не найдут достойного применения в надежде, что учащимся они когда-нибудь пригодятся. Этими соображениями Колмогоров объяснял исключение из школьного курса темы «Комплексные числа»: «Мы считаем сохранение темы «Комплексные числа» в объеме действующих сейчас программ, когда, например, тригонометрическая форма комплексного числа изучается, но сложение аргументов при умножении из программы исключено, не имеющим разумного смысла».

Разумеется, новая программа по математике радикально отличалась от всех предшествующих программ нашей отечественной школы, и, разумеется, серьезным изменениям подверглось содержание математического образования. Решение задач в начальной школе (и в 4-5 классах) велось, в основном алгебраическим методом. Уже в 4-м классе вводилось неопределяемое понятие множества, пустого множества, пересечения и объединения множеств. Вводились соответствующий язык и символика. В 4-5 классе начинала формулироваться идея функциональной зависимости как соответствия между элементами двух множеств. Тогда же вводились понятия выражения, выражения с переменной, равенства. Уравнение понималось как равенство, содержащее переменную. С 6 класса начиналось систематическое изучение курса алгебры, элементы математического анализа изучались в 9-10 классе. Функция трактовалась как отношение соответствия, а затем как отображение одного множества на другое. Причем вначале рассматривались конечные множества произвольной природы, а затем переходили к числовым функциям. В 9 классе ученики знакомились с понятием производной, в 10-м классе – интеграла, поэтому свойства показательной, логарифмической и тригонометрической функции изучались с помощью понятия производной. Из программы были исключены комплексные числа, элементы комбинаторики, а элементы теории вероятности так и не были введены.

Коренной переработке  был подвергнут курс геометрии. В  уже упоминавшейся статье Колмогорова  были сформулированы основные тенденции  перестройки курса геометрии. Во-первых, формирование начальных геометрических сведений должно происходить в младших классах. Во-вторых, логическая структура систематическая курса геометрии, по замыслу авторов реформы, должна значительно упроститься. «Развитие привычки к строгим логическим доказательствам, - пишет Колмогоров, - на этом этапе соединяется с открытым признанием права принимать без доказательства избыточную систему допущений». Предлагалось, в частности, пополнить список утверждений, принимаемых без доказательства. Причем подчеркивалось, что не обязательно нужно называть их аксиомами. Например, подобие определялось авторами учебников через равенство отношений соответствующих отрезков, при этом постулировалось существование фигуры, подобной данной, с произвольным коэффициентом подобия и равенство соответствующих углов в подобных фигурах. Такие допущения позволяли обойти все трудности, возникающие в теме «Подобие» из-за отсутствия ясных представлений об иррациональных числах.

Наконец, третьей тенденцией изменения курса геометрии было построение курса геометрии в  старших классах на основе векторных  представлений. Координатный метод  считался вспомогательным. Предлагалось, в частности, внедрить в школьную программу старших классов изучение понятия векторного пространства и  связанной с ним системы аксиом.

Проблема логического  построения курса геометрии решалась следующим образом: вначале вводились  основные понятия (точка, прямая, плоскость, расстояние от одной точки до другой), а в дальнейшем их свойства описывались  через систему аксиом (их было 12). Система аксиом состояла из пяти групп: аксиомы принадлежности (3), аксиомы  расстояния (3), аксиомы порядка (4), аксиома  подвижности плоскости и аксиома  параллельности. Соответственно, авторами использовался аксиоматический  подход к построению курса геометрии. Аксиомы формулировались в учебнике постепенно, по мере необходимости, однако знакомство с ними и соответствующей  терминологией начинается уже первых страниц учебника. Уже в п.2 говорится об основных (неопределяемых) понятиях, а в п.4 впервые появляется термин «аксиома».

При построении нового курса  геометрии активно применялся и  теоретико-множественный подход. Изучаемые  определения, аксиомы, теоремы формулировались  в терминах теории множеств. Так, геометрическая фигура понималась как множество  точек. Даже в ходе доказательства теорем и решения задач использовался  язык теории множеств: например, следовало  говорить, что точка X  принадлежит отрезку AB, а не лежит на отрезке AB.

В основу курса геометрии  было положено изучение свойств расстояний, свойств геометрических фигур и  их взаимного расположения. Впервые  начали изучаться геометрические преобразования: перемещения, преобразования подобия, гомотетия (центральное подобие). Важнейшим  понятием стало отображение: «с помощью  отображений представилось возможным  дать общее определение подобных фигур». Геометрические преобразования стали мощным средством решения задач и доказательства теорем.

Много внимания авторами учебников  уделялось межпредметным связям, в частности связи математики и физики. Так, в п. 60 учебника «Геометрия 6-8» под редакцией А.Н. Колмогорова  говорится о применении векторов при решении физических задач, объясняется  разница между понятиями вектор и векторная величина, которые  в физике нередко отождествляют.

В 1970/71 году начался массовый переход школы на новую систему обучения математике. Однако с самого начала внедрение новых программ и учебников столкнулось с заметными трудностями. Ни учительство, ни институты усовершенствования учителей, ни пединституты, ни органы образования на местах не были готовы к столь резкому изменению содержания и методов обучения математике в школе. Не все учителя могли вникнуть в новые идеи, а, следовательно, и донести их до учащихся. Новая программа содержала не только целый ряд абсолютно новых для учителей вопросов, но и весьма непривычные для них трактовки общеизвестных математических понятий, равно как и необычную терминологию и символику. Чего, например, стоило учителям осмыслить привычный «направленный отрезок» (вектор) как параллельный перенос; использовать в школе термин «конгруэнтно» вместо привычного термина «равно», говорить о задаче решения неравенства типа и т.п. Поэтому в педагогических институтах по инициативе Колмогорова был введен курс «Научные основы школьной математики». Этот предмет ставил своей целью показать будущему учителю, как отражается состояние современной науки в школьном курсе математики, помочь ему предвидеть возможное развитие школьного курса. Однако это начинание могло дать свои плоды только в перспективе. А времени катастрофически не хватало. Лишь один учебный год был оставлен для написания новых учебников и их проверку. Предложения А.Н. Колмогорова о необходимости проведения некратковременных экспериментов для «ометодичивания» учебников, о создании параллельных учебников и дифференцированного обучения в старших классах были отклонены: начинался переход ко всеобщему среднему образованию.

Программу и реформу в  целом начали критиковать. Отмечалась трудность понимания школьником понятий бесконечность и бесконечное множество. Возникла «педагогическая вилка» между обучением математике и обучением физике. На уроках математики школьники говорили о функции как о соответствии, а на уроках физики те же школьники говорили о ней как о зависимой переменной (и такая «раздвоенность» была не единственной).

Конечно, не вся критика  новых идей была конструктивной. Бытовало мнение, что «советская школа через  обновленный курс математики попала под влияние современных буржуазных воззрений». Колмогорова обвиняли в  космополитизме. В 1980 году в журнале  «Коммунист» появилась статья академика  Л.С. Понтрягина «О математике и качестве её преподавания», в которой автор  осуждал разработчиков реформы  за излишний формализм, замену в учебниках многих сравнительно простых, наглядных формулировок на громоздкие, нарочито усложненные. В качестве примера он приводил определение вектора. Теория множеств, по мнению Л.С. Понтрягина, это только язык, удобный для математиков-профессионалов, а школьникам он не нужен. Утверждалось также, что пора вернутся к серьезным школьным задачам, не тратя времени на то, что учащимся может никогда и не понадобиться, так как техника и технологи прекрасно развиваются без теории множеств.

Появлялись статьи в защиту колмогоровской реформы, но они не принимались к печати. Из программы начали изымать некоторые разделы. К 1984 году произошло возвращение к старой идеологии преподавания математики. Отказ от теоретико-множественного подхода произошел, однако в содержании школьного курса остались векторы и координаты, элементы анализа. Курс геометрии снова строится в духе «Начал» Евклида. Идеи Колмогорова ждут своего воплощения.

Значение  метода геометрических преобразований. Эрлангенская программа Клейна.

Одним из центральных понятий  школьного курса геометрии во времена колмогоровской реформы стало понятие геометрических преобразований, в частности, изучались движения и преобразования подобия. Метод геометрических преобразований стал не просто предметом изучения, а средством выявления свойств фигур, инструментом доказательства теорем и решения задач. Логику разработчиков реформы легко понять, если иметь в виду то удивительное значение, которое имеет метод геометрических преобразований в геометрии-науке.

Создание математической теории геометрических преобразований и осознание их важной роли в геометрии  связано с именем немецкого математика Ф. Клейна, который при вступлении в должность профессора кафедры  геометрии в университете г. Эрлангена прочитал лекцию о роли преобразований в геометрии. Выдвинутая им идея переосмысления всей геометрии на основе теории преобразований получила название Эрлангенской программы. Подход, предложенный тогда Клейном, позволил сформировать единую точку зрения на различные геометрии и тем самым дать ответ на вопрос, что же такое геометрия.

К середине XIX века геометрия  разделилась на множество плохо  согласованных разделов: евклидова, сферическая, гиперболическая, проективная, аффинная, комплексная и т. д. Клейну принадлежит идея алгебраической классификации  различных отраслей геометрии в соответствии с теми классами преобразований, которые её определяют. Так, например, евклидова геометрия изучает те свойства фигур, которые сохраняются при движениях. Иначе говоря, если одна фигура получается из другой движением, то у этих фигур одинаковые геометрические свойства. В этом смысле движения составляют основу евклидовой геометрии. Они обладают тем свойством, что композиция g◦f любых двух движений  f и g также является движением; кроме того для любого движения f существует обратное отображение f, которое также является движением. Таким образом, движения образуют группу. Следовательно, группа движений задает, определяет евклидову геометрии. Существуют и другие группы преобразований. Например, все параллельные переносы образуют группу, все подобные преобразования также образуют группу. По мысли Клейна, каждая группа преобразований определяет свою геометрию. Эта геометрия изучает свойства фигур, сохраняющиеся при всех преобразованиях данной группы. Так, принимая за основу группу движений, мы придём к обычной (евклидовой) геометрии; заменяя движения аффинными преобразованиями или проективными преобразованиями, придем к аффинной, и, соответственно, проективной геометрии. Основываясь на идеях А. Кэли, Клейн показал, что принятие за основу группы проективных преобразований, переводящих в себя некоторый круг (или произвольное коническое сечение), приводит к неевклидовой геометрии Лобачевского.

Эрлангенская программа  Клейна и заложенные в ней идеи позволили дать общее определение  геометрии: геометрия – это наука, изучающая такие свойства фигур, которые сохраняются при преобразованиях  некоторой группы преобразований. Групповой подход Клейна унифицировал различные геометрии и их методы, прояснил их различия, показал внутреннее единство геометрии, при этом связующим звеном, объединяющим в единую науку различные геометрические дисциплины, выступили геометрические преобразования. На новом уровне повторилось открытие Декарта: алгебраизация геометрии позволила получить глубокие результаты, для старых инструментов крайне затруднительные или вовсе недостижимые. Стоит также отметить, что после первой алгебраизации геометрии Декартом, то есть в аналитической геометрии, имелось одно неудобство: часто приходилось отдельно доказывать геометрический характер результатов, то есть их независимость от системы координат. Дополнительным достоинством подхода Клейна было то, что полученные инварианты по самому смыслу своего определения от системы координат не зависят.

Отметим также, что подход Клейна оказался применимым к самым  абстрактным геометриям ― многомерным, неевклидовым, неархимедовым и т. д. В начале XX века Исай Шур, Эмми Нётер, Эли Картан и другие математики разработали общую теорию представлений групп и теорию инвариантов. Эти исследования не только существенно обогатили геометрию, но оказались необходимы в физике.

Значение идей Эрлангенской программы Клейна не исчерпывается  рамками только геометрии. Групповая  точка зрения на геометрические свойства фигур широко используется в физике. Так, русский математик и кристаллограф  Е.С. Федоров, используя клейновские идеи, открыл кристаллографические группы, носящие теперь его имя. Они стали в наши дни подлинной научной основой всей кристаллографии. Групповой подход находит важные применения и в ядерной физике: принципы симметрии и четности – яркое проявление групповой точки зрения. Основой специальной теории относительности стала группа Лоренца; по существу эта группа представляет собой своеобразную геометрию «четырехмерного пространства-времени», определяемого группой Лоренца. Важные приложения групповая точка зрения находит и в других областях физики, химии.

Влияние группового подхода  можно проследить и в школьной геометрии. Каждая фигура F определяет некоторую группу движений, в эту группу входят все те движения, которые переводят группу F в себя. Она называется группой самосовмещений фигуры F. Знание группы самосовмещений фигуры F во многом определяет геометрические свойства этой фигуры.  Рассмотрим параллелограмм общего вида, т.е. параллелограмм, не являющийся ни прямоугольником, ни ромбом. Существуют два движения, переводящие этот параллелограмм в себя: тождественное отображение и симметрия относительно точки , в которой пересекаются диагонали параллелограмма. Других движений плоскости, переводящих параллелограмм в себя нет. Таким образом, группа самосовмещений состоит из двух элементов . Из того, что группа самосовмещений параллелограмма содержит центральную симметрию r, вытекают все основные свойства параллелограмма. Например, так как противоположные углы параллелограмма центрально симметричны относительно точки , то эти углы равны. Из симметричности противоположных сторон параллелограмма вытекает, что эти стороны равны и параллельны.