Моделирование гемодинамики системы кровообращения

     Введение 

     В последнее время в биологии и  медицине ярко выразилась тенденция  к применению точных математических методов и средств вычислительной техники для исследования процессов, происходящих в организме человека и, в частности, в его основной физиологической системе - системе  кровообращения (СК).

     Модели  СК обычно делят на две основные группы:

     - модели гемодинамики сердечно-сосудистой системы;

     - модели регуляции сердечного выброса.

     Модели  гемодинамики отражают процессы в отдельных  участках (например, в крупных сосудах) СК. Они строятся, как правило, на основе прямой аналогии с электрическими цепями, либо косвенной аналогии при  решении уравнений модели с использованием ЭВМ. К моделям 1-ой группы можно отнести, например, модели Шумакова с соавт., Дефареса.

      
   Модели регуляции сердечного  выброса рассматривают основные  свойства и характеристики сердца  как насоса, сосудистой системы и контуров управления. Эти модели описываются, как правило, системами уравнений с сосредоточенными параметрами. Модели 2-ой группы можно разбить на разомкнутые и замкнутые. К разомкнутым моделям можно отнести модели Амосова с соавт., Григоряна. Наибольший интерес среди замкнутых моделей представляют модели Топам и Уорнера, Пикеринга с соавт., Гродинза с соавт., Джейнса.и Карсона, Палеца, Бенекена, Меллера, Гайтона, а также модели Шумакова с соавт. применительно к задачам искусственного и вспомогательного кровообращения.

     С помощью моделирования велись многочисленные исследования реакции сердечно-сосудистой системы на физическую нагрузку. Модели СК использовались при изучении различных  патологических состояний, таких, как  сердечная недостаточность, гипоксия, гипертоническая болезнь, блокада  барорецепторов, изменение объема циркулирующей  крови в СК и т.п.     Известны модели малого круга кровообращения (Палец и Бушная, Хьюмен). Математическая модель шестикамерного сердца предназначена для исследования динамики взаимодействия камер сердца, включая ушки предсердия.

     Большие модели общей, регуляции СК, представляют собой сложную структуру взаимодействующих  и пересекающихся контуров, которые  моделируют уровни организации, начиная  от низших и до высших (нервных).

     Известен  ряд работ, в которых для изучения регуляции кровообращения используются методы теории автоматического управления. В этих моделях, как правило, управляемой  переменной является артериальное или  систолическое давление либо минутный объём крови. 
  

     Модели  СК успешно применяются для определения (идентификации) параметров системы  по измерениям входа и выхода. В настоящей работе рассматривается класс моделей регуляции сердечного выброса. Основой для их разработки служит модель, предложенная академиком АМН Шумаковым В.И. и д.м.н., профессором Иткиным Г. П. Главной особенностью данного класса моделей является то, что они позволяют изучать (моделировать) колебательные (в частности, периодические) процессы в СК, в отличие от моделей усредненных характеристик. Эти модели являются самонастраивающимися (гомеостатическими), что отражает важнейшие свойства СК. 

1. Объект  моделирования

     Любой объект является системой и состоит  из элементов, а каждый элемент предназначен для решения соответствующих  подцелей (подзадач). У системы есть общая определённая цель, а любой  из её элементов сам является системой (подсистемой данной системы), имеющей  собственную цель (подцель) и собственный  результат действия. Когда мы говорим  «общую определённую цель», мы имеем  ввиду не цели элементов системы, а ту генеральную цель, которая  достигается путем их взаимодействия. У системы есть цель, которой нет  у каждого её элемента в отдельности. Но генеральная цель системы дробится на подцели и эти подцели уже  являются целями её элементов.  

     Система кровообращения состоит из крови, сосудов  и желудочков сердца, выполняющих  функцию насосов. Её цель – перенос  кислорода от лёгких до тканей организма. Гемоглобин крови может захватывать  кислород, но не может сам двигаться  из лёгких в ткани. Желудочки сердца могут передвигать кровь, но не могут  захватывать кислород. Сосуды могут  распределять кровь по тканям, но не могут её передвигать и захватывать  кислород. Следовательно, каждый из этих элементов не может доставлять кислород из лёгких в ткани, но это может  делать результат их взаимодействия.

     Объект  моделирования упрощенно представляется в виде кольцевой системы резервуаров: левый желудочек сердца (HL), артериальный резервуар большого круга кровообращения (AL), капиллярно-венозный резервуар  большого круга (VL), правый желудочек  сердца (HR), артериальный резервуар  малого круга (AR), капиллярно-венозный резервуар малого круга (VR). Система  клапанов аортального, трехстворчатого, легочной артерии и митрального  обеспечивают однонаправленное движение тока крови по этой кольцевой системе резервуаров.

     Схема в значительной степени упрощена, особенно в части представления  сосудистого русла, поскольку не детализирует описания процессов кровообращения в его многочисленных мелких разветвлениях. 
 

2. Математическая  модель

     Рассматривается модель системы кровообращения, основой  для разработки которой служит класс  моделей, предложенный профессором Ю. В. Солодянниковым . Главной особенностью данного класса является то, что эти модели позволяют изучать (моделировать) колебательные (в частности периодические) процессы в моделируемом объекте. Рассматривается математическая модель системы кровообращения, особенностью которой является неусреднённость по сердечному циклу и возможность моделирования в реальном времени нелинейных колебательных процессов 

1.   Схема модели, контуры управления

     Объект  моделирования представляется в  виде кольцевой системы резервуаров: левый желудочек сердца (HL), артериальный резервуар большого круга кровообращения (AL), капиллярно-венозный резервуар  большого круга (VL), правый желудочек  сердца (HR), артериальный резервуар  малого круга (AR), капиллярно-венозный резервуар малого круга (VR). Система  клапанов аортального, трехстворчатого, легочной артерии и митрального  обеспечивают однонаправленное движение тока крови по этой кольцевой системе  резервуаров.     Гидравлическая схема модели

     AV - аортальный клапан

     MV - митральный клапан

     PV - клапан легочной артерии

     TV - трехстворчатый клапан

     Резервуары HL, AL, VL составляют большой круг кровообращения, а HR, AR, VR - малый круг.

     Числовые  параметры, описывающие резервуары, не являются константами, они изменяются под действием управляющих сигналов, которые в свою очередь формируются  в результате измерения функций  вектора состояния системы. Таким  образом, имеем объект, управляемый  по принципу контуров обратной связи.

     В модели выделено два основных контура  управления.

     Контур  управления ударным  выбросом желудочков. Реализует принцип регуляции сердечного выброса в соответствии с известным законом Франка-Старлинга. Управлениями в контуре являются величины систолического давления в желудочках.

     Приводимая ниже система соотношений (1) - (8) составляет основу математической модели системы кровообращения. Эти соотношения представляют собой оригинальную формализацию закона сердца Франка-Старлинга и описывают сердце как нелинейную колебательную систему.

     Рассматривается математическая модель сердца, как  насоса. Важнейшими характеристиками этого насоса являются: величины Pi систолического давления в желудочках, длительность сердечного цикла T и ударные объемы желудочков vi.

     Обозначим {τn}, n = 0,1,... - последовательность моментов начала сердечного цикла (началом сердечного цикла считаем момент начала систолы  желудочков), Tn = τn - τn-1 - последовательность длительностей сердечного цикла.

     Запишем соотношения для закона сердца Франка-Старлинга , выражающие зависимость ударного выброса желудочка vi от его наполнения в момент начала цикла сжатия сердца (конечно-диастолического объема) Wi:  

         (1)

     где величины ki носят название инотропных коэффициентов желудочков, колоколовидная функция   (1.1)

     где параметры Ni, ui, α, β1, β2 играют роль констант аппроксимации и подбираются  экспериментально.

     Соотношения, аналогичные (1) , записанные отдельно для  левого и правого желудочка, приведены  в работах Амосова Н. М. с соавторами. Уравнения для ударного объема (1) используются в модели для определения условий перехода "систола-диастола" (1-2-переход). Поскольку ударный объем желудочка определяется как разность между конечно-диастолическим и конечно-систолическим объемом, конечно-систолический объем желудочка win из (1) определится как   (2)

     откуда  условия 1-2-перехода в n-м цикле определяются соотношениями  (3)

     Длительность  сердечного цикла в модели СК определяется как величина, обратно пропорциональная величине нервно-гуморального фактора  γ в момент окончания предыдущего  сердечного цикла   (4)

     Соотношение (4) используется для определения условий перехода "диастола-систола" (2-1-переход)  (5)

     Необходимая величина ударного объема желудочков обеспечивается управлением величиной  среднего систолического давления Pi в  желудочках. Управление строится по принципу отрицательной обратной связи по рассогласованию между фактической  и номинальной длительностью  систолы. Номинальная длительность систолы желудочка θin в работе определяется через инотропный коэффициент  желудочка ki по формуле  (6)

     где a, b – эмпирические константы аппроксимации.

     Фактическая длительность систолы σin определяется моментом достижения объемом желудочка  значения конечно-систолического объема win согласно (3). Рассогласование между фактической и номинальной длительности желудочка в n-м цикле  (7)

     В модели величина Pin+1 среднего систолического давления в желудочке в n+1-м цикле  определяется через величину Pin среднего систолического давления в n-м цикле  рекурсивным соотношением    (8)

     Уравнение (8) утверждает, что среднее систолическое давление в желудочке постоянно в течение очередной систолы. При переходе к следующему сердечному циклу оно пересчитывается согласно (8).  

     Контур  нервно-гуморального управления. Реализует многообразные взаимозависимости состояний системы кровообращения, опосредованные через нервную и гормональную подсистемы организма. Управлениям в контуре являются величина нервно-гуморального фактора, являющегося численным выражением суммарного управляющего воздействия нервных и гормональных механизмов.

     В основу математической модели формирования нервно-гуморального фактора положена гипотеза сердечного центра как системы  управления, формирующей выходную величину нервно-гуморального фактора на основе сигналов рецепторов. Рецепторы реагируют  на величину разнообразных внутренних факторов организма и внешних  воздействий и передают сигналы  в сердечный центр. Системы подобного  рода изучаются в теории нейронных сетей.  

2.   Классификация математической модели

     В общем виде модель рассматриваемого класса представляется динамической системой   (1)

     где

     i= 1,…,n ( n – порядок системы),

     j = 1,…,l (l– число различных описаний  системы),

     A = (A1,…,Ar) – вектор параметров размерности  r,

     некоторые нелинейные функции Xij описывают моделируемый объект в различных фазах сердечного цикла. Переход от описания p–й системой к описанию q–й системой

     уравнений (1) происходит при выполнении условий p-q перехода  (2)

     В момент перехода tpq значения новых переменных состояния выражаются через значения старых переменных состояния согласно уравнениям скользящих движений    (3)

     Динамическая  система, описываемая (1) - (3) является неавтономной, поскольку в условия перехода (2) явно входит время t. Наличие p-q переходов  означает, что объект моделирования  в различных фазах сердечного цикла (систола, диастола) описывается, вообще говоря, различными системами  обыкновенных дифференциальных уравнений. 

3.   Модель кислородного обмена

     В основе модели кислородного обмена лежит концепция кислородного долга. С достаточной степенью условности величину кислородного долга DO2 можно охарактеризовать как меру концентрации молочной кислоты и других недоокисленных продуктов обмена веществ в тканях организма. Можно еще называть эту величину фактором усталости.

     Входными  параметрами модели кислородного обмена являются величина SpO2 сатурации артериальной крови, характеризующая эффективность  деятельности легких, величина He концентрации гемоглобина в крови и величина RO2 потребления кислорода тканями  организма (фактор нагрузки). Величина AO2 концентрации кислорода в артериальной крови пропорциональна сатурации  артериальной крови и концентрации гемоглобина в крови

             (1)

     где коэффициент пропорциональности СH имеет смысл кислородной емкости  гемоглобина крови.

     Величина gO2 доставки кислорода тканям пропорциональна  кровотоку через ткани и разности концентраций кислорода в артериальной и венозной крови (артерио - венозной разнице по кислороду)

            (2)

     где кровоток через ткани Q = Fij , i = AL, j = VL;

     VO2 – концентрация кислорода в  венозной крови.  (3)

     Скорость  изменения кислородного долга пропорциональна  разности между потреблением и доставкой  кислорода:   (4)

     где A1 , A2 – числовые параметры, определяемые эмпирическим путем, DO2 - кислородный  долг, характеризующий накопленную  величину неудовлетворенной потребности  организма в кислороде. 
 

3. Модель  сосудистого русла 

     Объект  моделирования представляет собой  систему резервуаров, последовательно  связанных между собой в кольцевую  систему: левый желудочек сердца (HL), артериальный резервуар большого круга кровообращения (AL), капиллярно-венозный резервуар большого круга (VL), правый желудочек сердца (HR), артериальный резервуар малого круга (AR), капиллярно-венозный резервуар малого круга (VR). Система  клапанов аортального, трехстворчатого, легочной артерии и митрального  обеспечивают однонаправленное движение тока крови по кольцевой системе  резервуаров.

     Давление  крови Pi в i-м участке сосудистого  русла описывается следующей  зависимостью от объема крови Vi в этом участке:  (1)

     В формуле (1) , объёмная упругость Gi описывает свойства жесткости сосудистой стенки, ωi - ненапряженный объём участка сосудистого русла. Величины объёмной упругости и ненапряженного объёма характеризуют тонус сосудов и сами нелинейно зависят от вектора x состояния и вектора A параметров динамической системы: (2)

     Скорость  изменения объема крови Vi в i - м участке  сосудистого русла определяется разностью входящего и выходящего кровотоков, т. е. имеет место дифференциальное уравнение:    (3)

     где Fki – величина входного кровотока, Fij – величина выходного кровотока, k - индекс резервуара "вверх по течению", j - индекс резервуара "вниз по течению".

     Величина  тока крови Fij на участке между i-м  и j-м резервуарами определяется разностью давлений в этих резервуарах: (4)

     Величины  проводимости Yij соответствующих участков сосудистого русла описываются  в общем случае нелинейными зависимостями  от вектора x состояния и вектора A параметров вида:

       (5) 

     3.1. Модель желудочков

     Рассматривается модель заполнения желудочков в фазе диастолы и их опорожнение в систолу. Дифференциальные уравнения для  объема крови в желудочке определяются формулой (3) из пункта 3 

     где Fki - кровоток через входной клапан, Fij - кровоток через выходной клапан. Для левого желудочка (i = HL) k = VR (легочная вена), j = AL (аорта), входной клапан - митральный, выходной клапан - аортальный. Для правого  желудочка (i = HR) k = VL (полые вены), j = AR (легочная артерия), входной клапан - трехстворчатый, выходной клапан - легочной артерии.

     Кровоток  через выходной клапан определяется разницей между давлением в желудочке Pi и давлением в артерии Pj :   (1)

     Вторая  часть формулы (1) описывает процесс обратного тока крови через выходной клапан в фазе диастолы в случае наличия дефекта запирающего элемента клапана (порок клапана). В случае наличия порока 0<rij<1, в норме rij=0.

     Кровоток  через входной клапан определяется разницей между давлением в вене Pk и давлением в желудочке Pi:   (2)

     Вторая  часть формулы (2) описывает процесс обратного тока крови через входной клапан в фазе систолы в случае наличия дефекта запирающего элемента клапана (порок клапана). В случае наличия порока 0<rki<1, в норме rki=0.

     Систолическое давление в желудочке определяется в соответствии с (19). Модель желудочков завершается описанием их заполнения в диастолу. Диастолическое давление в желудочке представляется в  виде частичной суммы ряда Тейлора  разложения функции переменной Vi объема крови в желудочке:     (3)

     где ωi - ненапряженный объем желудочка.

     При построении реальной модели функция (3) подбирается таким образом, чтобы работа сердца в целом отражала основные закономерности саморегуляции и обеспечивала подобие кривых внутрижелудочкового давления. 

     В заключение следует отметить, что  исследование системы кровообращения на основе ее модели в рамках системного анализа играет важную роль в первую очередь с точки зрения расчета  методик работы с заболеваниями  ССС и их профилактики.