Методы обработки изображений

ВВЕДЕНИЕ

Решение многих проблем науки и  практики приводит к необходимости  извлечения полезной информации из различного рода многомерных данных, которые, по аналогии с оптическими изображениями, будем называть многомерными изображениями или просто изображениями . Такие задачи возникают в очень многих областях знаний: в медицине, радио-, тепло- и гидролокации, исследовании Космоса и Земли, телевидении и т. д. Например, диагностика различных заболеваний по И внутренних органов человека, обнаружение лесных пожаров, поиск перспективных для ловли рыбы акваторий, оценка экологического состояния регионов, навигационные задачи и т. д.

Характерно, что эти задачи приходится решать при наличии различного рода мешающих факторов – помех, мешающих И, переменчивости условий наблюдения, динамики наблюдаемого объекта, взаимного  перемещения приемника и объекта  и т. п. Полезный сигнал может быть очень слаб по отношению к помехам  и визуально неразличим на фоне мешающих И.

Нередко объем исходных данных очень  велик (глобальный мониторинг Земли, массовые медицинские обследования), они поступают  с большой скоростью и требуют  обработки в режиме реального  времени. Оператор не в состоянии  справиться с таким потоком информации.

Единственным выходом  из такой ситуации является компьютерная обработка И. Для этого необходимо создание соответствующих математических методов описания и обработки И, а также программного обеспечения применительно к конкретным задачам.

Несмотря на огромное разнообразие практических задач обработки И, они сводятся к небольшому количеству следующих основных задач.

1. Фильтрация и улучшение визуального восприятия. Как уже отмечалось, полезное И может наблюдаться на фоне различных помех, которые и требуется по возможности ослабить. Кроме того, может потребоваться сделать И более контрастным, выделить контуры и т. д.
2. Восстановление отсутствующих участков. Из-за сбоев передачи И или особо сильных помех отдельные участки И могут отсутствовать. Задача заключается в их восстановлении. Такая задача возникает, например, при реставрации картин, фотографий и фильмов.
3. Обнаружение объектов и их идентификация. Требуется на фоне мешающих И найти интересующие нас объекты. Если таких объектов может быть несколько типов, то дополнительно нужно их классифицировать. В качестве примеров можно привести автоматическое считывание номеров проезжающих автомобилей, обнаружение и идентификацию летательных аппаратов, обнаружение лесных пожаров и т. д. Иногда задача обнаружения ставится менее определенно (найти то, не знаю что) – требуется обнаружить аномалии, т. е. участки И, чем-то отличающиеся от своего окружения. Например, к таким отличиям может привести наличие полезных ископаемых, сельскохозяйственных вредителей или локальных патологий внутренних органов.
4. Оценка геометрических трансформаций и совмещение И. В процессе наблюдения все И или отдельные его части могут перемещаться из-за динамики сцены, движения приемника или несовершенства его конструкции, турбулентности атмосферы и т. д. В результате одни и те же элементы И находятся на наблюдаемых кадрах в разных местах, т.е. имеются геометрические трансформации И. Иногда эти трансформации являются мешающим фактором, например, динамика медицинских И при дыхании пациента. В других случаях трансформации – фактор информативный, например, по изображениям движущихся облаков можно оценить поле скоростей ветра в окрестности аэропорта, что нужно для обеспечения безопасности полетов. В любом случае требуется оценить геометрические трансформации, т. е. совместить элементы одного И с соответствующими им элементами на другом И.

1.ФИЛЬТРАЦИЯ  ИЗОБРАЖЕНИЙ

1.1. Алгоритмы сглаживания изображений

Понятие сглаживания изображений имеет  двоякий смысл. При коррекции  искажений сигнала, внесенных изображающей системой, сглаживание – это подавление помех, связанных с несовершенством  изображающей системы: аддитивных, флуктуационных, импульсных и др. При препарировании изображений сглаживание – это  устранение деталей (обычно малоразмерных), мешающих восприятию нужных объектов на изображениях (так называемая генерализация  изображения).

При коррекции искажений, вызванных  изображающей системой, сглаживанию  подвергается изображение на выходе изображающей системы. При препарировании сглаживание может применяться  к изображению на любой стадии препарирования как один из его этапов.

Понятие сглаживания всегда подразумевает  некоторое представление об "идеально гладком" сигнале. Такой сигнал –  цель сглаживания.

Для изображений таким "идеально гладким" можно считать сигнал, описываемый  кусочно-постоянной моделью, т. е. "лоскутное" изображение с пятнами–деталями, имеющими постоянное значение сигнала  в пределах каждого пятна. Действительно, представление изображения в  виде кусочно-постоянной модели есть не что иное, как сегментация изображений, являющаяся конечной целью анализа  изображений для построения их описания. На первый взгляд может показаться, что оно применимо только к "детальным" изображениям. Но это справедливо  и для "текстурных" изображений, только в этом случае оно относится  не к первичному видеосигналу, а  к его признаку, характеризующему текстуру.

Понятие сглаживания подразумевает также  представление о том, что должно быть подавлено при сглаживании. Будем называть подавляемую часть  сигнала шумом. Рассмотрим ранговые алгоритмы сглаживания для двух наиболее характерных моделей шума – аддитивной и импульсной.

Сглаживание для аддитивной модели

Аддитивная  модель шума предполагает, что наблюдаемый  сигнал представляет собой сумму  полезного сигнала и шума. Ранговые алгоритмы сглаживания аддитивного  шума проще всего обосновывать с  позиций кусочно-постоянной модели изображения. При таком подходе, сглаживание можно определить как  оценку параметра кластера, к которому принадлежит данный элемент. Для  того чтобы найти эту оценку, необходимо определить границы кластера. Можно  предложить два способа определения  границ кластера: адаптивное квантование  мод и "выращивание" кластера.

Адаптивное  квантование мод заключается  в том, что анализируется гистограмма  распределения значений сигнала  изображения (это может быть сигнал значений яркости изображения, плотности  фотонегатива или значений того или  иного скалярного признака, измеренного  на изображении) и в ней отыскиваются границы между локальными максимумами. Эти границы рассматриваются  как границы интервалов квантования, и все значения сигнала на изображении, попавшие в тот или иной интервал, заменяются значением, равным положению  максимума (моды) гистограммы в этом интервале (рис. 1).

Рис. 1. Адаптивное квантирование мод: а – исходная гистограмма распределения значений видеосигнала; б – гистограмма после адаптивного квантирования.

Качество  адаптивного квантования мод  зависит от того, насколько хорошо разделяются моды гистограммы. Степень "размытия" мод определяется степенью однородности объектов на изображении  по выбранному для анализа признаку, т. е. степенью соответствия изображения  кусочно-постоянной модели, а также  наличием искажений изображения: шумом  датчика видеосигнала, дефокусировкой и т.п.

Для улучшения разделимости мод и  повышения достоверности адаптивного  квантования его целесообразно  производить по отдельным фрагментам, размер которых выбирается так, чтобы  они содержали небольшое число  деталей изображения (т.е. чтобы в  гистограмме было небольшое число  мод). Кроме того, хорошие результаты дает использование условной гистограммы  распределения, которая строится по значениям видеосигнала только в  тех элементах изображения, где  эти значения незначительно отличаются от значений в соседних элементах . Степень допустимого отличия  может задаваться априори или  определяться автоматически в зависимости  от локальной дисперсии видеосигнала на изображении.

При адаптивном квантовании мод может  оказаться, что выделяются моды, площадь  которых, т.е. количество элементов  изображения, ей принадлежащих, относительно невелико. На изображении такие моды проявляются обычно в виде разбросанных точек, которые разбивают границы  деталей изображения, образующих более  мощные моды. Поэтому адаптивное  квантирование мод целесообразно сочетать с отбраковкой выделяемых мод по их мощности. Если площадь моды в гистограмме (ее мощность) меньше заданной пороговой величины, эта мода объединяется с соседней более мощной.

При адаптивном квантировании мод определяются границы всех кластеров гистограммы изображения или его фрагментов. При скользящей обработке, когда нужно принять решение о принадлежности к тому или иному кластеру только одного, центрального элемента анализируемого фрагмента, определять границы всех кластеров гистограммы – слишком трудоемкая задача. В этих случаях применяют другие, более простые методы, например, метод "выращивания" кластера.

Сглаживание для модели импульсных помех

Модель  импульсных помех предполагает, что  с некоторой вероятностью элемент  сигнала заменяется случайной величиной. Сглаживание импульсного шума, очевидно, требует обнаружения искаженных элементов сигнала и последующего оценивания их значений по значениям  неискаженных элементов. Вообще говоря, алгоритмы сглаживания импульсных помех должны быть двухпроходовыми  с разметкой искаженных элементов  на первом проходе и оценкой их сглаженных значений на втором проходе. Но для упрощения можно сделать  алгоритм однопроходовым, совмещая операции обнаружения и оценивания в одном  проходе.

Разметка  элементов изображения на искаженные шумом и не искаженные (обнаружение  выбросов шума) может быть выполнена  на основании проверки гипотезы о принадлежности центрального элемента некоторой локальной окрестности S той же выборке, что и заданное большинство остальных элементов окрестности, или выпадения ее из этой выборки. Это достаточно типичная задача математической статистики, для решения которой обычно рекомендуются алгоритмы, основанные на ранговых статистиках.

Наиболее  простым ранговым способом проверки гипотезы о принадлежности центрального элемента заданной локальной окрестности S к выборке из большинства остальных элементов окрестности является голосование, т.е. проверка попадания ранга в – окрестность медианы, задаваемой в зависимости от вероятности появления импульсных помех на элемент изображения.

Если  , то принимается решение об отсутствии помехи, в противном случае элемент (k, l) помечается как искаженный помехой. Такой способ обнаружения помехи предполагает, что импульсная помеха, как правило, принимает экстремальные значения. Отметим, что ранг как критерий проверки гипотезы о принадлежности элемента к данной выборке является частным случаем критерия Вилкоксона, проверяющего наличие сдвига между двумя выборками с одинаковым законом распределения.

Проверку  гипотезы о наличии или отсутствии выброса помехи в центральном  элементе S–окрестности можно производить также путем сравнения не по его рангу, а по его значению.

Порог может быть выбран сразу для всего изображения, но его можно и адаптивно подстраивать в зависимости от локального разброса значений сигнала. В качестве оценки локального разброса можно использовать, например, квазиразмах по–окрестности являющийся, как известно, устойчивой к распределению оценкой разброса значений в выборке.

После этапа обнаружения элементы изображения, отмеченные как выбросы импульсного  шума, должны быть заменены их оценкой. В качестве оценки можно использовать значения, полученные тем или иным сглаживанием по окрестности этих элементов, причем из этой окрестности исключаются  элементы, отмеченные при обнаружении  выбросов шума.

Таким образом, алгоритм сглаживания импульсного  шума может быть представлен в  виде где SMTH(M) означает сглаживание по некоторой окрестности М, из которой исключены точки, подлежащие исправлению.

Характерными  при сглаживании импульсных помех  являются ошибки ложного обнаружения, которые приводят к нежелательному сглаживанию деталей изображения, и ошибки пропуска, из–за которых  на изображении могут остаться несглаженные выбросы помех. Доля этих ошибок зависит  от порогов: с увеличением порогов  доля ложных обнаружений падает, а  доля пропусков возрастает. Следует  учитывать, что число ложных обнаружений  и пропусков возрастает также  из-за возможного наличия в S–окрестности не одного, а нескольких больших выбросов помех. Поэтому для повышения качества сглаживания импульсных помех его целесообразно проводить итеративно, начиная с больших значений порогов, и, по мере удаления больших выбросов помех, понижая пороги на каждой итерации.

Увеличение детальности изображений

Увеличение  детальности изображений – понятие, противоположное сглаживанию. Если при сглаживании стираются различия деталей изображения, то при увеличении детальности они должны, наоборот, усиливаться. Поэтому увеличение детальности изображений называют также повышением локальных контрастов. Это, по существу, основная операция при препарировании изображений.

Повышение локальных контрастов достигается  путем измерения отличий значения сигнала в каждом элементе изображения  от его значений в элементах, окружающих данный, и усиления этих отличий.

Наиболее  известный и очевидный метод  определения и усиления отличий  – так называемая нерезкая маска. При этом вычисляется разность между  значениями элементов изображения  и усредненными значениями по окрестности  этих элементов, эта разность усиливается  и добавляется к усредненному изображению:

где — сумма элементов локальной окрестности, взятых с некоторыми весами; g – коэффициент усиления.

Отметим, что из этой формулы вытекает возможность  обобщения метода нерезкой маски  на использование ранговых алгоритмов. Она заключается в том, чтобы  вместо взвешенного среднего по локальной  окрестности (величины ) использовать сглаженное значение SMTH(M) сигнала, полученное с помощью ранговых алгоритмов сглаживания.

где

Преимущества  нерезкого маскирования с ранговым сглаживанием вместо линейного –  адаптивность и меньшая пространственная инерционность – вытекают из преимуществ  рангового сглаживания.

Обнаружение деталей и их границ

Связь алгоритмов повышения локальных  контрастов и выделения деталей  со статистиками ранговых критериев, а  также очевидная их аналогия с  алгоритмами обнаружения выбросов импульсных помех, проливает новый  свет на смысл этих алгоритмов. Эти  алгоритмы можно трактовать как  алгоритмы проверки гипотезы о несоответствии центрального элемента S–окрестности выборке, определяемой некоторым подмножеством, а вычисляемую ими оценку сигнала как критерий верности этой гипотезы, распределение значений которого по площади обрабатываемого изображения представляется пользователю как изображение–препарат.

Такая трактовка ведет к обобщению  алгоритмов выделения деталей для  задачи обнаружения деталей и  их границ. В описанных алгоритмах использовались простейшие точечные критерии несоответствия элемента изображения  заданной выборке: в разностных алгоритмах – разность между значением центрального элемента S–окрестности и оценкой среднего значения заданной выборки; в ранговых алгоритмах – количество элементов заданной выборки, не превышающих по своему значению значение центрального элемента, т.е. ранг центрального элемента в заданной выборке. Степень несоответствия трактовалась как контраст детали.

Для рангового обнаружения деталей  изображения и их границ нужно  измерять степень статистического  несоответствия распределения значений элементов анализируемой окрестности  заданному распределению значений сигнала в пределах деталей. При  этом размер окрестности выбирают порядка  размеров деталей, которые необходимо обнаруживать, или соответственно порядка  размеров окрестности границ деталей. Для измерения степени несоответствия можно использовать известные в  математической статистике критерии согласия.

Само  по себе обнаружение состоит в  сравнении измеренной степени соответствия с порогом. При препарировании изображений  имеет смысл также предъявлять  для визуализации саму величину соответствия, а не только бинарный результат сравнения  с порогом. При этом обнаружение  осуществляется оператором визуально.

Ранговые  алгоритмы обнаружения, основанные на сравнении гистограмм значений сигнала, нечувствительны к пространственному "перепутыванию" элементов изображения. Но пространственное "перепутывание" не входит, как правило, в число  возможных искажений изображений  в оптических и аналогичных изображающих системах, и поэтому опасность  спутать при обнаружении деталь с последовательностью независимых  отсчетов, имеющих то же распределение  значений, что и распределение  значений отсчетов сигнала на детали, маловероятна. В то же время ранговые алгоритмы устойчивы к таким  распространенным искажениям сигнала, как монотонные изменения их значений при амплитудных искажениях, засорение  распределений, изменения ориентации.

Применения ранговых алгоритмов

Кроме применений для сглаживания, усиления детальности, выделения деталей  изображений и границ деталей, ранговые алгоритмы могут употребляться  также для решения многих других более частных задач обработки  изображений. Из них можно упомянуть  диагностику искажений видеосигнала и определение их статистических характеристик, стандартизацию изображений, определение статистических характеристик  самого видеосигнала и измерение  текстурных признаков.

Автоматическая диагностика параметров помех и искажений видеосигнала. Она может основываться на принципе обнаружения и измерения аномалий в статистических характеристиках видеосигнала. Для обнаружения аномалий можно использовать ранговые алгоритмы, такие как алгоритм голосования проверки принадлежности анализируемого элемента выборки к заданному числу крайних (наибольших или наименьших) значений упорядоченной выборки.

Стандартизация изображений. Стандартизация – это приведение характеристик изображений к некоторым заданным. С помощью ранговых алгоритмов может быть достаточно просто осуществлена стандартизация гистограмм, т. е. преобразование видеосигнала, делающее гистограмму распределения его значений заданной. В зависимости от задачи могут использоваться глобальная и локальная стандартизация гистограмм. В качестве •стандартной может использоваться не вся гистограмма стандартного изображения или его локальные гистограммы, а соответствующие гистограммы по локальным окрестностям.

Определение статистических характеристик  видеосигнала и измерение текстурных признаков. Адаптивные свойства ранговых алгоритмов делают их удобным инструментом для измерения локальных статистических характеристик изображений: локального среднего, локальной дисперсии и других моментов распределения. Очевидно, что эти и другие подобные характеристики гистограмм являются также текстурными характеристиками изображений.

Ранговые  алгоритмы могут служить для  оценки не только гистограммных текстурных признаков, но и для оценки текстурных признаков, связанных с локальными пространственными статистическими  характеристиками изображений. Одним  из простейших признаков такого рода является число локальных экстремумов S–окрестности обрабатываемого элемента. Ряд текстурных признаков связан с характеристиками пространственного распределения локальных экстремумов, т.е. среднего расстояния между ними, дисперсии расстояний между ними и т.д. Более общими являются признаки, характеризующие пространственное распределение рангов в обрабатываемом фрагменте. В частности, текстурным признаком является число перемен знака первой производной по фрагменту эквализованного изображения в заданном направлении сканирования. Ряд текстурных признаков можно рассматривать как параметры пространственного распределения элементов, принадлежащих локальным окрестностям, в частности, моменты распределения взаимных расстояний между ними.

Кодирование изображений. Возможность применения ранговых алгоритмов для кодирования изображений связана с использованием алгоритмов адаптивного квантования мод в режиме пофрагментной обработки. В этом случае анализируется гистограмма распределения значений элементов изображения в пределах фрагмента (или, как принято говорить в кодировании, блока), находятся границы кластеров, которые выбираются в качестве границ интервалов квантования, и производится квантование всех отсчетов фрагмента в соответствии с найденными границами. Как правило, если размеры фрагмента не слишком велики, количество уровней квантования Qs отсчетов фрагмента намного меньше количества Q уровней квантования, выбираемого из условия качественного воспроизведения всего изображения. Нетрудно подсчитать, что количество бит, требуемых для передачи значений NB отсчетов фрагмента, будет равно сумме Qs log₂Q бит на передачу таблицы квантования и N_slog2Qs бит на передачу номера уровня квантования, т.е. на один отсчет изображения требуется в среднем Iog₂Qs+(Qslog₂Q)/N_s бит вместо log₂Q безадаптивного квантования по фрагментам. Отсюда вытекает, что площадь фрагментов целесообразно увеличивать до тех пор, пока количество уровней квантования Qs не превысит нескольких единиц. Опыты, проведенные по пофрагментному квантованию мод, показывают, что это возможно при размерах фрагмента до 30х30 элементов. Следовательно, оценкой потенциальных возможностей кодирования изображений этим методом является величина порядка 1–2 бит на элемент.

1.2.Фильтрация изображений: Обобщенная линейная фильтрация

При проектировании фильтров или, в более общем случае, систем для обработки сигналов, линейные системы играют существенную роль. Когда производится проектирование линейной части системы обработки  сигналов, в большинстве случаев  можно обосновать принятые решения  и вести проектирование с помощью  формальных расчетных процедур. С  другой стороны, при расчете нелинейной части чаще всего приходится руководствоваться  интуицией и эмпирическими суждениями.

Понятие обобщенной суперпозиции дает возможность, по крайней мере в  некоторых случаях, применить к  классу задач нелинейной фильтрации формальный метод, который является расширением формального подхода, лежащего в основе линейной фильтрации.

Задача линейной фильтрации как это констатируется, связана  с применением линейной системы  для извлечения сигнала из суммы  сигнала и шума. С точки зрения векторного пространства задачей линейной фильтрации можно считать определение  такого линейного преобразования в  векторном пространстве, которое  сводит длину или норму вектора  ошибки к минимуму. Норма для данного  векторного пространства определяет используемый критерий ошибки. Во многих случаях, когда  сигнал суммируется с шумом, линейная система не является лучшей системой. Рассмотрим, например, квантованный сигнал с уровнями квантования 1, 2, 3,..., и  допустим, что к нему добавились шумы с пиковыми значениями ±0,25. Ясно, что сигнал может быть точно восстановлен с помощью квантизатора, хотя его  нельзя формально обосновать как  оптимальный нелинейный фильтр. В  менее очевидных случаях могут  существовать одновременно формальные обоснования как для "лучшего" линейного фильтра, так и для  «лучшего» нелинейного фильтра  из некоторого класса, но при этом не всегда может быть проведено полное и точное сравнение этих фильтров, хотя бы из-за того, что они часто используют различную информацию о входных сигналах.

Обобщение понятия линейной фильтрации может производиться  при фильтрации сигнала и шума, которые комбинируются неаддитивно, лишь при условии, что правило  их комбинирования удовлетворяет алгебраическим постулатам векторного сложения. Например, если нужно восстановить сигнал s(t) после такого воздействия шума n(t), что принятым сигналом является s(t)On(t), то необходимо связать s(t) и n(t) с векторами в векторном пространстве, а операцию О с векторным сложением. Тогда класс линейных преобразований в этом векторном пространстве окажется связанным с классом гомоморфных систем, для которых операция О является входной и выходной операцией. Таким образом, при обобщении проблемы линейной фильтрации получают задачу гомоморфной фильтрации. Здесь класс фильтров, из которого должен быть выбран оптимальный, будет классом таких гомоморфных систем, входные и выходные операции которых производятся по правилу, согласно которому объединены выделяемые сигналы.

Если x₁ и х₂ обозначают два сигнала, которые объединяются с помощью операции О, то каноническая форма для класса гомоморфных фильтров, которые можно было бы использовать для восстановления x₁ или х₂, имеет вид, приведенный на рис. 1.

Рис. 1. Каноническая форма класса гомоморфных фильтров, используемых для разделения сигналов, объединенных с помощью операции О.

Система  и обратная ей являются характеристическими для этого класса, и, следовательно, при выборе системы из класса необходимо определить только линейную систему L. Кроме того, мы видим что, поскольку

система гомоморфна с входной операцией O и выходной операцией +, то входным сигналом линейной системы L является . Так как выходной сигнал линейного фильтра затем преобразуется с помощью обращения  и так как сигнал  должен быть восстановлен из комбинации, то требуемым выходным сигналом линейной системы является . Следовательно, задача сводится к линейной фильтрации, и может полностью применяться формальный аппарат.

Следует подчеркнуть, что  подход к нелинейной фильтрации, основанный на обобщенной суперпозиции, является лишь одним из многих возможных подходов. Основное его ценное качество состоит  в том, что так же, как и при  линейной фильтрации просуммированных сигналов, он удобен с точки зрения анализа и фактически сводится к  проблеме линейной фильтрации. Хотя на практике при решении большинства  задач линейной фильтрации для оптимального выбора фильтра обычно не выполняются  формальные расчеты, критерием ошибки, получившим самое широкое распространение, является среднеквадратическая ошибка (или интегральная квадратическая ошибка для апериодических сигналов). При  рассмотрении критерия ошибки для гомоморфных  фильтров естественно было бы выбрать  такой тип критерия, который позволяет  выбирать линейный фильтр на основе среднеквадратической ошибки. Этот выбор может быть обоснован  формально, но в любом случае естественно  считать, что система оптимизируется, если оптимизируется линейный фильтр.

К двум типам задач, где  оказалась полезной идея гомоморфной  фильтрации, относятся фильтрация перемноженных  сигналов и фильтрация свернутых  сигналов.

Применение гомоморфной  фильтрации

Рассмотрим некоторые  специфические случаи применения гомоморфной  фильтрации и фильтрации перемноженных  и свернутых сигналов. Ограничимся  рассмотрением только двух примеров применения, а именно сжатия динамического  диапазона и усиления контрастности  изображений.

Гомоморфная обработка  изображений

Как показал Стокхэм , образование  изображения является преимущественно  мультипликативным процессом. В  естественных условиях наблюдаемая  яркость, запечатленная на сетчатке глаза или на фотографической  пленке, может рассматриваться как  произведение двух составляющих: функции  освещенности и функции отражательной  способности. Функция освещенности описывает освещенность спектра  в различных точках, и ее можно  считать независимой от предметов, расположенных на этой сцене. Функция  отражательной способности характеризует  детали сцены и может считаться  независимой от освещенности. Отрицательные значения яркости по физическим причинам исключаются, а нулевая яркость исключается по практическим соображениям.

При обработке изображения  часто возникают две задачи —  сжатие динамического диапазона  и усиление контрастности. Первая из их вызвана тем, что часто встречаются  сцены с чрезмерными отношениями  уровня светлого к уровню темного, что  приводит к слишком большому динамическому  диапазону по сравнению с возможностями  имеющегося приемника, например фотографической  пленки. Решение состоит в записи модифицированной интенсивности , связанной с  в следующем виде:

Имея перед собой эту  задачу, можно говорить об обработке  изображения с помощью гомоморфного фильтра, т.е. о раздельной обработке  составляющих освещенности и отражательной  способности. Такое устройство обработки  изображения могло бы иметь вид, показанный на рис. 2. Функция освещенности обычно изменяется медленно, в то время  как отражательная способность  часто (но не всегда) изменяется быстро, так как предметы изменяют структуру  и размеры и почти всегда имеют  хорошо очерненные края. Если бы  и  имели частотные составляющие, занимающие отдельные области пространственных частот, то их можно было бы обработать по отдельности в соответствии с рис. 2.

Рис. 2. Каноническая форма устройства обработки изображения, производящего раздельное изменение компонент освещенности и отражательной способности исходного изображения.

Целесообразно предположить, что  содержит главным образом низкие пространственные частоты. Таким образом, возможна только частично независимая обработка. Тем не менее на практике оказалось полезным связать низкие пространственные частоты с , а высокие пространственные частоты — с . При таком предположении линейный фильтр (рис. 3) выбирался так, чтобы он производил умножение низких пространственных частот на  и высоких пространственных частот на .

Рис. 3. Частотная характеристика линейного фильтра (рис. 2) для одновременного сжатия динамического диапазона и усиления контрастности.

При выполнении этой обработки  частотная характеристика фильтра  выбиралась так, чтобы она имела  общий вид, как на рис. 3, и была изотропной с нулевой фазой. Линейная обработка проводилась с применением  методов высокоскоростной свертки, выполняемых в двух измерениях. На рис. 4 приведены два примера изображений, обработанных таким образом для одновременного изменения динамического диапазона и усиления  контрастности.