Натурал және теріс емес бүтін сандар

Қазақстан Республикасы Білім және Ғылым 

министрлігі

 

 

 

 

 

 

 

 

Исмаилов И.

 

 

 

 

 

 

Математика

2 – бөлім

 

Натурал және теріс емес бүтін сандар

 

 

 

Бастауышта  оқытудың әдістемесі және педагогикасы мамандығы  студенттері үшін оқу  құралы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Шымкент 2010

Бастауышта  оқытудың әдістемесі және педагогикасы мамандығы студенттері үшін оқу  құралы.

 

Пікір жазғандар:

          1. Байжуманов А. А. – ф.-м.ғ.к. “Шымкент” Университеті информатика кафедрасының меңгерушісі
          2. Жақыпбеков Б.Ә. – ф.ғ.к. «Мирас» Университетінің БСОӘП кафедрасының меңгерушісі

 

 

Мирас Университетінің ғылыми әдістемелік кеңесі ұсынған

 

Хаттама №_________________2010 ж.

 

 

Көмекші құрал  «Математика және жаратылыстану  пәндері» кафедрасының мәжілісінде  талқыланып, мақұлдаған

Хаттама №1      5  IX      2004 ж.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

НАТУРАЛ САНДАРДЫҢ  БӨЛІНГІШТІГІ

Натурал санның бөлгіші. Натурал  санның еселігі 

 

1-мысал: 6 алманы 2 балаға  тең етіп бөліп беруге болады. Балалардың әрқайсысы 3 алмадан  алады. Енді 6 алманы 4 балаға тең  бөлу керек дейік. Онда балалардың әрқайсысы 1 алмаданұ алады да, 2 алма артық қалады. Демек, 6 саны 2-ге қалдықсыз бөлінеді де, 4-ке қалдықсыз бөлінбейді, яғни 6-ны 4-ке бөлсек, 2 қалдық қалады.

Бұл жағдайда 2 саны 6 санының бөлгіші болады, ал 4 саны 6 санының бөлгіші емес дейміз.

6 санының бөлгіштері: 1, 2, 3 және 6

5 санының бөлгіштері: 1 және 5

8 санының бөлгіштері: 1, 2, 4 және 8

Жалпы түрде берілген санды а әрпімен, бөлгішті b әрпімен белгілесек, a:b=c, a – бөлінгіш,  b – бөлгіш, c – бөлінді.

Натурал сан  а-ның бөлгіші деп осы а саны қалдықсыз бөлінетін санды атайды.

Кез келген натурал сан 1-ге бөлінетіндіктен, 1 саны кез келген  натурал санның бөлгіші болады.

Берілген натурал санның ең үлкен  бөлгіші сол санның өзі болады. Енді b саны бөлгіші болатындай натурал сандарды қарастырайық.

2-мысал. b=3 дейік. 3 саны бөлгіші болатындай натурал сандар: 3, 6, 9, 12,..

3 саны бөлгіші болатындай 3, 6, 9, 12, ... сандарын алу үшін, 3 санын  1, 2, 3, 4, ... сандарына  көбейту жеткілікті. Сонда сәйкес 3, 6, 9, 12 ... сандары шығады. Бұл сандардың ортақ бір қасиеті бар: олардың бәрі де 3-ке бөлінеді.

3:3=1, демек, 3 санында бір 3 бар немесе 3 саны 3-тің бір еселігі.

6:3=2, демек, 6 санында екі 3 бар немесе 6 саны 3-тің екі еселігі.

9:3=3, демек, 9 санында үш 3 бар немесе 9 саны 3-тің үш еселігі.

12:3=4, демек, 12 санында төрт 3 бар немесе 12 саны 3-тің төрт еселігі.

Сонда 3, 6, 9, 12, ... сандары 3 санына еселік сандар.

Натурал b санына еселік сан деп сол b санына қалдықсыз  бөлінетін натурал санды атайды.

a:b=c, мұндағы a-b - ға еселік сан және a×b=c

Берілген натурал b санына еселік санды табу үшін сол b санын қандай да бір натурал санға көбейту керек: b×1; b×2; b×3; b×4; b×5 және т.с.с. Жалпы түрде a= b ×n. Мұндағы a- b – ға еселік сан (n=1, 2, 3, 4, ...).

3-мысал. b=5; 5 санына еселік сандар:

n=1,  5×1=5;

n=2,  5×2=10;

n=3,  5×3=15;

...  ...

n  5 n

 

Кез келген санға еселік сандар шексіз көп.

 

2, 5 және 10 сандарына  бөлінгіштік белгілері 

 

Натурал сандар жұп сандар және тақ сандар болып бөлінеді.

0, 2, 4, 6, 8 цифрларын жұп цифрлар деп, жазылуы жұп цифрлармен аяқталатын натурал сандарды жұп сандар деп атайды.

1, 3, 5, 7, 9 цифрларын тақ цифрлар деп, жазылуы тақ цифрлармен аяқталатын натурал сандарды тақ сандар деп атайды.

Мысалы: 32, 86, 100, 204 сандары – жұп  сандар, ал 11, 17, 23, 109, 205 сандары–тақ сандар.

2 санына бөлінгіштік  белгісі       

2 санына еселік сандардың ортақ  белгілеріне назар аударайық.

2 санына еселік сандар: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20,... .

Бұл сандардың барлығының жазылуы  жұп цифрлардың бірімен аяқталады. Демек, 2 санына тек қана жұп сандар бөлінеді.

Жазылуы жұп  цифрлармен аяқталатын барлық натурал  сандар

2-ге бөлінеді, егер санның жазылуы тақ цифрлармен  аяқталса, онда ол сан 2-ге бөлінбейді.

Мысалы,    8:2=4,     10:2=5.

13 саны 2-ге бөлсек, онда 1 қалдық қалады. 13:2=6(1). Демек, 13 саны тақ цифрмен аяқталғандықтан, 2-ге бөлінбейді.

2-ге бөлінетін сандар  жалпы түрде 2п өрнегімен жазылады, мұндағы п=1, 2, 3, 4, ... .

5 санына бөлінгіштік  белгісі.

5 санына еселік сандардың  ортақ белгісін табу керек. 5 санына  еселік сандар: 5, 10, 15, 20, 25, 25, 30, ... . Бұл сандардың соңғы цифры 0 немесе 5 болып тұр.

Демек, жазылуы 0 цифрымен немесе 5 цифрымен аяқталатын барлық натурал сандар 5-ке бөлінеді. Егер санның жазылуы кез келген басқа цифрмен аяқталса, онда ол сан 5-ке бөлінбейді.

Жалпы түрде 5-ке бөлінетін  сандар 5n өрнегімен жазылады. Мұндағы n=1, 2, 3, 4, ...

Мысалы: 225, 620, 835, 900 сандары 5-ке бөлінеді: 225:5=45; 620:5=124, ал 224, 621, 834, 836, 903 сандары 5-ке бөлінбейді, 224-ті 5-ке бөлсек, 4 қалдық қалады: 224:5=44(4).

10 санына бөлінгіштік  белгісі.

10 санына еселік сандар: 10, 20, 30, 40, 50, ..., 100, ..., 2000... Бұл сандардың барлығының  жазылуы 0 цифрымен аяқталады.  Жазылуы 0 цифрымен аяқталатын барлық натурал сандар 10-ға бөлінеді. Жалпы түрде 10-ға бөлінетін сандар 10n өрнегімен жазылады, мұндағы n=1, 2, 3, 4, ... .

Мысалы: 210, 300, 1000, 1210 сандарды 10-ға бөлінеді. 210:10=21, 1000:10=100, ал 209, 211, 307, 307, 408, 999 сандары 10-ға бөлінбейді. 10=2×5 болғандықтан, 10-ға бөлінетін барлық сандар 2-ге де, 5-ке де бөлінеді. Демек, санның 0-мен аяқталуы 2-ге, 5-ке және 10-ға бөлінгіштіктің ортақ белгісі.

3-ке және 9-ға  бөлінгіштік белгілері 

 

Бөлу амалың орындамай  тұрып, берілген санның 3-ке және 9-ға бөлінгіштік  белгілерін анықтауға болады.

1-мысал. 522 алманы олардың саны тең болатындай етіп, 3 жәшікке бөліп салуға бола ма?

Шешуі. 522 санында 5 жүздік, 2 ондық және 2 бірлік бар. 1 жүз алманы 3 жәшікке  тең бөліп салсақ, жәшіктердің  әрқайсысына 33 алмадан салынады да, 1 алма артық қалады. Сонда 5 жүздік алмадан 5 алма артық қалады. Ал 2 ондық алманы 3 жәшікке тең бөліп салғанда, жәшіктердің әрқайсысына алмадан салынады да, 2 алма артық қалады және тағы 2 алма бар. Назар аударсақ, артық қалғаналмалар саны 522 санының цифрларының (яғни разрядтық қосылғыштардың) қосындысына тең. (5 жүздіктен 5, 2 ондықтан 2, 2 бірліктен 2, барлығы 5+2+2=9 алма артық қалды). 9 алма жәшіктердің әрқайсысына 3 алмадан салынады. Демек, 522 алманы 3 жәшікке тең бөліп салуға болады. Жәшіктердің әрқайсысына 174 алмадан салынады. Олай болса, 522 саны 3-ке бөлінеді.

Санның 3-ке бөліну белгісін сол сандарды разрядтық қосылғыштарға жіктеп те анықтауға болады.

2-мысал. 384 санының 3-ке бөлінетіндігін  анықтайық. Ол үшін 384 санын разрядтық  қосылғыштарға жіктейміз: 384=3×100+8×10+4=3(99+1)+8(9+1)+4= 3×99+8×9+(3+8+4). Мұнда алғашқы екі қосылғыш 3-ке бөлінеді. Онда 3+8+4 қосындысы 3-ке бөлінсе, 384 саны да 3-ке бөлінеді. Ал 3+8+4 берілген санның (384) цифрларының қосындысын береді. Қосынды 15-ке тең. 15:3=5. 384 саны 3-ке бөлінеді. 384:3=128.

3-мысал. 235 саны 3-ке бөлінбейтіндігін  анықтайық. Ол үшін 235 санын разрядтық  қосылғыштарға жіктейміз: 235=2×100+3×10+5=2×(99+1)+3(9+1)+5= 2×99+3×9+(2+3+5). Мұнда алғашқы екі қосылғыш 3-ке бөлінгенімен, үшінші қосылғыш – 2+3+5 қосындысы 3-ке бөлінбейді. Сондықтан 235 саны 3-ке бөлінбейді.

Мысалдарды қорытындылағғанда  санның 3-ке бөлінгіштік белгісі  шығады.

Берілген санның цифрларының қосындысы 3-ке бөлінсе, онда ол санны өзі де 3-ке бөлінеді, егер санның цифрларының қосындысы 3-ке бөлінбесе, онда ол сан 3-ке бөлінбейді.

3-ке бөлінетін сандардың цифрларының  қосындысы 3-ке еселік болады. 3 санына бөлінетін сандардың  цифрларының қосындысын 3n түрінде жазуға болады, мұндағы n=1, 2, 3, 4, ... .

4-мысал. 654 саны3-ке бөлінбейді. Себебі 437 саны цифрларының қосындысы 6+5+4=15; 15:3=5. онда 654:3=218

5-мысал. 437 саны 3-ке бөлінбейді, онда 437 саны да 3-ке бөлінбейді.

Саның 9-ға бөлінгіштік белгісін анықтау  үшін 9, 99, 999, 9999, ... сандарының 9-ға бөлінгіштігін  пайдаланамыз.

6-мысал. 783 санының 9-ға  бөлінгіштігін анықтайық. Ол үшін 783 санын разрядтық қосылғыштарға жіктейміз: 783=7×100+8×10+3=7×(99+1)+8(9+1)+3= 7×99+8×9+(7+8+3); Мұндағы алғашқы екі қосылғыш 9-ға бөлінеді, онда 7+8+3 қосындысы берілген цифрларының қосындысын береді: қосынды 18-тең, 18:9=2. Демек, 783:9=87.

Берілген  санның цифрларының қосындысы 9-ға бөлінсе, онда ол санның өзі де 9-ға бөлінеді, егер санның цифрларының қосындысы 9-ға бөлінбесе, онда ол санның өзі де 9-ға бөлінбейді.

9-ға бөлінетін сандардың  цифрларының қосындысы 9 санына  еселік болады. 9-ға бөлінетін сандардың цифрларының қосындысын 9n түрінде жазуға болады, мұндағы n=1, 2, 3, 4, ... .

9 саны 3-ке бөлінетіндіктен, 9-ға бөлінетін сандардың барлығы  да 3-ке бөлінеді.

Демек, 3-ке және 9-ға бөлінетін  сандардың бөлінгіштік белгілері  ортақ мазмұнды екен.

 

Қосындының  және көбейтіндінің берілген

натурал санға  бөлінгіштігі

 

Қосындының берілген натурал санға бөлінгіштігін  анықтау үшін оның қосылғыштарының  сол берілген натурал санға жеке-жеке бөлінгіштігін қарастырамыз.

1-жағдай. Қосылғыштардың берілген натурал санға қалдықсыз бөлінуі.

 

Қосынды

Бөлгіш

Қосылғыштардың бөлінгіштігі

Қосындының бөлінгіштігі

12+6

3

12:3=4;       6:3=2;

18:3=6;

28+42

14

28:14=2;       42:14=3;

70:14=5

75+100

25

75:25=3;       100:25=4;

175:25=7


 

Кестедегі мысалдардан мынадай қорытынды жасауға болады: егер қосылғыштардың әрқайсысы жеке-жеке берілген натурал санға бөлінсе, онда қосынды да сол санға бөлінеді.

Яғни бұл жағдайда қосындыны санға бөлу үшін қосылғыштарды  жеке-жеке санға бөліп, бөлінділерді қосу керек: (a+b):c=a:c+b:c.

2-жағдай. Қосылғыштар берілген натурал санға қалдықпен бөлінеді.

 

Қосынды

Бөлгіш

Қосылғыштардың қалдықпен  бөлінуі

Қалдықтар қосындысы

Қосындының бөлінгіштігі

15+21

9

15:9=1(6)       21:9=2(3)

9

36:9=4

22+38

15

22:15=1(7)       38:15=2(8)

15

60:15=4

33+36

23

33:23=1(10)       36:23=1(13)

23

69:23=3


 

Қосылғыштар берілгеннатурал санға жеке-жеке қалдықпен бөлінген жағдайда қалдықтардың қосындысы сол санға бөлінсе, онда қосынды да сол санға бөлінеді.

Егер қосындыны натурал  санға бөлуде аталған екі жағдай да орындалмаса, онда қосынды берілген натурал санға бөлінбейді.

Айырманың натурал санға  бөлінгіштігін зерттеу оқушыларға тапсырылады.

Көбейтіндінің натурал  санға бөлінгіштігін зерттеу  оқушыларға тапсырылады.

Көбейтіндіні натурал  санға бөлінгіштігін қарастырайық.

 

Көбейтінді

Бөлгіш

Көбейткіштердің бөлінгіштігі

Көбейтіндінің бөлінгіштігі

30×22

15

30:15=2

22 саны 15-ке бөлінбейді

660:15=44

41×96

32

41 саны 32-ге бөлінбейді

96:32=3

3936:32=123


 

Бұдан мынадай қорытынды  жасауға болады: егер көбейткіштердің біреуі берілген натурал санға бөлінсе, онда көбейтінді де сол натурал санға бөлінеді. Екі санның көбейтіндісін натурал санға бөлу үшін, көбейткіштердің біреуін сол санға бөліп, шыққан бөліндіні екінші көбейткішке көбейту керек: (a×b):c=(a:c) ×b немесе (a×b):c=a×(b:c).

 

Жай және құрама сандар

 

Кестеде 35, 41, 26, 11, 1, 18 сандарының бөлгіштері келтірілген.

 

Натурал сан

Бөлгіштері

Бөлгіштер саны

35

1, 5, 7, 35

4

41

1, 41

2

26

1, 2, 13, 26

4

11

1, 11

2

1

1

1

18

1, 2, 3, 6, 9, 18

6


 

35 пен 26 сандарының төрт бөлгіші, 11 мен 41 сандарының екі бөлгіші, 1 санының бір бөлгіші, 18 санының алты бөлгіші бар. Натурал сандар бөлінгіштігі қарай үш топқа бөлінеді.

1. 1-ге және өзіне ғана бөлінетін санды жай сан деп атайды. Сонда жай санның екі ғана бөлгіші болады. Олар: 1 және сол санның өзі. Мысалы, 13 санының бөлгіштері: 1 және 13. 101 санының бөлгіштері: 1 және 101.

Ең кіші жай сан  – 2 саны. 2 санынан басқа жай сандардың  барлығы тақ сандар, сонда 2 саны ғаны жай жұп сан.

Жай сандар шексіз көп  болады. Кітап мұқабасының астар бетінде 1000-ға дейінгі жай сандар кестесі келтірілген.

2. Екіден көп бөлгіштері бар болатын сандапрд құрама сандар деп атайды. Кестедегі 35, 26, 18 сандары – құрама сандар. Мысалы, 8 саны – құрама сан, бөлгіштері: 1, 2, 4, 8, 24 саны – құрама сан, бөлгіштері: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

3. Натурал 1 санның бір ғана бөлгіші бар, ол сол санның өзі – 1 саны. Ол жай сандар тобына да, құрама сандар тобына да жатпайды.

 

 

Құрама сандарды жай көбейткіштерге жіктеу

Құрама сандарды жай  сандардың көбейтіндісі түрінде жазып көрсетуге болады. Мысалы, 15=3•5. Құрама сандарды жай сандардың көбейтіндісі түрінде жазуды оларды жай көбейткіштперге жіктеу деп атайды. Жай көбейткіштер қатары тек қана жай сандардан турады. Мысалы, 30 саны — құрама сан. Оны жай көбейткіштерге жіктеу: 30=2• 3•5.

Құрама санды жай  көбейткіштерге жіктеудің екі тәсілі бар.

1-т ә с і л . Құрама санды мүмкін болатын  бөлгіштердің көбейтіндісі түрінде  жазып, бөлгіштердің құрамында  құрама сан болса, оны жай  сандар көбейтіндісіне жіктеу.

 

  1. м ы с а л. 210=21 • 10=(3 • 7) • (2 • 5)=2 -3-5-7;

210=3 • 70=3 • (7 • 10)=3 • 7 • 2 • 5=2 •3•5•7;

210=35 • 6=(5 • 7) • (2 • 3)=2•3•5•7.

 


 

Құрама сандарды осылайша жай көбейткішптерге жіктеуге болады.

2 - т ә с і л  . Сандардың бөлінгіштігі бойынша  жай сандар кестесіндегі еттілікті сақтай отырып, берілген қүра-ма санды жай көбейткіштерге жіктеу. Мұны көбінесе баған түрінде жіктеу деп айтамыз.

2-м ы с а л . 60 санын жазамыз  да, оның оң жагынан вертикаль  сызық сызамыз. Осы санның ең  кіші жай бөлгішін (2) таңдап аламыз да, оны сызықтың оң жагына жазамыз. 60 : 2=30. Бөлінді 30-ды сызықтың сол жа ғына, берілген санның астына жазу керек. Енді 30 санын дәл осылайша ең кіші бөлгішіне бөлеміз. 30 : 2=15; 2-ні сызықтың оң жагына, 15-ті сызықтың сол жағына 30-дың астына жазып, бөлуді осылайша әрі қарай жалғастырамыз. Сонда әрбір келесі бөлгіш оның алдындағы бөлгіпітің астына жазылады. Санды осылайша жай көбейткіштерге жіктеуді, сол жак бағанда 1 саны шыққанша жалғастырамыз. Құрама сандарды жіктеудің бұл тәсілінде сызықтың оң жагына берілген құрама санның жай көбейткіштері жазылады. Берілген кұрама сан 60-ты жай көбейткіштерге (2•2•3•5) жіктедік: 60=2•2•3•5; 60=22•3•5. Кез келген құрама сан өзі жіктпелген жай көбейткіштердің көбейтіндісіне тең болады. Мысалы, 22 • 3 • 5=60.

 

Ең кіші ортақ  еселік және оны табу тәсілдері 

4 санына еселік сандарды: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ... және 6 санына еселік  сандарды: 6, 12, 18, 24, 30, 36, ... теріп жазайық.  Осы сандардан 4 пен 6 сандарының  екеуіне де еселік болатындарын, яғни ортақ еселіктерін табайык,: 12, 24, 36,..., бұл сандардың ең кішісі 12. Сонда берілген 4 пен 6 натурал сандарының ең кіші ортақ еселігі — 12 болады.

Берілген  натурал сандардың әрқайсысына  еселік болатын ең кіші натурал санды, ең кіші ортпақ еселік деп атайды.

4 пен 6 сандарының ең  кіші ортақ еселігі ЕКОЕ (4, 6)=12 деп белгіленеді.

Ең кіші ортақ еселікті табу тәсілдері.

1-тәсіл. Берілген натурал сандардың ең кіші ортак еселігі сол сандарды жай көбейткіштерге жіктеу арқылы табылады.

  1. Берілген натурал сандар жай көбейткіштерге жіктпеледі.
  2. Берілген сандардың ең улкеніндегі жай көбейткіштер жазылады да, ол оның қурамында жоқ, бірақ басқа сандардың құрамында 
    бар жай көбейткішптермен толықтырылады. 3) Шыққан көбейткіштердің көбейтіндісі берілген натурал сандардың ең кіші ортақ 
    еселігі болады.

1-м ы с а л.  ЕКОЕ (50, 28)-ін табу керек. 50 мен  28 сандары жай көбейткіштерге  жіктеледі: 50=2•5•5=2•52; 28=2•2•7=22•7. Берілген сандардың ең үлкенінің жіктелуіндегі жай көбейткіштер, кіші санның жіктелуіндегі жай көбейткіштермен толықтырылады. Мүндай көбейткіштер 2 мен 7. Сонда ЕКОЕ (50, 28)=2 • 2 • 5 • 5 •7=22• 52 •7=700, қыскаша: ЕКОЕ (50, 28)=700; 700:50=14; 700:28=25. Сол сияқты ЕКОЕ (12, 18, 50)=900. Егер берілген натурал сандардың улкені кішілеріне еселік бол-са, онда улкен сан осы сандардың ең кіші ортақ еселігі болады.

2-м ы с а л.  ЕКОЕ (57, 19) = 57, ЕКОЕ (8, 16, 32)=32. Егер берілген натурал сандардың, 1 санынан басқа, ортақ жай көбейткіші болмаса, ондай натурал сандар өзара жай сандар деп аталады.

Мысалы: 10 және 21; 6 және 35 — өзара жай сандар. Себебі: 10=2 • 5 және 21=3 • 7, ал 6=2 • 3 және 35=5 • 7, ягни 10 мен 21-дің, сол сияқты 6 мен 35-тің 1-ден басқа ортак жай көбейткіштері жоқ. Егер берілген сандар өзара жай сандар болса, онда ең кіші ортақ еселік осы сандардың көбейтіндісі болады.

 

3-м ы с а л.  ЕКОЕ (5, 7) = 35; ЕКОЕ (3, 11)=33.

ЕКОЕ (10, 21)= 210; ЕКОЕ (6, 35)=210.

2-тәсіл. Үлкен санды еселей отырып, берілген сандардың ең кіші ортак еселігін табу.

4-м ы с а л.  ЕКОЕ (12, 16)=48; 48=16-3; 48 : 12 = 4.

 

Ең үлкен  ортақ бөлгіш

 

18 санының барлық бөлгіштерін: 1, 2, 3, 6, 9, 18 және 30 санының барлық бөлгіштерін: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 жазайық. 1, 2, 3 және 6 сандары — 18 және 30 сандарының ортақ бөлгіштері. Олардың ең үлкені - 6. Онда 6 саны 18 және 30 сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші болады.   Жазылуы: ЕҮОБ (18, 30)=6.

Берілген натурал сандардың ең улкен ортақ бөлгіші деп сол сандардың әрқайсысы бөлінетін ең улкен натурал санды айтады.

1-м ы с а л . 8, 14 және 22 сандарының ең үлкен ортақ бөлгішін табайық.

Ш е ш у і .  8 санының бөлгіштері:  1,  2,  4,  8;   14  санының бөлгіштері: 1, 2, 7, 14; 22 санының бөлгіштері: 1, 2, 11, 22. 8, 14 және 22 сандарының ортақ бөлгіштері: 1 мен 2. Ең үлкен ортақ бөлгіші - 2 саны: ЕҮОБ (8, 14, 22)=2.

2-м ы с а л . 25 пен 12 сандарының ең үлкен ортақ бөлгішін табайық.

Ш е ш у і. 25 санының бөлгіштері: 1, 5, 25. 12 санының бөлгіштері:

1, 2, 3, 4, 6, 12. 25 пен 12 сандарының ортақ бөлгіші бір ғана сан — ол 1 саны: ЕҮОБ (25, 12)=1. 25 пен 12 - өзара жай сандар. Әзара жай сандардың ортақ бөлгіші біреу ғана, ол - 1 саны.

Сол сияқты 7 мен 11; 8 бен 15; 4 пен 19 сандары да - өзара жай

сандар.

3-мысал. 120, 40 және 20 сандарының ең үлкен ортақ бөлгішін

табайық.

Ш е ш у і. Берілген 120, 40 және 20 сандарының ең кішісі 20 саны. 20 санына 120, 40 сандары бөлінеді. Сонда 20 саны - 120, 40 және 20 сандарының ең үлкен ортак бөлгіші: ЕҮОБ (120, 40, 20)=20. Егер сандардың ең кішісі улкендерінық бөлгіші болса, онда сол ең кіші сан берілген сандардың ең улкен ортақ бөлгіші болады.

Берілген сандардың  ең үлкен ортақ бөлгіпіін сол сандарды жай көбейткштерге жіктеу арқылы табуды қарастырайық.

4-м ы с а л . 18, 24 және 36 сандарының ең үлкен ортақ бөлгішін табайық.

Ш е ш у і. Берілген сандарды жай көбейткіштерге жіктейміз:

18=2 •3•3;        24=2 •2•2•3;         36=2•2•3•3.

Ортақ көбейткіш: 2 • 3=6. Онда ЕҮОБ (18, 24, 36)=6.

Берілген сандардың  ең үлкен ортақ бөлгішін табу үшін:

  1. берілген сандарды жай көбейткіштерге жіктейміз;
  2. шыққан жіктеулердегі барлық ортац жай кәбейткіштерді 
    табамыз;
  3. ортақ жай көбейткіштердық көбейтіндісі сол сандардыц ең 
    улкен ортац бәлгіші болады.

Қорыта айтқанда, берілген сандардыц ең улкен ортац бәлгіші сол сандардыц жіктелуіндегі ортақ жай көбейткіштердық көбейтіндісіне тең.

 

 

Бөлу және жай  бөлшек

Әр түрлі шамаларды (ұзындықты, уакытты, массаны) өлшеу үшін натурал сандардан басқа бөлшек сандар деп аталатын жаңа сандарды енгіземіз.

8-сурет

8-суретте дөңгелек 4 үлеске  бөлінген. Үлес дегеніміз өзара тең бөліктер. 8-суретте әрбір үлес дөңгелектің төрттен бір бөлігі, жазылуы ; оқылуы «төрттен бір». Демек,  1:4 дегеніміз 

 

мұндағы "-" сызықша - бөлшек сызығы. Алдымен бөлшек сызығының  астындағы сан шығыс септігінде оқылады, сонан соң бөлшек сызығының  үстіндегі сан атау септігінде оқылады. Егер осындай үлестің екеуін алсақ, онда ол түрінде жазылады. Оқылуы "терттен екі". Егер сындай үлестің үшеуін алсақ, онда ол  түрінде жазылады. Окылуы "төрттен үш".

Жай бөлшектер натурал сандардан және бөлшек сызығынан түрады. Бөлшек сызығының астындағы сан 1-дің (толык. шаманың) неше бөлікке бөлінгенін көрсетеді, сондықтан оны бөлшектің бөлімі деп атайды.

  1-м ы с а л:    бөлшектерінде 4, 7, 9, 11 сандары —

бөлшектердінбөлімдері болады.

Бөлшек сызығының үстіндегі сан канша бөліктің алынғанын керсетеді, сондыктан оны бөлшектің алымы деп атайды. Мысалдағы жай бөлшектерде 3, 5, 8, 9 сандары — бөлшектердің алымдары болады.

Кез келген натурал сан  жай бөлшектің бөлімі бола алады, ал 0 және кез келген натурал сан алым бола алады.

Е с е п. Екі алманы үш балаға тең бөліп берсек, олардың  әркайсысы неше бөліктен алма алады?

Алманың әркайсысын өзара  тең үш бөлікке (үлеске) бөлеміз. Әрбір үлес алма болады. Бір балаға осындай 2 үлестен беріледі. Балалардың әркайсысы алма алады. Демек, . Мұндағы — жай бөлшек: 3 саны— бөлшектің бөлімі; 2 саны - бөлшектің алымы. Жай белшекті бөлінді ретінде қарастыруга болады. Әріппен жазып көрсетейік: , мүндағы — жай бөлшек.

a — бөлшектің алымы. б — бөлшектің бөлімі.

 

Қорыта айтканда, бір натурал санды екінші натурал санеа бөлуді жай бөлшекпен жазуга болады. Бөлінгіш бөлшектық алымына жазылады, бөлгіш бөлшектық бөліміне жазылады.

Кез келген натурал санды  жай бөлшек түрінде жазуды карастырайық. Мысалы,

 әріппен жазсақ, мұндағы а-натурал сан,

а натурал сан, п — бөлшектің бөлімі (n=1, 2, 3, 4, ...) .

 

 

 

Жай бөлшектің  негізгі қасиеті. Жай бөлшекті қысқарту

 

Жай бөлшек бөлінді, ретінде  қарастырылатындықтан, оған бөліндінің қасиетін пайдалануға болады.

Бөліндінін касиеті  бойынша бөлінгішті де, бөлгішті де бір натурал санға көбейткеннен немесе бөлгеннен бөлінді өзгермейді.

Онда жай бөлшектің  алымын да, бөлімін де бір натурал  санға көбейтуді карастырайық. Мысалы, 3:4 бөліндісіне аталған қасиетті пайдаланып, бөлінгішті де, бөлгішті де 2 санына көбейтеміз. Сонда 3:4=(3•2): (4•2), осыны жай бөлшекпен жазсақ: демек,

9-суреттегі дөңгелектің   –і боялған. Әрбір — үлесті тагы 2-ге бөлсек, бөлшегіне сәйкес үлестер шыгады, бөлшегіне (үлесіне) бөлшегі (үлесі) сәйкес келетіні суреттен көрініп түр.


Сол сияқты


 

Демек,  жай бөлшектің алымын да, бәлімін де бір натурал санга көбейткеннен жай бөлшек әзгертейді екен.

Енді жай белшектің алымын да, бөлімін де бір натурал санга бөлуді карастырайық. Мысалы, 9 : 24 бөліндісінде белгішті де, бөлінгішті де 3-ке белейік.

9 : 24=(9 : 3) : (24 : 3) бөліндісін жай бөлшекпен  жазсақ,

 демек, Сонда берілген   бөлшегіне тең — бөлшегін алдық. Сол сияқты

 демек,

  жай бөлшегі жай бөлшегіне тең болды.

 

Жай бөлшектің  алымын да, бөлімін де бір натурал  санға бөлгеннен жай бөлшек өзгермейді екен.

Қорыта айтқанда, жай бөлшектің алымын да, бөлімін де бір натурал санга көбейткеннен немесе  бөлгеннен жай  бөлшек өзгермейді. Бұл - жай бөлшектің негізгі қасиеті.

Жай бөлшектің негізгі  қасиетін пайдаланып түрлендіру, ягни бөлшектің алымын да, бөлімін де олардың 1-ден өзге ортак бөлгішіне  бөлу жай бөлшекті қысқарту деп аталады.

Жай бөлшекті қысқарту тәсілдеріне  тоқталайық.

 

1-тәсіл. Жай бөлшектің алымы мен бөлімін олардың ең үлкен ортақ белгішіне қысқарту. Мысалы, бөлшегін кысқартайық:

ЕҮОБ (24, 32)=8; онда

2-тәсіл. Жай бөлшектің алымы мен бөлімін жай көбейткіштерге жіктеу арқылы қысқарту:

3-тәсіл. Біртіндеп қыскарту:


мұнда берілген бөлшек әуелі 5-ке қыскартылған, сонда шыққан бөлшегі тағы да 7–ге қыскартылған.      Жай бөлшектерді қыскартқаннан кейін олардың алымдары мен бөлімдері — өзара жай сандар болып шықты. және

бөлшектерінде 3 пен 4; 9 бен 14; 13 пен 18 —  өзара жай сандар. Алымы мен бөлімі өзара жай сандар болатын бөлшектерді қысқармайтын бөлшектер деп атайды.

 

 

Дұрыс және бұрыс  бөлшектер. Аралас сан

Жай бөлшектің алымы  бөлімінен кіші болуы, оған тең болуы  немесе бөлімінен үлкен болуы  мүмкін. Егер бөлшектің алымы бөлімінен кіші болса, онда бөлшек дурыс бөлшек деп аталады.

Мысалы, — дұрыс бөлшектер, өйткені 2<3; 4<9; 3<10; 7<8. Сондықтан дұрыс бөлшек 1-ден кіші болады:

Егер  бөлшектің алымы бөліміне тең  немесе одан үлкен болса. онда бөлшек бұрыс бөлшек деп аталады. Мысалы,

 — бұрыс бөлшектер: 5=5; 11>6; 12>7; 10=10; 36>35. Сондықтан бұрыс бөлшек 1-ге тең немесе 1-ден үлкен болады:

Бүтін бөліктен және бөлшек бөліктен түратын сан аралас сан деп аталады. Мысалы, қосындысын, косу белгісін жазбай деп

жазу қабылданған. Мұндағы — аралас сан. Окылуы "бір бүтін бестен екі", — аралас сан. Оқылуы "екі бүтін жетіден үш". Бұрыс бөлшекті аралас сан түрінде жазуға болады. Ол үшін:

  1. алымды бәлімге қалдықпен бөлу керек: : 5=1 (қалдық 2);

толымсыз  бөлінді бүтін бөлік болады;  3)қалдъқ (егер ол бар болса) - бөлшек бөлігінің алымы, ал бөлгіш-бөлімі болады. Coндa Мысалы,

Натурал және теріс емес бүтін сандар 📙 Реферат → 🆔 161761

Натурал және теріс емес бүтін сандар 📙 Реферат → 🆔 161761

Натурал және теріс емес бүтін сандар