Министерство  образования Российской Федерации

 НОВОСИБИРСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Механико-математический факультет. 

Кафедра программирования. 
 
 

РЕФЕРАТ

Огибающая сигнала. 
 
 
 
 

Автор работы Кузьмин  А.В. __________

      группа  7126 

Научный руководитель  Куликов А.И.   __________ 
 
 

     Новосибирск 2009 г.

  Содержание:

1. Введение.
2. Обработка сигналов.
3. Нахождение огибающей сигнала.
4. Применение огибающей.
5. Заключение.
6. Список использованных источников.

  1. Введение.

    Число средств передачи информации непрерывно возрастает. Одним из путей эффективного использования радиочастотного ресурса является сжатие спектра передаваемых сигналов, занимающих значительную долю сигналов.

    Несмотря  на то, что проблема компандирования (сжатие – восстановление спектра речевых сигналов при их обработке на основе математической модели модуляционной теории) спектра речевых сигналов (РС) на сегодняшний день достаточно успешно решается средствами статистической теории, поиск решений данной проблемы на базе альтернативных теоретических представлений не только не потерял своей актуальности, но и приобрел еще большую остроту с развитием телекоммуникационных технологий, что объясняется ограниченными возможностями известных методов при возрастающей потребности.

    Разработка  новых эффективных способов компандирования спектра РС является актуальной, прежде всего, для систем радиосвязи, в том числе специализированных систем подвижной радиосвязи. Также это актуально для систем записи и хранения больших массивов речевой информации.

    Также одной из важнейших задач систем радиомониторинга является

определение факта присутствия одного или  нескольких сигналов в

анализируемой полосе частот. При этом определяются различные временные

характеристики  огибающей сигнала.

     2.Обработка сигналов.

     Основой исследования сигналов является спектральный анализ. Понятие спектрального анализа является довольно широким. Оно применимо к рассмотрению любых функций в виде обобщенного ряда Фурье. При анализе сигналов обычно используется преобразование или ряд Фурье, позволяющие перевести анализ в частотную область.   Сигнал   рассматривается как бесконечная или конечная совокупность гармонических составляющих.

   Спектральный  анализ непериодических сигналов основан  на использовании преобразования Фурье. Прямое и обратное преобразования Фурье устанавливают  взаимно  однозначное  соответствие  между  сигналом  (временной функцией, описывающей сигнал s(t)) и его спектральной плотностью : 

    ,  .                                             (2.1)                  

   Функция в общем случае является комплексной 

                                          (2.2) 

где Re, Im - действительная и мнимая части комплексной величины;

    , - модуль и аргумент комплексной величины. 

    .                          (2.3) 

   Модуль  спектральной плотности сигнала  описывает распределение амплитуд гармонических составляющих по частоте, называется амплитудным спектром. Аргумент дает распределение фазы по частоте, называется фазовым спектром сигнала.

     Формирование  огибающей сигнала во времени  является наиболее эффективным способом выделения модулирующей компоненты в тех случаях, когда спектральный состав модулирующей и несущей компонент различен и не пересекается в частотной области, т.е. частотная область несущей много выше частотной области модулирующей компоненты.

Удобства огибающей:

• сохранение в огибающей информации о форме сигнала, основных его пиках;
• возможность сокращения объёма информации при переходе к огибающим за счет локального осреднения;
• использование огибающих в качестве шаблонов.

   Поэтому применение огибающей сигнала нашло  широкое применение в различных сферах деятельности.

   На  первых этапах развития вибрационной диагностики спектральный анализ огибающей  вибрации использовался для определения  частот и амплитуд гармонических  составляющих, имеющих близкие частоты, не позволяющие разделить эти  составляющие в спектре сигнала вибрации из-за ограниченной разрешающей способности анализаторов.

     С появлением цифровых спектральных анализаторов, обладающих высокой разрешающей  способностью по частоте, диагносты  стали отказываться от анализа спектров огибающей тех мультипликативных компонент вибрации, в которых обе компоненты являются строго периодическими. На практике такой вид анализа еще иногда используется при диагностике подшипников качения насосов и других потокосоздающих машин, с целью обнаружения модуляции наиболее сильных составляющих вибрации на гармониках частоты вращения рабочего колеса более низкими модулирующими частотами, например частотой вращения сепаратора. Основанием является то, что в низкочастотной вибрации машин подобного типа присутствуют значительные случайные компоненты, затрудняющие обнаружение в спектре слабых боковых составляющих у вибрации на частоте вращения ротора.

    Также  на сегодняшний день очень остро  стоит проблема сжатия спектра РС. Обоснована необходимость продолжения развития модуляционной теории звуковых сигналов, изучающей свойства натуральных акустических сигналов. Обоснована необходимость сжатия спектра речевых сигналов для повышения эффективности использования частотного ресурса каналов передачи речи. Показано развитие и современное состояние решения проблемы компандирования спектра РС с целью их трансляции по каналам связи. Приведены зависимости качества речи от степени компрессии спектра РС наиболее популярными современными методами.

    Сжатие  спектра РС возможно за счет уменьшения их статистической и психоакустической избыточностей. В современных системах радиотелефонии с целью сжатия спектра речевых сигналов наиболее широкое применение нашли гибридные вокодеры, уменьшающие как психоакустическую, так и статистическую избыточности. Достаточно низкое качество получаемой речи при сравнительно невысокой степени сжатия ее спектра современными методами обосновывает необходимость поиска новых путей эффективного решения данной проблемы на базе альтернативных теоретических представлений.

    3.Нахождение огибающей сигнала.

     При математическом анализе огибающей сигнала очень часто вместо вещественных сигналов с целью упрощения математического аппарата преобразования данных удобно использовать эквивалентное комплексное представление сигналов.

     В общем случае, произвольный динамический сигнал s(t), заданный на определенном участке временной оси (как конечном, так и бесконечном) имеет комплексную двустороннюю спектральную плотность S(ω).  При раздельном обратном преобразовании Фурье реальной и мнимой части спектра S(ω) сигнал s(t) разделяется на четную и нечетную составляющие, которые являются двусторонними относительно t = 0, и суммирование которых полностью восстанавливает исходный сигнал. На рис. 2 приведен пример сигнала (А), его комплексного спектра (В) и получения четной и нечетной части сигнала из реальной и мнимой части спектра (С).

Рис. 3.1. Сигнал, спектральная плотность сигнала, четная и нечетная составляющие.

     Также можно выполнить обратное преобразование Фурье и в другой форме - раздельно для положительных и отрицательных частот спектра:

s(t) =

      Информация  в комплексном спектре сигнала  является избыточной. В силу комплексной сопряженности полную информацию о сигнале s(t) содержит как левая (отрицательные частоты), так и правая (положительные частоты) часть спектра S(ω). Аналитическим сигналом, отображающим вещественный сигнал s(t), называют второй интеграл выражения (3.1), нормированный на π, т.е. обратное преобразование Фурье спектра сигнала s(t) только по положительным частотам:

z_s(t) = (1/π) S(ω) exp(jωt).                                (3.2)

      Дуальность  свойств преобразования Фурье определяет, что аналитический сигнал z_s(t), полученный из односторонней спектральной функции, всегда является комплексным и может быть представлен в виде:

z_s(t) = Re z(t) + j·Im z(t).                  (3.2')

     Аналогичное преобразование первого интеграла  выражения (3.1) дает сигнал z_s*(t), комплексно сопряженный с сигналом z(t):

z_s*(t) = Re z(t) - j·Im z(t),

что наглядно видно на рис. 3.2 при восстановлении сигналов по односторонним частям спектра, приведенного на рис. 2-В.

Рис. 3.2. Сигналы z(t) и z*(t).

     По  рисунку 3.2 можно видеть, что при сложении функций z_s(t) и z_s*(t) мнимые части функций взаимно компенсируются, а вещественные части, с учетом нормировки только на π, а не на 2π, как в (3.1), в сумме дают полный исходный сигнал s(t):

[z_s(t)+z_s*(t)]/2 = Re z(t) =

= (1/2π)

      Отсюда  следует, что реальная часть аналитического сигнала z_s(t) равна самому сигналу s(t).

      Для выявления характера мнимой части  сигнала z_s(t) выполним перевод всех членов функции (3.2') в спектральную область с раздельным представлением по положительным и отрицательным частотам (индексами – и +) реальных и мнимых частей спектра:

Z_s(ω) = A_-(ω) + A₊(ω) + jB_-(ω) + jB₊(ω) + j [A'_-(ω) + A'₊(ω) + jB'_-(ω) + jB'₊(ω)],

где индексами  A' и B' обозначены функции преобразования Im(z(t)). В этом выражении функции в левой части спектра (по отрицательным частотам) должны взаимно компенсировать друг друга согласно определению аналитического сигнала (3.2), т.е.:

B'_-(ω) = A_-(ω),     A'_-(ω) = -B_-(ω).

      Отсюда, с учетом четности вещественных A'_-(ω) и нечетности мнимых B'_-(ω) функций спектра, следуют также равенства:

B'₊(ω) = - A₊(ω),     A'₊(ω) = B₊(ω).

      Но  эти четыре равенства есть не что  иное, как преобразование Гильберта  в частотной области спектра функции Re z(t) Û A(ω)+jB(ω) в спектр функции A'(ω)+jB'(ω) Û Im z(t) умножением на сигнатурную функцию -j×sgn(ω). Следовательно, мнимая часть аналитического сигнала z_s(t) является аналитически сопряженной с его действительной частью Re z(t) = s(t) через преобразование Гильберта. Эта часть аналитического сигнала получила название квадратурного дополнения сигнала s(t):

Im z(t) = = TH[s(t)] = s(t) _* hb(t),                          (3.3)

hb(t) = 1/(πt),

z_s(t) = s(t) + j× .                                          (3.4)

где индексом обозначен сигнал, аналитически сопряженный с сигналом s(t), hb(t) – оператор Гильберта.

      Таким образом, квадратурное дополнение сигнала s(t) представляет собой свертку сигнала s(t) с оператором 1/(πt) и может быть выполнено линейной системой с постоянными параметрами:

= ,                                  (3.3')

 Аналитический сигнал зависит от действительного  аргумента, является однозначным и дифференцируемым. На комплексной плоскости он отображается вектором, модуль и фазовый угол которого изменяются от аргумента, а проекция сигнала на вещественную ось для любого значения аргумента равна значению исходного сигнала s(t). Какой-либо новой информации аналитический сигнал не несет, так как получен линейным преобразованием из исходного сигнала и представляет собой его новую математическую модель.

      Почему  именно оператор Гильберта применяется  для получения квадратурного  дополнения сигнала? Какую физическую операцию он выполняет? Ответ на этот вопрос может быть получен при рассмотрении спектра аналитического сигнала.

      Спектральная  плотность аналитического сигнала, если он сформирован непосредственно  во временной области, определяется обычным преобразованием Фурье:

Z_s(ω) =

      Эта функция, с учетом определения аналитического сигнала по выражению (3.2), должна быть отлична от нуля только в области положительных частот, где ее значения (в силу нормировки на π, а не на 2π) должны быть равны удвоенным значениям спектральной плотности сигнала s(t):

Z_s(ω) =

      С другой стороны, при непосредственном преобразовании Фурье левой и  правой части формулы (3.4) аналитического сигнала z_s(t), получаем:

Z_s(ω) = S(ω) + j

      Данное  выражение действительно для  всей частотной оси (от -¥ до +¥) и должно быть равно выражению (3.5). А это означает, что левая часть спектра (отрицательные частоты ω) сигнала (3.6) должна быть обращена в ноль, аналогично формированию каузальной функции из ее четной и нечетной части. Это может быть выполнено следующим образом.

Рис. 3.3.

      Если  левые части спектра сигнала S(ω) умножить на -1, обнулить реальную часть на частоте ω =0 и оставить без изменения правые части спектра, то будут получены функции, показанные пунктиром на рис. 3.3, которые дают нули в левой части спектра при сложении с исходной функцией S(ω) и увеличивают в 2 раза правые части спектра. Такая операция может быть выполнена умножением спектра S(ω)  на сигнатурную функцию sgn(ω):

sgn(ω) =                              (3.7)

      Однако  при этом реальная часть новой  функции sgn(ω)·S(ω), как это можно видеть на рис. 3.3, становится нечетной, а мнимая часть четной, что не соответствует статусу спектральных функций. Для восстановления статуса полученный результат нужно дополнительно умножить на –j. Применяя для левой и правой части частотных аргументов индексирование соответственно ω_l и ω_r, можно записать подробные выражения для спектров:

S(ω) = Re S(ω _l) + j·Im(ω_l) + Re S(ω _r) + j·Im(ω _r),

      При умножении квадратурной функции  на j (для выражения в (3.6)):

j·

      Отсюда  нетрудно видеть результат:

Z_s(ω) = S(ω) + j

что полностью  соответствует выражению (3.5). В краткой форме:

=     = -j×sgn(ω)×S(ω),                    (3.8)

Hb(ω) = -j×sgn(ω) =                         (3.9)

     Таким образом, спектральная плотность  аналитически сопряженного сигнала образуется из спектра S(ω) исходного сигнала s(t) умножением на функцию -j×sgn(ω). Это обеспечивает при суммировании S(ω) + j удвоение амплитуд частотных составляющих в области положительных частот и их взаимную компенсацию в области отрицательных частот.

Рис. 3.4.

     Из  выражения (3.8) в спектральной области непосредственно следует соответствующая связь функций s(t) и во временной области:

= s(t) _* hb(t),                                (3.10)

s(t) = - _* hb(t).                              (3.11)

где hb(t) = TF[-j×sgn(ω)] = 1/(πt) – обратное преобразование Фурье функции -j×sgn(ω).

          Пример преобразования сигнала x(t) оператором Гильберта для формирования аналитического сигнала z_x(t) = x(t) + j· приведен на рис. 3.4.

     Частотную характеристику оператора Гильберта (3.9) можно записать и в следующем виде:

Hb(ω) = |Hb(ω)|×exp(jφ_h(ω)),  где |Hb(ω)| = 1.

Hb(ω) = -j×sgn(ω) = ,                      (3.12) 

      Если  спектр функции x(t) также представить в форме

S(ω) = |S(ω)|×exp(jφ_s(ω)),

то выражение (3.8) преобразуется к следующей форме:

= |S(ω)|×exp(jφ_s(ω))×exp(jφ_h(ω)) = |S(ω)|×exp[j(φ_s(ω)+φ_h(ω))],           (3.8')

т.е. модуль |S(ω)| - амплитудный спектр сигнала как результат преобразования Гильберта сигнала s(t), не изменяется и остается равным амплитудному спектру сигнала s(t). Фазовый спектр сигнала (начальные фазовые углы всех гармонических составляющих сигнала) сдвигается на -90^о при ω > 0 и на 90^о при ω < 0 относительно фазового спектра сигнала s(t). Но такой фазовый сдвиг означает не что иное, как превращение косинусных гармоник в синусные, а синусных в косинусные. Это можно наглядно видеть на единичной гармонике. Так, если x(t) = cos(2πf_ot), то имеем следующее преобразование Гильберта через частотную область:

      Но  последнее уравнение - спектр синусоиды. При обратном преобразовании Фурье:

Рис 3.5 

ириРис. 16.1.5.

(t) = TF^-1[ (f)] = sin(2πf_ot).

      При x(t) = sin(2πf₀t) аналогичная операция дает (t) = -cos(2πf_ot). Знак минус демонстрирует отставание (запаздывание) выходного сигнала преобразования, как операции свертки, от входного сигнала. Для гармонических сигналов любой частоты с любой начальной фазой это запаздывание составляет четверть периода колебаний. На рис. 3.5 этот сдвиг на четверть периода для единичной гармонической составляющей (несущей частоты радиоимпульса) виден достаточно наглядно.

     Таким образом, аналитический сигнал, по существу, представляет собой сумму двух ортогональных сигналов, все гармонические составляющие которых сдвинуты по фазе на 90⁰ друг относительно друга.

4.Применение огибающей.

    1. Известно, что значительная часть информации, содержащейся в сигнале, одновременно отражена в его огибающей, и в косинусе фазы, то есть дублируется (рис. 4.1), а часть информации о сигнале отражена либо только в его огибающей, либо только в фазе. Информация о значениях модулирующих частот сигнала в высокой степени дублируется (модулирующие частоты природных амплитудной и частотной модуляций в значительной мере совпадают). Информация о значении несущей частоты сигнала и о ее относительно медленном изменении при переходе от одного сигнала к другому содержится только в косинусе фазы (мгновенной частоте).

Рис.4.1. Спектры речевого сигнала, его огибающей и косинуса фазы для звука «А» 

    По  результатам экспериментальных  исследований спектральных и информационных свойств огибающей и косинуса делаются выводы о значении этих функций в передаче информации. Если рассматривать речевой сигнал, то косинус фазы играет бóльшую роль в передаче информации о согласных фонемах, а огибающая – о гласных фонемах русского языка. Огибающая речевого сигнала больше отвечает за качество передачи речи. Косинус фазы речевого сигнала в большей мере определяет передачу семантической информации. Делается вывод, что для сжатия спектра РС на основе модуляционной теории сигналов, необходимо передавать огибающую и косинус фазы сигнала и сжимать спектры как огибающей, так и косинуса фазы.

    2. Также  огибающая важна для диагностики механических узлов оборудования. Механизм формирования колебательных сил во многих узлах вращающегося оборудования является нелинейным, поэтому силы достаточно часто, особенно при наличии в узлах дефектов, представляют собой аддитивно-мультипликативную смесь стационарных компонент, каждая из которых может содержать как периодические, так и стационарные случайные составляющие. В качестве примера можно привести колебательные силы в нагруженных подшипниках качения, электромагнитные силы в электрических машинах и многие другие. Формирование огибающей сигнала во времени является наиболее эффективным способом выделения модулирующей компоненты в тех случаях, когда спектральный состав модулирующей и несущей компонент различен и не пересекается в частотной области, т.е. частотная область несущей много выше частотной области модулирующей компоненты.

  3.Немаловажную роль огибающая сигнала так же играет в медицине. Сравнение эффективности различных диагностических методов показывает, что наиболее полезная информация о функционировании внутренних органов и физиологических систем организма содержится в биоэлектрических сигналах, снимаемых с различных участков под кожным покровом или с поверхности тела. Прежде всего это относится к электрической активности сердца, электрическому полю головного мозга, электрическим потенциалам мышц. Именно эти важнейшие электрофизиологические процессы требуют особого внимания и создания электронной аппаратуры для решения конкретных задач их анализа в диагностических целях.

  Особое место среди электрофизиологических методов диагностики занимает измерение и обработка электрокардиосигнала. Это связано с тем, что электрокардиограмма является основным показателем, который в настоящее время позволяет вести профилактический и лечебный контроль за сердечно-сосудистыми заболеваниями. Эффективности электрокардиографических методов диагностики способствует развитая и устоявшаяся система отведений и широкое использование количественных показателей ЭКГ. В последнее время в электрокардиографии интенсивно развивается направление, связанное с регистрацией и анализом низкоуровневых составляющих кардиосигнала. Опыт исследований в этой области позволяет говорить о перспективности анализа тонкой структуры ЭКГ для диагностики различных патологий сердечно-сосудистой системы на стадии их возникновения.

  4. Обычная  радиолокация воздушных целей  использует в качестве зондирующих  импульсов радиоимпульсы, которые  имеют несущую частоту и модулированы  тем или иным способом. В георадиолокации подобный тип сигналов не может быть использован по причине сильного затухания радиоволн в подстилающей поверхности. Пространственный размер радиоимпульсов в обычных локаторах составляет единицы – сотни метров, а это максимальная глубина зондирования георадаров, обусловленная затуханием. Здесь не приходится говорить о временном разрешении объектов, поскольку отраженные от подземных объектов сигналы затухают раньше, чем успеет закончиться зондирующий импульс.

    Для того, чтобы увеличить разрешение по времени, необходимо уменьшать огибающую радиоимпульса. С другой стороны, для того, чтобы увеличить глубину зондирования, необходимо понижать несущую частоту.

    Как видно, из приведенных выше примеров, использование огибающей сигнала очень широко распространено, и помогает решать очень важные на сегодняшний день задачи.