Моделирование и модели

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального  образования

«Казанский  национальный исследовательский технологический  университет»

(ФГБОУ ВПО «КНИТУ»)

Кафедра химической кибернетики

Реферат

Моделирование и модели

Выполнил:

магистр гр. №612-М1

Кореева Н.А.

Проверила:

Понкратова С.А.

Казань, 2013

Содержание

Введение                                                                                                                                           3

1 Модели и моделирование                                                                                                        3

2 Система                                                                                                                                         5

3 Внешние связи системы                                                                            7

4 Классификации входов системы                                                              8

5 Условия моделирования                                                                          10

Заключение                                                                                                                                   14

Список использованных источников                                                                                   15

Введение

Моделирование — один из важнейших методов, широко применяемых в современной науке, в первую очередь в ее прикладных областях. Моделирование позволяет ускорить технический прогресс, существенно сократить сроки освоения новых производств. В эпоху научно-технической революции особенно бурно развивается одно из новых направлений — математическое моделирование. Его развитие теснейшим образом связано с развитием информатики и вычислительной техники.

1 Моделирование и модели

Моделирование — один из важнейших методов почти любой науки. Суть его заключается в следующем. Мы хотим исследовать поведение какого-либо объекта (оригинала) в тех или иных условиях. Но вместо оригинала исследуем поведение другого объекта — модели, а затем распространяем выводы такого исследования на оригинал — заключаем, как будет вести себя он.

 Прежде чем строить  и запускать в воздух самолет,  конструкторы подвешивают в аэродинамической трубе модель самолета и обдувают ее струей воздуха. Здесь моделью является не только малая геометрическая копия, подобная будущему оригиналу, но и воздух, движение которого моделирует движение самолета в атмосфере (поскольку движение относительно, то безразлично, летит ли аппарат в воздухе или воздух обтекает его).

В модели — некоторые материальные объекты, поведение которых «похоже» на поведение оригинала (аналогично ему). Необходимо только знать правило, по которому результаты эксперимента с моделью можно пересчитать на параметры, характеризующие оригинал (правило традукции). Такие модели обычно называют материальными. Но есть еще один класс моделей. Мы можем составить в уме схему (описание) нашего оригинала и затем, производя с этим описанием какие-либо преобразования, прийти к выводам, допускающим традукцию на оригинал. В таких случаях говорят о мысленных моделях. Здесь важнейший для практики вариант — тот, в котором описание дается на языке математики (математическая модель). В этом смысле любое математическое описание какого-либо процесса является его математической моделью. Чаще всего такая модель представляет собой уравнение или систему уравнений.

В наше время важнее всего  использовать моделирование в тех  случаях, когда математические модели сложны и их исследование (решение систем уравнений) производится с помощью компьютеров. Существенная особенность: компьютер, решающий уравнения математической модели, ведет себя как материальная модель. В него можно вводить условия функционирования оригинала, и он покажет, как тот поведет себя в заданных условиях.

Для овладения навыками управления сложными системами — от космических кораблей и самолетов до химико-технологических установок — эффективно используется имитационное моделирование, когда обучающийся находится в обстановке, воспроизводящей оригинал (такая же кабина, такой же пульт управления, такие же приборы), и «управляет» процессом. При этом показания приборов достаточно точно соответствуют тому, что было бы в реальном процессе. Различие лишь в том, что оператор управляет не процессом, а его компьютерной моделью.

В случаях, когда модель — математическая, в процессе ее исследования (математического моделирования) материальной моделью как раз и служит компьютер. Дальнейшее развитие идей и методов моделирования свидетельствует о том, что это утверждение не точно. Математическую модель, если она простая, можно исследовать и на бумаге, а иногда даже в уме. Главное, что отличает моделирование, это не просто вывод или решение уравнений, а исследование поведения объекта в различных условиях.

Назвать мысленную схему  объектом не вполне корректно. Более  строгие формулировки получаются, если для оригинала и модели использовать термин системы.

2 Система

Система — совокупность каких-либо элементов, связанных, взаимодействующих друг с другом. Причем характер связей (взаимодействий) не менее важен для существования системы, чем сам набор элементов. Совокупность связей называют структурой системы.

Комплект оборудования для работы химического производства, лежащий на складе, системой еще не является. После того как это оборудование соединили в соответствии со структурой процесса и оно заработало (связи актуализированы), тот же набор аппаратов, машин, коммуникаций стал системой. Элементами системы необязательно являются некие изделия или вообще какие-то материальные предметы. Для нас важно рассматривать в качестве системы процесс, элементами которого являются более простые процессы (стадии). Так, химико-технологический процесс — система, которую можно мысленно разбить на стадии химического взаимодействия, процессов тепло- и массообмена, движения потоков и т.д. Ни понять смысл процесса, ни управлять им невозможно, не понимая, как эти стадии связаны друг с другом, как они влияют друг на друга. В иных задачах фигурируют системы, элементами которых могут быть математические выражения (например, система уравнений), мысли (например, система взглядов), слова (любой текст есть система) и т.д. Выделяют системы статические, не меняющиеся во времени (система уравнений, система слов в древнем тексте), и динамические. Типичная динамическая система «живет», все время взаимодействуя с окружающим миром и изменяясь. Чаще всего элементы данной системы сами являются системами. Такие элементы называют подсистемами.

Один из важнейших элементов любого процесса биотехнологии — жизнедеятельность микроорганизмов, осуществляющих потребные нам реакции. Но жизнедеятельность любого организма сама по себе — сложнейший процесс, обладающий всеми чертами системы. Стало быть, она является подсистемой технологического процесса.

В огромном числе систем существует иерархия подсистем: система состоит из подсистем первого уровня, каждая из них образована подсистемами второго уровня и т. д., причем количество уровней может быть очень велико. В таких случаях часто бывает удобно анализировать закономерности поведения системы, начиная с наинизшего уровня и переходя затем на более высокие. Так, для химико- технологического процесса используется иерархическая структура математической модели, предложенная М. Г. Слинько. Модель строится путем последовательного перехода в описании процесса с одного уровня на другой.

1. Молекулярный уровень — описание процессов, протекающих в масштабе порядка расстояния между молекулами. Их закономерности — это прежде всего закономерности химической кинетики.
2. Уровень малого объема, на котором объектом описания является, например, процесс на одном зерне катализатора или в пузырьке газа, поднимающемся в барботажном слое, и в обтекающей его жидкости, или на одном элементе насадки в насадочной колонне и т.д. Здесь закономерностей предыдущего уровня уже недостаточно, необходимо дополнить их закономерностями существенных в этом масштабе процессов тепло- и массопереноса. Анализ кинетических закономерностей в условиях одновременного протекания процессов переноса — предмет научного направления, называемого макрокинетикой
3. Уровень рабочей зоны аппарата (слой катализатора, барботаж ный слой, насадочный слой и т. д.), на котором необходимо учитывать эффекты, связанные с характером движения потока. В ряде случаев (например, при гомогенных реакциях) на этот уровень можно перейти прямо с первого.
4. Уровень аппарата, при переходе на который учитывают число, конфигурацию, взаимную связь и взаимное расположение рабочих зон. Например, аппарат может содержать несколько слоев катализатора, между которыми располагаются промежуточные теплообменники.
5. Уровень агрегата, где учитываются взаимные связи между аппаратами.

Модель каждого высшего  уровня содержит модели низших уровней и соотношения, описывающие переход с одного уровня на другой. Такой подход часто позволяет анализировать и моделировать процесс по частям, что существенно упрощает анализ; в то же время при этом не упускается из виду структура — характер связей уровней.

3 Внешние связи системы

Для динамических систем не менее важны внешние связи — взаимодействия системы с окружающим ее миром. Внешние связи бывают двух основных классов: воздействия мира на систему — входы системы и воздействия системы на мир — ее выходы, результат функционирования системы. Особый случай — обратные связи: выход системы оказывает влияние на ее вход. Существуют положительные обратные связи, когда усиление выходного сигнала усиливает сигнал на входе, и отрицательные обратные связи, когда с усилением выходного сигнала входной ослабляется. Как правило, действие положительных обратных связей приводит к возбуждению системы, интенсификации ее деятельности; в неблагоприятных случаях это может привести к тому, что система «пойдет вразнос». Наоборот, отрицательные обратные связи стабилизируют состояние системы.

Теплокровные животные, в том числе и люди, все время  сохраняют почти постоянную температуру тела. Это обеспечивается рядом отрицательных обратных связей. Если окружающая температура понижается, включаются процессы, препятствующие охлаждению тела: например встает дыбом шерсть, снижая теплоотдачу; возникает дрожь, и при работе дрожащих мышц выделяется тепло (у человека шерсти нет, но механизм ее подъема еще сохранился — на коже появляются мурашки — напряжение микромышц, поднимавших волосы у наших предков). Если же температура слишком велика, усиливается выделение пота, его испарение забирает излишек тепла. Эта система обратных связей обеспечивает гомеостаз — свойство очень многих систем поддерживать свое состояние в таких пределах значений параметров, которые не угрожают существованию системы.

Как происходит взрыв атомной бомбы? Влетевший в массу урана или  плутония нейтрон (например, возникший  при действии космических лучей) вызывает распад ядра с образованием более чем одного нейтрона. Это положительная обратная связь. Часть нейтронов вылетает наружу — это отрицательная обратная связь. Если масса металла меньше критической, превалируют отрицательные связи и система стабильна. Если критическая масса превзойдена, система вдет вразнос — происходит взрыв.

 4 Классификации входов системы

 Входные воздействия  (чаще всего будем называть  их факторами, влияющими на систему) можно подразделить на две основные группы. Первая — контролируемые факторы. Это те воздействия, величины которых мы знаем или по крайней мере можем узнать, когда это потребуется. В свою очередь, эта группа факторов подразделяется на регулируемые и нерегулируемые. Регулируемые (управляющие) факторы те, значения которых мы сознательно меняем (регулируем) с целью управлять процессом — улучшать его показатели. Значения нерегулируемых факторов мы можем знать, но не изменяем, либо оставляя постоянными, либо мирясь с тем, что они как-то меняются помимо нашей воли, и лишь приспосабливаясь к этим изменениям. Существуют, по крайней мере, три причины, по которым фактор может оказаться нерегулируемым: 1) его изменение практически невозможно — например, это размер установленного аппарата; 2) его можно изменить, но это слишком дорого — например, это состав поступающего сырья; 3) он слабо влияет на процесс и его нецелесообразно регулировать — например, это содержание аргона в воздухе, поступающем в топку.

В большинстве технологических  процессов температура и влажность окружающего воздуха не регулируются. Однако при изготовлении синтетических тканей эти факторы заметно влияют на качество продукции и их необходимо регулировать (кондиционировать воздух).

Кроме контролируемых факторов в любом процессе наличествует бесчисленное множество факторов неконтролируемых, причем мы можем даже не знать о их существовании. Почему так может быть? Во-первых, мы иногда не знаем, что данный фактор заметно влияет на наш процесс. В таких случаях приходится говорить, что процесс недостаточно изучен, и зачастую без дальнейших исследований его нельзя реализовать. Но есть и иная причина, действующая даже тогда, когда процесс изучен хорошо. В любом реальном случае имеется огромное, практически бесконечное число очень слабых воздействий. Каждое из них нет смысла контролировать, потому что оно слабое. Все — нельзя потому, что их слишком много. В то же время совокупное действие этого множества уже не мало, оно заметно влияет на функционирование системы.

Это влияние обладает одной важной особенностью. Не контролируя входы, мы не можем знать, каково оно в данный момент и каким окажется впоследствии. Поэтому воздействие неконтролируемых факторов носит случайный характер. При измерениях оно выражается в случайных погрешностях, в эксперименте — в случайных ошибках, при протекании любого процесса — в случайных возмущениях.

Случайные неконтролируемые воздействия могут не только приходить извне, но и возникать внутри системы. Однако чаще всего нет смысла подробно разбираться, откуда они исходят: случайные колебания, случайные отклонения в процессе целесообразно рассматривать как нечто единое. Часто это единое обозначают термином шум.

5 Условия моделирования

При организации моделирования  возникают важнейшие вопросы: какие условия обеспечат традукцию и какова возможность распространения полученных данных на поведение оригинала? Эти условия различны в физическом и математическом моделировании.

Традуктивность при  физическом моделировании обеспечивается подобием оригинала и модели. Теория подобия — важнейшая часть теоретического фундамента науки о процессах и аппаратах химической технологии и подробно рассматривается в соответствующих курсах [1]. Очень коротко можно сказать так: если два объекта (две системы) физически подобны друг другу, то процесс в каждом из этих объектов может быть описан набором безразмерных характеристик — чисел подобия, и в соответствующих точках обоих объектов числа подобия имеют равные значения. При этом те же самые числа играют роль критериев подобия — признаков, по которым можно установить, что подобие существует. А именно: если краевые и начальные условия процесса, выраженные через числа подобия, для одной системы — количественно такие же, как для другой, то процессы в обеих системах протекают подобным образом, системы все время остаются подобными друг другу. Набор необходимых критериев подобия определяют либо исходя из дифференциальных уравнений, описывающих процесс, либо основываясь на анализе размерностей.

Метод подобия оказался высокоэффективным при моделировании гидромеханических процессов (течение жидкостей в каналах, фильтрация через пористые среды, движение морских и воздушных судов), процессов переноса тепла и вещества. Значительные трудности возникли при попытках моделировать на основе подобия хими ческие процессы — процессы, основным содержанием которых являются химические превращения (реакции). Многолетний анализ этих трудностей показал, что во многих случаях они непреодолимы. Дело в том, что при изменении размеров объекта (масштабировании) разные критерии подобия могут предъявлять противоречащие друг другу требования к условиям проведения процесса в модели.

Подобие процессов течения  при взаимодействии потока с поверхностью какого-либо тела (обтекание препятствий, течение в каналах) определяется критерием Рейнольдса Re, а подобие течения жидкости со свободной поверхностью — критерием Фруда Fr :

где w — линейная скорость течения; L — размер; g — ускорение силы тяжести; V— коэффициент кинематической вязкости.

Рассмотрим достаточно распространенный случай, когда в процессе течения существенны оба критерия. Будем считать, что при моделировании нецелесообразно идти на экзотические приемы — изменение в несколько раз g и к Тогда при размерах модели в п раз меньших, чем размеры оригинала, для равенства критерия Рейнольдса в оригинале и модели потребуется увеличить скорость течения в и раз, а для равенства критерия Фруда — уменьшить скорость в п^1/2 раз. Одновременное соблюдение обоих условий возможно только при п= 1, когда модель равна по размерам оригиналу.

В примере подобие определяется лишь двумя критериями (и еще, разумеется, геометрическим подобием). Но большинство химических процессов — это системы, подсистемами которых является целый ряд процессов, каждый из которых требует своих условий подобия. Очень часто реакция — сложная, и каждая из ее стадий посвоему зависит от концентраций и температуры; на ход реакции сильно влияют выделение (или поглощение) и перенос тепла, перенос вещества, движение потоков. Лишь в некоторых достаточно простых случаях удается сформулировать условия проведения процесса так, что масштабирование оказывается возможным. Чаще всего так бывает при проведении достаточно медленных реакций в аппаратах с мешалками. В большинстве остальных случаев добиться подобия при масштабировании не удается.

Действительно, сопоставим протекание химической реакции в геометрически подобных оригинале и модели при следующих условиях: в реакторе проводится экзотермическая реакция, выделяющееся тепло отводится с наружной поверхности, причем концентрации и температура в рассматриваемом отрезке реактора одинаковы для оригинала и модели (различия в этих параметрах по-разному влияют на разные стадии реакции, а чтобы не нарушалось подобие, они должны быть одинаковыми).

Количество выделяющегося  в единицу времени тепла в этих условиях пропорционально объему, в котором идет реакция, количество отводимого тепла — поверхности теплообмена. Соотношение между отводом и выделением тепла определяется отношением поверхности к объему—удельной поверхностью. Поверхности подобных фигур пропорциональны квадратам их размеров, а объемы — кубам размеров. Поделив квадрат размера на куб, увидим, что удельная поверхность обратно пропорциональна размеру тела. У оригинала большого размера она намного меньше, чем у маленькой модели. При проведении процесса в модели одна из главных наших забот будет заключаться в том, чтобы не потерять слишком много тепла с большой удельной поверхности, не переохладить реакционную смесь. А в оригинале мы будем озабочены тем, чтобы не перегреть реактор: малой удельной поверхности не хватит для отвода большого количества выделившего тепла.

Связь удельной поверхности  с размером играет большую роль в  природе. Теплокровные животные не могут  быть слишком маленькими, иначе их удельная поверхность окажется столь велика, что никакой пищи не хватит для восполнения потерь тепла в окружающую среду. Поэтому в разных классах и отрядах таких животных самые мелкие представители (карликовые землеройки, карликовые летучие мыши, мыши-малютки, колибри) имеют близкие размеры — массу около 5 г и некоторые общие черты: густой пух для снижения теплоотдачи, а также большую прожорливость. Колибри поедает в день нектар цветов — высококалорийный сахарный сироп — в количестве, равном 1 /3 массы ее тела.

А если тело очень велико, то его малая удельная поверхность сильно ограничивает мощность отдаваемой энергии. Температура поверхности Солнца — около 6000 К, а температура человеческого тела — около 300 К. Мощность излучения с единицы поверхности пропорциональна Т⁴, т.е. каждый квадратный сантиметр поверхности светила излучает приблизительно в 160000 раз большую мощность, чем квадратный сантиметр поверхности нашего тела. Но если рассчитать удельную мощность обоих нагревателей — мощность, отнесенную к единице массы, — то окажется, что по этому показателю мы раз в 5 превосходим нашу звезду. Каждый килограмм нашего тела вырабатывает в 5 раз большую тепловую мощность, чем килограмм вещества Солнца. Так что к расхожему штампу журналистов о «чудовищной мощи термоядерных реакций, бушующих в недрах Солнца», можно относиться критически.

Сложности, связанные  с нарушением подобия при масштабировании, явились причиной того, что в середине прошлого века моделирование химических процессов находилось в глубоком кризи д из него се. Выхонашелся — это математическое моделирование, где трудности, сопряженные с обеспечением подобия, снимаются. Здесь есть лишь одно главное требование: математическое описание моделируемой системы должно быть адекватным. Необходимо, чтобы все основные количественные закономерности достаточно точно воспроизводились в математической модели, остальное — уже дело вычислительных методов и вычислительной техники. А первое и самое главное — хорошо составленное математическое описание.

Эффективность математического моделирования связана с замечательной особенностью многих систем — аналогией между ними. Аналогия — понятие, более широкое, чем подобие, о котором шла речь выше. Это определенное сходство между разными системами, причем физическое содержание этих систем может очень различаться. Важнейшее для практики свойство аналогичных систем — общность их математических описаний. Разные системы оказываются одинаково описанными, и их математическое моделирование осуществляется однообразно. В этом проявляется замечательная особенность математики — быть универсальной моделью, моделью любых систем.

Заключение

Математическое моделирование  — удивительно интересный научный метод, дающий уникальную возможность исключительно быстро и экономично «проиграть» на компьютере множество предполагаемых вариантов реализации процесса, что чрезвычайно расширяет кругозор инженера. Это проявляется особенно ярко, когда математическое моделирование приводит к неожиданным выводам. Хорошая математическая модель содержит в скрытом виде очень много информации об оригинале, в том числе и такой, о которой не подозревает автор модели.

Список использованных источников

1 Общий курс процессов и аппаратов химической технологии: В 2 кн. / Под ред. В.Г. Айнштейна. — Изд. 2-е. — М.: Логос, 2006. — 1758 с.

2 Кутепов A.M., Бондарева Т.И., Беренгартен М.Г. Общая химическая технология. — Изд. 3-е. — М.: Академкнига, 2007. — 528 с.

3 Гартман Т.Н., Клушин Д.В. Основы компьютерного моделирования химико-технологических процессов. — М.: Академкнига, 2006. — 416 с.