Монте-Карло әдісі. 3

Қазақстан Республикасы Білім және Ғылым министрлігі

Қорқыт  ата атындағы Қызылорда Мемлекеттік Университеті

 

 

 

 

Реферат 

       Тақырыбы:Монте-Карло әдісі

 

    Орындаған:Тайман М

 

    Қабылдаған:Есіркепова А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Қызылорда 2010

 

                                 Мазмұны

 Кіріспе

І. 1.1. Ғылыми бағыттағы  статистикалық модельдеу.

    1.2. Статистикалық модельдеу ұғымы.

    1.3.Статистикалық  модельдеудегі есептеулер жүргізудің  сұлбасы.

    1.4. Статистикалық модельдеудің қолдану  аумағы.

ІІ 2.1.Статистикалық сынақтар әдісі Монте-Карло әдісі. Тарихы. 

    2.2. Жеткіліктілік және қажеттіліктің  жалпы сұлба анализы.

    2.3. Монте-Карло әдісін қолдану мысалдары.

    2.4. Жазықтықтағы фигураның аумағын  есептеу тапсырмасы.

ІІІ. 3.1. Көпшілікке  қызмет көрсету теориясы.Монте-Карло әдісі.

      3.2.Кезек теориясы мысалы.

Қорытынды

Пайдаланылған әдебиеттер

Кіріспе

Если люди не полагают,  
что математика проста,  
то только потому,  
что они не понимают,  
как на самом деле сложна жизнь.

Джон фон  Нейман

Осы тақырыпты оқымас бұрын азғантай болса да мінездеп алу керек. «Статистикалық модельдеу және параллель есептеулер» атауының мағынасын ашудан бастайық.

Статистикалық модельдеу – кез келген кездейсоқ пайда болудың ықтималдылығының характеристикасын көрсететін математикалық есепті шешудің сандық әдісі. Бұл пайда болу модельдің «қадағалауын» стстистикалық жұмыс жасау жолымен керек характеристикалар анық айқындалғаннан кейін модельденеді.

Статистикалық модельдеу – жас әрі перспективті ғылыми бағыт. Ол есептеуіш техниканың мүмкіндігі өскендігімен байланысты жиырмасыншы ғасырдың ортасында дамыды. Қарастырылған  ғылыми бағыт оның оқылуын аса ерекше актуальды қылатын әр түрлі облыстық аумақта (биология, химия, физика, экономика және т.б,) көптеген қосалқысы бар.

Осы тақырып параллельді есептеулерге байланысы келесі факторлармен байланысты:

  • статистикалық модельдеу есебі ереже бойынша үлкен есептеуіш ресурстарды талап етеді;
  • статистикалық модельдеу алгоритмі көбінесе эффективті параллельді жібереді.

Сіз мына оқығанмен  қызығып кеттіңіз бе? Сіздердің үміттеріңізді алдамауға тырысамын. Біз осы рефератта статистикалық модельдеудің идеологиясымен, статистикалық сынақ әдісімен (Монте-Карло әдісімен), оның пайда болу және даму тарихымен және көпшілікке қызмет көрсету теориясымен таныс боламыз. Біз олардың негізгі артықшылықтары мен кемшіліктері туралы, олардың қолдану облыстары және берілген облыста алғашқы жүргіншілердің іскерлігі жөнінде айтамыз. Біз әдістің жүрегіне – кездейсоқтық иммитациясына енетін боламыз. Сонымен, іске сәт!

Ғылыми бағыттағы  статистикалық модельдеу

Ең алдымен  «Статистикалық модельдеу» құпия атауының артында не атау жасырынып тұрғанын анықтап алайық.Үлкен Совет Энциклопедиясына көз салайық.

Статистикалық модельдеу ұғымы

Статистикалық модельдеу – кез келген кездейсоқ пайда болудың ықтималдылығының характеристикасын көрсететін математикалық есепті шешудің сандық әдісі. Бұл пайда болу модельдің «қадағалауын» статистикалық жұмыс жасау жолымен керек характеристикалар анық айқындалғаннан кейін модельденеді. Мысалы, аумағында нөлдік температурасын ұстап тұратын жылытылған металл пластинасында жылу ағынын есептеу керек. Жылудың таралуы су бөлігіндегі сыр дағының ерігені сияқты теңдеумен өрнектеледі. Сондықтан пластина бойынша tk, k = 0, 1, 2,... мезетінде бақылай отырып, қозғалыстың жазық броундық бөлігін модельдейді. t  бөлік h қадамына барлық бағытта кіші интервал бойынша сыйдырылады. Әрбір рет бағыт алдыңғыға тәуелсіз кездейсоқ тәсілмен таңдалады. t және h аралығындағы қатынастар жылуөткізгіштің коэффициентімен анықталады. Қозғалыс жылу өзегінде басталып, аймақтың алғашқы жетістігімен аяқталады. Жылудың  Q(C) ағыны С шекарасы аумағы арқылы жабыстырылған сыр санымен өлшенеді. N бөлігінің жалпы санында үлкен сандар заңына сәйкес осындай баға тәртібінің қатесін береді.

Статистикалық модельдеудегі  есептеулер жүргізудің сұлбасы

Статистикалық модельдеу ізделінген шаманың келесі есептеу сұлбасын көрсетеді. Осылайша ізделінді шаманы қайсыбір пайда  болудың w  кездейсоқ шығымының  f  сандық функциясының математикалық күтімімен көрсетеді.

,  (1.1)

Яғни ықтималдылық шамасындағы интегралмен.

Осылайша, кейбір мәнді  бағалау үшін кездейсоқ шаманы оның математикалық күтімі ізделінді  шамаға тең болатындай етіп таңдау қажет. Осыдан кейін кездейсоқ шаманы қадағалауға болады және оның математикалық күтімін таңдау бойынша бағалауға болады. Алынған нәтижені ізделінді мәннің бағасы деп есептеуге болады.

Кездейсоқ шаманың математикалық  күтілім бағасын қарастырайық

  (1.2)

бұл жерде  – қадағалау нәтижесінде құрылған шығыстар.

(1.2) бағалауын  кездейсоқ түйіндерімен және кездейсоқ қатемен бірге көрсетілген интеграл үшін квадратты формула деп қарастыруға болады.

Осылайша, қарастырылған  сұлба тәжірибе сериясының жүргізілуінен  тұрады. Әрбір i-ші тәжірибе өз алдына   кездейсоқ шығысын және  f( ) функциясын есептеуін көрсетеді.Осыдан кейін (1.2) формуласы бойынша есептеулер жүргізіледі және алынған нәтиже ізделінді шаманың бағасы деп есептеледі.

Кездейсоқ таңдау әрбір кезеңде кездейсоқ сандар көмегімен жүргізіледі.Сонымен олар қандай да бір физикалық көрсеткішпен генерацияланады немесе берілген таратуды қамтамасыз ететін кейбір алгоритмдер бойынша есептеуіш техника көмегі арқылы иммитацияланады.

Статистикалық модельдеудің қолдану аумағы

Статистикалық модельдеу әр түрлі адами ілімдер аумағынан тапсырмаларды шешу үшін кеңінен қолданылады. Оның ішінде биология, химия, физика, экономика сынды актуальды аумақтар да бар.

Осы тапсырмалардың ішінде осы жүрістер қолданылатын және жиі қолданатын бұл жүрістер келесі тапырмаларды көрсетеді:

  • Сандық интегралдау;
  • көпшілікке қызмет көрсету жүйесіндегі есептер;
  • бұйымның сапасы  мен беріктігі есебі;
  • пластина арасынан нейтрондардың өту есебі;
  • кедергідегі хабарлама жіберу;
  • ойындар теориясының тапсырмалары;
  • газ динамикасының тапсырмалары;
  • дискретті оптимизация тапсырмалары;
  • қаржылық математика(опционды бағалау) тапсырмалары және де тағы басқалары;

         Осы тапсырмалардың бөлігі анық  ықтималдылық табиғатты білдіреді,  ал басқа бөлігі объектілердің  математикалық модельді зерттеу  үшін статистикалық модельдеу  идеясын қолдануды мысал етеді, мысалы анықталған интегралды есептеу.

Статистикалық сынақтар әдісі. Монте-Карло әдісі.                                            Әдіс тарихы

Статистикалық модельдеу туралы айтқанда адамдар  статистикалық сынақ, яғни Монте - Карло  әдісі туралы әңгіме болатынын біледі. ҮСЭ –на назар аударайық.

Статистикалық сынақ – Монте-Карло әдісі сияқты іздестіріліп отырған шамаға статистикалық баға құрастыруда және кездейсоқ шаманы модельдеуге негізделген есептеуіш және қосалқы математика әдісі. Статистикалық сынақ әдісі Дж. фон Нейман и С. Улам америкалық ғалымдары ЭЕМ көмегімен қосалқы тапсырма шешуде ықтималдықтар теориясы аппаратын кеңінен қолдана бастағанда атомдық реактор құру жұмысымен байланысты 1944 жылы пайда болды деп айтуға болады. Алғашында бұл әдіс басты тәсілмен сәуле алмастыру теориясы және нейтронды физика теориясы қиын тапсырмасын шешу үшін қолданылды. Бұл жерде дәстүрлі сандық әдістердің аса қажеттілігі жоқ. Содан кейін оның әсер етуі өзінің мазмұны бойынша әр түрлі статистикалық физика тапсырмасы үлкен класына таралды. Әдіс көбінесе ойын теориясы, көпшілікке қызмет көрсету және математикалық экономика, кедергідегі хабарлама беру теориясы және т.б тапсырмасын шешуде қолданылады.

 Сонымен, «Монте-Карло әдісі» құпия атауы. Ол қайдан пайда болды және осы дауысты атаудың ар жағында не жатыр? Қарастырып көрейік, ол үшін біз тарихқа жүгінеміз.

Кейбір тәжірибелер  статистикалық сынақ әдісін қолдануда өте ертеде өткізілді. Ол кезде француз жаратылыстану сынақшысы Бюффон p санын есептеуі бойынша инелерді тастау арқылы және параллельді түзулердің бірінің инесінің қиылысу жиілігін есептеудің тәжірибесін жүргізді. 1930  жылы Э. Ферми нейтронды ағындарды зерттеуде Монте-Карло әдісі атауын пайдаланды. Кейіннен, ол ядерлік физика тапсырмасын есептеуде қолданатын «Fermiac» механикалық құрылғысын жасап шығарды. Осындай әдістермен байланысты идеялардың қазіргі таңда таралуы есептеуіш техника эрасының басталуымен шындыққа айналды, ол компьютерлік тәжірибені жүргізуге, және соның ішінде кездейсоқ сандарды ды алуға мүмкіндік берді.

Монте-Карло әдісінің пионерлері ретінде Стэнли Уламды, Джон фон Нейманды және Николас Метрополис америкалық математиктерін атап айтуға болады. XX ғасырдың қырқыншы жылдары Джон фон Нейман кездейсоқ сандардың генераторы және интегралды функцияның кері таратуын, ықтималдықтың тығыздық функциясы үшін математикалық базис құру арқылы  Монте-Карло әдісінің негізін қалады. Зерттеу Стэнли Уламмен тығыз серіктестікте орындалды, ол Монте-Карло әдісі бойынша есептеулерге компьютердің қажетті екенін ең алғашқы болып түсіндірді.

Әдіс атының пайда болуы  Монако князьдығындағы бір атаулы қаламен  байланысты, онда әлемдегі ең атақты казино орналасқан. Мәселе кездейсоқ сандардың және олардың генерациялары Монте-Карло әдісінің «жүрегін» құрайтындығында болып тұр. Казино рулеткасы – кездейсоқ сандардың генерациясы үшін қарапайым құрылғылардың бірі. Дәл осы атау үшін негізгі итергіш түсінік болып табылды. Стэнли Улам «Математиктің оқиғалары» автобиографиясында жазғанындай, әдіс атауы Метрополис кеңесімен өте жақсы ойыншы болған оның ағасының құрметіне берілген. 

Монте-Карло әдісінің туған  жылы 1949 жыл деп қабылдау есептелінген, сол кезде Улам мен  Метрополистің  «Монте-Карло әдісі» атты мақаласы дүниеге келген.

Тағы да бір қызық  факт есептеуіштің кездейсоқ әдістері және тәжірибе жүргізу «тарихқа дейінгі компьютерлік эрада» жасалған және қолданылған. Статистикалық модельдеу облысындағы Монте-Карло әдісінің және ертеректегі зерттеулер әдісі арасында айырмашылық бар. Монте-Карло модельдеу ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика құралын қолдана отырып, тапсырманы қалай шешу керектігінің стандартты түсінігін кері айналдырды. Ертеректе жасалған қосымшаларды тексеру үшін  алдымен детерминацияланған мәселені оқу керек, содан кейін имитацияны қолдану керектігі айтылатын. Монте-Карло модельдеу әдісінде детерминация мәселесін алу керек және оның стохастикалық аналогын табу керектігі айтылады. Бұл идея фон Нейманның, Метрополистің және Уламның арқасында әр түрлі табиғат тапсырмасын шешуде қолданылатын жалпы принципке айналды.

Монте-Карло әдістері. Жеткіліктік және           қажеттіліктің жалпы схема анализы

Сонымен, Монте-Карло  әдісі бойынша тапсырманы шешу үшін ең алдымен ықтималдылық модельді құрып  алады, ізделінді шаманы, мысалы көпөлшемді интегралды компьютерде модельденетін  кездейсоқ процесстен математикалық күтілім фукцияналы ретінде көрсетеді. Есептеуді жүргізу тәжірибесін жүргізу нәтижесінде қажетті таңдауды алады және барлық сынақтардың нәтижесін орташалайды.

Монте-Карло  әдісінің қолдануының принциптік математикалық  негізі - А.Н.Колмогоров формасындағы үлкен сандар заңы. Колмогоров теоремасы.

Кездейсоқ шаманың  тәуелсіз таралуының орташа арифметикалық  шамасы ықтималдылықпен сәйкес келу үшін, осы математикалық күтім  бар болу үшін, оның математикалық  күтіміне бірлік жеткілікті және қажет.

Сонымен, Монте-Карло әдісінің алғашқы күдіксіз жетістігі – есептеу алгоритмінің қарапайым сұлбасы.

Қарастырылған жүрісті қолдану жолында кездесетін кейбір қиыншылықтар туралы айтатын  болсақ. Бізге кез келген емес, ізделінді шаманың жеткілікті бағасы керек екенін, яғни аз бағамен қатені ескерейік. Бұл нәтижеге жету біз ойлағандай қарапайым емес.Әрине үлкен рөлді құрылған ықтималдылық моделінің адекваттылығы ойнайды. (осындай модельдер көптеген есептерде бізге анық ).

Келесі құрайтын маңыздылық – берілген таратумен кездейсоқ шамаларды модельдеу. Ереже бойынша бір немесе бірнеше тәуелсіз а сандарының кездейсоқ сандарының мәндері  осындай модельдеу құрылу жолымен құрылады. «Таңдалынған»  а мәндерінің құбылысы әдетте ЭЕМ-де теретикалық-сандық алгоритм көмегімен алады, олардың арасында «есеп әдісі» көптеген кең таралымды алды. Осындай сандар «псевдокездейсоқтар» деп аталады, олар статистикалық тесттермен және типтік тапсырмалардң шешімімен тексеріледі. Сонымен, кездейсоқ сандардың қолданылған генераторы саны маңызды рөлді ойнайды. Корректілі генератордың жазылуы –әр түрлі ғылыми және инженерлік математикалық кітапхананың шеңберінде табысты шешілетін қиын тапсырма, мысалы осылардың ең күштісі - Intel® Math Kernel Library (Intel® MKL).

Есептеулердің нақтылығы жөнінде әңгімені өрбіте отырып, осы сұраққа басқаша көзқараспен қарайық. Өздеріңіз білетіндей, Монте-Карло әдісі бойынша есептеудің қателігі әдетте пропорционал, бұл жерде d – қайсыбір константа, ал N – сынақтар саны. Формуладан көріп отырғандай, 10 ретке нақтылықты жоғарылату үшін сынақтар санын 100 ретке ұлғайту керек, ал бұл дегеніміз  Монте-Карло әдісі үлкен есептеуіш ресурстарын талап етеді.

Монте-Карло әдісін қолданудың мысалдары

Монте-Карло  әдісінің практикалық тапсырмаларда қолданудың кейбір мысалдарын қарастырайық. Өздеріңіз көріп отырғандай, біз атақты математикалық тапсырма туралы айтайын деп отырмыз – фигура аумағын есептеу туралы және p санын анықтау туралы айтатын боламыз. Берілген тапсырманы таңдау Монте-Карло әдісінің тиімділігі үшін ғана таңдалмайды, керісінше, ереже бойынша нәтиже жетістігінің басқа әдістері қолданылады. Өйткені біз экономикалық, физикалық, математикалық тапсырмаларды шешуде Монте-Карло әдісін қолданудың мысалдарымен бірнеше рет кездесетін боламыз. Осы тапсырмалардың әр қайсысы статистикалық сынақ тұрғысынан да, есеп қойылымын қоюда да қайсыбір дайындықты қажет етеді. Сондықтан бұл бөлімде біз иллюстративті, салыстыра келгенде қиын емес мысалдарды қарастыратын  боламыз. Сонымен, ең алдымен мүлде қарапайым мысалға тоқталсақ.

 

 

 

Жазықтықтағы  фигураның аумағын есептеу тапсырмасы 

Аумағын табу үшін қайсыбір Ғ жазық фигурасы берілсін.

Келесі ұғымдарды  енгізейік:

Анықталғандық үшін осы фигура бірлік шаршының ішінде толығымен орналасты                 делік.

  1. Болжам есебімен фигураның 1 периметрі еркін орналастырылуы мүмкін.
  2. Фигура байланыссыз болуы мүмкін, яғни бірнеше облыстан тұруы мүмкін.
  3. Фигура аналитикалық және графикалық түрде берілуі мүмкін.

Рис. 1.1. Жазықтықтағы фигура аумағы. Монте-Карло әдісі.

N кездейсоқ нүктесін шаршыда генерациялаймыз.(1.1.сурет). N* - қарастырылып отырған фигураның ішінде болатын нүкте саны болсын.

Онда N жеткілікті үлкен мағынадағы Ғ фигура аумағы былайша бағалануы мүмкін

 (1.3)

Әрине, аумақты есептеу  тапсырмасында аумақты табудың  нақты алгоритмі бар,  бірақ  берілген мысал Монте-Карло әдісі қолдануда оңай жағдайды демонстрациялайды.

 

 

Көпшілікке  қызмет көрсету теориясы(Кезек теориясы)

Монте-Карло  әдісі

Көпшілікке қызмет көрсету теориясы және статистикалық сынақ әдісі (Монте-Карло) ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика теориясы сияқты шешімі кездейсоқ факторлармен және құбылыстармен анықталатын экономикалық тапсырмаларда қолданылады. Яғни, әр түрлі алдын ала анықталмаған мәндер секілді қабылданады.

Көпшілікке  қызмет көрсету теориясы қызмет көрсетудегі  талаптар ағынымен байланысты процесстегі  кездейсоқтықтарды ескеруге мүмкіндік  береді.

Монте-Карло  әдісі немесе статистикалық сынақ  әдісі кездейсоқ процесстерді орнатылған аналитикалық модельдердің мүмкін еместігі және қиындық жағдайы орындалғанда модельдеуге мүмкіндік береді.

 

           Көпшілікке қызмет көрсету теориясы(Кезек теориясы)

Көптеген экономикалық  жағдайлар сатып алушы-тұтынушы көпшілікке қызмет процесімен байланысты. Мысалы, белгілі бір шектелген уақыт аралығында дүкен тұтынушыларына қызмет көрсету қажет, қызмет көрсету сферасындағы клиенттерді, жөндеу ұмыстарына тапсырыстар қабылдау және  сол бойында жөндеу жұмыстарын  орындау қажет болады.

Қызмет көрсетілген  объектілерді қызмет көрсетудің каналы немесе аппараты деп атайды.Көпшілікке қызмет көрсету жүйесі каналдар арқылы жүзеге асады. Каналдар бірнеше немесе 1 болуы мүмкін. Көпшілікке қызмет көрсету  жүйесі деп қызмет көрсететін адамның (сатушы, шаштараз, аспаз, даяшы) автоматтық мүмкіндігін айтады. Көпшілікке қызмет көрсету жүйесінің қызмет көрсету мүмкіншілігі деп – белгілі уақыт бірлігінде орындалатын тапсырманың санын айтады.

Егер де кезекті  тапсырыс түсуде барлық каналдар бос  емес болса, қызмет көрсетуде тоқтатылу орындалады және кезекке тұру орын алады. Сондықтан көпшілікке қызмет көрсету теориясын кезек теориясы деп атайды.

Мысал.1

(Морз және  Кэмпбелл тапсырмасы). Іс соғыс  кезеңінде болатын.Әскери амалдарды  зерттейтін топ жұмысшылары аумаққа келген бірінші күннен бастап-ақ солдаттардың тамағын ішіп болғаннан кейінгі ыдыстарын жуу және шаю үшін қаншама ұзақ уақыт кезекке тұратынын көрді.Бар болғаны 4 ыдыс жуатын ыдыс қана: екеуі жуу үшін, екеуі шаю үшін. Эксперт сағат бойынша әрбір солдат орташа шамамен шаюға қарағанда жууға 3 есе  көп уақыт жұмсайтынын анықтады. Ол үлкен бастыққа ыдыс жуу тәртібін сәл өзгертуін ұсынды, содан кейін ыдыс жуғыштың алдында кезек болмайтын болды.

Эксперт не ұсынды екен?

Шешуі

Эксперт ыдыс жуғышты реттеуді ұсынды: үшеуінде ыдыс жууды және біреуінде  ғана шаюға кеңес береді.

 

         Көпшілікке қызмет көрсету жүйесі  өз алдына кезектің ұзақтығы -  минималды болатындай етіп, ал  тапсырыс өту уақыты – оптималды  болатындай етіп қызмет   көрсетуді  ұйымдастыруды тапсырма етіп  қойды. Сонымен қатар ғимаратта, құрылғының және тұлғаның көпшілікке қызмет көрсету жүйесін  тұрудың минималды уақыты және оның максималды мүмкін жүктеуі қамтамасыз етілуі керек.

Осы аталған  тапсырмаларды шешу үшін  көпшілікке қызмет көрсету жүйесінің келесі көрсеткіштерін есептей білу керек: 

1. Кез келген  уақыт мезетіндегі барлық каналдардың  бос болмау ықтималдығы:

                       (1.1)

Бұл жерде k –  бос емес каналдар саны;

       n – қызмет көрсету каналының  алпы саны;

       a=                      (1.2)

      - уақыт бірлігіндегі қызмет көрестуге орташа күтілген тапсырыстар саны;

       - бір тапсырыстың орташа қызмет көрсету уақыты;

2. Бос каналдардың орташа күтілім саны:

 

                        (1.3)

Бұл жерде  - барлық каналдардың бос болмау ықтималдығы:

               (1.4)

3.Барлық каналдардың  бос емес болу ықтималдығы:

      (1.5)

4.Бос емес  каналдардың орташа күтілім саны:

             (1.6)

5.Каналдардың  тұру коэффициенті:

                  (1.7)

6.Канал жүктеуінің  бөлігі:

                   (1.8)

7.к каналдарының  бос болмау ықтималдығы:

        (1.9)

Қорытынды

Сонымен, біз  осы рефератта осы курсты ары  қарай қарастыру үшін фундаментін  салып бердік.Сонымен біз келесі негізгі түсініктермен және фактілермен таныс болдық:

  • статистикалық модельдеумен;
  • статистикалық сынақ әдісімен (Монте-Карло әдісімен);
  • Монте-Карло әдісінің жалпы сұлбасымен;
  • статистикалық модельдеудің қолдану облысымен;
  • Монте-Карло әдісінің қолдану мысалдарымен;
  • көпшілікке қызмет көрсету теориясымен;
  • кезектер теориясымен;
  • және оның мысалдарымен таныс болдық;

Назар аударып, тыңдағандарыңызға рахмет.

Әдебиеттер

    1. Gamerman, D. Markov Chain Monte Carlo: Stochastic Simulation for Bayesian Inference. Boca Raton, FL: CRC Press, 1997.
    2. Gentle J. Random Number Generation and Monte Carlo Methods. Springer-Verlag NY, 1998.
    3. Gilks, W. R.; Richardson, S.; and Spiegelhalter, D. J. (Eds.). Markov Chain Monte Carlo in Practice. Boca Raton, FL: Chapman & Hall, 1996.
    4. Hoffman, P. The Man Who Loved Only Numbers: The Story of Paul Erdos and the Search for Mathematical Truth. New York: Hyperion, pp. 238-239, 1998.
    5. Kuipers, L. and Niederreiter, H. Uniform Distribution of Sequences. New York: Wiley, 1974.
    6. Manno, I. Introduction to the Monte Carlo Method. Budapest, Hungary: Akadémiai Kiadó, 1999.
    7. Metropolis N., Ulam S. The Monte Carlo method, J. Amer. statistical assoc., 1949, 44, N247, 335-341.
    8. Mikhailov, G. A. Parametric Estimates by the Monte Carlo Method. Utrecht, Netherlands: VSP, 1999.
    9. Большая Советская Энциклопедия. Издание 3-е.–М., Советская энциклопедия, 1970.
    10. Бусленко Н.П., Голенко Д.И., Соболь И.М., Срагович В.Г., Шреацидер Ю.А. Метод стохастических испытаний (метод Монте-Карло).–М.: ГИМФЛ, 1962.
    11. Бусленко Н.П., Шрейдер Ю.А. Метод статистических испытаний Монте-Карло и его реализация в цифровых машинах.–Физматгиз, 1961.
    12. Гмурман В.Е. Теория вероятности и математическая статистика.–М.: Высшая школа, 1977.
    13. Ермаков С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы.–М., 1971.
    14. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. М: Наука, 1982.
    15. Ермаков С.Н., Михайлов Г.А. Курс статистического моделирования.– М.:Наука, 1976.
    16. Крамер Г.. Математические методы статистики. М: Мир, 1975.
    17. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло.–М.:Наука, 1973.

Монте-Карло әдісі. 3 📙 Реферат → 🆔 156224

Монте-Карло әдісі. 3 📙 Реферат → 🆔 156224

Монте-Карло әдісі. 3