Методы решения матричных игр

Оглавление

 

1 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ИГР…………………………...3

1.1 Предмет и задачи теории игр... ………………………………………3

1.2 Решение матричной игры в чистых стратегиях………………….......7

1.3 Решение матричной игры в смешанных стратегиях………………..10

1.4 Решение игр графическим методом…………………………………12

1.5 Сведение матричной игры к задаче линейного программирования…………………………………………………………..…...18

1.6 Игры с природой……………………………………………………....21

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ   

Математическая теория игр  является составной частью исследования операций. Она применяется в различных  областях человеческой деятельности, таких как экономика и менеджмент, промышленность и сельское хозяйство, военное дело и строительство, торговля и транспорт, связь и т.д. 
            Зачастую человек осуществляя какую-либо деятельность, сталкивается с проблемой принятия решения в условиях множества факторов, влияющих на само решение. Эффективней всего в подобных случаях пользоваться матричными играми, которые помогают упростить сложившуюся ситуацию и полностью оценить важность каждого фактора. 
Принятие решения в условиях неопределенности – это одна из задач теории оптимальных решений. Для решения подобных вопросов разработаны специальные математические методы, которые рассматриваются в теории игр. 

Первые приложения теория игр нашла в математической статистике. Во время второй мировой войны  и сразу после нее теорией  игр серьезно заинтересовались военные, которые увидели в ней аппарат  для исследования стратегических решений. Ее использовали как плодотворный источник теоретических моделей в экономике и социологии. Методы теории игр используются также в теории операций и в линейном программировании.

Цель: изучение теоретических положений по теории игр и использования их в экономике.

Объект исследования: Теория матричных игр

Предмет исследования: Матричные игры в экономике

Задачи исследования:

• изучить теоретический материал;
• отобрать задачи для практической реализации;
• разработать алгоритмы решения задач;
• программно реализовать отобранные задачи.

 

 

 

1 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ИГР

1.1 Предмет и задачи теории игр

 

В процессе целенаправленной человеческой деятельности возникают  ситуации, в которых интересы отдельных  лиц (участников, групп, сторон) либо прямо  противоположны (антагонистичны), либо, не будучи непримиримыми, все же не совпадают. Простейшими и наиболее наглядными примерами таких ситуаций являются спортивные игры, арбитражные  споры, военные учения (маневры), борьба между блоками избирателей за своих кандидатов, в международных  отношениях – отстаивание интересов своего государства и т.п. Здесь каждый из участников сознательно стремится добиться наилучшего результата за счет другого участника. Подобного рода ситуации встречаются и в различных сферах производственной деятельности.

Все ситуации, когда эффективность  действия одного из участников зависит  от действий других, можно разбить  на два типа: интересы участников совпадают, и они могут договориться о  совместных действиях; интересы участников не совпадают. В этих случаях может  оказаться невыгодным сообщать другим участникам свои решения, так как  кто-нибудь из них сможет воспользоваться знанием чужих решений и получит больший выигрыш за счет других участников. Ситуации такого типа называются конфликтными.

Для указанных ситуаций характерно, что эффективность решений, принимаемых  в ходе конфликта каждой из сторон, существенно зависит от действий другой стороны. При этом ни одна из сторон не может полностью контролировать положение, так как и той и  другой стороне решения приходится принимать в условиях неопределенности. Так, при определении объема выпуска  продукции на одном предприятии  нельзя не учитывать размеров выпуска  аналогичной продукции на других предприятиях. В реальных условиях нередко возникают ситуации, в  которых антагонизм отсутствует, но существуют противоположные тенденции. Например, для нормального функционирования производства, с одной стороны, необходимо наличие запасов разнообразных  ресурсов, но с другой – стремление к чрезвычайному увеличению этих запасов вызывает дополнительные затраты по их содержанию и хранению. В приведенных примерах конфликтные ситуации возникают в результате сознательной деятельности людей. Однако на практике встречаются неопределенности, которые порождаются не сознательным противодействием другой стороны, а недостаточной информированностью об условиях проведения планируемой операции.

Раздел математики, изучающий  конфликтные ситуации на основе их математических моделей, называется теорией игр. Таким образом, теория игр – это математическая теория конфликтных ситуаций, разрабатывающая рекомендации по наиболее рациональному образу действий каждого из участников в ходе конфликтной ситуации, т.е. таких действий, которые обеспечивали бы ему наилучший результат. Игровую схему можно придать многим ситуациям в экономике. Здесь выигрышем могут быть эффективность использования дефицитных ресурсов, производственных фондов, величина прибыли, себестоимость и т.д.

Необходимо подчеркнуть, что методы и рекомендации теории игр разрабатываются применительно  к таким специфическим конфликтным  ситуациям, которые обладают свойством  многократной повторяемости. Если конфликтная  ситуация реализуется однократно или  ограниченное число раз, то рекомендации теории игр теряют смысл.

Чтобы проанализировать конфликтную  ситуацию по ее математической модели, ситуацию необходимо упростить, учтя лишь важнейшие факторы, существенно  влияющие на ход конфликта.

Определение 1. Игрой называется упрощенная математическая модель конфликтной ситуации, отличающаяся от реального конфликта тем, что ведется по определенным правилам.

Игра – это совокупность правил, определяющих возможные действия (чистые стратегии) участников игры. Суть игры в том, что каждый из участников принимает такие решения в развивающейся конфликтной ситуации, которые, как он полагает, могут обеспечить ему наилучший исход. Исход игры – это значение некоторой функции, называемой функцией выигрыша (платежной функцией), которая может задаваться либо аналитически выражением, либо таблично (матрицей). Величина выигрыша зависит от стратегии, применяемой игроком.

Человечество издавна  пользуется такими формализованными моделями конфликтных ситуаций, которые являются играми в буквальном смысле слова. Примерами могут служить шашки, шахматы, карточные игры и т.д. Все эти игры носят характер соревнования, протекающего по известным правилам и заканчивающего "победой" (выигрышем) того или иного игрока.

Такие формально регламентированные, искусственно организованные игры представляют собой наиболее подходящий материал для иллюстрации и усвоения основных понятий теории игр. Терминология, заимствованная из практики таких игр, применяется  и при анализе других конфликтных  ситуаций: стороны, участвующие в  них, условно именуются "игроками", а результат столкновения – "выигрышем" одной из сторон.

Определение 2. Под "правилами игры" подразумевается система условий, регламентирующая возможные варианты действий обеих сторон.

Определение 3. Стратегией игрока называется совокупность правил, однозначно определяющих последовательность действий игрока в каждой конкретной ситуации, складывающейся в процессе игры.

Определение 4. Оптимальной называется стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш.

Основное предположение, исходя из которого находят оптимальные стратегии, состоит в том, что противник, по меньшей мере, так же разумен, как и сам игрок, и делает все для того, чтобы добиться своей цели.

Количество стратегий  у каждого игрока может быть конечным или бесконечным, в зависимости  от этого игры подразделяются на конечные и бесконечные.

Всякая игра состоит из отдельных партий.

Определение 5. Партией называется каждый вариант реализации игры определенным образом.

В свою очередь, в партии игроки совершают конкретные ходы.

Определение 6. Ходом называется выбор и реализация игроком одного из допустимых вариантов поведения.

Ходы бывают личные и случайные. При личном ходе игрок самостоятельно и осознанно выбирает и реализует  ту или иную чистую стратегию. Набор  возможных вариантов при каждом личном ходе регламентирован правилами  игры и зависит от всей совокупности предшествующих ходов обеих сторон. Например, в шахматах каждый ход  является личным. При случайном ходе выбор чистой стратегии производится с использованием какого– либо механизма случайного выбора, например с применением таблицы случайных чисел. Примером могут служить бросание монеты или игральной кости.

Конфликтные ситуации, встречающиеся  в практике, порождают различные  виды игр. Классифицировать игры можно  по разным признакам. Различают, например, игры по количеству игроков. В игре может участвовать любое конечное число игроков.

Определение 7. Если в игре игроки объединяются в две группы, преследующие противоположные цели, то такая игра называется игрой двух лиц (парная игра).

В зависимости от количества стратегий в игре они делятся  на конечные или бесконечные. В зависимости от взаимоотношений участников различают игры бескоалиционные (участники не имеют права заключать соглашения), или некооперативные, и коалиционные, или кооперативные. По характеру выигрышей игры делятся на игры с нулевой суммой и ненулевой суммой.

Определение 8. Игрой с нулевой суммой называется игра, в которой общий капитал игроков не меняется, а лишь перераспределяется в ходе игры, в связи, с чем сумма выигрышей равна нулю (проигрыш принимается как отрицательный выигрыш).

В играх с ненулевой  суммой сумма выигрышей отлична  от нуля. Например, при проведении лотереи  часть взноса участников идет организатору лотереи.

По виду функции выигрыша игры делятся на матричные, биматричные, непрерывные, выпуклые, сепарабельные и др.

Определение 9. Матричной игрой (при двух участниках) называется игра, в которой выигрыши первого игрока (проигрыши второго игрока) задаются матрицей.

В биматричных играх выигрыши каждого игрока задаются своей матрицей. Другие типы таких игр различаются  видом аналитического выражения  платежной функции. По количеству ходов  игры делятся на одноходовые (выигрыш распределяется после одного хода каждого игрока) и многоходовые (выигрыш распределяется после нескольких ходов). Многоходовые игры в свою очередь делятся на позиционные, стохастические, дифференциальные и др. В зависимости от объема имеющейся информации различают игры с полной и неполной информацией.

В реальных конфликтных ситуациях  каждый из игроков сознательно стремится  найти наилучшее для себя поведение, имея общее представление о множестве  допустимых для партнера ответных действий, но, не ведая о том, какое же конкретное решение будет выбрано им в данный момент. В этом проявляется в равной мере неопределенность ситуации для каждого из партнеров.

Определение 10. Игры, в которых участники стремятся добиться для себя наилучшего результата, сознательно выбирая допустимые правилами игры способы действий, называются стратегическими.

Однако в экономической  практике нередко приходится формализовать (моделировать) ситуации, придавая им игровую  схему, в которых один из участников безразличен к результату игры. Такие  игры называют играми с природой, понимая под термином "природа" всю совокупность внешних обстоятельств, в которых сознательному игроку (его называют иногда статистиком, а соответствующую игру – статистической) приходится принимать решение. Например, выбор агрономической службой сельскохозяйственного предприятия участков для посева той или иной культуры в надежде получить в предстоящем году наилучший урожай; определение объема выпуска сезонной продукции в ожидании наиболее выгодного для ее реализации уровня спроса; формирование пакета ценных бумаг в расчете на высокие дивиденды и т.п. Здесь в качестве второго игрока выступает: в первом примере – в буквальном смысле природа; во втором – уровень спроса; в третьем – размеры ожидаемой прибыли.

В играх с природой степень  неопределенности для сознательного  игрока (статистика) возрастает: если в  стратегических играх каждый из участников постоянно ожидает наихудшего для  себя ответного действия партнера, то в статистических играх "природа", будучи индифферентной в отношении  выигрыша инстанцией, может предпринимать  и такие ответные действия (будем  говорить: реализовывать такие состояния), которые ей совершенно невыгодны, а  выгодны сознательному игроку (статистику).

В дальнейшем будут рассматриваться только парные матричные игры с нулевой суммой. Так как в случае конечной игры двух лиц функции выигрыша каждого из игроков удобно представлять в виде матрицы выигрышей, где строки представляют стратегии одного игрока, столбцы – стратегии другого игрока, а в клетках матрицы указываются выигрыши каждого из игроков в каждой из образующихся ситуаций. [9, 16, 17, 40, 46]

1.2 Решение  матричной игры в чистых стратегиях

 

Рассмотрим простейшую математическую модель конечной конфликтной ситуации, в которой имеется два участника  и выигрыш одного равен проигрышу  другого. Такая модель называется антагонистической  игрой двух лиц с нулевой суммой. Игра состоит из двух ходов: игрок А выбирает одну из возможных стратегий А_i, , а игрок В выбирает одну из возможных стратегий В_j, . Каждый выбор производится при полном незнании выбора соперника. В результате выигрыш игроков составит соответственно a_ij и - a_ij. Цель игрока А – максимизировать величину a_ij, а игрока В – минимизировать эту величину.

Определение. Матрица, составленная из величин a_ij, , ,

 

 

называется платежной  матрицей, или матрицей игры. Каждый элемент платежной матрицы a_ij, , равен выигрышу А (проигрышу В), если он выбрал стратегию А_i, , а игрок В выбирал стратегию В_j,

Пример. В игре участвуют первый и второй игроки, каждый из них может записать независимо от другого цифры 1, 2 и 3. Если разность между цифрами, записанная игроками, положительна, то первый игрок выигрывает количество очков, равное разности между цифрами, и, наоборот, если разность отрицательна, то выигрывает второй игрок. Если разность равна нулю, то игра заканчивается вничью.

У первого игрока три стратегии (варианта действия): А₁ (записать 1), А₂ (записать 2), А₃ (записать 3); у второго игрока также три стратегии: В₁, В₂, В₃ (табл.1).

 

Таблица 1

	В1 = 1	В2 = 2	В3 = 3
А1 = 1	0	– 1	– 2
А2 = 2	1	0	– 1
А3 = 3	2	1	0

 

Задача первого игрока –  максимизировать свой выигрыш. Задача второго игрока –  минимизировать свой проигрыш или минимизировать выигрыш  первого игрока. Платежная матрица  имеет вид:

 

.

 

Задача каждого из игроков  –  найти наилучшую стратегию  игры, при этом предполагается, что  противники одинаково разумны, и каждый из них делает все, чтобы получить наибольший доход.

Найдем наилучшую стратегию  первого игрока. Если игрок А выбрал стратегию А_i, , то в худшем случае (например, если его ход известен В) он получит выигрыш:

.

 Предвидя такую возможность, игрок А должен выбрать такую стратегию, чтобы максимизировать свой минимальный выигрыш.

 

.

Определение. Величина a – гарантированный выигрыш игрока А называется нижней ценой игры. Стратегия A_iопт, обеспечивающая получение выигрыша a, называется максиминной.

Если первый игрок будет  придерживаться своей максиминной  стратегии, то у него есть гарантия, что он в любом случае выиграет не меньше a.

Аналогично определяется наилучшая стратегия второго  игрока. Игрок В при выборе стратегии В_j, в худшем случае получит проигрыш . Он выбирает стратегию B_jопт, при которой его проигрыш будет минимальным и составит:

 

.

 

Определение. Величина b – гарантированный проигрыш игрока В называется верхней ценой игры. Стратегия B_jопт, обеспечивающая получение проигрыша b, называется минимаксной.

Если второй игрок будет  придерживаться своей минимаксной  стратегии, то у него есть гарантия, что он в любом случае проиграет  не больше b.

Фактический выигрыш игрока А (проигрыш игрока В) при разумных действиях партнеров ограничен верхней и нижней ценой игры. Для матричной игры справедливо неравенство a £ b.

Определение 4. Если a = b =v, т.е.

 

= ,

то выигрыш  игрока А (проигрыш игрока В) определяется числом v. Оно называется ценой игры.

Определение. Если a = b =v, то такая игра называется игрой с седловой точкой, элемент матрицы а_{iопт jопт} = v, соответствующий паре оптимальных стратегий (A_iопт, B_jопт), называется седловой точкой матрицы. Этот элемент является ценой игры.

Седловой точке соответствуют  оптимальные стратегии игроков. Их совокупность –  решение игры, которое обладает свойством: если один из игроков придерживается оптимальной  стратегии, то второму отклонение от своей оптимальной стратегии  не может быть выгодным.

Определение 6. Если игра имеет седловую точку, то говорят, что она решается в чистых стратегиях.

Найдем решение игры рассмотренного выше примера:

 

a = a_{3 –} нижняя цена игры.

 

b = b_{3 –} верхняя цена игры.

Так как a = b = 0, матрица игры имеет седловую точку.

Оптимальная стратегия первого  игрока –  А₃, второго –  B₃. Из таблицы видно, что отклонение первого игрока от оптимальной стратегии уменьшает его выигрыш, а отклонение второго игрока от В₃ увеличивает его проигрыш.

Наличие седловой точки в  игре –  это далеко не правило, скорее, исключение. Существует разновидность  игр, которые всегда имеют седловую точку и, значит, решаются в чистых стратегиях. Это так называемые игры с полной информацией.

Определение. Игрой с полной информацией называется такая игра, в которой каждый игрок при каждом личном ходе знает всю предысторию ее развития, т.е. результаты всех предыдущих ходов.

Примерами игр с полной информацией могут служить шашки, шахматы, "крестики-нолики" и т.д.

Теорема. Каждая игра с полной информацией имеет седловую точку и, значит, имеет решение в чистых стратегиях.

В каждой игре с полной информацией  существует пара оптимальных стратегий, дающая устойчивый выигрыш, равный цене игры v. Если решение игры известно, сама игра теряет смысл. Например, шахматная игра либо кончается выигрышем белых, либо выигрышем черных, либо ничьей, только чем именно – мы пока неизвестно (к счастью для любителей шахмат). Прибавив еще: вряд ли будет известно в обозримом будущем, так как число стратегий так велико, что крайне трудно привести шахматную игру к матричной форме и найти в ней седловую точку.

1.3 Решение матричной игры в смешанных  стратегиях

 

Если платежная матрица не имеет седловой точки, т.е. a <b и , то поиск решения игры приводит к применению сложной стратегии, состоящей в случайном применении двух и более стратегий с определенными частотами.

Определение. Сложная стратегия, состоящая в случайном применении всех стратегий с определенными частотами, называется смешанной.

В игре, матрица которой имеет размерность m ´ n, стратегии первого игрока задаются наборами вероятностей (x₁, x₂,..., x_m), с которыми игрок применяет свои чистые стратегии. Эти наборы можно рассмотреть как m– мерные векторы, для координат которых выполняются условия:

, x_i ³ 0, .

 

Аналогично для второго  игрока наборы вероятностей определяют n– мерные векторы (y₁, y₂,..., y_n), для координат которых выполняются условия:

 

= 1, y_j ³ 0, .

 

Выигрыш первого игрока при  использовании смешанных стратегий  определяют как математическое ожидание выигрыша, т.е. он равен

 

.

 

Теорема. (Неймана. Основная теорема теории игр) Каждая конечная игра имеет, по крайней мере, одно решение, возможно, в области смешанных стратегий. Применение оптимальной стратегии позволяет получить выигрыш, равный цене игры: a £ v £ b. Применение первым игроком оптимальной стратегии _опт должно обеспечить ему при любых действиях второго игрока выигрыш не меньше цены игры. Поэтому выполняется соотношение

 

, .

 

Аналогично для второго  игрока оптимальная стратегия  _опт должна обеспечить при любых стратегиях первого игрока проигрыш, не превышающий цену игры, т.е. справедливо соотношение

 

, .

 

Если платежная матрица не содержит седловой точки, то задача определения смешанной стратегии тем сложнее, чем больше размерность матрицы. Поэтому матрицы большой размерности целесообразно упростить, уменьшив их размерность путем вычеркивания дублирующих (одинаковых) и не доминирующих стратегий.

Определение. Дублирующими называются стратегии, у которых соответствующие элементы платежной матрицы одинаковы.

Определение. Если все элементы i– й строки платежной матрицы больше соответствующих элементов k– й строки, то i– я стратегия игрока А называется доминирующей над k– й стратегией. Если все элементы j– го столбца платежной матрицы меньше соответствующих элементов k– го столбца, то j– я стратегия игрока В называется доминирующей над k– й стратегией.

Пример. Рассмотрим игру, представленную платежной матрицей

 

.

a = max (2, 2, 3,2) = 3, b = min (7, 6, 6, 4,5) = 4, a ¹ b, .

 

Все элементы стратегии А₂ меньше элементов стратегии А₃, т.е. А₂ заведомо невыгодна для первого игрока и ее можно исключить. Все элементы А₄ меньше А₃, исключаем А₄.

 

.

 

Для второго игрока: сравнивая В₁ и В₄, исключаем В₁; сравнивая В₂ и В₄, исключаем В₂; сравнивая В₃ и В₄, исключаем В₃. В результате преобразований получим матрицу

 

.

a = max (2,3) = 3, b = min (4,5) = 4, a ¹ b, .

 

 

 

 

1.4 Решение игр графическим методом

 

Графический метод применим к играм, в которых хотя бы один игрок имеет только две стратегии.

Первый случай. Рассмотрим игру (2 ´ 2) с матрицей

 

 

без седловой точки. Решением игры являются смешанные стратегии игроков (x₁, x₂) и (y₁, y₂), где x₁ – вероятность применения первым игроком первой стратегии, x₂ – вероятность применения первым игроком второй стратегии, y₁ – вероятность применения вторым игроком первой стратегии, y₂ – вероятность применения вторым игроком второй стратегии. Очевидно, что

 

x₁ + x₂ = 1, y₁ + y₂ = 1.

 

Найдем решение игры графическим  методом. На оси ОX отложим отрезок, длина которого равна единице. Левый конец (x = 0) соответствует стратегии первого игрока А₁, правый (x = 1) – стратегии А₂. Внутренние точки отрезка будут соответствовать смешанным стратегиям (x₁, x₂) первого игрока, где x₁ =1 – x₂. Через концы отрезка проведем прямые, перпендикулярные оси ОX, на которых будем откладывать выигрыш при соответствующих чистых стратегиях. Если игрок В применяет стратегию В₁, то выигрыш при использовании первым игроком стратегий А₁ и А₂ составит соответственно а₁₁ и а₂₁. Отложим эти точки на прямых и соединим их отрезком В₁В₁. Если игрок А применяет смешанную стратегию, то выигрышу соответствует некоторая точка М, лежащая на этом отрезке (см. рис.1).

 

                                                              В1     а21

 

                               М

 

                     В1

             а11

          

                                              х2                        х11                         Х

Рисунок 1. Графическое описание задачи

 

Аналогично строится отрезок В₂В₂, соответствующий стратегии В₂ игрока В.

Определение. Ломаная линия, составленная из частей отрезков, интерпретирующих стратегии игрока В, расположенная ниже всех отрезков, называется нижней границей выигрыша, получаемого игроком А.

Определение. Стратегии, части которых образуют нижнюю границу выигрыша, называются активными стратегиями.

В игре (2 ´ 2) обе стратегии являются активными.

 

 

 

                                                                   В1 а21

                       В2

                 а12                  К

                                                                   В2 а22

                       В1

                а11                                 v

 

 

               О      х2        N       х1            1            Х

Рисунок 2. Графическое описание задачи

 

Ломаная В₁КВ₂ является нижней границей выигрыша, получаемого игроком А. (см. рис.2) Точка К, в которой он максимален, определяет цену игры и ее решение. Найдем оптимальную стратегию первого игрока. Запишем систему уравнений:

 

 

Приравнивая выражения для v из уравнений системы и учитывая, что

 

x₁ + x₂ = 1,

 

получим

 

, ,                          (1)

 

.                                           (2)

 

Составляя аналогичную систему

 

 

и учитывая условие:

 

y₁ + y₂ = 1,

можно найти оптимальную  стратегию игрока В:

.                                          (3)

 

Пример. Найти решение игры, заданной матрицей

 

.