Методы решения задач теории упругости

     Большинство задач теории упругости сводится к дифференциальным уравнениям с  заданными граничными условиями. Точного  решения многих важных для практики задач до сих пор не получено, так как интегрирование дифференциальных уравнений, к которым они приводятся, представляет собой большие математические трудности. Поэтому важное значение приобрели вариационные методы, позволяющие эффективно получать приближенное решение дифференциальных уравнений с точностью, достаточной для инженерных расчетов.

     Сущность  вариационных методов заключается в том, что функцию, удовлетворяющую дифференциальному уравнению при заданных граничных условиях, заменяют приближенным аналитическим выражением, подбираемым так, чтобы оно наилучшим образом аппроксимировало эту функцию.

     В теории изгиба пластинок такой подход позволяет свести интегрирование основного дифференциального уравнения в частных производных к решению системы линейных алгебраических уравнений или  к решению обыкновенного дифференциального уравнения.

     Для приведения основного дифференциального уравнения изгиба пластинки (5.16) к системе линейных алгебраических уравнений приближенное значение функции прогибов можно выбирать в виде ряда с конечным числом членов:

где — линейно независимые функции, удовлетворяющие граничным условиям задачи; — постоянные параметры, подлежащие определению.

     В зависимости от числа членов ряда (6.1) решение может быть получено с любой степенью точности. Параметры  выбирают так, чтобы ряд по возможности точнее представлял искомую функцию .

     Из  различных вариационных методов  рассмотрим два: метод Ритца—Тимошенко и метод Бубнова—Галеркина.  

     6.2 Метод Ритца —  Тимошенко

     Метод Ритца—Тимошенко основан на использовании  известного из курса теоретической  механики принципа возможных перемещений: для равновесия системы, подчиненной  идеальным удерживающим связям, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех приложенных к ней сил на всяком возможном перемещении равнялась нулю.

     Рассматривая  отдельно действие внешних и внутренних сил, принцип возможных перемещений  можно представить следующим  образом:

где — работа внешних сил (объемных и поверхностных) на каком-либо возможном перемещении; — работа внутренних сил, представляющая собой приращение потенциальной энергии на том же возможном перемещении с обратным знаком.

     Пусть тело находится в равновесии под  действием объемных сил, составляющие которых X, Y, Z, и поверхностных сил, составляющие которых , , . Обозначим составляющие возможных перемещений , , и подсчитаем работу внешних сил на этих перемещениях. Элементарная работа составляющей объемных сил X, приходящейся на единицу объема, равна произведению этой силы на объем бесконечно малого элемента и на возможное перемещение по ее направлению: .

     Точно так же элементарные работы составляющих объемных сил Y и Z равны соответственно , .

     Работа, производимая объемными силами во всем объеме тела V равна интегралу по этому объему от суммы элементарных работ, coвершаемых каждой из составляющих:

     Элементарная  работа составляющей поверхностных  сил  , которая действует на бесконечно малый элемент поверхности , равна произведению этой составляющей на площадь и на возможное перемещение в направлении составляющей: .

     Аналогично  определяются и элементарные работы двух других coставляющих поверхностных сил: , .

     Работа, производимая поверхностными силами, действующими по всей поверхности тела s, равна интегралу по этой поверхности от суммы элементарных работ, совершаемых каждой из составляющих поверхностных сил:

     Таким образом, работа всех внешних сил  на возможных перемещениях равна  сумме работ объемных (б) и поверхностных (в) сил:

           При вычислении возможной  работы внешних сил варьировались  только перемещения  , и , а объемные и поверхностные силы оставались постоянными, поэтому оператор в формуле (г) можно вынести за знаки интегралов и за скобки:

     Приращение  потенциальной энергии  подсчитывается согласно интегралу (3.20):

где W — удельная потенциальная энергия.

     Полагая в формуле (а) оператор общим для обоих слагаемых, получаем

     Выражение, стоящее в скобках, представляет собой работу всех внешних и внутренних сил, приложенных к телу. Эта разность с противоположным знаком является потенциальной энергией системы внешних и внутренних сил, действующих на упругое тело:

     Вводя это обозначение в условие (ж), получаем

     Приращение функции с точностью до бесконечно малых величин высшего порядка равно ее первому дифференциалу, поэтому вместо условия (з) можно написать

а это  означает, что потенциальная энергия  системы имеет экстремальное  значение.

     В курсе теоретической механики доказывается теорема Лагранжа—Дирихле, на основании которой можно сформулировать следующий принцип минимума потенциальной энергии: из всех мыслимых перемещений упругого тела перемещения, удовлетворяющие условиям устойчивого равновесия, сообщают потенциальной энергии системы минимальное значение.

     Таким образом, потенциальная энергия  системы (6.2)

где потенциальная  энергия, накапливаемая в упругом  теле, определяется по формуле (1.21), а работа объемных и поверхностных сил согласно формуле (д) составляет

     При изгибе пластинки объемными силами пренебрегают, а из составляющих поверхностных сил отлична от нуля только одна: . Подставляя это значение в формулу (и) и принимая элемент поверхности  в виде прямоугольника со сторонами и , получаем выражение работы внешних сил при изгибе пластинки:

     Если  приближенное значение функции прогибов выбирать в виде ряда (6.1), то после подстановки этого значения в формулу (6.3) потенциальная энергия системы окажется функцией параметров :

     Определим вид этой функции. Подставив функцию  прогибов (6.1) в формулы (2.5) и (2.6), можно  убедиться, что составляющие деформации и напряжений являются линейными функциями параметров . Подставляя составляющие деформации и напряжений в формулу (1.21), убеждаемся, что потенциальная энергия является квадратичной функцией этих параметров. Подставляя функцию прогибов (6.1) в формулу (6.4), можно убедиться, что работа внешних сил в пластинке является линейной функцией параметров . После подстановки выражений и в формулу (6.3) убеждаемся, потенциальная энергия системы является квадратичной функцией этих параметров.

     Чтобы найти значения параметров , соответствующие минимуму потенциальной энергии системы, нужно приравнять нулю части производные:

     Производная квадратичной функции параметров оказывается  линейной функцией этих параметров, поэтому  условие (6.5) представляет собой систему линейных уравнений относительно параметров .

     Таким образом, метод Ритца—Тимошенко  позволяет заменить задачу о нахождении решения дифференциального уравнения  изгиба пластинки (3.16) задачей о нахождении минимума потенциальной энергии. Такая  замена возможна в связи с тем, что и указанное дифференциальное уравнение и вариационное уравнение (з) являются уравнениями равновесия упругого тела. Покажем, что последнее включает в себя дифференциальные уравнения равновесия и условия на поверхности. Рассматривая уравнение (з) в форме

внесем  в него выражения потенциальной  энергии (1.20) и (1.16), возможную работу всех внешних сил (г) и учтем, что

     В результате получим

     Обратимся в уравнении (л) к первому из тройных  интегралов и произведем интегрирование по переменной x. Интегрируя по частям, находим

     Первый  интеграл в правой части равенства (м) является поверхностным интегралом второго типа. Его можно преобразовать  в поверхностный интеграл первого  типа по известной из курса математического  анализа формуле

Здесь функции  должны быть непрерывными вместе с первыми частными производными внутри объема ограниченного поверхностью s; l, m, n — направляющие косинусы нормали к этой поверхности.

     Используя преобразование (н), вместо формулы (м) получаем

     Аналогично  преобразуются и остальные восемь первых тройных интегралов в уравнении (л). После преобразования и группировки  по составляющим возможных перемещений  вместо уравнения (л) получаем

     В записанном уравнении возможные  перемещения  , , между собой не связаны, поэтому, чтобы оно обращалось в тождество при любых значениях возможных перемещений, должны обращаться в нуль коэффициенты при возможных перемещениях, стоящие в скобках. Следовательно, получаем шесть уравнений: три первых уравнения представляют собой условия на поверхности (2.2), а три других — дифференциальные уравнения равновесия (2.1). Таким образом, вариационное уравнение (к) заключает в себе дифференциальные уравнения равновесия и статические граничные условия. Отсюда следует, что при использовании этого уравнения для приближенного решения задач выбранная функция обязательно должна удовлетворять только геометрическим граничным условиям. Статические граничные условия и основное дифференциальное уравнение задачи удовлетворяются автоматически.

     Итак, решение задачи об изгибе пластинки  методом Ритца—Тимошенко состоит  в следующем. Принимаем приближенное значение функции прогибов в форме двойного ряда

причем  функции  должны удовлетворять геометрическим граничным условиям. Вычисляем приближенное значение потенциальной энергии в пластинке , для чего ниже получена формула (6.11). По формуле (6.4) вычисляем работу внешних сил , а по формуле (6.3) — потенциальную энергию системы . Для определения параметров используем систему уравнений (6.5). Найденные параметры подставляем в функцию прогибов (о) и получаем искомое приближенное решение.

     Следует заметить, что, хотя удовлетворение статических  граничных условий в методе Ритца—Тимошенко  не обязательно, функции  лучше по возможности выбирать так, чтобы они удовлетворяли всем граничным условиям — геометрическим и статическим. В этом случае ряд быстрее сходится к точному решению и при вычислениях бывает достаточно ограничиться одним-двумя членами ряда.

     Метод Бубнова — Галеркина основан на свойстве ортогональности функций. В курсе математического анализа дается следующее определение ортогональных функций: если имеется семейство непрерывных функций

      (а)

и интеграл произведения любых двух различных  функций этого семейства в  промежутке равен нулю:

то функции (а) образуют в этом промежутке ортогональную систему. Например, семейство тригонометрических функций

является  ортогональной системой в промежутке

     Действительно,

причем, эти интегралы исчерпывают всевозможные варианты комбинирования двух различных  функций семейства (б).

     На  основании леммы из курса математического  анализа следует: если одна из функций  тождественно равна нулю, например , то она ортогональна ко всем без исключения функциям, так как в этом случае выполняется условие (6.6). В качестве примера можно привести функцию

представляющую  собой левую часть дифференциального  уравнения изогнутой оси балки. Эта функция тождественно равна нулю при любых значениях x, и, следовательно,

Здесь интеграл берется по всей длине балки  L, и поэтому функция (г) ортогональна в промежутке к любой функции.

     Если  функцию прогибов  заменить ее приближенным выражением в форме ряда

то функция (г) уже не будет тождественно равна  нулю, а значит, и не будет ортогональна в указанном промежутке к любой  функции. Можно, однако, потребовать, чтобы она была ортогональна хотя бы к ограниченному классу функций, например функций , составляющих ряд (д), т. е. чтобы

     В результате получим n линейных уравнений для определения n постоянных коэффициентов , входящих в ряд (д).

     На  использовании системы уравнений (е) для определения значений параметров и основан метод Бубнова—Галеркина. Все рассуждения, приведенные для функции одного аргумента, можно применить и к функциям двух аргументов и более. Для решения задачи об изгибе пластинок уравнения Бубнова—Галеркина (е) можно представить в виде

где вместо линейного промежутка рассматривается плоская область s, ограниченная контуром пластинки, а функция выражается следующим двойным рядом по области s:

     Таким образом, приближенная функция в  уравнениях (6.7), представляющая собой  левую часть дифференциального  уравнения изогнутой срединной поверхности пластинки (5.16), ортогональна в области s ко всем функциям ряда (ж), входящим в эту приближенную функцию.

     Методу Бубнова—Галеркина можно дать и другое, толкование. Функция представляет собой проекцию на ось z всех внешних и внутренних сил, действующих на бесконечно малый элемент пластинки. Функция прогибов есть перемещение в направлении той же оси. Значит, функции тоже являются перемещениями в направлении оси z и их можно считать возможными перемещениями. Следовательно, уравнения Бубнова—Галеркнна (6.7) приближенно выражают равенство нулю работы всех внешних и внутренних сил в пластинке на возможных перемещениях .

     Таким образом, метод Бубнова—Галеркина, как и метод Ритца—Тимошенко, исходит из принципа возможных перемещений, оба метода равноправны. В обоих случаях аппроксимирующую функцию необходимо выбирать так, чтобы она удовлетворяла геометрическим граничным условиям. Выполнение статических условий не обязательно.