Неевклидовые геометрии и их роль в современном мире

 

 

НЕЕВКЛИДОВЫЕ ГЕОМЕТРИИ И ИХ РОЛЬ В СОВРЕМЕННОМ МИРЕ

 

Реферат

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение..................................................................................................3

Аксиомы в «Началах» Евклида.............................................................4

Открытие неевклидовой геометрии......................................................8

Из истории неевклидовой геометрии………………………………..14

Заключение……………………………………………………………20

Библиография…………………………………………………………21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Геометрия  –  это  одна  из  древнейших  наук.  Исследовать  различные

пространственные   формы   издавна   побуждало   людей    их    практическая

деятельность. Древнегреческий ученый Эвдем Родосский в IV веке до нашей эры писал: «Геометрия была открыта египтянами, и возникла при  измерении  Земли. Это измерение было им необходимо вследствие  разлития  реки  Нил,  постоянно смывавшей границы. Нет ничего удивительного, что эта наука,  как  и  другие, возникла из потребности человека».

Многие первоначальные геометрические сведения получили  также  шумеро- вавилонские, китайские и другие ученые  древнейших  времен.  Устанавливались они сначала только опытным путем, без логических доказательств.

       Как наука, геометрия впервые сформировалась в  Древней  Греции,  когда геометрические закономерности и зависимости, найденные ранее опытным  путем, были приведены в надлежащую систему и доказаны.

       В III веке до нашей эры  греческий  ученый  Евклид  привел  в  систему

известные ему геометрические сведения  в  большом  сочинении  «Начала».  Эта книга более двух тысяч лет служила учебником геометрии во всем мире.

         Эта геометрия существенно отличается от евклидовой,  например,  в  ней утверждается,  что  через  данную точку  можно  провести  бесконечно  много прямых, параллельных данной прямой,  что  сумма  углов  треугольника  меньше 180°. В  геометрии  Лобачевского  не  существует  прямоугольников,  подобных треугольников и так далее.

       Неевклидова геометрия появилась вследствие долгих попыток  доказать  V постулат  Евклида,  аксиому  параллельности.   Эта   геометрия   во   многом удивительна, необычна  и  соответствует  нашим  привычным  представлениям  о реальном мире. Но  в  логическом  отношении  данная  геометрия  не  уступает геометрии Евклида.

 

АКСИОМЫ В «НАЧАЛАХ» ЕВКЛИДА

 

       Начала Евклида служили на протяжении более 2000 лет образцом  строгого дедуктивного изложения геометрии.

Однако в 19 веке после открытия   геометрии  Лобачевского  –  Бояй,  а

затем геометрии  Римана  и  в  связи  с  пересмотром  основ  математического

анализа, предпринятого Больцано, Каши, Абелем  Гауссом  и  другими  учеными, логическое построение «Начал» Евклида стало подвергаться критике. В  системе построения было обнаружено много логических  дефектов,  часть  которых  была заменена еще в древности. Это касается в  первую  очередь  основных  понятий геометрии и евклидовых определений.

Определение нового  понятия  состоит  в  раскрытии  его  содержания  вперечислении его существенных признаков (свойств)  с  помощью  других  ранее определенных понятий и т.д. В конце концов, мы должны дойти   до  некоторых, обычно самых простых и немногих понятий,  которые  являлись  исходными,  уже логически прямо не  определяются,  а  принимают  за  основные  понятия.  Без выделения основных понятий  операция  логического  определения  всех  других понятий вообще была бы бессмысленной.

Определения,  изложенные  в  «Началах»   Евклида,   не   удовлетворяют требованиям современной науки. Вот некоторые  из  23  определений,  которыми начинается первая книга «Начал».

     1. Точка есть то, что не имеет частей (такое аналитическое определение

точки, по- видимому, заимствовано Евклидом у предшественников и восходит к Демокриту).

     2. Линия есть длина без ширины.

     3. Границы линии суть точки.

     4. Прямая есть такая линия, которая одинаково расположена по отношению ко всем своим точкам.

     5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

     6. Границы поверхности суть линии.

     7. Плоскость есть поверхность, которая одинаково расположена по

отношению ко всем прямым, на ней лежащим.

     8. Плоский угол есть взаимное наклонение двух встречающихся линий, расположенных  в одной плоскости.

Такие определения нельзя считать логически конкретными. Во-первых, в этих  определениях  употребляются  такие  понятия  (часть,  длина,   ширина, граница и т.д.),  которые  сами  должны  быть  определены.  Во-вторых,  идея основных понятий (в современном смысле) у  Евклида  вообще  отсутствует.  В- третьих, некоторые его определения туманны и непонятны,  например,  4  и  7. Вообще  же  определения  Евклида  являются  лишь  описанием   геометрических образов, и, как правило, для доказательства теорем он ими не пользовался.

При дедуктивном  построении  геометрии,  как  и  любой  другой  науки, следует исходить не только из основных неопределенных понятий, но  также  из некоторых немногих и простых утверждений, то есть недоказуемых  предложений, называемых иногда постулатами (требованиями), чаще же аксиомами (аксиома  – греческое слово, означающее «бесспорное положение», а  также  «почитаемое»), с тем, чтобы, основываясь на них, можно было  строго  логически  обосновать, то есть доказать все другие предложения,  называемые  уже  теоремами   (Этот термин  был введен  Аристотелем,  его употреблял не  Евклид, а его комментаторы. Первоначальный   смысл   этого греческого   слова был «рассматриваемое»).

У Евклида постулаты и аксиомы, которые  он  не  отождествлял  (у  него постулаты носят чисто геометрический характер) следуют  за  выше  названными определениями. Вот они: Постулаты.

     1. Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно  было

провести прямую линию.

     2. И, чтобы каждую прямую можно было неопределенно продолжить.

     3. И, чтобы из любого  центра  можно  было  описать  окружность  любым

радиусом.

     4. И, чтобы все прямые углы были равны.

     5. И, чтобы всякий  раз,  когда  прямая  образует  с  ними  внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух  прямых,  эти  прямые  пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых. Аксиомы.

     1. Равные порознь третьему равны между собой.

     2. И если к равным прибавить равные, то получим равные.

     3. И если от равных отнимем равные, то получим равные.

     4. И если к неравным прибавим равные, то получим не равные.

     5. И если удвоим равные, то получим равные.

     6. И половины равных, равны между собой.

     7. И совмещающиеся равны.

     8. И целое больше части.

     9. И две прямые не могут заключить пространства.

Важнейшим  недостатком  системы  евклидовых  аксиом,  включая  и   его постулаты, является ее неполнота, то  есть  недостаточность  их  для  строго логического построения геометрии, при котором каждое предложение,  если  оно не фигурирует в списке аксиом, должно быть логически выведено из  последних. Поэтому Евклид при доказательстве теорем не всегда основывался на  аксиомах, а прибегал к интуиции, к наглядности и «чувственным» восприятиям.  Например, понятию  «между»  он  приписывал  чисто  наглядный  характер;  он  молчаливо предполагал, что  прямая,  проходящая  через  внутреннюю  точку  окружности, непременно должна пересечь ее в двух точках. При этом он основывался  только на наглядности, а не на логике; доказательства этого факта он нигде не  дал, и дать не мог, так как у него отсутствовали  аксиомы  непрерывности.  Нет у него  и   некоторых   других   аксиом,   без   которых   строго   логическое доказательство теорем невозможно.

 Критика  евклидовского  обоснования   геометрии,   продолжавшаяся   на протяжении нескольких  веков  и  ставшая  особенно  острой  в  19  столетии, привела к попыткам нового  дедуктивного  построения  геометрии,  отвечающего современным требованиям науки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОТКРЫТИЕ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ

 

Одним  из   ученых,   предвосхитивших   неевклидову   геометрию,   был итальянский монах Джироламо Саккери (1667-1733), преподававший грамматику  в иезуитской коллегии в Милане. Здесь под влиянием Джованни  Чевы  (  Джованни Чева  (1648-1734)  –  итальянский  инженер-гидравлик  и  экономист)  Саккери заинтересовался математикой и стал серьезно заниматься ею.  Впоследствии  он преподавал математику в университете города Павши. На последнем  году  своей жизни Саккери опубликовал (на латинском языке) книгу под заглавием  «Евклид, очищенный от всех пятен». В ней он поставил  перед  собой  задачу  исправить все недостатки («пятна»)  «Начал»  Евклида,  в  первую  очередь  доказать  V постулат.  Саккери  решительнее  и  дальше  своих  предшественников   сделал попытку доказать  этот  постулат  от  противного.  Этот  путь  он  не  сумел проделать до конца,  но  идя  по  нему,  Лобачевский  а  последствии  открыл неевклидову геометрию.

Рассматривая  четырехугольник,  носящий  его  имя,  Саккери

стремится  доказать,  что  гипотезы  тупого  и  острого  углов  приводят   к

логическим противоречиям и что  остается  лишь  гипотеза  прямого  угла,  из

которой вытекает евклидов V постулат. Он легко опровергает  гипотезу  тупого угла, он доказывает, что:

 1. геометрическое место точек плоскости, равноотстоящих от данной  прямой по одну сторону, не является прямой или окружностью, а  другой  линией (которую  Лобачевский  впоследствии  назвал  эквидистантой,  то   есть  «равноотстоящей»);

    2. две прямые, содержащиеся в одной плоскости, либо пересекаются

в одной точке (такие прямые Лобачевский назвал «сходящимися»), либо не      пересекаются, имея общий перпендикуляр, по обе стороны от которого они  друг  от  друга  удаляются  («расходящиеся  прямые»   в   терминологии Лобачевского), либо не пересекаются, удаляясь друг от  друга  в  одном  направлении  и  асимптотически  приближаясь  в  другом   (параллельные Лобачевского).

Если  бы  Саккери  пользовался  лишь  логическими  выводами,   строгой дедукцией, то никакого противоречия он  в  указанных  выше  предложениях  не нашел  бы.  Однако,  будучи  предубежден  о  невозможности  того,  что   для евклидова постулата не  имелось  доказательства,  Саккери  для  опровержения гипотезы острого угла прибег к  утверждению  чисто  интуитивного  характера: существование асимптотических  прямых  якобы  «противоречит  природе  прямой линии». Заслуга Саккери состоит, разумеется, не в конечном его  установлении промежуточных предложений, выведенных им на основе  гипотезы  острого  угла, которые  100  лет  спустя  легли  в  основу  новой  неевклидовой   геометрии Лобачевского.

Лобачевским (1792- 1856), открывшим в 1862 г. первую неевклидову  геометрию, называемую так же « гиперболической». Независимо от него к тому же  открытию пришел и молодой венгерский математик  Я.  Бояй.  Первый  печатный  труд  по неевклидовой геометрии - статья Н.И. Лобачевского « О началах  геометрии»  - появился в 1829г. в « Казанском вестнике». Через 3  года  была  опубликована на  латинском  языке  работа   по   неевклидовой   геометрии   «   Appendix» («Приложение»), название которой объяснялось тем, что она появилась к  одной из  работ  отца  Яноша,  математика  Фаркаша  Бояй.  После   смерти   Гаусса выяснилось, что он также  еще  до  Лобачевского  и  Бояй  пришел  к  той  же геометрии. Идеи Лобачевского и Бояй с трудом пробивали себе дорогу в  науке. Лишь в 70-80г.г. прошлого  столетия  после  появления  работ  Римана,  Кэли, Клейта и Пуанкаре  более  широким  кругом  математиков  стало  ясно,  что  V постулат недоказуем, так как он  не  зависит  от  других  аксиом  евклидовой

геометрии.

Попытки доказательства V  постулата  принесли  большую  пользу  в  том отношении, что выяснили, какие теоремы геометрии относятся на этот  постулат и какие от него не зависят. Совокупность теорем геометрии, не  зависящих  от евклидовой аксиомы параллельности, венгерский  математик  Янош  Бояй  назвал «абсолютной»  геометрией.  Все  же  остальные  теоремы,  то  есть  те,   при доказательстве которых мы непосредственно или  косвенно  основываемся  на  V постулате, составляет собственно евклидову геометрию.

К  собственно  евклидовой  геометрии   относятся:   обратная   теорема

параллельных линиях (то есть о том, что при  пересечении  двух  параллельных прямых  третьей  соответственные  углы   равны),   теорема   о   пересечении перпендикуляра  и  наклонной  одной  и  той  же  прямой,   о   сумме   углов треугольника со всеми ее следствиями (в том числе и теорема  о  сумме  углов многоугольника).

 На аксиоме параллельности основывается почти весь раздел   «Параллелограммы и трапеции». В главе «Об окружности»  все  теоремы  о

форме и положении окружности  (за  исключением  теоремы  о  том,  что  через всякие три неколлинеарные точки можно провести окружность и  следствий  этой теоремы). Теорема о зависимости между дугами, хордами и расстояние  хорд  до центра, о взаимном расположении прямой и окружности не опираются на  аксиому параллельных Евклида. Доказательство многих теорем раздела  «О  вписанных  и описанных многоугольниках» существенно основывается  на  приложении  о  том, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, с ним не  смежных углов, а это приложение в свою очередь вытекает из  теоремы  о  сумме  углов треугольника – теоремы,  непосредственно  связанной  с  евклидовой  аксиомой параллельных. Теорема  о  том,  что  во  всякий  треугольник  можно  вписать окружность, не требует евклидовой аксиомы параллельных.

Раздел «Подобные фигуры» также построен на аксиоме параллельных,  так как   с   самого   начала   лемма,   доказывающая   существование   подобных треугольников  опирается  на  евклидову  теорию  параллельных,  на   аксиому параллельности  («прямая,  параллельная  какой-нибудь  стороне  треугольника отсекает от него треугольник,  подобный  данному»).  Сюда  относятся  и  все теоремы о метрических соотношениях в треугольнике и круге,  в  том  числе  и теорема Пифагора.

В разделе «Правильные многоугольники» теоремы о построении правильных многоугольников циркулем  и  линейкой  опирается  на  аксиому  параллельных, тогда как теорема о том, что около всякого правильного многоугольника  можно описать окружность, принадлежит абсолютной  геометрии.  Теоремы  о  площадях фигур связаны с аксиомой параллельности Евклида, так как единицей  измерения площадей избирается квадрат – понятие евклидовой геометрии.

 В отношении геометрических построений следует  иметь  в  виду,  что  к задачам абсолютной геометрии принадлежит  построение  треугольника  по  трем его  сторонам  или  по  двум  сторонам  и  углу   между   ними,   проведение перпендикуляра из точки  на  прямой  к  данной  прямой.  Не  опираясь  на  V постулат можно  решить  также  задачу  о  проведении  касательной  к  данной окружности из внешней точки. Только в целях упрощения эта задача решается  в учебниках при помощи  аксиомы  параллельных  Евклида.  На  постулат  Евклида опираются  почти  все  задачи,  содержащие  в  условии  понятия  площади   и параллельности.

Два тысячелетия бесплодных усилий и  крушений  всех  попыток  (в  том числе и своей  собственной,  основанной  на  методе  приведения  к  абсурду) доказать V постулат, привели Лобачевского к мысли о том, что  этот  постулат не зависит от  других  аксиом  евклидовой  геометрии,  то  есть  из  них  не вытекает, и поэтому его доказать нельзя.

Но если V постулат не зависит  от  других  аксиом,  то  допуская  все

другие аксиомы (абсолютной геометрии),  мы  можем  принять  или  не  принять евклидов постулат.  В  первом  случае  мы  получаем  известную  классическую евклидову  геометрию,  названную  Лобачевским  “употребительной”.  Если же вместо   евклидовой   аксиомы   параллельности   принять   другую,   ей   не эквивалентную,  получим  новую,   неевклидову   геометрию.   Лобачевский   и сформулировал  новую  аксиому  параллельных,  прямопротивоположную   аксиоме Евклида: “Через точку вне прямой можно провести не только  одну  прямую,  не встречающую данной прямой, а по крайней мере две”. Заменив этой  аксиомой  V постулат  Евклида,  Лобачевский  разработал  свою   неевклидову   геометрию, которая  оказалась  такой  же логически  безупречной,  правильной,  как   и геометрия Евклида.

Если из т. С вне прямой АВ опустить на нее перпендикуляр СD  и

построить  перпендикуляр  СN  к  CD,  то  без  помощи  аксиомы  параллельных доказывается, что NN’ || АВ.

Постулат  Евклида  утверждает,  что  из  всех  прямых  плоскости  АВС,

проходящих через т. С, только  одна  прямая  NN’  не  встречает  прямой  АВ.

Отказываясь  от  этой  аксиомы,  Лобачевский  допускает,  что  через  т.   С

проходит по крайней мере еще одна прямая CL  не пересекающая АВ.

Аксиома  Лобачевского  кажется  на  первый   взгляд   странной,   т.к.

противоречит установившимся геометрическим представлениям. Однако при  более глубоком анализе вопроса надо признать, что  в  отличие  от  других  аксиом, касающихся  фигур ограниченных  размеров,  аксиома  параллельности  Евклида относится к неограниченной прямой  и  никогда  не  может  быть  проверена  с помощью непосредственного эксперимента, который может быть проведен  лишь  в ограниченной части пространства. Если, например, взять угол NCL   достаточно малым, то отрезки CL и АВ не пересекутся даже на  расстоянии,  отходящим  за пределы  нашей  планеты.  И  вот  как  раз  в  пределах  определенной  части плоскости, как бы эта часть не была  велика,  можно  провести  через  данную точку множество прямых, не пересекающих данной прямой. Внутри  круга  любого конечного радиуса существует  множество  «прямых»  (т.е.  хорд),  проходящих через т. С и не встречающих «прямой» АВ, например, CL, CM и другие.

  Таким образом, если отречься от  всяких  предубеждений,  нет  никакого основания считать аксиому Лобачевского “хуже” аксиомы Евклида, в  смысле  ее соответствия  физической  реальности.  Кажущееся   преимущество   евклидовой геометрии,  евклидовой  аксиомы   состоит   в   том,  что   ее   содержание соответствует нашим привычным  представлениям.  Эти  представления,  однако, основаны на повседневном опыте в пределах сравнительно незначительной  части вселенной. Между тем, в истории науки  известны  факты,  когда  более  точно представленные эксперименты вызывали необходимость изменений, основанных  на наглядности гипотез и аксиом, и замены их новыми гипотезами,  которые  лучше соответствуют объективному материальному  миру.  Ведь  господствовало  же  у древних представление о том,  что  Земля  плоская.  В  свое  время  казалась невероятной гелиоцентрическая гипотеза  Коперника  для  всех  людей,  веками сжившихся с идеями геоцентрической гипотезы Птоломея.  Известный  английский математик так и писал: «Чем Коперник был для Птоломея, тем  Лобачевский  для Евклида». Между Коперником и Лобачевским любопытная  параллель,  Коперник  и Лобачевский  –  оба  славяне  по  происхождению.  Каждый  из  них   произвел революцию в научных идеях, воззрениях, и обе эти «революции»  имеют  одно  и то же значение.

Причина их грандиозного значения  заключается  в  том,  что  они  суть

революции в нашем понимании космоса…». По поводу этого  сравнения  советский ученый, профессор В.Ф. Каган писал, что «Истины, открытые Лобачевским,  были гораздо глубже скрыты, более неожиданны; их выявление требовало гения  более высокого  ранга»  Гелиоцентрическая  система  Коперника  только   по   иному представила расположение и движение небесных тел в пространстве. Система  же Лобачевского дала новое представление о самом пространстве.

Все вышесказанное – это физическая сторона геометрии. Но сейчас важнее математическая сторона геометрии, ее логическая структура.

 

 

 

ИЗ ИСТОРИИ НЕЕВКЛИДОВОЙ

ГЕОМЕТРИИ

 

После работы «О началах геометрии», появились в свет и  другие  произведения Лобачевского по неевклидовой  геометрии:  «Воображаемая  геометрия»  (1835), «Применение воображаемой геометрии к некоторым  интегралам»  (1836),  «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных»,  опубликованные  в  «Ученых записках  Казанского   университета»   в   1835-1838г.г.,    «Геометрические исследования  по  теории  параллельных»  (опубликованы  впервые  в1840г. В Берлине  на  немецком  языке).  Однако  идеи  Лобачевского  были   настолько революционными и до того опередили свой век,  что  не  могли  быть  понятыми даже крупными математиками того времени. Поэтому  новая  геометрия  не  была признана современниками, была  встречена  с  полным  равнодушием  и  даже  с иронией. Ее многие считали сплошной фантазией, а ее автора чудаком или  даже невеждой. Одинокий Лобачевский не отказался от своих идей.  Он   твердо  был убежден в логической правильности неевклидовой геометрии. Чтобы  можно  было это  доказать,  Лобачевский  предпринимал  астрологические  наблюдения,    и производил  измерения  углов  космических  треугольников,  стороны   которых измерялись расстояниями от Земли до  небесных  тел,  в  надежде  установить, равна ли сумма углов  треугольника  2dили  она  меньше  двух  прямых  углов. Однако,  измерения  не  могли  дать  определенного  результата  в  силу   их

приближенного  характера.  Лобачевский  всю  жизнь  искал  оправдания  своей геометрии в механике и астрономии и не переставал верить, что торжество  его идей неминуемо.

После того, как стало известно, что Гаусс считал  геометрию  Лобачевского логически вполне правильной, «неевклидова  геометрия»(названная  так  именно Гауссом),  привлекла  к  себе  внимание  многих  математиков.   Произведения Лобачевского и «Appendix» Бояй были переведены на  французский,  итальянский и другие языки. Однако, выявилось много противников неевклидовой  геометрии, которые отнеслись к ней с недоверием, утверждая, что она представляет  собой сплошную фантазию, нелепость, которая  рано  или  поздно  будет  обнаружена. Положение  коренным  образом  изменилось,   когда   итальянский   математик, профессор римского университета Эудженио Бельтрами (1835-1900) нашел  модель для неевклидовой геометрии,  показав  в  своей  работе  «Опыт  интерпретации неевклидовой  геометрии»(1868г.),  что  наряду  с  плоскостями,  на  которых осуществляется  евклидова  геометрия,  и  сферическими   поверхностями,   на которые  действуют  формулы  сферической  геометрии,  существуют   и   такиереальные  поверхности,  названные  им  псевдосферами,  на   которых частично осуществляется планиметрия Лобачевского.

Известно, что  сферу  можно  получить  вращением  полуокружности  вокруг своего диаметра. Подобно тому, псевдосфера образуется вращением  линии  FCE, называемой трактрисой, вокруг ее оси  АВ.Итак,  псевдосфера  –  это поверхность в обыкновенном реальном  пространстве,  на  котором  выполняются многие аксиомы и теоремы неевклидовой  планиметрии  Лобачевского.  Например, если начертить на псевдосфере треугольник, то  легко  усмотреть,  что  сумма его  внутренних  углов  меньше  2d.  Сторона   треугольника   –   это   дуги псевдосферы,  дающие  кратчайшее  расстояние  между  двумя  ее   точками   и выполняющие ту же роль, которую выполняют прямые на  плоскости.  Эти  линии, называемые геодезическими, можно получить, зажав туго  натянутую  и  политую краской или  мелом  нить,   в  вершинах  треугольника.  Таким  образом,  для планиметрии  Лобачевского  была  найдена  реальная  модель  -   псевдосфера. Формулы новой геометрии  Лобачевского  нашли  конкретное  истолкование.  Ими можно   было   пользоваться,   например,   для   решения  псевдосферических треугольников.

 Псевдосферу, которую мы назвали «моделью», Бельтрами назвал  интерпретацией (истолкованием)  неевклидовой  геометрии  на  плоскости.   Впоследствии,  с развитием  и  введением   в   математику    аксиоматического   метода,   под интерпретацией (или  моделью) некоторой системы аксиом стали понимать  любое множество объектов, в которых данная система аксиом  находит  свое  реальное воплощение, то есть, любая совокупность объектов, отношение  между  которыми полностью совпадают с теми, которые описываются  в  данной  системе  аксиом.

При этом полагают, что если для  некоторой  системы  аксиом  существует  или можно   построить   интерпретацию   (модель),  то   эта   система    аксиом непротиворечива, то есть, не только сами аксиомы, но  и  любые  теоремы,  на них логически основывающиеся никогда не могут противоречить одна другой.

Итак,  доказательство  логической  непротиворечивости   той   или   иной геометрии,   можно   свести   к    доказательству    существования    модели соответствующей системы аксиом.

Первой моделью планиметрии Лобачевского была  интерпретация  Бельтрами  в 1868г., к которой позже, но из других соображений и в ином  виде,  пришел  в 1870г. немецкий  математик  Феликс  Клейн. В  качестве  плоскости  Лобачевского, коротко   «плоскость   L»,   принимается   внутренность   некоторого   круга (исключается таким образом его  контур)  на  обычной  евклидовой  плоскости. Прямыми L служат хорды круга, исключая, конечно, их концы. Принадлежность  и между понимаются в  обычном  евклидовом  смысле.  Оказывается,  что  в  этой модели имеют место  все  аксиомы  абсолютной  геометрии,  то  есть,  аксиомы принадлежности, порядка,  конгруэнтности,  непрерывности.  Что  же  касается аксиомы параллельности, то в этой модели имеет место не постулат Евклида,  а именно, аксиома Лобачевского: через  т.  С,  не  лежащую  на  данной  прямой (хорде) АВ, можно  провести  хотя  бы  2  прямые  (хорды),  не  пересекающие данную.  Выполняются, конечно, так же все следствия аксиомы. Так,  например, среди проходящих через данную  точку  расходящихся  прямых  L,  имеются  две предельные CL и    CM, параллельные к АВ  в  смысле  Лобачевского,  так  как разделяют  класс  расходящихся  с  АВ  прямых  от  класса  сходящихся.  Сами параллельные не имеют с АВЫ общих точек, поскольку точки  А и В, лежащие  на окружности, исключены.

Аналогично строится модель Клейна геометрии Лобачевского в  пространстве, принимая внутренность какого-либо шара за пространство L.

Таким образом, была показана непротиворечивость геометрии  Лобачевского.  Ее аксиомы и теоремы не могут быть  противоречивыми,  так  как  каждой  из  них соответствует факт евклидовой геометрии  внутри  круга  (или  внутри  шара).

Если в геометрии Лобачевского встретились бы две противоречащие  друг  другу теоремы, то, переводя эти теоремы  на  язык  обычной  геометрии  посредством модели Клейна, мы получили бы противоречие между соответствующими  теоремами в геометрии  Евклида,  то  есть,  построением  модели,  Клейн  показал,  что геометрия  Лобачевского  непротиворечива  в   такой   же   мере,   в   какой непротиворечива геометрия Евклида.

Другую  модель  геометрии  Лобачевского  построил  в  1882г.  Французский математик Анри Пуанкаре (1854-1912),  применивший  ее  к  решению  некоторых важных задач теории функций комплексного переменного.

Одним  из  важнейших   результатов   открытия   геометрии   Лобачевского (называемой  также   гиперболической   геометрией)   было   развитие   новых неевклидовых  геометрий,  в  первую  очередь,  геометрии  Римана  (в   узком смысле), называемой так  же  эллиптической  геометрией.  В  качестве  модели планиметрии  Римана  может  служить  сфера,   если   считать   каждую   пару диаметрально противоположных ее точек за одну «точку».

   Итак, плоскость  Римана  представлена  Евклидовой  сферой.  На  сфере  нет прямых линий, но имеются так  называемые  большие  окружности,  то есть  окружности  с  центром  в  в  центре   сферы,   которые   в   качестве

геодезических ее линий выполняют на сфере  ту  же  роль,  что  и  прямые  на

плоскости. Дуги больших окружностей дают кратчайшие расстояния  между  двумя точками сферы, через которые они проходят, подобно тому, как отрезок  прямой на плоскости представляет кратчайшее расстояние между двумя  точками  сферы, через которую они проходят, подобно тому, как отрезок  прямой  на  плоскости представляет кратчайшее расстояние между его концами; через две точки  сферы проходит одна и только одна большая окружность, подобно тому, как две  точки плоскости определяют одну и только одну прямую; из дуг  больших  окружностей на сфере, как из отрезков прямых на плоскости можно  образовать  сферические треугольники,  четырехугольники,  многоугольники.  Одним   словом,   большие окружности сферы – это ее «прямые».  Однако,  наряду  с  некоторыми сходствами, имеется и большое различие между сферической геометрией с  одной стороны  и  геометрией   Евклида   и   Лобачевского   с   другой.   Аксиомы,