Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Методы математической статистики в психологии

Институт Психологии

Реферат

По предмету «Общая психология»

На тему: «Методы математической статистики в психологии»

СОДЕРЖАНИЕ:

1.Введение
2. Основные понятия математической статистики.

2.1 Шкалы, выборка и генеральная совокупность.

2.2 Понятия мода, медиана, среднее арифметическое, дисперсия.

3. Корреляция и регрессия

3.1 Понятие корреляции

3.2 Понятие регрессии

4. Методы статистического вывода

4.1 Методы корреляционного анализа

4.2 Методы анализа номинативных данных

4.3 Методы сравнения выборок по уровню выраженности признака

5. Классификация многомерных методов

5.1 Множественный регрессионный анализ

5.2 Факторный анализ

5.3 Дискриминантный анализ

5.4 Кластерный анализ

6. Заключение

Введение.
     Применение математики к другим наукам имеет смысл только в единении с глубокой теорией конкретного явления. Об этом важно помнить, чтобы не
сбиваться на простую игру в формулы, за которой не стоит никакого
реального содержания.
     Теоретические методы исследования в психологии и педагогике дают
возможность раскрыть качественные характеристики изучаемых явлений.
Эти характеристики будут полнее и глубже, если накопленный
материал подвергнуть количественной обработке. Однако,
проблема количественных измерений в рамках психолого-педагогических
исследований очень сложна. Эта сложность заключается, прежде всего, в
субъективно-причинном многообразии педагогической деятельности и ее
результатов, в самом объекте измерения, находящимся в состоянии
непрерывного движения и изменения. Вместе с тем введение в
исследование количественных показателей сегодня является необходимым и
обязательным компонентом получения объективных данных о результатах
педагогического труда. Как правило, эти данные могут быть получены как
путем прямого или опосредованного измерения различных составляющих
педагогического процесса, так и посредством количественной оценки
соответствующих параметров адекватно построенной его математической
модели. С этой целью при исследовании проблем психологии и педагогики
применяются методы математической статистики. С их помощью решаются
различные задачи: обработка фактического материала, получение новых,
дополнительных данных, обоснование научной организации исследования и
другие.

2 . Основные понятия математической статистики

2.1 Шкалы, выборка и генеральная совокупность

Значение психологического признака определяется при помощи измерительных шкал. Всего выделяют 4 типа шкал это:

номинативная (присваивание какому-либо свойству определённого символа; например: двоичные варианты ответов испытуемых «Да» или «Нет», «За» или «Против»);
порядковая (совокупность измеренных признаков по принципу «больше-меньше» , «сильнее-слабее»; например школьные оценки от 1 до 5);
интервальная (для измерения с помощью этой шкалы устанавливаются специальные единицы измерения – стены. Нуль условен; например: измерение температуры по шкале Цельсия, где нуль – точка замерзания воды, но не отсутствия тепла вообще; тест IQ Векслера);
шкала отношений (обладает всеми свойствами интервальной шкалы, но имеет твёрдо фиксированный ноль, который означает полное отсутствие свойства. Используется в химии, физике, психофизике. Примеры: рост, вес, число реакций и пр.)

Так же важную роль в психологии играет такое понятие, как выборка. Любая подгруппа испытуемых, выделенная из большинства, для проведения эксперимента, называется выборкой. Любая же совокупность людей, изучаемых психологом по выборке, называют генеральной совокупностью. А исследование, при котором психолог производит выбор ограниченного числа испытуемых из генеральной совокупности, называют выборочным исследованием.

К выборке применяются 2 требования это:

однородность, т.е. формирование группы испытуемых осуществляется на определённых основаниях, таких как возраст. Уровень интеллекта, национальность и пр.;
репрезентативность – качество выборки, позволяющее распространять полученные на ней выводы на всю генеральную совокупность.

Рекомендуемым объемом для выборки является количество испытуемых не менее 30-35 человек в изучаемой группе.

2.2 Понятия мода, медиана, среднее арифметическое, дисперсия.

Исключительно важную роль в анализе многих психолого-педагогических
явлений играют средние величины, представляющие собой обобщенную
характеристику качественно однородной совокупности по определенному
количественному признаку. Нельзя, например, вычислить среднюю
специальность или среднюю национальность студентов вуза, так как это
качественно разнородные явления. Зато можно и нужно определить в
среднем числовую характеристику их успеваемости (средний балл),
эффективности методических систем и приемов и т. д.
В психолого-педагогических исследованиях обычно применяются различные виды средних величин: средняя арифметическая, средняя геометрическая, медиана, мода и другие. Наиболее распространенными являются мода, медиана и средняя арифметическая.

Понятие мода заключается в следующем – это числовое значение, встречающееся в выборке наиболее часто. Обозначается через Мо. Например: в ряду 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 6 мода = 5. Существует три условия нахождения моды:

Если все значения в выборке встречаются одинаково часто, то такой ряд не имеет моды, например: 2, 2, 3, 3, 4, 4;
Если два соседних значения имеют одинаковую частоту и их частота больше частот любых других значений, то мода есть среднее арифметическое этих двух значений. Например: 2, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 7 Мо=(4+5):2=4,5
Если же два не соседних значения имеют одинаковую частоту и их частота больше частот любых других значений, то выделяют две моды. Например: 2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7 Мо=3, Мо=6

Медиана – это значение, которое делит упорядоченный ряд напополам и обозначается через Ме. Для нахождения медианы применяют два правила:

Если ряд содержит нечётное число элементов, то медиана есть среднее значение. Например: 2, 6, 8, 10, 11, 12, 16 Ме=10
Если же ряд содержит чётное число элементов, то медиана определяется, как среднее арифметическое двух центральных значений. Например: 2, 6, 9, 11, 12, 15 Ме=(9+11):2=10

Среднее арифметическое обозначается через и определяется, как:

где n – число элементов в выборке. Т.е. среднее арифметическое равно сумме элементов делённое на их количество.

Меру разброса данных относительно среднего значения называют дисперсией (от лат. dispersio — рассеяние) и обозначают D. Вычисляют же её как:

, где - элементы ряда х; а - среднее арифметическое элементов ряда х; n – число элементов в выборке.

Степень свободы – понятие, используемое для выражения того факта, что в статистических операциях имеются пределы значений, которые каждый свободен выбрать, накладывающие определенные ограничения на ситуацию. Предел определяется числом имеющихся наблюдений, событий или данных, минус число ограничений.

3. Корреляция и регрессия.

3.1 Понятие корреляции.

Корреляция [correlation] — величина, характеризующая взаимную зависимость двух случайных величин, X и Y, безразлично, определяется ли она некоторой причинной связью или просто случайным совпадением.

Взаимосвязи на языке математики обычно описываются при помощи функций, которые графически изображаются в виде линий. На рисунке ниже изображено несколько графиков функций. Если изменение одной переменной на одну единицу всегда приводит к изменению другой переменной на одну и ту же величину, функция является линейной (график ее представляет прямую линию); любая другая связь — нелинейная. Если увеличение одной переменной связано с увеличением другой, то связь — положительная (прямя), если увеличение одной переменной связано с уменьшением другой, то связь — отрицательная (обратная). Если направление изменения одной переменной не меняется с возрастанием (убыванием) другой переменной, то такая функция — монотонная, в противном случае функцию называют немонотонной.

Положительная связь Отрицательная связь

Линейная

Нелинейная

(монотонная)

Функциональные связи, подобные изображенным на рисунке, являются идеализациями. Их особенность заключается в том, что одному значению одной переменной соответствует строго определенное значение другой переменной. Например, такова взаимосвязь двух физических переменных — веса и длины тела (линейная положительная). Однако даже в физических экспериментах эмпирическая взаимосвязь будет отличаться от функциональной связи в силу неучтенных или неизвестных причин: колебаний состава материала, погрешностей измерения и пр. Существующая в реальности функциональная связь между переменными выступает эмпирически как вероятностная одному и тому же значению одной переменной соответствует распределение различных значений другой переменной (и наоборот). Простейшим примером является соотношение роста и веса людей. Эмпирические результаты исследования этих двух признаков покажут, конечно, положительную их взаимосвязь. Но она будет отличаться от строгой, линейной, положительной — идеальной математической функции, даже при всех ухищрениях исследователя по учету стройности или полноты испытуемых.

Корреляционный анализ — метод обработки статистических данных, с помощью которого измеряется теснота связи между двумя или более переменными. Корреляционный анализ тесно связан с регрессионным анализом (также часто встречается термин «корреляционно-регрессионный анализ», который является более общим статистическим понятием), с его помощью определяют необходимость включения тех или иных факторов в уравнение множественной регрессии, а также оценивают полученное уравнение регрессии на соответствие выявленным связям

Регрессия

Регрессия – зависимость среднего значения какой-либо случайной величины (всякая наблюдаемая величина, изменяющаяся при повторении общего комплекса условий, в которых она возникает) от некоторой другой величины или нескольких других величин. Следовательно, при регрессионной связи одному и тому же значению величины X (в отличие от функциональной связи) могут соответствовать разные случайные значения величины Y.

Регрессионный (линейный) анализ — статистический метод исследования зависимости между зависимой переменной Y и одной или несколькими независимыми переменными X₁,X₂,...,X_p. Независимые переменные иначе называют регрессорами или предикторами, а зависимые переменные — критериальными.

4. Методы статистического вывода

Приступая к определению того, как будут измерены изучаемые явления, необходимо представлять себе, какому методу статистического вывода будут соответствовать получаемые в процессе исследования исходные данные.

Первое основание для классификации исследовательских ситуаций — это типы шкал, в которых измерены признаки, связь между которыми изучается. Признаки могут быть измерены либо в количественной шкале (порядковой, метрической), либо в качественной (номинативной) шкале.

Наиболее многочисленная группа методов относится к случаю, когда одна из переменных является количественной, а другая — качественной. Это широкий класс исследовательских ситуаций, когда задача сводится к сравнению групп (градаций номинативной переменной) по уровню выраженности признака (количественной переменной). Для решения такой задачи применяются методы сравнения, которые можно классифицировать по трем основаниям: а) количество сравниваемых групп (градаций номинативной переменной) — две или более двух; б) соотношение сравниваемых групп: зависимые выборки или независимые выборки; в) шкала, в которой измерен количественный признак: метрическая, ранговая.

Методы корреляционного анализа

Условия применения:

а) два признака измерены в ранговой или метрической шкале на одной и той же выборке; б) связь между признаками является монотонной (не меняет направления по мере увеличения значений одного из признаков).

Обычно изучаются корреляции между множеством Р переменных. В таком случае вычисляются корреляции между всеми возможными парами этих переменных. Результатом является корреляционная матрица, включающая Р(Р— 1):2 значений коэффициентов парной корреляции. Под корреляционным анализом обычно и понимают изучение связей по корреляционной матрице.

Методы анализа номинативных данных.

В зависимости от цели исследования и структуры исходных данных выделяются три группы методов, соответствующих решаемым задачам:

анализ классификаций;
анализ таблиц сопряженности;
анализ последовательностей.

Методы сравнения выборок по уровню выраженности признака.

В зависимости от решаемых задач методы внутри этой группы классифицируются по трем основаниям:

1. Количество градаций X:

сравниваются 2 выборки;
сравниваются больше 2 выборок.

2. Зависимость выборок:

сравниваемые выборки независимы;
сравниваемые выборки зависимы.

3. Шкала Y:

Y— ранговая переменная;
К— метрическая переменная.

По последнему основанию методы делятся на две большие группы: параметрические методы — для метрических переменных и непараметрические методы — для порядковых переменных. Параметрические методы проверяют гипотезы относительно параметров распределения (средних значений и дисперсий) и основаны на предположении о нормальном распределении в генеральной совокупности. Непараметрические методы не зависят от предположений о характере распределения и не касаются параметров этого распределения.

Сравнение двух выборок

Проверяемая: две совокупности (которым соответствуют выборки) не отличаются по уровню выраженности измеренного признака.

Сравнение двух независимых выборок

Условия применения: признак измерен у объектов (испытуемых), каждый из которых принадлежит к одной из двух независимых выборок.

Пример: Исследование различий между юношами и девушками по тревожности, измеренной в количественной шкале.

Методы:

Y— метрическая переменная: сравнение двух средних значений (параметрический критерий Стьюдента для независимых выборок).

Условия применения: признак измерен в (а) метрической шкале, (б) дисперсии двух выборок достоверно не различаются. Если не выполняется хотя бы одно из этих условий, то применяется непараметрический критерий Манна-Уитни.

Дополнительно: возможно сравнение двух дисперсий (параметрический критерий Фишера).

Y— ранговая (порядковая) переменная: сравнение двух независимых выборок по уровню выраженности порядковой или бинарной переменной (критерий Манна-Уитни, критерий серий).

Сравнение двух зависимых выборок

Условия применения:

а) признак измерен у испытуемых, каждый из которых принадлежит к одной из двух зависимых выборок: либо признак измерен дважды на одной и той же выборке, либо каждому испытуемому из одной выборки поставлен в соответствие по определенному критерию испытуемый из другой выборки;

б) измерения положительно коррелируют. Если эти условия не выполняются, то выборки следует признать независимыми.

Примеры:

1. Изучался эффект социально-психологического тренинга. Каждому ученику класса с определённой численностью задавался вопрос: «Как часто твое мнение совпадает с мнением твоих одноклассников», отвечать на который предлагалось при помощи 10-балльной шкалы. Ученики отвечали на вопрос дважды: до и после тренинга.

2. Изучалось различие в самооценке единства мнений в супружеских парах между мужьями и их женами. Для этого на вопрос «Как часто Ваше мнение совпадает с мнением супруги (супруга)» при помощи 10-балльной шкалы отвечали мужья каждой пары и их жены.

Методы:

Y— метрическая переменная: сравнение двух средних значений (параметрический критерий Стьюдента для зависимых выборок).

Условие применения: признак измерен в метрической шкале. Если это условие не выполняется, то применяется непараметрический критерий 7’-Вилкоксона.

Y— ранговая (порядковая) переменная: сравнение двух зависимых выборок по уровню выраженности порядковой или бинарной переменной (критерий Г-Вилкоксона, критерий знаков).

Сравнение более двух выборок

Проверяемая: несколько совокупностей (которым соответствуют выборки) не отличаются по уровню выраженности измеренного признака.

Сравнение более двух независимых выборок

Условия применения: признак измерен у испытуемых, каждый из которых принадлежит к одной из к независимых выборок (к > 2).

Пример: исследовалось влияние на продуктивность воспроизведения вербального материала: а) интервала между повторениями и б) объема материала.

Условия применения: признак У измерен в (а) метрической шкале, (б) дисперсии выборок статистически не различаются. Если не выполняется хотя бы одно из этих условий, то:

Y— ранговая (порядковая) переменная: сравнение более двух независимых выборок по уровню выраженности ранговой переменной (непараметрический критерий Я-Краскала-Уоллеса).

Ограничение: метод позволяет сравнивать выборки только по одному основанию, когда деление на группы производится по одной номинативной переменной, имеющей более 2-х градаций.

Сравнение более двух зависимых выборок

Условия применения:

а) признак измерен у испытуемых, каждый из которых принадлежит к одной из к-зависимых выборок: как правило, признак измерен несколько раз на одной и той же выборке;

б) измерения положительно коррелируют.

Дополнение: метод допускает сравнение выборок более чем по одному основанию — когда помимо деления на зависимые выборки, вводятся номинативные переменные, которые имеют 2 и более градаций и делят испытуемых на независимые выборки.

5. Классификация многомерных методов.

Классификация методов по назначению:

Методы предсказания (экстраполяции): множественный регрессионный и дискриминантный анализ. Множественный регрессионный анализ предсказывает значения метрической «зависимой» переменной по множеству известных значений «независимых» переменных, измеренных у множества испытуемых. Дискриминантный анализ предсказывает принадлежность испытуемых к одному из известных классов (номинативной шкале) по измеренным метрическим (дискриминантным) переменным.
Методы классификации: варианты кластерного анализа и дискриминантный анализ. Кластерный анализ («классификация без обучения») по измеренным характеристикам у множества испытуемых, либо по данным об их попарном сходстве (различии разбивает это множество объектов на группы, в каждой из которых содержатся объекты, более похожие друг на друга, чем на объекты из других групп. Дискриминантный анализ («классификация с обучением») позволяет классифицировать объекты по известным классам, исходя из измеренных у них признаков, пользуясь решающими правилами, выработанными предварительно на выборке идентичных объектов, у которых были измерены те же признаки.
Структурные методы, факторный анализ и многомерное шкалирование. Факторный анализ направлен на выявление структуры переменных как совокупности факторов, каждый из которых — это скрытая, обобщающая причина взаимосвязи группы переменных. Многомерное шкалирование выявляет шкалы как критерии, по которым поляризуются объекты при их субъективном попарном сравнении.
Классификация методов по исходным предположениям о структуре данных:
Методы, исходящие из предположения о согласованной изменчивости признаков, измеренных у множества объектов: факторный анализ, множественный регрессионный анализ, отчасти — дискриминантный анализ.
Методы, исходящие из предположения о том, что различия между объектами можно описать как расстояние между ними. На дистантной модели основаны кластерный анализ и многомерное шкалирование, частично — дискриминантный анализ. Многомерное шкалирование и дискриминантный анализ добавляют предположение о том, что исходные различия между объектами можно представить как расстояния между ними в пространстве небольшого числа шкал (функций).

Классификация методов по виду исходных данных:

Методы, использующие в качестве исходных данных только признаки, измеренные у группы объектов. Это множественный регрессионный, дискриминантный и факторный анализы.
Методы, исходными данными для которых могут быть попарные сходства (различия) между объектами: это кластерный анализ и многомерное шкалирование.

Представленные классификации свидетельствуют о необходимости знаний многомерных методов, их возможностей и ограничений уже на стадии общего замысла исследования. Например, ориентируясь только на факторно-аналитическую модель, исследователь ограничен в выборе процедуры диагностики: она должна состоять в измерении признаков у множества объектов. При этом исследователь ограничен и в направлении поиска: он изучает либо взаимосвязи между признаками, либо межгрупповые различия по измеряемым признакам. Общая осведомленность о других многомерных методах позволит исследователю использовать более широкий круг психодиагностических процедур, решать более широкий спектр не только научных, но и практических задач.

5.1 Множественный регрессионный анализ

Множественный регрессионный анализ (МРА) предназначен для изучения взаимосвязи одной переменной (зависимой, результирующей) и нескольких других переменных (независимых, исходных).

МРА может применяться как для решения прикладных задач, так и в исследовательских целях. Обычно МРА применяется для изучения возможности предсказания некоторого результата (обучения, деятельности) по ряду предварительно измеренных характеристик.

5.2 Факторный анализ

Главная цель факторного анализа — уменьшение размерности исходных данных с целью их экономного описания при условии минимальных потерь исходной информации. Результатом факторного анализа является переход от множества исходных переменных к существенно меньшему числу новых переменных — факторов. Фактор при этом интерпретируется как причина совместной изменчивости нескольких исходных переменных.

Если исходить из предположения о том, что корреляции могут быть объяснены влиянием скрытых причин — факторов, то основное назначение факторного анализа — анализ корреляций множества признаков.

НО целесообразнее вместо факторного анализа использовать кластерный анализ корреляций. Помимо простоты, кластерный анализ обладает еще одним преимуществом: его применение не связано с потерей исходной информации о связях между переменными, что неизбежно при факторном анализе.

Особенность факторного анализа заключается в неопределенности решения его основных проблем. Нет четких критериев качества их решения, есть лишь рекомендации, которыми руководствуется исследователь в своем стремлении содержательно интерпретировать получаемые результаты. Поэтому факторный анализ — это пошаговая процедура, где на каждом шаге исследователь принимает решение о дальнейших преобразованиях данных. Главным же ориентиром на этом пути остается возможность получения содержательной интерпретации конечных результатов.

Весь процесс факторного анализа можно представить как выполнение шести этапов:

Выбор исходных данных.
Предварительное решение проблемы числа факторов.
Факторизация матрицы интеркорреляций.
Вращение факторов и их предварительная интерпретация.
Принятие решения о качестве факторной структуры.
Вычисление факторных коэффициентов и оценок.

Исследователь, в зависимости от своих целей, решает, сколько раз повторить эту последовательность, какие из этапов будут пропущены и насколько глубоко будет проработан каждый из них. Например, если исследователя интересует только структура взаимосвязей признаков, то достаточно выполнить эту последовательность один раз, без последнего этапа.

5.3 Дискриминантный анализ

Дискриминантный анализ представляет собой альтернативу множественного регрессионного анализа для случая, когда зависимая переменная представляет собой не количественную (номинативную) переменную. При этом дискриминантный анализ решает, по сути, те же задачи, что и множественный регрессионный анализ (МРА): предсказание значений «зависимой» переменной, в данном случае — категорий номинативного признака; определение того, какие «независимые» переменные лучше всего подходят для такого предсказания. Структуры исходных данных для дискриминантного и множественного регрессионного анализа практически идентичны.

Основные результаты дискриминантного анализа:

Методы математической статистики в психологии 📙 Реферат → 🆔 149553